Ejercicios - sin soluciones

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CHICLANA

MAT I

Matem´aticas de Ciencias y Tecnolog´ıa

Primero de Bachillerato CCTT

Ejercicios y problemas del tema 0

Semejanza de tri´

angulos. Teorema de

(2)

0.1.

Problemas relacionados con los tri´

angulos y la semejanza

1. Establecer si puede haber tri´angulos en el plano que posean los siguientes ´angulos:

•55o, 60o, y65o? •0o, 60o, y120o? •35o, 55o, y85o? •12o, 90o, y78o? •36o, 15o, y50o? •50o, 60o, y70o? •31o, 62o, y87o? •25o, 65o, y80o? •51o, 43o, y87o? •25o, 35o, y120o? •60o, 60o, y60o? •61o, 61o, y61o? •170o, 5o, y5o? •85o, 85o, y10o? •44o, 88o, y72o?

2. Los ´angulos de un tri´angulo est´an en progresi´on aritm´etica, y el menor mide 36o

. ¿cu´anto miden los otros dos ´angulos?

3. Los ´angulos de un tri´angulo est´an en progresi´on geom´etrica, y el mayor mide 90o

. ¿cu´anto miden los otros dos ´angulos?

4. Consideremos la siguiente figura, con dos tri´angulos semejantes

ABC y AB0C0, uno dentro de otro (el segmento B0C0 es

parale-lo a BC). En este problema se van a dar varios datos o segmentos, en cm, y se tiene que calcular aquel otro que se pida, usando para ello el teorema ??. Se recomienda que para cada caso, antes hagas un dibujo con todos los datos.

AB0 = 8, B0B = 3, AC0 = 9, C0C = ? AB0 = 7, B0B = 2, AC0 = 8, C0C = ? AB0 = 6, B0B = 2, CC0= 4, AC0 = ? AB0 = 8, B0B = 4, CC0= 5, AC0 = ? AC0 = 4, B0B = 2, CC0 = 3, AB0 = ? AC0 = 5, B0B = 4, CC0 = 4, AB0 = ? AB0 = 6, B0B = 4, CC0= 6, AC0 = ? AB0 = 7, B0B = 5, CC0= 6, AC0 = ?

5. En este caso, en cada uno de los problemas se da una pareja de tri´angulos T y T0, de respectivos lados a, b, c y a0, b0, c0. Hay que

determinar si son semejantes, o no, as´ı como la constante de seme-janza. De nuevo se recomienda que para cada caso, antes hagas un dibujo con todos los datos.

a= 4, b = 8, c= 10, a0 = 6, b0 = 12, c0 = 15? a= 3, b = 4, c= 4, a0 = 6, b0 = 8, c0 = 8? a= 2, b = 4, c= 5, a0 = 4, b0 = 8, c0 = 9? a= 5, b = 7, c= 8, a0 = 705,b0 = 1005, c0 = 12? a= 3, b = 4, c= 5, a0 = 4, b0 = 5, c0 = 6? a= 6, b = 8, c= 7, a0 = 708,b0 = 1004, c0 = 901?

6. Se tiene un tri´angulo de lados 4, 5 y 7cm. ¿Es semejante a uno que tenga lados 1005, 705 y

6cm?¿Hay alguna estrategia que debas seguir siempre en este tipo de problemas?

7. Tenemos un tri´angulo rect´angulo de lados 3, 4 y 5cm. Encontrar un tri´angulo semejante a ´el de hipotenusa 10cm.

8. Tenemos un tri´angulo rect´angulo de lados 3, 4 y 5cm. Encontrar un tri´angulo semejante a ´el de cateto mayor 6cm.

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9. En este problema se trata de calcular el ´area de la figura al margen, que posee una base de 3cm y una altura de 2cm ¿Se puede resolver mediante la f´ormula habitual o la de la base y la altura no vale para este caso?

10. En este caso, se tienen una serie de tri´angulos rect´angulos. Se trata de que encuentres el dato que falta, cateto o hipotenusa. Como siempre, se recomienda que para cada apartado, antes hagas un dibujo con todos los datos.

a= 5, b = 4, h= ?

h= 7, b = 3, a= ?

a= 4, h= 5, b= ?

a= 1, b = 1, h= ?

a= 5, b = 2, h= ?

a= 7, h= 3, b = ?

a= 3, b= 2, h= ?

a= 6, b= 3, h= ?

a= 2, h= 3, b = ?

h= 1, b = 5, a= ?

