UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSA

Practicante: GARCIA SALINAS, Celestino R.

Unidad N°3: Matrices/ Operaciones

Profesora Curricular: DIAZ, Estela

Profesor Orientador: Esp-Prof. MORA, Jorge

Asignatura : Matemática I

Carreras: Técnico en Laboratorio de Análisis Clínicos

Licenciatura en Bromatología

El gráfico siguiente representa las rutas que conectan entre ellas a las distintas localidades con sus respectivas distancias. Completa la tabla teniendo en cuenta la menor distancia entre dos localidades. Menor distancia A B C D E A 0 km 120 km 195 km 140 km 50 km B 120 km 0 km 125 km 70 km 130 km C 195 km 125 km 0 km 55 km 145 km D 140 km 70 km 55 km 0 km 90 km E 50 km 130 km 145 km 90 km 0 km

Unidad N°3: Matrices/ Operaciones

130 km 120 km 90 km 50 km 55 km 70 km A B E C D

La matriz que representa la situación es:

A=

Comparen la matriz hallada con la matriz B presentada a continuación y determinen las similitudes y diferencias entre ambas matrices.

Se observa que los valores de los elementos de la cuarta fila de la matriz B son el doble del valor de los elementos de la cuarta fila de la matriz A. Es decir que la matriz B es una matriz equivalente a la matriz A que resulta de aplicar una operación elemental sobre la matriz A.

A=

B=

2. 𝐹

₄

𝑒𝑛 𝐹

₄

En símbolos: A ~ B

OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE UNA MATRIZ

1) Intercambiar o permutar dos líneas paralelas entre sí.

2) Multiplicar una línea por un número distinto de cero y sumarla a otra.

3) Multiplicar o dividir una línea por un escalar no nulo.

Para recordar:

Sea 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 , las operaciones elementales que pueden realizarse sobre ella son:

Equivalencia de matrices

Sean 𝐴 𝜖 𝐾𝑚𝑥𝑛 y 𝐵 𝜖 𝐾𝑚𝑥𝑛. Se dice que 𝐴 es equivalente a 𝐵, sí y sólo si 𝐵 se obtiene efectuando un número finito de operaciones elementales sobre A.

𝒇: 𝑿 → 𝑲/ 𝒇( 𝒊, 𝒋 ) = 𝒂_𝒊𝒋 = 𝑴= [𝒂_𝒊𝒋]_𝒎𝒙𝒏

Matrices Rectangulares ( Si 𝒎 ≠ 𝒏 )

Matriz rectangular horizontal

Matriz rectangular vertical

Matrices Cuadradas (Si 𝒎 = 𝒏 ) Superior Inferior Escalar Identidad Triangular Diagonal Matriz simétrica Matriz antisimétrica Matrices especiales Matriz Nula Matriz opuesta Matriz traspuesta

OPERACIONES ENTRE MATRICES

Adición de matrices

Se llama suma de estas matrices a la matriz 𝑺 / 𝑺 𝝐 𝑲𝒎𝒙𝒏, cuyos elementos se obtienen sumando

los elementos correspondientes de las matrices A, B ... K.

En símbolos:

𝑆 = 𝑠_{𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛} = 𝒂_{𝒊𝒋 𝒎𝒙𝒏} + 𝒃_{𝒊𝒋 𝒎𝒙𝒏} + . . . . + 𝒌_{𝒊𝒋 𝒎𝒙𝒏} , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒔_𝒊𝒋 = 𝒂_𝒊𝒋+ 𝒃_𝒊𝒋+. . . +𝒌_𝒊𝒋 Dadas las siguientes matrices, todas pertenecientes a 𝐾𝑚𝑥𝑛

