CAP´
ITULO II
§4 El grupo af´ınEn geometr´ıa cl´asica, antes de la aparici´on de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros ser´an t´erminos sin´onimos salvo que, cuando consideremos a unan-upla deRn como un punto en vez de como un vector, lo denotaremos mediante una latina may´uscula. En ocasiones, cuando nos convenga concebir al punto P como un vector, nos referiremos a ´el como el vector de posici´on del punto P. Gr´aficamente, un punto quedar´a representado solamente por el extremo de su vector de po-sici´on, obviando dibujar el resto de la flecha con origen enO. Es frecuente en matem´aticas esta disociaci´on conceptual entre objetos de la misma natura-leza. Por ejemplo, hemos visto en la secci´on precedente c´omo el mismo ente algebraico, una matriz no singular, puede interpretarse como la matriz de un cambio de base o como la matriz de un automorfismo. (Y tambi´en surgen las matrices no singulares en los sistemas de Cramer, esto es, en los sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados.) Y con puntos y vectores suceder´a lo propio: dependiendo de lo que proceda en cada caso, veremos en una n-upla, bien un vector, bien un punto. No obstante, hay que tener siempre en mente que en el espacio af´ın, que definiremos m´as adelante, no habr´a distinci´on intr´ınseca entre puntos y vectores.
M´as a´un, tampoco queremos que haya puntos con propiedades especiales o que se salgan de lo corriente. Desde ese punto de vista, el vector 0 es algo d´ıscolo. Hay circunstancias que distinguen al 0 sobre el resto de sus compa˜neros de espacio:
* El vector 0es el ´unico que se aplica en s´ı mismo por cualquier automor-fismo.
la misma propiedad.
* El vector 0 es el ´unico que no puede formar parte de ninguna base. Por eso se introducen los espacios afines, para meter en cintura al vector
0, de forma que todos los puntos (vectores) posean los mismos derechos y deberes. A ello nos dedicamos de inmediato.
Un tipo particularmente interesante de transformaciones del plano que no son automorfismos son las traslaciones.
Definici´on II.4 Escogido un a enRn, se define latraslaci´on de vectora como la aplicaci´on τa : Rn →Rn que aplica cada vector u ∈Rn en el vector
τa(u) =a+u.
Consecuencias inmediatas de la definici´on son las siguientes: * La traslaci´on de vector0 es la identidad (τ0 =Id).
* Sia y b son dos vectores de Rn, entonces
τa◦τb =τa+b.
* La inversa de la traslaci´on de vector a es la traslaci´on de vector −a (τa−1 =τ−a).
De lo anterior deber´ıa deducirse que el conjunto de todas las traslaciones deRn constituye un grupo. Este grupo, adem´as, es esencialmente id´entico al grupo Rn con la operaci´on suma de vectores.
En la figura II.12se representan los trasladados de diversos conjuntos de puntos del plano R2 por una traslaci´on de vector a. Conviene experimentar con ella a fin de asimilar una impresi´on intuitiva de las traslaciones.
Pero el resultado m´as importante acerca de traslaciones lo enuncia el
Teorema II.5Dados cualesquiera puntosAy BdeRn, existe una ´unica
traslaci´on que transformaA en B.
Demostraci´onSi suponemos que hay alguna traslaci´onτa que aplicaA
en B, habr´ıa de verificarse que τa(A) = B, es decir, a+A = B. El ´unico
vectoraque satisface la igualdad anterior esa=−A+B, donde ahora hemos considerado a A y a B como vectores, en vez de como puntos, para poder escribir la suma de vectores−A+B. El teorema est´a ya demostrado pues
τa(A) =a+A= (−A+B) +A=B+ 0 =B.
A ese ´unico vector a tal queτa(A) = B se le denota por AB. En f´ısica,
donde nuestra distinci´on entre puntos y vectores es an´aloga a la establecida all´ı entre vectores fijos y vectores libres, aAB se le denominavector de origen A y extremo B y se representa gr´aficamente por una flecha con origen en A y extremo enB (v´ease la figura II.13).
Figura II.13
Definici´on II.5Porespacio af´ın de dimensi´onnse entender´a al espacio vectorial Rn, a cuyos elementos se les llamar´a puntos. De un subconjunto S de Rn se dir´a que es un subespacio af´ın (o simplemente un subespacio si no hay confusi´on), si es el trasladado de alg´un subespacio vectorial T de Rn, en otras palabras, si existe un vector a ∈ Rn tal que S es la imagen de T por medio de la traslaci´on de vector a (S = τa(T)). En tal caso, se define la dimensi´on dim(S) del subespacio af´ın S como la dimensi´on que tuviera el subespacio vectorial T. Al subespacio af´ın τa(T) tambi´en se lo denotar´a por
a+T.
