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INTEGRAL DEFINIDA – IMPROPIA – ÁREAS

Pregunta 1

Calcular la siguiente integral indefinida:

∫

− 9

4x 1

x

Resolución

Tenemos:

∫

− =

9

4x 1

x I

Hacemos la sustitución: x =t

2

t x =

Diferenciando: dx =2tdt

Reemplazamos en la integral dada:

∫

= .2tdt

1 t

t I ₂

∫

= dt

1 t

t 2 I ₂2

Restamos y sumamos 1 en el numerador:

∫

+ −

= dt

1 t

1 1 t 2 I 2₂

Descomponemos:

∫

− +

= dt

1 t

1 1 2

I ₂

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡

− +

=

∫ ∫

1 t

1 dt

2

I ₂

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ − +

=

1 t

1 t ln ) 1 ( 2

1 t 2 I

Regresamos a la variable original y al intervalo dado:

9

4

1 x

1 x ln 2 1 t 2 I

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ − +

http://miprofesordematematicas.blogspot.com Evaluando:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ − +

− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ − +

=

1 4

1 4 ln 2 1 4 2 1 9

1 9 ln 2 1 9 2 I

I=2.4055

Pregunta 2

Calcular:

∫

0

dx ) 1 x (' ' f

x , sabiendo que f(1)=−3, 2f(−1)= y f ('1)=5.

Resolución

Tenemos: =

∫

0

dx ) 1 x (' ' f x I

Primero sugerimos hacer la sustitución: t

1 x− =

1 t x = +

Diferenciando: dx=dt

Reemplazando en la integral dada:

∫

= (t 1)f'('t)dt I

Aplicamos integración por partes: 1

t

u= + diferenciamos: du=dt

dt ) t (' ' f

dv= integramos: v=f ('t)

En la fórmula de integración por partes:

∫

∫

=(t 1).f ('t) f ('t)dt I

) t ( f ) t (' f ). 1 t (

I= + −

[

]

) 1 x ( f ) 1 x (' f . x

I= − − −

Evaluando: I=

[

] [

]

) 1 ( f ) 1 ( f ) 1 (' f . 2

I= − + −

Reemplazando datos: I=2.(5)−(−3)+(2) I=15

Pregunta 3

Calcular si existe la siguiente integral impropia:

∫

+∞

+

3 x x 1

dx

Resolución

Tenemos:

∫

+∞

+ =

3 x x 1

dx I

∫

=

+∞ →

b

3

b _{x x 1}dx

1 lim

I … (α)

Resolveremos por separado la integral definida para luego reemplazarla en (α).

∫

= b

a

1 dx

1 x x

1 I

Hacemos: x+1=t

2

t 1 x+ =

1 t x ₌ 2₋

Diferenciando: dx=2tdt

Reemplazando en la integral dada:

∫

= (2tdt)

t ) 1 t (

1 I_{1 2}

∫

= dt

1 t

http://miprofesordematematicas.blogspot.com ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = 1 t 1 t ln ) 1 ( 2 1 2 I₁

Simplificamos y regresamos a la variable original en el intervalo dado:

b 3 1 1 1 x 1 1 x ln I ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + = Evaluando: 1 4 1 4 ln 1 1 b 1 1 b ln I₁ + − − + + − + = 3 1 ln 1 1 b 1 1 b ln

I₁ −

+ + − + = 3 ln 1 1 b 1 1 b ln

I_{1 ⎟}⎟+

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + =

Reemplazando en (α):

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + = +∞

→ _{b 1 1} ln3

1 1 b ln lim I b

Aplicando la propiedad distributiva:

[

]

lim 1 1 b 1 1 b ln lim I b

b→+∞ _⎥⎥+ →+∞

⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + =

Recordemos: i) el límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite, y ii) el límite de una constante es la misma constante.

Luego: ln3 1 1 b 1 1 b lim ln I

b _⎥⎥+

⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + = +∞

→ … (β)

Observando el límite _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + = +∞

→ _{b 1 1}

1 1 b lim L

b notamos que este tiene la forma

∞

∞ _{por lo que podemos aplicar la regla de L’Hopital:}

lim1 1

) 1 ( 1 b 2 1 ) 1 ( 1 b 2 1 lim ') 1 1 b ( ') 1 1 b ( lim L b b

b = =

Reemplazando en (β):

[ ]

I= + Finalmente I=ln3

Pregunta 4

Hallar el área de la región encerrada por la curva y=lnx, el eje X y la recta 1

e y

x+ = + .

Resolución

Graficamos las curvas y sombreamos la región de interés:

5

y = lnx x + y = e+1

1 e+1

0 e

1

Vista desde el eje horizontal la región de interés está comprendida en el intervalo 11≤x≤e+ . Siendo x=e+1 la abscisa del punto de corte de la recta

1 e y

x+ = + con el eje X. En dicho intervalo, por encima tenemos dos curvas: el logaritmo y =lnx y la recta x+y =e+1 mientras que por debajo solo tenemos al eje X (y=0). Podemos dividir la región de interés en dos regiones R1 y R2 considerando en x =e (abscisa del punto de corte del logaritmo y la recta) la línea de corte. Proponemos otro procedimiento. Calcularemos el área vista desde el eje vertical.

Visto desde el eje vertical la región de interés está comprendida en el intervalo 1

y

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permita calcular el área vista desde el eje vertical debemos tener las curvas despejadas en términos de la variable y . La recta x+y =e+1 de la derecha es equivalente a x=−y+e+1 _{y la curva} y =lnx de la izquierda es equivalente a

y

e

x= . Luego, decimos: Región R:

En el intervalo 0≤y≤1 tenemos por derecha la recta x =−y+e+1 _{y por} izquierda la curva _x=ey_.

Planteamos: A

[

]

1

0

y

∫

=

[

]

1

0 y

∫

=

1

0 2

y _{(e 1)y}

2 y e

A _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ + − − =

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ + − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ + − −

= (e 1)(0)

2 ) 0 ( e ) 1 )( 1 e ( 2

) 1 ( e A

2 0 2

1

2

Pregunta 5

Calcular el área de la región limitada por las curvas: y=lnx, _{y =x}2_{, ex= y el}

eje X. Resolución

Graficamos las curvas y sombreamos la región de interés:

5

y = lnx y = x^2

1

0 e

1

x = e

Vista desde el eje horizontal la región de interés está comprendida en el intervalo e0≤x≤ . En dicho intervalo, tenemos por encima la parábola _y=x2 _y

por debajo el eje X (y =0) y el logaritmo y =lnx. Podemos dividir la región de interés en dos regiones R1 y R2 considerando en x=1 la línea de corte.

Región R1:

En el intervalo 0≤x≤1 tenemos por encima la parábola _{y= x}2 _{y por}

debajo el eje X, es decir y =0.

Planteamos: =

∫

[

]

1

0 2

1 x 0dx

A

1

0 3 1

3 x A =

3 ) 0 ( 3

) 1 (

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2 1 0.3333u

A =

Región R2:

En el intervalo 1≤x≤e tenemos por encima la parábola _y=x2 _{y por}

debajo la curva y =lnx.

Planteamos: =

∫

[

]

e

1 2

2 x lnxdx

A

e

1 3

2 ₃ xlnx x

x

A _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ −

=

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ −

− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ −

= (1)ln(1) (1)

3 ) 1 ( ) e ( ) e ln( ) e ( 3

) e ( A

3 3

2

2 2 5.3618u

A =

Finalmente el área total será: A_T =A₁+A₂

2 T 5.6951u

A =

Observación:

Visto desde el eje vertical la región de interés está comprendida en el intervalo

2

e y

0≤ ≤ . Siendo _y=e2 _{la ordenada de la parábola y =x}2 _{para x=e. En dicho}

intervalo, limitando la región sombreada, tenemos por derecha a la curva x

ln

y= y la recta x =e mientras que por la izquierda solo tenemos a la parábola _y=x2_{. Como se nota, visto desde el eje Y también debemos dividir en}

dos regiones. El corte sería en y =1 que es la ordenada del punto de corte de x

ln

Pregunta 6

Calcular el área de la región limitada por las curvas: y=ln(x−1), _y=ex_,

y 2 2

x= − , 2y= .