𝑨 = [𝒂_𝒊𝒋]_𝒎𝒙𝒏 , 𝑩 = [𝒃_𝒊𝒋]_𝒎𝒙𝒏, .... , 𝑲 = [𝒌_𝒊𝒋]_𝒎𝒙𝒏

Por ejemplo: Si A= −3 2 1 3 0 6 ; B= 1 3 0 −1 −1 2 y C= −2 −3 4 5 3 5 pertenecen a 𝐾3𝑥2 Donde S= −4 2 5 7 2 13

∊

𝐾3𝑥2 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = −3 2 1 3 0 6 + 1 3 0 −1 −1 2 + −2 −3 4 5 3 5 = = −4 2 5 7 2 13 = 𝑆 S =

Propiedades de la adición de matrices

Dadas las matrices 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 , 𝐵 = [𝑏_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 y 𝐶 = [𝑐_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 se cumplen las siguientes propiedades:

1) Propiedad de cierre o clausura: 𝑠𝑖 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 ∧ 𝐵 = [𝑏_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛⇒ 𝐴 + 𝐵 = 𝑆 ∧ 𝑆 𝜖 𝐾𝑚𝑥𝑛

2) Propiedad asociativa: (𝑨 + 𝑩) + 𝑪 = 𝑨 + (𝑩 + 𝑪)

3) Existencia elemento neutro:∃ 𝑵 = 𝟎 / 𝑨 + 𝟎 = 𝟎 + 𝑨 = 𝑨 ; ∀ 𝑨 𝝐 𝑲𝒎𝒙𝒏

4) Existencia del inverso aditivo:∀ 𝑨 𝝐 𝑲𝒎𝒙𝒏, ∃(−𝑨) 𝝐 𝑲𝒎𝒙𝒏/ (−𝑨) + 𝑨 = 𝑨 + (−𝑨) = 𝟎

Diferencia de Matrices

Sean

𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 y 𝐵 = [𝑏_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛se define la diferencia 𝐴 − 𝐵 como la matriz 𝐷 = [𝑑_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 cuyas componentes se obtienen sumando a los elementos de la matriz 𝐴 los elementos correspondientes de la matriz opuesta de 𝐵.

En símbolos:

)

𝐷 = 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵

; donde cada elemento de 𝐷 𝑒𝑠 𝑑_𝑖𝑗 = 𝑎_𝑖𝑗 +(−𝑏_𝑖𝑗) Ejemplo: Sean 𝑄 = 3 1 1 3 y R = 2 3 −2 5 pertenecientes a 𝐾 2𝑥2 _{; −R =} −2 −3 2 −5 perteneciente a 𝐾 2𝑥2 𝑄 − 𝑅 = 𝑄 + −𝑅 = 3 1 1 3 − 2 3 −2 5 = 3 1 1 3 + −2 −3 2 −5 = 3 + (−2) 1 + (−3) 1 + 2 3 + (−5) = 1 −2 3 −2 Entonces 𝑄 − 𝑅 = 1 −2 3 −2

Multiplicación de una matriz por un escalar

Sean la matriz 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 y un escalar 𝜆 cualquiera perteneciente a un cuerpo 𝐾.

El producto del escalar 𝜆 𝜖 𝐾 por la matriz 𝐴 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑥𝑛 es otra matriz 𝐵 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑥𝑛 definida

del siguiente modo: 𝐵 = 𝜆 . 𝐴 = 𝜆 . [𝑎_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 = [𝑏_𝑖𝑗]_𝑚𝑥𝑛 ; donde cada elemento 𝑏_𝑖𝑗de 𝐵 se obtiene multiplicando por 𝜆 cada uno de los elementos 𝑎_𝑖𝑗 de la matriz A.

En símbolos:

𝜆 . 𝐴 = 𝜆 . [𝑎

_𝑖𝑗

]

_𝑚𝑥𝑛

= [𝜆 . 𝑎

_𝑖𝑗

]

_𝑚𝑥𝑛

= [𝑏

_𝑖𝑗

]

_𝑚𝑥𝑛

= 𝐵 ;

𝑏

_𝑖𝑗

= 𝜆 . 𝑎

_𝑖𝑗

Ejemplo:

Ejercicio N°5 , c) de la guía de trabajos prácticos

= 3 9 −3 12 15 3/2 9 −12 −9 = 3. 𝐴 = 3. 1 3 −1 4 5 1/2 3 −4 −3 = 𝐵

Observación

En general, dados los conjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵. Se llama ley de composición externa a toda función ∗: 𝐴 𝑥 𝐵 → 𝐵 ó ∗: 𝐴 𝑥 𝐵 → 𝐴.

En símbolos:

∗ 𝑒𝑠 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 ⇔ ∗: 𝐴 𝑥 𝐵 → 𝐵 ∨ ∗: 𝐴 𝑥 𝐵 → 𝐴

Es decir, que una ley de composición externa es una función que le hace corresponder su imagen a cada par del producto cartesiano en uno de los dos conjuntos.

Mediante esta función la imagen del par (𝛼; 𝑎) 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝛼 ∗ 𝑎 , donde 𝛼 𝜖 𝐴, 𝑎 𝜖 𝐵 𝑦 𝛼 ∗ 𝑎 𝜖 𝐵 .

En particular, considerando los conjuntos 𝑹 y 𝑹𝒎𝒙𝒏 se define el producto de un escalar

𝝀 𝝐 𝑹 por una matriz 𝑨 𝝐 𝑹𝒎𝒙𝒏 como la función

.

: 𝑹 𝒙 𝑹𝒎𝒙𝒏 → 𝑹𝒎𝒙𝒏 tal que la imagen del

Propiedades

Sean 𝐴 𝜖 𝐾𝑚𝑥𝑛 y 𝐵 𝜖 𝐾𝑚𝑥𝑛, 𝜆 𝜖 𝑅 y 𝜇 𝜖 𝑅

1) Ley de composición externa: 𝒔𝒊 𝝀 𝝐 𝑹 ∧ 𝑨 𝝐 𝑲𝒎𝒙𝒏 ⇒ 𝝀 . 𝑨 𝝐 𝐾𝑚𝑥𝑛. 2) Propiedad asociativa del producto de escalares por una matriz:

(𝝀 . 𝝁) . 𝑨 = 𝝀 . (𝝁 . 𝑨) ; ∀ 𝝀 , 𝝁 𝝐 𝑹 ; ∀ 𝑨 𝝐 𝐾𝑚𝑥𝑛

3) Propiedad distributiva del producto de un escalar respecto de la suma de matrices:

𝝀 . (𝑨 + 𝑩) = 𝝀 . 𝑨 + 𝝀 . 𝑩 ; ∀ 𝝀 𝝐 𝑹; ∀ 𝑨, 𝑩 𝝐 𝑲𝒎𝒙𝒏

4) Propiedad distributiva del producto de una matriz respecto de la suma de escalares:

(𝝀 + 𝝁) . 𝑨 = 𝝀 . 𝑨 + 𝝁 . 𝑨 ; ∀ 𝝀 , 𝝁 𝝐 𝑹 ; ∀ 𝑨 𝝐 𝐾𝑚𝑥𝑛

5) Existencia del elemento neutro del producto de un escalar por una matriz:

Casos especiales

• 𝑺𝒊 𝝀 = 0 ⇒ 𝝀 . 𝑨 = 0 . 𝑨 = 𝑁 ; ∀ 𝑨 𝝐 𝐾

𝑚𝑥𝑛

_{; 𝑁 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎}

• 𝑺𝒊 𝝀 = 1 ⇒ 𝝀 . 𝑨 = 1 . 𝑨 = 𝐴 ; ∀ 𝑨 𝝐 𝐾𝑚𝑥𝑛 • 𝑺𝒊 𝝀 = −1 ⇒ 𝝀 . 𝑨 = −1 . 𝑨 = −𝐴 ; ∀ 𝑨 𝝐 𝐾𝑚𝑥𝑛 • 𝑺𝒊 𝑨 = 𝑵 ⇒ 𝝀 . 𝑨 = 𝝀 . 𝑵 = 𝑵 ; ∀ 𝝀 𝝐 𝑹 ; 𝑵 𝝐 𝐾𝑚𝑥𝑛 • 𝑺𝒊 𝑨 = 𝑰 ⇒ 𝝀 . 𝑨 = 𝝀 . 𝑰 = 𝑩 ; 𝑩 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 ∀ 𝝀 ≠ 1 ∧ 𝝀 ≠ 0 𝒆𝒏 𝑹 Si 𝐴 = 2 5 10 4 y 𝝀 = 0 ⇒ 𝝀 . 𝐴 = 0 . 2 5 10 4 = 0.2 0.5 0.10 0.4 = 0 0 0 0 =N Si 𝐴 = 2 5 10 4 y 𝝀 = 1 ⇒ 𝝀 . 𝐴 = 1. 2 5 10 4 = 1.2 1.5 1.10 1.4 = 2 5 10 4 = 𝐴 Si 𝐴 = 2 5 10 4 y 𝝀 = −1 ⇒ 𝝀 . 𝐴 = (−1). 2 5 10 4 = (−1). 2 (−1). 5 (−1). 10 (−1). 4 = −2 −5 −10 −4 = −𝐴 Si 𝐴 = 𝑵 = 0 0 0 0 ⇒ 𝝀 . 𝐴 = 𝝀 . 0 0 0 0 = 𝝀 . 0 𝝀 .0 𝝀 .0 𝝀 .0 = 0 0 0 0 = 𝑵 Si 𝐴 = 𝑰 = 1 0 0 1 y 𝝀 = 7 ⇒ 𝝀 . 𝐴 = 7 . 1 0 0 1 = 7 . 1 7 . 0 7 .0 7 . 1 = 7 0 0 7 = 𝐵

Multiplicación de matrices

Sean las matrices 𝐴 𝜖 𝐾𝑚𝑥𝑝 y 𝐵 𝜖 𝐾𝑝𝑥𝑛.

Llamamos producto de las matrices 𝑨 y 𝑩, en ese orden, a la matriz 𝑪 cuyo elemento genérico 𝒄_𝒊𝒋 es la suma de los productos de los elementos de la fila 𝒊 de 𝑨, por los correspondientes elementos de la columna𝒋 de 𝑩.

En símbolos:

𝐴 . 𝐵 = 𝐶 donde 𝑐

_𝑖𝑗

= 𝑎

_𝑖1

. 𝑏

_1𝑗

+ 𝑎

_𝑖2

. 𝑏

_2𝑗

+. . . +𝑎

_𝑖𝑝

. 𝑏

_𝑝𝑗 Es decir:

De acuerdo con la definición, para que dos matrices se puedan multiplicar, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.

Por ejemplo:

Sean A= 𝑎_𝑎11 𝑎12 𝑎13

21 𝑎22 𝑎23 𝑦 B= de clase 2x3 y 3x2 respectivamente

Para realizar el producto 𝑨 . 𝑩 se disponen las matrices de la siguiente forma y se realiza el producto

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃

𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎_{23 𝑎}𝑎11. 𝑏11 + 𝑎12. 𝑏21+𝑎13. 𝑏31 𝑎11. 𝑏12 + 𝑎12. 𝑏22 + 𝑎13. 𝑏32

21. 𝑏11 + 𝑎22. 𝑏21 + 𝑎23. 𝑏31 𝑎21. 𝑏12 + 𝑎22. 𝑏22 + 𝑎23. 𝑏32

Es decir, colocando:

La matriz 𝑨 en el tercer cuadrante. La matriz 𝑩 en el primer cuadrante.

𝐵 =

1 2 3 4

1 0 1 −2

0 −1 −1 1

entonces A.B es: 𝑆𝑖 𝐴 = 1 0 −1 1 2 −2 y Por ejemplo 1 0 −1 1 2 −2 1 2 3 4 1 0 1 −2 0 −1 −1 1 1.1 + 0.1 + −1 . 0 1.2 + 0.0 + (−1)(−1) 1.3 + 0.1 + (−1)(−1) 1.4 + 0. −2 + −1 . 1 1.1 + 2.1 + −2 . 0 1.2 + 2.0 + (−2)(−1) 1.3 + 2.1 + (−2)(−1) 1.4 + 2. −2 + −2 1 = = 1 3 4 3 3 4 7 −2 Por lo tanto 1 2 3 4 1 0 1 −2 0 −1 −1 1 = 𝐴. 𝐵 = 1 0 −1 1 2 −2 . 1 3 4 3 3 4 7 −2

Propiedades

1) No conmutativa: 𝑨 . 𝑩 ≠ 𝑩 . 𝑨

Ejemplo:

Distributiva a izquierda respecto a la adición

𝑨. 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 . 𝑩 + 𝑨 . 𝑪 ; 𝑐_𝑖𝑗= σ_𝑘=1𝑝 𝑎_𝑖𝑘. (𝑏_𝑘𝑗 + 𝑒_𝑘𝑗) = σ_𝑘=1𝑝 𝑎_𝑖𝑘. 𝑏_𝑘𝑗 + σ_𝑘=1𝑝 𝑎_𝑖𝑘. 𝑑_𝑘𝑗 Por lo tanto 𝑨 . 𝑩 ≠ 𝑩 . 𝑨

Ejemplo:

3) Distributiva a derecha respecto a la adición:( 𝑩 + 𝑪 ) . 𝑨 = 𝑩 . 𝑨 + 𝑪 . 𝑨

4) Asociativa:(𝑨 . 𝑩) . 𝑪 = 𝑨 . ( 𝑩 . 𝑪 ) Ejemplo:

Si

5) 𝑺𝒊 𝑨 . 𝑩 = 𝟎 𝒏𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝑨 = 𝟎 ó 𝑩 = 𝟎 Ejemplo:

Donde el producto de dos matrices distintas de la matriz nula tienen por resultado la matriz nula.

6) 𝑨 . 𝑩 = 𝑨. 𝑪 𝒏𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝑩 = 𝑪 Sean A = 1 1 1 1 , B = 1 2 3 4 y C = 3 4 1 2 Ejemplo 𝐴 . 𝐵 = 1 1 1 1 . 1 2 3 4 = 4 6 4 6 𝐴 . 𝐶 = 1 1 1 1 . 3 4 1 2 = 4 6 4 6

8) (𝑨 . 𝑩)𝒕= 𝑩𝒕 . 𝑨𝒕 Sean 𝐴 = 1 2 3 4 5 6 y 𝐵 = 1 1 0 0 1 −1 1 2 1 𝐴 . 𝐵 = 1 2 3 4 5 6 . 1 1 0 0 1 −1 1 2 1 = 4 9 1 10 21 1 (𝑨 . 𝑩) 𝒕₌ 4₉ 10₂₁ 1 1 y

Por otro lado;

𝑩𝒕 . 𝑨𝒕 = 1 0 1 1 1 2 0 −1 1 . 1 4 2 5 3 6 = 4 10 9 21 1 1 Con lo que se verifica (𝑨 . 𝑩)𝒕= 𝑩𝒕 . 𝑨𝒕

𝑨𝒕 = 1 4 2 5 3 6 y 𝑩𝒕 = 1 0 1 1 1 2 0 −1 1 7) 𝑨. 𝑩= ഥ𝑨 . ഥ𝑩

Casos especiales

• El producto de un vector fila por un vector columna, es un número.

• El producto de una matriz por un vector columna, es un vector columna.

• El producto de un vector fila por una matriz, es un vector fila.