Conviene que nos cercioremos de que la definici´on dada de dimensi´on de un subespacio af´ın es buena. Y es que podr´ıa en principio ocurrir que un subespacio af´ın S fuese al mismo tiempo el trasladado de dos subespacios T y T0 de distinta dimensi´on, en cuyo caso dim(S) no estar´ıa determinada de forma ´unica. Para ello, supongamos que S = τa(T) = τa0(T0), para ciertos vectores a y a0 y subespacios vectoriales T y T0. De la igualdad
a+T =a0+T0
es f´acil deducir que el vector u = a0 −a pertenece tanto a T como a T0. Tomemos un vector arbitrario v de T. Entonces
u+v∈T y a0+v=a+ (a0−a) +v =a+ (u+v)∈a+T.
Peroa+T =a0+T0, luegoa0+v∈a0+T0 implica quev∈T0. Esto prueba que T ⊂T0. Un razonamiento an´alogo demostrar´ıa la otra inclusi´on y T =T0.
Figura II.14
En suma, un subespacio af´ın es el trasladado de un subespacio vectorial ´
unico. Lo que no es necesariamente ´unico es el vector a que traslada un subespacio vectorial T en un subespacio af´ın S = τa(T). De hecho, para
cualquier punto B de S de vector de posici´on b, se tiene que S = τb(T). (V´ease la Figura II.14.)
Los subespacios de un espacio af´ın se describen con facilidad en dimen-siones peque˜nas. Los subespacios afines deRn de dimensi´on0no son m´as que los trasladados del subespacio vectorial nulo, que consist´ıa exclusivamente en el vector0(el origen de coordenadas). Aplicar una traslaci´onτaal vector0no
es sino trasladar el origen al punto de vector de posici´onτa(0) =a+ 0 =a, es
decir, los subespacios afines de Rn de dimensi´on 0son los puntos de Rn. Los subespacios vectoriales de Rn unidimensionales eran las que llam´abamos rec-tas vectoriales. Todas ellas pasaban por el origen. Por medio de traslaciones, estas rectas vectoriales van a parar a rectas afines, las cuales no necesaria-mente atraviesan el origen de coordenadas. En definitiva, cualquier recta de Rn, contenga o no al punto O de vector de posici´on 0, es una recta af´ın. E igual acontece con los planos afines, que son todos los planos, alojen o no al punto O.
As´ı, el papel privilegiado que ostentaba el vector 0 en los espacios vec-toriales lo pierde en los espacios afines donde hay democracia total entre los
puntos.
Definici´on II.6 Por afinidad de Rn se entender´a a la composici´on de un automorfismof de Rn con una traslaci´on τa (a∈Rn).
Tras haber estudiado tanto a los automorfismos como a las traslaciones, no resultar´a dif´ıcil deducir algunas propiedades de las afinidades. Por ejemplo, como una afinidad α =τa◦f no es sino la composici´on de un automorfismo
f y de una traslaci´on τa, y ambos constituyen aplicaciones biyectivas, las
afinidades son biyecciones. Los automorfismos pueden verse como el caso particular de las afinidades de vector traslaci´on nulo, pues (τ0 ◦ f)(P) = 0 +f(P) = f(P), cualquiera que sea el punto P. Por tanto, las afinidades deRn contienen a los automorfismos. Y tambi´en contienen a las traslaciones pues basta tomar el automorfismo identidad para queτa◦Id=τa. As´ı pues,
el conjunto de todas las afinidades de Rn contiene tanto al grupo lineal GLn como al grupo de las traslaciones de Rn.
Teorema II.6 El conjunto de todas las afinidades de un espacio af´ın
Rn constituye un grupo denominado el grupo af´ın el cual ser´a denotado por GAn.
Demostraci´on: Comencemos viendo que la composici´on de afinidades
es otra afinidad. Seanα =τa◦f yβ =τb◦gdos afinidades deGAn. Entonces,
para cada punto P, se tiene
(α◦β)(P) =α(β(P)) =α(b+g(P)) =
a+f(b+g(P)) =a+f(b) +f(g(P)) = (a+f(b)) + (f◦g)(P),
es decir,
α◦β =τa+f(b)◦(f◦g),
y α◦β no es sino la afinidad resultante de componer el automorfismo f ◦g con la traslaci´on de vector a+f(b).
Como la composici´on de aplicaciones es asociativa, solo resta comprobar que en GAn hay elemento neutro y que toda afinidad posee inversa en GAn.
Puesto que la identidad no es sino la composici´on del automorfismo identidad con la traslaci´on de vector0(Id=τ0◦Id), la identidad es una afinidad yGLn
tiene un elemento neutro, a saber, la identidad. Siα =τa◦f es una afinidad,
queremos visualizar una inversa suya dentro deGAn, es decir, alguna afinidad
β = τb◦g tal que α◦β = Id. De la regla para la composici´on de afinidades
obtenida m´as arriba, se deduce que el vector b y el automorfismo g deber´ıan satisfacer las condiciones
a+f(b) = 0 y f ◦g=Id,
de donde se deduce que g=f−1 y b=−f−1(−a). En definitiva,
α−1 =τ−f−1(−a)◦f−1
es otra afinidad al expresarse como composici´on de un automorfismo con una traslaci´on.
