DOCUMENTO Nº 4. UNIONEINTERSECCIONDECONJUNTOS[2][1]

INTITUCION EDUCATIVA INTEGRADO CARRASQUILLA INDUSTRIAL AREA: MATEMATICAS ASIGANTURA: ARITMETICA GRADO: 6 GRUPO: ____ JORNADA:________

DOCENTES: MARIA ISABEL TRUQUE MURILLO Y RAFAEL SANABRIA TAPIAS ALUMNO: ___________________________________

DOCUMENTO Nº 4.

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

Sean, U el conjunto referencial o universal, el conjunto A y el conjunto b, tres conjuntos, se pueden definir entre ellos las siguientes operaciones: unión, intersección, complemento, diferencia y diferencia simétrica.

UNIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS, A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B.

La unión entre los conjuntos A y B se nota: A∪B.

La unión entre los conjuntos A y B se determina por comprensión así:

A ∪ B= {x/x ∈A ,V , x∈B}

Ejemplo:

Sean: A = {1, 2, 3, 7} B = {6, 7, 8, 9} A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 6, 8, 9}

NOTA: Los elementos repetidos de la unión entre conjuntos se escriben solamente una vez.

REPRESENTACION GRAFICA: Para representar gráficamente la unión entre los conjuntos A y B, se procede así:

Se dibujan los conjuntos A y B de acuerdo con la relación que haya entre ellos.

Se sombrea, con líneas, la región de la grafica en donde se encuentran ubicados los elementos de A o de B, o se pintan con colores diferentes así:

B A A B

A

⊆

⊆

.

PROPIEDADES DE LAUNION DE CONJUNTOS

En la unión de conjuntos se cumplen las siguientes propiedades:

1. A U B = B U A. Esto es para cualquier par de conjuntos A y B, la unión es conmutativa.

2. (A U B ) U C= A U (B U C).Esto es, para cualquier conjunto A; B; C la uniones asociativa.

3. A U Ø = A, para todo A. 4. A U U = U, para todo A.

Ejemplos: Sean los conjuntos:

A = {1, 5, 3, 7}

B = {6, 7, 8,9}

C = {8, 7}

D= {x/x es un número digito par mayor que 5}

9. 0. 4. 8. 6. 3. 7. 1. 5.

0. A

2. 4. 8. 7. 9. 6. 3. 1. 5.

2. 5. 1. 4. B

0.

3.

6. C

9. 8.

7.

2. A B 4.

0.

5. 3. 1.

9. D 7. 8. 6.

Hallar la unión matemática y gráficamente entre los siguientes conjuntos:

a) A ∪ B

b) A ∪ D

c) B ∪ C

d) (A ∪ B) U D

Solución:

a) A U B = { x/ x∈ A,

¿

a) A ∪ B = {1, 5, 3, 7, 6, 8, 9} b) A ∪ D = {1, 5, 3, 7, 6, 8}

c) B ∪ C = {6, 7, 8,9} d) (A ∪ B) U D = {1, 5, 3, 7, 6, 8, 9}

EJERCICIO PROPUESTO Nº 1.

1.1. Dados los conjuntos:

W = {1, 5, 3, 7, 9}

N = {a, b, c, d, e, f}

T B e.

o. l.

p. a. t.

D= {5, 6, 7, 8, 9}

Z = {a, e, i, o, u}

J = {a, b, c, d, e, f}

Q = {5, 6, 7, 8, 9}

P= {1, 2, 3, 4}

Escribir en el cuaderno los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos.

a. J U N = { } d. Q U D = { } b. T U Z = { } e. W U P = { } c. D U Q = { } f. T U J = { }

1.2. Determinar cada conjunto por extensión. Luego, determinar por extensión cada una de las uniones dadas.

M = {x/x es un número par menor que 11} N= {x/x es un número impar menor que 12}

F = {x/x es un número mayor que 3 y menor que 11} H= {x/x es un número impar mayor que 4 y menor que13} a. M U N e. F U M

b. M U F f. H U N c. N UF g. F U N d. N UM h. M U M

1.3. Observa el diagrama de ven y determina por extensión cada conjunto.

a. T = { } d. T U G = { } b. G = { } e. T U B = { } c. B = { } f. T U G U B = { }

1.4. Responder:

a. ¿La unión entre dos conjuntos puede tener más

1.5. Construir dos conjuntos que cumplan con cada una de las siguientes condiciones.

a. La unión de los conjuntos tiene siete elementos.

b. Cada uno de los conjuntos tiene cinco elementos y su unión tiene ocho elementos.

c. Uno de los conjuntos tiene cinco elementos, el otro, siete elementos y su unión tiene ocho elementos.

1.6. En la siguiente tabla se muestra la clase y el hábitat de algunos animales.

ANIMAL CLASE HABITAT

Ballena Mamíferos Acuático

Caballo Mamíferos Terrestre

Avestruz Aves Terrestre

Delfín Mamíferos Acuático

Gallina Aves Terrestre

Loro aves Terrestre

De acuerdo con la información de la tabla, determinar por extensión los siguientes conjuntos.

a. P = {x/x es un animal mamífero} b. Q= {x/x es un ave}

c. R = {x/x es un animal acuático} d. S= {x/x es un animal terrestre} Hallar:

e. P U Q j. P U R U S f. P U R k. P U Q U R g. S U P l. Q U S U P

Representa las uniones anteriores en un diagrama de venn.