• El producto de un vector columna por un vector fila, es una matriz. 𝑠𝑖 𝐴 = 1 2 𝑦 𝐵 = 3 4

⇒

𝐴. 𝐵 = 1 2 . 3₄ = 1.3 + 2.4 = 3 + 8 = 11 𝑠𝑖 𝐴 = 1 2 3 4 y B = 5 6 𝐴. 𝐵 = 1 2_{3 4} . 5₆ = 1.5 + 2.6 3.5 + 4.6 = 5 + 1215 + 24 = 17 39

⇒

𝑠𝑖 𝐴 = 1 2 𝑦 𝐶 = 1 2 3 1 𝐴. 𝐵 = 1 2 . 1 2_{3 1} = 1.1 + 2.3 1.2 + 2.1 = 7 4 𝑠𝑖 𝐴 = 1 2 𝑦 𝐵 = 3 4 𝐵. 𝐴 = 3 4 . 1 2 = 3.1 3.2 4.1 4.2 = 3 6 4 8

⇒

⇒

Dadas las matrices 𝐴 , 𝐵 𝑦 𝐶 y el número real 𝜆 = 4. Indicar cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar, si es posible resuelva y en caso contrario fundamente su respuesta.

a) 𝐴 + 𝐶 b) 𝐵 + 𝐴 c) 𝐴 . 𝐵 d)𝐵 . 𝐶 e)4 . 𝐴 – 4 . 𝐶 Resolución

a) No es posible porque el orden de la matriz 𝐴 es distinto al orden de la matriz 𝐶 b)Es posible porque las matrices 𝐵 𝑦 𝐴 son del mismo orden

c) A .B es posible porque el número de columnas de 𝐴 es igual al número de filas de 𝐵.

d) No se puede realizar porque el número de columnas de la matriz 𝐵 no es igual al número de filas de 𝐶.

e) Los productos 4 . 𝐴 y 4. 𝐶 se pueden realizar pero no es posible realizar la diferencia por ser las matrices de órdenes distintos. Por lo tanto 4. 𝐴 – 4. 𝐶 no es posible de realizar.

Ejercicio N°23 de la Guía de trabajos prácticos.

Una empresa que extrae petróleo debe transportar el crudo a cuatro refinerías ubicadas en diferentes puntos del país.

La cantidad de crudo en metros cúbicos que debe transportar son 1000 a la primera refinería,

1550 a la segunda, 4580 a la tercera y 2350 a la cuarta. Los costos del transporte por metro

cúbico a cada una de las refinerías son, en pesos, 140 para la primera refinería, 230 para la segunda, 110 para la tercera y 230 para la cuarta.

¿Qué operación se debe realizar para obtener el costo total de transporte de la empresa? ¿Cuál es dicho costo?

Resolución

Podemos obtener las matrices:

Para obtener el costo total de transporte se debe realizar una multiplicación de matrices, pero como tenemos las matrices, no se puede realizar el producto porque el número de columnas de la matriz 𝑷 no es igual al número de filas de la matriz 𝑪_𝒑. Por lo tanto vamos a multiplicar por la traspuesta de 𝑪_𝒑 ,es decir, por 𝑪𝒕_𝒑, cuyo orden es 4 x 1.

P= 1000 1550 4580 2350 Matriz de las cantidades en 𝑚3; de orden 1x4 𝐶_𝑝= 140 230 110 230 Matriz de los precios por 𝑚3; de orden 1x4

De esta forma se puede realizar el producto 𝑷 . 𝑪𝒕_𝒑y obtener la matriz 𝑪_𝑻 de orden 1 x 1 o el

número que representa el costo total de transporte.

Entonces la traspuesta de 𝐶_𝑝 es:

Y el producto 𝑷 . 𝑪𝒕_𝒑 = 𝑪_𝑻 es:

Entonces 𝐶_𝑇 =1540800.

Por lo tanto el costo total de transporte es de $ 1540800 Observación

Al mismo resultado se llega considerado directamente a la matriz de los precios por metro cubico como un vector columna.