De nuevo podemos ahora definir lo que es la geometr´ıa af´ın: la parte de la matem´atica que se ocupa de los conceptos invariantes por afinidades.
Figura II.15
Antes de proseguir y para familiarizarnos con las afinidades, ilustraremos alg´un caso concreto. Consideremos la afinidad σ=τa◦f de R2 de vector de traslaci´on a = (−1,3) y automorfismo f, el cual transforma el vector e1 en
el u1 = (−2,1) y el e2 en el u2 = (2,2) ( figura II.15), donde e1 y e2 son los vectores de la base can´onica yu1 y u2 constituyen otra base deR2. Entonces un punto dado P = (x, y) se transformar´a por f en el punto
f(P) = (x y) −2 1 2 2 .
As´ı, si la imagen P0 =σ(P) de P tiene coordenadas P0 = (x0, y0), se tendr´a
(x0, y0) = (−1,3) + (x y) −2 1 2 2 .
Por ejemplo, la imagen deP = (1,−2) es
σ(P) = (−1,3) + ( 1 −2 ) −2 1 2 2 = (−1,3) + (−6,−3) = (−7,0).
Resulta ahora obvio que una afinidad α = τa◦f de Rn queda descrita por una ecuaci´on del tipo
α ≡(y1, . . . , yn) = (a1, . . . , an) + (x1, . . . , xn) a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . an1 an2 . . . ann , o, de forma m´as compacta α ≡y=a+xA,
dondexrepresenta al vector fila de las coordenadas de un puntoP,yal vector fila de las coordenadas de su imagen α(P),a al vector de la traslaci´on y A a la matriz no singular asociada al automorfismof.
Recu´erdese que un automorfismo quedaba totalmente determinado dando la imagen de una base. Pero una afinidad surge de cocinar dos ingredientes: un automorfismo y una traslaci´on. De ah´ı que sea necesario un dato m´as para determinar una afinidad, por ejemplo, la imagen del origen de coordenadas. En efecto, si de la afinidad α = τa◦f se conocen las im´agenes P1 = α(u1), P2 = α(u2), ...,Pn = α(un) de una base (u1, u2, . . . , un), y el transformado
O0 = σ(0) del vector 0, entonces la igualdad O0 = a +f(0) = a nos per-mite averiguar qui´en era a: el vector de posici´on del punto O0. Con esta informaci´on tenemos suficiente para calcularf. Para ello, tomemos cualquier vector ui de la base. Como Pi = α(ui) = a+f(ui) = O0 +f(ui), entonces
f(ui)es el vector que traslada O0 a Pi (teorema II.5), es decir, el vectorO0Pi
de origen O0 y extremo Pi. Conocidas las imagen O0Pi de cada vector ui de
la base, el automorfismof queda totalmente determinado. Esto sugiere la siguiente
Definici´on II.7Un sistema de referencia af´ındeRn es una (n+ 1)–upla
(P, u1, u2, . . . , un), donde P es un punto de Rn y (u1, u2, . . . , un) constituye una base del espacio vectorialRn. De forma equivalente puede introducirse un sistema de referencia af´ın como una(n+ 1)–upla de puntos(P, P1, P2, . . . , Pn)
tal que la n–upla(P P1, P P2, . . . , P Pn) es una base.
El objeto de las referencias afines es an´alogo al de las bases, o sea, asignar coordenadas un´ıvocas a cada punto del espacio. Y es que es evidente que fijado un sistema de referencia af´ın (P, u1, u2, . . . , un) en Rn, cada punto X del espacio queda determinado de forma ´unica por una n–upla (x1, x2, . . . , xn),
denominadas coordenadas cartesianas de X, donde (x1, x2, . . . , xn) son las coordenadas del vectorP X en la base(u1, u2, . . . , un). Intuitivamente, elegir a (P, P1, P2, . . . , Pn) como sistema de referencia af´ın es como considerar a P
como nuevo origen de coordenadas, tomar las rectas que pasan por P y por los Pi como nuevos ejes coordenados y las distancias entre P y los Pi como
unidades de medida de longitud sobre esos ejes.
Hay un sistema de referencia af´ın can´onico, el integrado por el origen O de vector de posici´on nulo y por la base can´onica.
No es dif´ıcil ver que dado un sistema de referencia af´ın(P, u1, u2, . . . , un), y un punto X de vector fila de coordenadas x en el sistema de referencia can´onico, las coordenadas cartesianas del mismoX respecto al primero de los sistemas se obtienen como imagen de x por la afinidad τa◦f, donde τa es la
base can´onica en el correspondiente ui.
En la figura II.16 se ilustra un sistema de referencia af´ın con el que se recomienda experimentar.