11. Otra forma de calcular el ´area de un tri´angulo la conforma laf´ormula de Her´on, que determina el ´area de un tri´angulo a partir de sus tres lados (esto es, no es necesario conocer la altura correspondiente a una base). En concreto, dado un tri´angulo de lados a, b y c, sea p = a+b+c

2

elsemiper´ımetrodel tri´angulo; entonces, su ´area esA=pp(p−a)(p−b)(p−c). Usando dicha

f´ormula, se trata de calcular el ´area de los siguientes tri´angulos:

a= 3, b= 3, c= 2; S =

a= 4, b= 3, c= 3; S =

a= 3, b= 4, c= 5; S =

a= 5, b= 4, c= 5; S =

a= 4, b = 6, c= 8; S=

a= 5, b = 7, c= 6; S=

a= 10, b= 12, c= 14; S =

a= 8, b = 3, c= 4; S=

12. Usando la f´ormula de Her´on, calcular el lado de un tri´angulo equil´atero del que se conoce su superficie, igual a 3

4cm 2

.

13. Se tienen dos tri´angulos rect´angulos semejantes, uno de cateto me-nor 3 e hipotenusa 5, y otro de cateto mayor 2. Se trata de estable-cer los datos x,y y z, que no los obtendr´as necesariamente en este orden.

14. Se tiene la situaci´on de la figura, donde DC es una l´ınea recta. En el presente ejercicio hay que demostrar que los tri´angulos ABC y

ADE son semejantes, y una vez que est´e demostrado, calcular los lados AD y DE

15. Tenemos un tri´angulo is´osceles como el de la figura al margen, que posee una base de 8cmy una altura de 5cm. Encontrar un tri´angulo is´osceles semejante a ´el que posea ´area 20cm2

.

16. Se trata de encontrar otro tri´angulo is´osceles semejante al de la figura, pero que ahora posea un ´area de 12cm2

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17. En este problema, se toma el rect´angulo ADEF, de lados 6cm y 4cm. Se toma el puntoB en la mitad del segmentoAD. Se levanta la perpendicular al lado AD porB, que corta a la diagonal DF en el punto C. Calcular el ´area del tri´anguloABC. Es m´as f´acil de lo que parece.

18. Se tiene el tri´anguloABC, rect´angulo enAy con cateto menorAB, de longitud 5cm. Se conoce as´ı mismo BH = 3cm, donde H es la proyecci´on ortogonal deA sobreBC. Sabiendo que dicho tri´angulo

ABC es semejante al de lados 3,4 y 5cm, calcular los datos que faltan.

19. Se tiene el tri´angulo ABC, rect´angulo en A, y con cateto menor

AB, de longitud 15

4cm. Se conoce as´ı mismo CH = 4cm, donde H

es la proyecci´on ortogonal deAsobreBC, o sea,AH es una altura. Calcular los datos que faltan. A pesar del 15/4, no salen n´umeros complicados.

20. Se tiene el tri´angulo ABC, rect´angulo en A. Sea H la proyecci´on ortogonal de A sobre BC, o sea, AH es una altura. En nuestro tri´angulo, AH = 5cm, as´ı como BH = 3cm. Calcular los datos que faltan.

21. Se tiene el tri´angulo ABC, rect´angulo en A. Sea H la proyecci´on ortogonal de A sobre BC, o sea, AH es una altura. En nuestro tri´angulo, BH = 4cm. Se conoce as´ı mismo CH = 9cm. Calcular los datos que faltan.

22. Se tiene el tri´angulo ABC, rect´angulo en A. Sea H la proyecci´on ortogonal de A sobre BC, o sea, AH es una altura. En nuestro tri´angulo, AC = 6√10cm. Se conoce as´ı mismo CH = 18cm. Cal-cular los datos que faltan.

23. Se tiene el tri´angulo ABC, rect´angulo en A. Sea H la proyecci´on ortogonal de A sobre BC, o sea, AH es una altura. En nuestro tri´angulo, AB= 15cm. Se conoce as´ı mismoAC = 20cm. Calcular los datos que faltan.

24. Se tiene el tri´angulo ABC, rect´angulo en A. Sea H la proyecci´on ortogonal de A sobre BC, o sea, AH es una altura. En nuestro tri´angulo, AB= 2cm. Se conoce as´ı mismoAH =√3cm. Calcular los datos que faltan.

25. En este f´acil problema, has de calcular el ´area del tri´angulo ABC. Como indicaci´on, p´ongase el ´area buscada como suma o restas de ´areas en las que se pueden usar resultados sencillos como el teorema de Pit´agoras.

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26. En este problema, f´acil, se trata de calcular el ´area del tri´angulo

ABC. De nuevo p´ongase el ´area buscada como suma o restas de ´areas en las que se pueden usar resultados sencillos como el teorema de Pit´agoras. N´otese que no era necesario dar el valor deAB, al ser

ABD semejante a CDE, tri´angulo is´osceles

27. En este problema, algo m´as complicado que los anteriores, se trata de calcular el ´area del tri´angulo ABC. De nuevo p´ongase el ´area buscada como suma o restas de ´areas en las que se pueden usar resultados sencillos como el teorema de Pit´agoras. N´otese que ahora no se da el valor deAB, ya que puede calcularse de datos anteriores

28. En este problema, a´un m´as complicado que el anterior, de nuevo se trata de calcular el ´area del tri´angulo ABC. Hay que tener en cuenta queBDE es tri´angulo rect´angulo enB, yABC yABE son rect´angulos en A. En este problema, a medida que vayamos calcu-lando los lados, nos ir´an saliendo ra´ıces cuadradas m´as complicadas.

29. Tenemos un tri´angulo rect´angulo a determinar, del que s´olo sabemos que uno de dos los catetos es igual a 1. Se toma la altura correspondiente al ´angulo recto, y resulta que esta altura divide al tri´angulo rect´angulo en dos tri´angulos rect´angulos semejantes al primero. Demostrar que para que ello sea posible es necesario que el otro cateto sea tambi´en igual a 1.

30. Sea un tri´angulo rect´angulo de catetos 8 y 6cm. T´omese su diagonal, y sobre su punto medio, lev´antese una perpendicular, form´andose un nuevo tri´angulo rect´angulo de cateto mayor la mitad de la hipotenusa original, y de cateto menor la mitad de ´este. Sobre la diagonal de dicho tri´angulo rect´angulo se repite el proceso; se toma la mitad, se levanta una perpendicular de un tama˜no la mitad de la base, y se forma un nuevo tri´angulo rect´angulo. En este problema se trata de calcular la longitudzde la diagonal del ´ultimo tri´angulo rect´angulo que se calcula. ¿Es el ´ultimo tri´angulo rect´angulo semejante al original?

31. Encontrar el per´ımetro de un tri´angulo is´osceles que tiene la altura asociada a la base, que es precisamente el lado desigual, igual a dicha base, y adem´as tiene una superficie de 8cm2

. 32. Encontrar la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo que tiene un cateto el doble del otro, y un

per´ımetro de 15cm. Simplifica bien el resultado final.

33. ¿Puede ser un tri´angulo escaleno semejante a un tri´angulo rect´angulo?. ¿Y a uno is´osceles?¿Y para acabar, puede ser un tri´angulo equil´atero semejante a un tri´angulo rect´angulo? Pon un ejemplo de cada tipo donde sea posible.

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34. Sea un tri´angulo rect´angulo en A como el que se representa en la imagen que se da al margen. En este ejercicio se trata de calcular la longitud de los tres segmentos AB,BC y BD, no necesariamente en este orden.

35. Sea un tri´angulo rect´angulo en B como el que se representa en la imagen que se suministra al margen. Sea H la intersecci´on de la per-pendicular aAC que pasa por B (HB es una altura). En este ejercicio se trata de calcular el ´area del tri´angulo ∆ABH.

36. El per´ımetro de un tri´angulo is´osceles es 50m. El lado desigual mide 15m. Calcular el ´area de un tri´angulo semejante cuyo per´ımetro es de 80m

37. ¿Es rect´angulo un tri´angulo que posee lados de 10cm, 8cm y 5cm? 38. ¿Es rect´angulo un tri´angulo que posee lados de 10cm, 8cm y 6cm?