INTERSECCION DE CONJUNTOS

La intersección entre dos conjuntos, A y B, es el conjunto formado por todos los elementos comunes entre los conjuntos A y B.

La intersección entre dos conjuntos, A y B, se determina por comprensión así:

A ∩ B= {x/x ∈A ,, x∈B}

Ejemplo:

0. A

2. 4. 8. 7. 9. 6. 3. 1. 5.

A _B

REPRESENTACION GRAFICA:

Para representar gráficamente la intersección entre los conjuntos A y B, se procede así:

Se dibujan los conjuntos A y B de acuerdo con la relación que haya entre ellos.

Se sombrea, con líneas, la región de la grafica en donde se encuentran ubicados los elementos comunes de A y de B, o se pintan con colores diferentes así:

A y B son disyuntos U A y B tienen elementos comunes

A ∩ B = Ø A ∩ B = Lo rojo

A

⊆

⊆

A

0. 8. 3. 9. 6. 7.

2. 5.

0. A

1.

8. 6.

3. 2. 5. 7. A ∩ B = Lo rojo A ∩ B = Lo rojo

PROPIEDADES DE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS

En la intersección de conjuntos se cumplen las siguientes propiedades:

1. A ∩ B = B ∩ A. Esto es para cualquier par de conjuntos A y B, la intersección es conmutativa.

2. (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).Esto es, para cualquier conjunto A; B; C la intersección es asociativa.

3. A (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C). Es decir, la intersección es distributiva con respecto a la unión.

4. A U (B∩ C) = (A U B) ∩ (A U C). Es decir, la unión es distributiva con respecto a la intersección.

5. A ∩ Ø = Ø, para todo A. 6. A ∩ U = A, para todo A.

Ejemplos: Sean los conjuntos:

A = {2, 3, 5, 7}

B = {3, 6, 9}

C = {0, 2, 4, 6, 8}

D= {x/x es un número digito par menor que 5}

U= {x/x es un número digito}

Hallar la intersección matemática y gráficamente entre los siguientes conjuntos:

a) A ∩ B b) A ∩ D c) B ∩ C d) A ∩ B ∩ D

Solución:

a) A ∩ B = { x/ x∈ A,

¿

a) A ∩ B = { 3 } b) A ∩ D = { }

A

1. 4.

7. 2. 5.

9. 3. 6. . 7. B

5. 1. 8. 6. 4. 0. 2. 3. 9.

c) B ∩ C = { 6 } d) A ∩ B ∩ D = { }

EJERCICIO PROPUESTO Nº 2. 2.1. Dados los conjuntos :

W = {1, 5, 3, 7, 9}

N = {a, b, c, d, e, f}

T = {8, 10, 12, 14}

D= {5, 6, 7, 8, 9}

Z = {a, e, i, o, u}

J = {a, b, c, d, e, f}

Q = {5, 6, 7, 8, 9}

P= {1, 2, 3, 4}

Escribir en el cuaderno los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos.

d. J∩ N = { } d. Q ∩ D = { } e. T∩ Z = { } e. W ∩ P = { } f. D∩Q = { } f. T ∩ J = { }

2.2. Determinar cada conjunto por extensión. Luego, determinar por extensión cada una de las uniones dadas.

M = {x/x es un número par menor que 11} N= {x/x es un número impar menor que 12}

F = {x/x es un número mayor que 3 y menor que 11} H= {x/x es un número impar mayor que 4 y menor que13} a. M ∩ N e. F ∩ M

T B e.

o. l.

p. a. t.

I

T E M

N T

U

T CH M

I T

I

C Q O

A E

2.3. Observa el diagrama de ven y determina por extensión cada conjunto.

2.4.

d. T = { } d. T ∩ G = { } e. G = { } e. T ∩ B = { } f. B = { } f. T ∩ G ∩ B = { }

2.5. Rayar la intersección indicada en cada diagrama de venn.

a. M ∩ N ∩ T b. I ∩ T

c. M ∩ I ∩ T d. U ∩ T ∩ CH

C Q

N

T E R

T S

10

g. T ∩ S h. T ∩ N

2.6. Escribir, en cada caso, un conjunto A que cumpla con cada igualdad.

a. A ∩ A = A c. A ∩ Ø = Ø b. A U A = A d. T ∩ A= Ø

2.7. Este es el horario del sexto grado.

DIA

LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES

1 Mat. Soc. Biol. Danz Mat.

2 Mat. Soc. Biol. Danz. Mat.

3 Biol. Esp. Esp. Mat. Inf.

4 Biol. Esp. Esp. Mat. Inf.

5 Ing. E.F. Mat. Inf. Esp.

6 Esp. E.F. Mat. Inf. Esp.

7 Esp. Rel. Soc. Soc Biol.

Nombrar por extensión cada conjunto.

Determinar por extensión y por comprensión los siguientes conjuntos: