Clases

´

Algebra lineal

Roberto Carlos Cabrales

Dpto. de Ciencias B´asicas U. del B´ıo-B´ıo, Chile.

[email protected] https://rcabrales.wordpress.com

2do semestre de 2015. ´

Espacios vectoriales y subespacios, 1

Consideramos el espacio euclideondimensional definido por

Rn=

              x1 x2 . . . xn     

: xi es un n´umero real para todoi= 1,2, . . . ,n

         .

En este conjunto se definen dos operaciones que son la suma y la multiplicaci´on por escalar, las cuales tienen las siguientes propiedades:

Propiedades de la suma

S1.Six,y∈_Rn_{entoncesx+y∈} Rn.

S2.Para todox,y∈_Rn_{se tienex+y=y+x.}

S3.Para todox,y,z∈Rnse tiene quex+ (y+z) = (x+y) +z.

S4.Existe un ´unico vector llamado vector cero y denotado por0tal que

x+0=0+x=x para todox∈Rn.

Espacios vectoriales y subespacios, 2

Propiedades de la multiplicaci´

on por escalar

M1.Six∈Rnyα∈Rentoncesαx∈Rn.

M2.Para todox∈Rnse tiene que 1x=x.

M3.Para todos los escalaresα, β∈_Ry todox∈_Rn_{se tiene que} (αβ)x=α(βx) =β(αx).

M4.Para todos los vectoresx,y∈Rny todo escalarα∈Rse tiene α(x+y) =αx+αy.

M5.Para todos los escalaresα, β∈Ry todox∈Rnse tiene que (α+β)x=αx+βx. De forma m´as general, siV es un conjunto no vac´ıo yK esRoC, y se definen una operaci´on entre elementos deV (suma) y una operaci´on entre elementos deV y deR oC(multiplicaci´on por escalar) y dichas operaciones cumplen las propiedades S1 a S5 y M1 a M5, entonces la terna (V,+,·) se llamaespacio vectorial sobreRoC. SeaV un espacio vectorial. Un subconjunto no vac´ıoS deV se llama unsubespacio vectorial deV si

1. es cerrado con respecto a la suma, es decir, six,y∈Sentoncesx+y∈S. 2. es cerrado con respecto a la multiplicaci´on por escalar, es decir, six∈S yαes

Espacios vectoriales y subespacios, 3

SeaT={v1, . . . ,vr} ⊂V. Unacombinaci´on lineal de los vectores deTes un vector de la forma

v=t1v1+· · ·+trvr, dondeti son escalares.

SiV es un espacio vectorial yT={v1, . . . ,vr}entonces el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de elementos deT es un subespacio deV, llamado subespacio generado porTy se denota por genTo gen{v1, . . . ,vr}.

SiA∈ Mm×n(R) yb∈Rm, entonces el sistemaAx=bes soluble si y solo sibes una combinaci´on lineal de las columnas deA. M´as a´un, el conjunto de todos los vectoresb∈_Rm_{tales queAx=bes soluble es un subespacio de}

Rm. M´as

exactamente, el subespacio deRmgenerado por las columnas deA, y se llamaespacio columna deAy se denotaC(A).

Independencia lineal, bases y dimensi´

on, 1

SeaS={v1, . . .vr}un subconjunto de un espacio vectorialV. Decimos queS es linealmente dependiente(L.D.) si existen escalaresc1, . . . ,cr no todos iguales a cero tales quec1v1+c2v2+· · ·+crvr=0. En caso contrario, diremos queSes linealmente independiente(L.I.) .

Para determinar si un conjuntoS es L.I., se estudia la soluci´on de la ecuaci´on c1v1+c2v2+· · ·+crvr =0. Si la ´unica soluci´on es la trivial, entoncesSes L.I., si hay otras soluciones es L.D.

SeaSun subconjunto finito de un espacio vectorialV. Entonces

1. SiS consta de dos o m´as vectores entoncesS es L.D. si y solo si existe al menos un vector deSque es C.L. de los otros.

2. SiS contiene al vector nulo,Ses L.D.

3. SiS contiene exactamente dos vectores entoncesS es L.D. si solo si uno de los vectores es m´ultiplo escalar de otro.

4. SiS contiene un slo vector diferente de cero, entoncesS es L.I.

Independencia lineal, bases y dimensi´

on, 2

En particular:

1. SiA∈ Mm×n(R) las columnas deAson L.I. si y solo sir(A) =n. 2. SiA∈ Mm(R),Aes invertible si y solo si las columnas deAson L.I. 3. SiA∈ Mm(R),Aes invertible si y solo si las filas deAson L.I. 4. EnRmtodo conjunto con m´as demvectores es L.D.

SiUes una matriz en la forma escalonada: 1. Las filas no nulas deUson L.I.

2. Las columnas deUque contienen pivote son L.I.

SeaSun subconjunto de un espacio vectorialV. Entonces

1. SiS={v1, . . . ,vr}es L.I. yv∈V\gen{S}, entoncesS0={v1, . . . ,vr,v}es L.I.

2. SiS={v1, . . . ,vr}es L.I yv=c1v1+· · ·+civi+· · ·+crvr conci 6= 0 entoncesS0={v1, . . . ,v, . . . ,vr}es L.I. y gen{S0}= gen{S}.

Independencia lineal, bases y dimensi´

on, 3

Unabase para un espacio vectorialV es un subcojunto deV tal que 1. B es L.I.

2. gen(B) =V.

SiB={v1, . . . ,vr}es una base para un espacio vectorialV, cada vectorv∈V se puede representar de manera´unicacomo una C.L. de los elementos de la baseB. Ning´un conjunto que contenga menos denvectores general aRn. M´as a´un, siV es un espacio vectorial y una base paraV consta denvectores entoncestoda base deV tieneexactamentenvectores. SeaV es un espacio vectorial. SiV 6={0}, el n´umero

de elementos de cualquier base deV se llamadimensi´on deV y se denota dim(V). Si V={0}, se dice que la dimensi´on deV es cero. SeanV un espacio vectorial de

dimensi´onnySun subconjunto finito deV con al menos un vector no nulo. Entonces 1. SiS es L.I., existe una base paraV que contiene al conjuntoS.

2. Si gen(S) =V, existe una base paraV que est´a contenida enS.

Independencia lineal, bases y dimensi´

on, 4

C´omo hallar una base a partir de un conjunto L.I.

Tenemos dos m´etodos:

M´etodo 1SiS={v1, . . . ,vr}es L.I., se calcula el subespacio generado porS y se elige un vectorvr+1∈V\gen(S). Entonces el conjuntoS1=v1, . . . ,vr,vr+1}es L.I.

Si gen(S1)6=V se repite el proceso conS1y asi sucesivamente.

M´etodo 2Basta elegir una base deV e ir sustituyendo cada uno de los elementos de la ´esta por los elementos deS, de tal forma que en cada paso, el conjunto que nos quede sea L.I.. El procesos termina cuando se hayan sustituido todos los elementos deS.

SiV es un espacio vectorial de dimensi´onn, entonces

1. Todo subconjunto L.I. deV que contengaexactamentenvectores es base deV. 2. Todo subconjunto que genere aV y contenga exactamentenvectores es una

Los cuatro subespacios fundamentales, 1

SeaA∈ Mm×n(R).

Elespacio columna deAse define como

C(A) = gen{A(1),A(2), . . . ,A(n)}={b∈Rm : el sistemaAx=bes soluble}.

Elespacio nulo deAse define como

N(A) ={z∈Rn : zes soluci´on del sistemaAx=0}.

Elespacio fila deAse define como el espacio generado por los vectores que aparecen como las filas deA:

R(AT) = gen{A1,A2, . . . ,Am}.

Elespacio nulo izquierdo deAse define como

N(AT) ={z∈_Rm _{: zes soluci´on del sistemaA}T_y=0}.

Los cuatro subespacios fundamentales, 2

Base y dimensi´on para el espacio fila

SeaA∈ Mm×n(R) yUla matriz escalonada superior que se obtiene desdeA mediante operaciones elementales. Entonces

1. El espacio de fila deAyUson iguales, es decir,R(A) =R(U).

2. Una base para el espacio fila deAest´a formada por los vectores que aparecen como filas no nulas de la matriz escalonadaU.

3. dimR(A) =r(A).

Base y dimensi´on para el espacio nulo

SeaA∈ Mm×n(R) yUla matriz escalonada superior que se obtiene desdeA mediante operaciones elementales. Entonces

1. El espacio nulo de deAyUson iguales, es decir,N(A) =N(U). 2. Una base para el espacio nulo deApuede obtenerse como sigue: por cada

variables libre en el sistema reducidoUx=0, se construye un vector de la base, dando a esa variable el valor 1 y a las restantes variables libres el valor 0, y calculando en estos valores las variables b´asicas.

Los cuatro subespacios fundamentales, 3

Base y dimensi´on para el espacio columna

SeaA∈ Mm×n(R) yUla matriz escalonada superior que se obtiene desdeA mediante operaciones elementales. Entonces

1. Sic1,c2, . . . ,cn∈Rentonces

c1U(1)+c2U(2)+· · ·+cnU(n)= 0, si y solo si c1A(1)+c2A(2)+· · ·+cnA(n)= 0.

2. Por cada conjunto de columnas deUque sea L.I., las correspondientes columnas deAtambi´en son L.I.

3. Cada columna deUque no contiene pivote es una C.L. de las columnas deUque contienen pivote.

4. EnA, cada columna que corresponde a columna sin pivote enU, es una C.L. de las columnas deAcorrespondientes a columnas con pivote enU.

5. Una base deC(A) est´a formada por las columnas deA, correspondientes a aquellas columnas deUque contienen pivote.

6. dimC(A) =r(A).

Los cuatro subespacios fundamentales, 4

Base y dimensi´on para el espacio nulo izquierdo

SeaA∈ Mm×n(R) tal quer(A) =r,Pun matriz de permutaci´on,Luna matriz triagular inferior con diagonal unitaria yUla matriz escalonada superior que se obtiene desdeAmediante operaciones elementales, tales quePA=LU. Entonces

1. dimN(AT_{) =m−r(A).}

2. Una base para el espacio nulo izquierdo deA, est´a dada por los vectores que aparecen como las ´ultimasm−rfilas de la matrizL−1P.

Teorema fundamental del ´Algebra Lineal, parte 1

Ortogonalidad de vectores y subespacios, 1

Seanx= (xj),y= (yj),vectores deRn. Elproducto escalardex ey es

xTy=

x1 x2 · · · xn



   

y1 y2

. . . yn



   

=x1y1+x2y2+· · ·+xnyn.

PropiedadesSeanα∈Ryx,y,z∈Rn. Entonces 1. xT_y=yT_x.

2. (αx)T_y=α(xT_{y) =x}T_(αy). 3. xT_{(y+z) =x}T_y+xT_z. 4. (x+y)T_z=xT_z+yT_z. 5. xT_x≥0.

Ortogonalidad de vectores y subespacios, 2

Seax= (xj) un vector deRn. Lalongitud o norma del vectorx se define como

kxk=pxT_x=q_x2

1+x22+· · ·+xn2.

PropiedadesSeanα∈Ryx,y,z∈Rn. Entonces 1. kxk ≥0.

2. kxk= 0 si y solo six=0. 3. kαxk=|α|kxk.

4. kx+yk ≤ kxk+kyk,llamadadesigualdad triangular. 5. |kxk − kyk| ≤ kx−yk.

6. |xT_{y| ≤ kxkkyk, llamadadesigualdad de Cauchy-Schwarz.}

Six,y ∈Rn\ {0}, al ´unico ´anguloθ∈[0, π] tal que cosθ= x T_y

kxkkykse llama el´angulo entre los vectores x ey. Six=0oy=0diremos que el ´angulo entrex eyes π₂.

Decimos quexesortogonal ay sixT_{y= 0.}

•Teorema de Pitagorasxes ortogonal ay si y solo sikxk2_+kyk2_=kx+yk2_.

•SiS={v1,v2, . . . ,vk}es un conjunto de vectores no nulos deRny mutuamente ortogonales, es decir,vT

Ortogonalidad de vectores y subespacios, 3

SiV yW son subespacios deRn, decimos queV es ortogonal aW, si cada vector de V es ortogonal atodoslos vectores deW, es decir, si para cadav∈V se tiene que

vT_{w = 0 para todow∈W.}

Para probar que dos subespaciosV yW deRnson ortogonales, es suficiente probar que cada vector de una base deV es ortogonal a todos los vectores de una base deW.

SiUyW son subespacios ortogonales deRn, entoncesU∩W={0}. SiA∈ Mm×n(R), entonces

1. El espacio fila deAy el espacio nulo deAson subespacios ortogonales deRn. 2. El espacio columna deAy el espacio nulo izquierdo deAson subespacios

ortogonales deRm.

SeaHun subespacio deRn. El conjunto formado por todos los vectores deRnque son ortogonales a todos los vectores deHse llamacomplemento ortogonal deHy se denotaH⊥. Es decir

H⊥={x∈Rn : xTh= 0, para todoh∈H}.

Ortogonalidad de vectores y subespacios, 4

Teorema fundamental del ´algebra lineal, parte 2

Para toda matrizA∈ Mm×n(R) se tiene que:

1. El complemento ortogonal del espacio fila es el espacio nulo:(R(A))⊥=N(A). 2. El complemento ortogonal del espacio nulo es el espacio fila: (N(A))⊥=R(A). 3. El complemento ortogonal del espacio columna es el espacio nulo izquierdo:

(C(A))⊥=N(AT_).

4. El complemento ortogonal del espacio nulo izquierdo deAes el espacio columna deA: (N(AT))⊥=C(A).

Para todo subespacioHdeRn, se tiene: 1. dimH+ dimH⊥=n.

2. SiH6={0}, la uni´on de una base deHy una base deH⊥es una base paraRn. 3. SiV yW son subespacios deRntales queV es ortogonal aW y

dimV+ dimW =n, entoncesV⊥_{=W yW}⊥_=V.

4. Todo vectorb∈_Rn_{se puede expresar demanera ´unicacomob=h1+h2con}

h1∈H yh2∈H⊥_.

Ortogonalidad de vectores y subespacios, 5

SiHes un subespacio deRnyb∈Rn, entonces:

1. proyHbes el´unicovector deHtal queb−proyHbes ortogonal atodos los vectores deH. La norma de este vector, es decir el n´umerokb−proyHbk, es la distancia debal subespacioH.

2. b= proyHb+ proyH⊥b. 3. kbk2_=kproy

Hbk2+kproyH⊥bk2.

SeaH= gen{a}cona∈_Rn_{\ {0}entonces proy} Hb=

_aT_b

aT_a

a.Este vector se llama laproyecci´on ortogonal debsobreay lo denotamos por proyab.

M´ınimos cuadrados en una variable

Dado un conjunto de puntos (tk,zk),k= 1, . . . ,mqueremos encontrar la ecuaci´on de la rectay=Dxquemejor se ajuste a dichos puntos, es decir aquella recta que minimice la expresi´on del errorE dada por

E=E(D) =kb−Dak=

" m

X

k=1

(zk−Dtk)2

#1/2

=

(z1−Dt1)2+. . .+ (zm−Dtm)2

1/2

,

dondea= [t1,· · ·,tm] yb= [z1,· · ·,zm]. Usando c´alculo diferencial la soluci´on es

¯ x=a

T_b

aT_a,lo que nos da el errorE(¯x) =kb−x¯ak.

M´ınimos cuadrados lineales en varias variables, 1

SeanA∈ Mm×n(R) yb∈Rm. La proyecci´on ortogonal debsobre el espacio columna deA, es el´unicovector deC(A) que tiene la propiedad de que su distancia abes menorque la distancia de cualquier otro vector del espacio columna deAal vectorb.

Figura:Ilustraci´on de la soluci´on en t´erminos de los m´ınimos cuadrados del sistemaAx=b

Toda soluci´on del sistemaAx=p= proyC(A)bse llama unasoluci´on en t´erminos de

M´ınimos cuadrados lineales en varias variables, 2

Lo que se trata de hacer, es minimizar la funci´on error

E: Rn → R

x 7→ E(x) =kb−Axk.

SeaA∈ Mm×n(R) yp= proyC(A)b. Entoncesx0es soluci´on deAx=psi y solo si x0es soluci´on delsistema de ecuaciones normalesAT_Ax=AT_b.

Para encontrar las soluciones en t´erminos de los m´ınimos cuadrados del sistema Ax=b, es decir, los puntos donde se minimiza el errorE(x) =kb−Axk, basta resolver el sistema de ecuaciones normalesATAx=ATb.

SeaA∈ Mm×n(R). Entonces 1. AT_{Aes sim´etrica.} 2. N(AT_{A) =N(A).} 3. r(AT_{A) =r(A).}

Matrices de proyecci´

on ortogonal. Conjuntos ortogonales. 1

SeaM∈ Mm(R).Mes sim´etrica (M=MT) yMes idempotente (M2=M) si y solo siMproyecta ortogonalmente cada vectorb∈Rmsobre el espacio columna deM, C(M).Mse llamamatriz de proyecci´on ortogonal.

SeaA∈ Mm×n(R) tal quer(A) =nyP=A(ATA)−1AT. 1. C(P) =C(A).

2. Pes sim´etrica e idempotente. Seanx1,x2, . . . ,xn∈Rn.

1. Decimos que los vectoresx1,x2, . . . ,xnsonortogonales(o que el conjunto {x1,x2, . . . ,xn}es ortogonal) sixT_i xj= 0 parai6=j.

2. Decimos que los vectoresx1,x2, . . . ,xnsonortonormales(o que el conjunto {x1,x2, . . . ,xn}es ortogonormal) si

xTi xj=

(

Matrices de proyecci´

on ortogonal. Conjuntos ortogonales. 2

SeaA∈ Mm×n(R).

1. Las columnas deAson ortonormales si y solo siAT_A=In.

2. Si las columnas deAson ortonormales entonces

2.1 Para cadab∈Rm, la mejor soluci´on ¯xdel sistemaAx=ben t´erminos de los minimos cuadrados es ¯x=AT_b.

2.2 La matriz de proyecci´on ortogonal sobreC(A) est´a dada por

P=AAT=a1aT1 +a2aT2 +· · ·+ana T n.

2.3 Para cadab∈Rm, la proyecci´on ortogonal debsobreC(A) se puede expresar como la suma de las proyecciones individuales debsobre las rectas ortogonales deRmgeneradas por las columnas deA, es decir

proyC(A)b= proya₁b+ proya₂b+· · ·+ proyanb.

Q∈ Mn(R) es unamatriz ortogonalsi las columnas deQ son vectores ON. Adem´as 1. La matrizQ es ortogonal si y solo siQ es invertible yQ−1_=QT_.

2. La matrizQ es ortogonal si y solo si las filas deQ son ortonormales. 3. SiQ es matriz ortogonal entonces, para todox,y∈Rnse tiene

•(Qx)T_{(Qy) =x}T_y.

• kQxk=kxk.

Matrices ortogonales y el proceso de Gram-Schmidt

Seana1,a2, . . . ,an∈Rnvectores L.I. Sean

v1 = a1,

v2 = a2− vT

1a2 v1Tv1

v1,

. . .

vn = an−

vT

1an

v1Tv1 v1−

vT

2an

v2Tv2v2− · · · − vT

n−1an

vn−1Tvn−1 vn−1.

Entonces

1. v1, . . . ,vnson vectores mutuamente ortogonales y no nulos. 2. gen{a1,a2, . . . ,ai}= gen{v1,v2, . . . ,vi}para todoi= 1,2, . . . ,n. 3. Siq_i= vi

kvik coni= 1,2, . . . ,nentonces{q1,q2, . . . ,qn}es base ortonormal

para el subespacio generador pora1,a2, . . . ,an.

SeaA∈ Mm×n(R) de columnas deAson L.I. entonces existen matrices Q∈ Mm×n(R) de columnas ortonormales yR∈ Mn(R) triangular superior e invertible tales queA=QR. En este caso

1. Para cada vectorb∈Rmla mejor soluci´on del sistemaAx=ben t´erminos de los m´ınimos cuadrados es la ´unica soluci´on del sistema triangular superior

Rx=QT_b.

Definiciones

SeaA∈ Mn(R),n≥2.A la matriz cuadrada de ordenn−1 que se obtiene al eliminar enAsii-´esima fila y suj-´esima columna, se le llama elij-´esimo menor deAy se denota porMij.

Se define tambi´en elij-´esimo cofactor deA, denotado porAij, se define como Aij= (−1)i+j|Mij|.

SeaA= (aij),∈ Mn(R).El determinante deA, denotado por det(A) o|A|se define como:

n= 1. det(A) =a11.

n≥2. En este caso, tenemos

det(A) =|A|=a11A11+a12A12+· · ·+a1nA1n= n

X

k=1 a1kA1k.

Propiedades de los determinantes

SeaA= (aij)∈ Mn(R). Entonces

1. El determinante deAse puede calcular haciendo el desarrollo por cofactores de cualquier fila o columna deA, es decir

detA = ai1Ai1+ai2Ai2+· · ·+ainAin= n

X

k=1 aikAik

= a1jA1j+a2jA2j+· · ·+anjAnj = n

X

k=1 akjAkj.

2. El determinante de una matriz triangular de ordennes igual al producto de las entradas de su diagonal principal. En particular, detIn= 1.

3. SiAtiene un fila nula entonces detA= 0.

4. det(Ej(α)A) =αdet(A). En particular, det(αA) =αn_det(A).

5. SeanA,B,C∈ Mn(R) matrices iguales, salvo por lai-´esima fila deC, que es igual a la suma de lasi-´esimas filas deAy deB. Entonces detC= detA+ detB. 6. det(EijA) = (−1) det(A) y det(Eij(α)A) = det(A).

7. Si las filas deAforman un conjunto L.D., entonces detA= 0. 8. Aes invertible si y solo si detA6= 0.

Aplicaciones

SeaA∈ Mn(R). La matrizB=



   

A11 A12 · · · A1n A21 A22 · · · A2n

. . . . . . . . . An1 An2 · · · Ann



   

se llamamatriz de

cofactores deA. Lamatriz adjunta deA, denotada por adj(A), se define como la transpuesta de la matriz de cofactores deA, es decir adj(A) =BT_.

SeaA∈ Mn(_R), entonces

A−1₌ 1

detAadj(A).

Regla de Cramer.SeaA∈ Mn(R). SiAes invertible, entonces paraj= 1,2, . . . ,nla j-´esima componente de la ´unica soluci´on de un sistemaAx=bes dada por

xj= detBj

detA,

Vectores y valores propios de una matriz

SeaA∈ Mn×n(C), decimos queλ∈Ces unvalor propiodeAsi existex∈Cn\ {0}, llamadovector propiodeAasociado al valor propioλ, tal queAx=λx.

λes un valor propio deAsi y s´olo si det(A−λIn) = 0.

det(A−λIn) = 0 es un polinomio de gradon, donde el coeficiente deλn_{es (−1)}n_{y su} t´ermino independiente es det(A) es decir

det(A−λIn) = (−1)n_λn_+a

n−1λn−1+· · ·+a1λ+a0, dondea0= det(A).

El polinomio det(A−λIn) se llamapolinomio caracter´ısticodeAy se denotapA(λ). La ecuaci´on det(A−λIn) = 0 se llamaecuaci´on caracter´ısticadeA. El conjunto de todos los valores propios deAse llama elespectro deAy se denotaσ(A).

Decir queλes un valor propio deAsignifica que hay al menos una soluci´on no trivial del sistema homog´eneo (A−λIn)x=0.

Seaλ∈σ(A). El conjuntoEλ={x∈Cn : Ax=λx}es un subespacio vectorial de Cn, llamadoespacio propio deAasociado al valor propioλ. La dimensi´on deEλse

llama lamultiplicidad geom´etrica deλy se denota mg(λ).

Diagonalizaci´

on de matrices

SeanA,B∈ Mn×n(C). Decimos queAyB son matrices similaressi existe una matriz Cinvertible tal queB=C−1_AC.

SiAyBson matrices similares, entonces

1. pA(λ) =pB(λ)B, es decirσ(A) =σ(B) y det(A) = det(B). 2. r(A) =r(B). Adem´as,Aes invertible si y soloB es invertible.

Una matrizA∈ Mn×n(C) esdiagonalizablesi existen matrices Λ,S∈ Mn×n(C) Λ diagonal ySinvertible tales que Λ =S−1_{AS.Sse llama una matriz diagonalizante}

paraAy Λ su diagonal asociada.

Una matrizA∈ Mn×n(C). Las siguientes afirmaciones son equivalentes 1. Aes diagonalizable.

2. Aposeenvectores propios linealmente independientes. 3. Cnposee una base formada pornvectores propios deA.

Vectores propios correspondientes a valores propios diferentes de una matrizAson linealmente independientes. Adem´as, siAtienenvalores propios diferentes, entonces Aes diagonalizable.

Para todoλ∈σ(A) se tiene quemg(λ)≤ma(λ). Adem´as

1. Si para cada valor propioλdeA, se tiene quemg(λ) =ma(λ), entonces al unir las bases de los diferentes espacios propios deA, se obtiene una base paraCny por elloAes diagonalizable.

Matrices hermitianas, antihermitianas, unitarias y normales, 1

Seanx= (xj),y= (yj),vectores deCn. Elproducto hermitianodex eyes

xH_y=x

1y1+x2y2+· · ·+xnyn.

Seanα∈_Cyx,y,z∈_Cn_{. Algunaspropiedadesdel producto hermitiano son:} 1. xH_y=yH_x.

2. (αx)H_y=α(xH_{y), x}H_{(αy) =α(x}H_y).

3. xH_{(y+z) =x}H_y+xH_{z, (x+y)}H_z=xH_z+yH_z.

ComoxH_{x es un n´umero real no negativo, podemos definir lalongitud o norma} hermitiana de x de la siguiente forma:

kxk=pxH_x=

q

|x1|2+|x2|2+· · ·+|xn|2.

SeaA= (zij)∈ Mm×n(C). Se define lamatriz conjugadadeA, como la matriz A= (zij)∈ Mm×n(C). Es decir,Aes una matriz de ordenmporncuyas componentes se obtienen al conjugar las componentes deA. Se define lamatriz conjugada transpuestadeA, denotadaAH, como la matriz transpuesta de la matriz conjugada deA, es decir

AH= (A)T∈ Mn×m(C).

Matrices hermitianas, antihermitianas, unitarias y normales, 2

SeaA∈ Mn×n(C).

1. Decimos queAeshermitianasiA=AH_. 2. Decimos queAesanti-hermitianasiA=−AH_. 3. Decimos queAesunitariasi es invertible yA−1=AH. 4. Decimos queAesnormalsiAH_A=AAH_.

5. Decimos queAesdiagonalizable unitariamentesi existen matrices Λ diagonal yU unitaria tales que Λ =UH_AU=U−1_AU.

Toda matrizA∈ Mn×n(C) normal es diagonalizable unitariamente.

Como toda matriz que sea hermitiana, anti-hermitiana o unitaria es normal y por lo tanto diagonalizable unitariamente.

Teorema espectral.SeaA∈ Mn×n(C) una matriz normal yλ1, λ2, . . . , λmlos

diferentes valores propios deA. SiP1,P2, . . . ,Pmson las respectivas matrices de proyecci´on ortogonal sobre los espacios propiosEλ1,Eλ2, . . . ,Eλm entonces

1. A=λ1P1+λ2P2+. . .+λmPm.

2. P1+P2+. . .+Pm=In.