39. ¿Cu´al es la altura de una casa que proyecta una sombra de 45m al mismo tiempo que una persona de 1080m de altura proyecta una sombra de 1025m?

40. Los ´angulos de un tri´angulo est´an en progresi´on aritm´etica. El menor mide 28◦ ¿Cu´anto miden

los otros dos?

41. Los ´angulos de un tri´angulo est´an en progresi´on aritm´etica. El menor mide 18◦ ¿Cu´anto miden

los otros dos?

42. Tenemos un tri´angulo de lados 4√2, 8√2 y 6√2. ¿Es semejante a un tri´angulo de lados 15√3, 20√3 y 10√3? En caso de ser semejantes ¿podr´ıas decir por qu´e resultado de la teor´ıa ser´ıa cierta dicha semejanza de tri´angulos?

43. Se tiene la situaci´on de la figura, dondeDC es una l´ınea recta. En el presente ejercicio hay que explicar o demostrar por qu´e los tri´angu-losABC y ADE son semejantes. Una vez demostrado, calcular los lados AD y DE

44. Se tiene el tri´angulo ABC, rect´angulo en A, y con cateto menor AB, de longitud 15cm. Se conoce as´ı mismo CH = 16cm, donde H es la proyecci´on ortogonal de A sobre BC, o sea, AH es una altura. Calcular los datos que faltan, que por cierto son todos n´umeros naturales.

45. Consideremos la siguiente figura, con dos tri´angulos semejantes

ABC y AB0C0, uno dentro de otro (el segmento B0C0 es

parale-lo a BC). En este problema se van a dar varios datos o segmentos, encm, y se tiene que calcular aquel otro que se pida. Se recomienda que antes hagas un dibujo con todos los datos.

AC0 = 4, B0B = 2, CC0 = 3, AB0 = ?

46. Tenemos un tri´angulo rect´angulo de lados 3, 4 y 5cm. Encontrar un tri´angulo semejante a ´el de hipotenusa 10cm.

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47. En este problema, se toma el rect´angulo ADEF, de lados 6cm y 4cm. Se toma el puntoB en la mitad del segmentoAD. Se levanta la perpendicular al lado ADpor B, que corta a la diagonal DF en el punto C. Calcular el ´area del tri´anguloABC. Es m´as f´acil de lo que parece.

48. En este problema, no mucho m´as complicado que los anteriores, s´olo se trata de calcular el ´area del tri´angulo ABC. P´ongase el ´area buscada como suma o restas de ´areas en las que se pueden usar resultados sencillos como el teorema de Pit´agoras, semejanza de tri´angulos...

49. En este problema, no mucho m´as complicado que los anteriores, s´olo se trata de calcular el ´area del tri´angulo ABC. P´ongase el ´area buscada como suma o restas de ´areas en las que se pueden usar resultados sencillos como el teorema de Pit´agoras, semejanza de tri´angulos...

50. Usando la figura que se da al margen, y su notaci´on, escribir los resultados o f´ormulas que establecen los teoremas del cateto, de la altura y de Pit´agoras, poniendo un ejemplo (dibujo) de cada uno. Se supone que Ab = 90◦. El medio punto extra si demuestras el

Teorema de Pit´agoras a partir del Teorema del cateto.

51. Tenemos un tri´angulo rect´angulo de lados 1, 2 y √5cm. Encontrar un tri´angulo semejante a ´el que tenga de hipotenusa √15cm. No hace falta que racionalices los denominadores

52. ¿Cu´al es la altura de una estaca que proyecta una sombra de 5m al mismo tiempo que una antena de radio de 60m de altura proyecta una sombra de 80m? Haz antes un dibujo.

53. Las ´areas de dos tri´angulos is´osceles semejantes son 30m2

y 120m2

. Si el lado desigual del primer tri´angulo es 10m ¿Cu´al es el per´ımetro del segundo?

54. Se trata de determinar si los dos tri´angulos no rect´angulos de la imagen al margen son o no semejantes. En el tri´angulo

ABC se tiene Ab= 30◦,AC = 6 y CB= 32. En el tri´angulo EF G se tiene Fb= 45◦, GF = 6, as´ı comoEH = 36, donde HG es la altura referida a la base EF.

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