Resolución

Graficamos las curvas y sombreamos la región de interés:

5

2 0

1 2

y = e^x

y = 2

y = lnx

x = 2 - 2y

Visto desde el eje vertical la región de interés está comprendida en el intervalo 2

y

0≤ ≤ . En dicho intervalo, limitando la región sombreada, tenemos por derecha a la curva y=lnx y por la izquierda tenemos a la recta x =2−2y y la curva _{y =e}x_{. Podemos dividir la región de interés en dos regiones R1 y R2}

considerando en y=1 la línea de corte. Tenga en cuenta que al trabajar con el eje vertical las ecuaciones de las curvas deben estar escritas “x en función de y ”. Por tanto nos referiremos a la curva y =lnx como la equivalente _x=ey _y

a la curva _y=ex _{como x =lny.}

Región R1:

En el intervalo 0≤y≤1 tenemos por derecha a la curva _x=ey _{y por}

izquierda la recta x=2−2y.

Planteamos: =

∫

[

]

1

0 y

1 e (2 2y)dx

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[

]

0 2 y

1 e 2y y

A = − +

[

] [

]

1 e 2(1) (1) e 2(0) (0)

A = − + − − +

2 1 0.7183u

A =

Región R2:

En el intervalo 1≤y≤2 tenemos por derecha a la curva _{x =e}y _{y por}

izquierda la curva x=lny.

Planteamos: =

∫

[

]

2

1 y

2 e lnydx

A

[

]

1 y

2 e ylny y

A = − +

[

] [

]

A 2 1

2= − + − − +

2 2 4.2845u

A =

Finalmente el área total será: AT =A1+A2

2 T 5.0028u

Pregunta 7

Calcular el área de la región limitada por las curvas: _{y =e}−x_, 2

x 1

y = que está a la derecha de la recta x=1.

Resolución

Graficamos las curvas y sombreamos la región de interés:

1 0

y = e^(-x) y = 1/x^2

x = 1

  Al graficar tenga en cuenta lo siguiente:

La curva ₂ x

1

y= presenta asíntota vertical en x =0. También presenta

asíntota horizontal en y=0 (eje X) ya que el límite ₂

x x

1 lim

±∞

→ resulta cero.

Nótese además que para cualquier valor de x≠0 la ordenada siempre es positiva, por esta razón la curva presentará dos ramas: una en el primer cuadrante y otra en el segundo cuadrante. En el grafico solo se muestra la del primer cuadrante por ser la que nos interesa según las condiciones del ejercicio.

Las curvas ₂ x

1

y = y _{y =e}−x _{no se cortan. Una simple tabulación nos}

haría ver que para valores de x >0 _{las ordenadas de la curva 2} x

1 y=

http://miprofesordematematicas.blogspot.com intervalo de ]1,+∞[ la curva ₂

x 1

y= siempre está por encima de la curva

x

e y₌ − _.

Región sombreada:

Comprendida en el intervalo 1≤x≤+∞. La curva ₂ x

1

y = está por encima y la curva _{y =e}−x _{por debajo.}

Planteamos:

∫

−

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ ₋

=

1

x

2 e dx

x 1 A

=

∫

+∞ →

b

1

x 2

b x e dx

1 lim

A … (α)

Resolveremos por separado la integral definida y luego analizaremos el límite.

=

∫

b

1

x

2 e dx

x 1 I

₌

∫

∫

b

1 x b

1

2dx e dx

x 1 I

b

1 x 1

e 1 1 1 x

I _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

− − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

−

= − −

b

1 x

x 1 e

I=_⎢⎣⎡ − − _⎥⎦⎤

Evaluando: −_⎢⎣⎡ − _⎥⎦⎤ ⎥⎦

⎤ ⎢⎣

⎡ ₋

= − −

1 1 e b 1 e

I b 1

0.6321

b 1 e

I₌ −b_{− +}

Reemplazamos en (α):

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ _{− +}

= −

+∞

→ b 0.6321

1 e lim

A b

b