DISTRIBUCIONES CONTINUAS. DISTRIBUCIÓN NORMAL.
1.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA
Las distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las distribuciones estadísticas de variable continua. Estas se obtienen empíricamente (experimentando u observando). Aquellas son distribuciones teóricas. Por ejemplo, estaturas, pesos, tiempos …, son variables continuas.
1.1.- FUNCIÓN DE DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen por medio de una función, )
(x f
y = , que se llama función de probabilidad o función de densidad. Ha de ser f(x)≥0 para todo
x
.Las probabilidades vienen dadas por el área bajo la curva. Por tanto, el área encerrada bajo la totalidad de la curva es 1.
Se denomina función de densidad o función de probabilidad de una variable aleatoria continua X a una función f que verifica:
• Su gráfica está por encima del eje de abscisas; es decir: f x( ) 0 ≥ ∀ ∈x ℝ • El área bajo la curva y = f(x) es igual a 1.
Para hallar la probabilidad
P
(
a
≤
X
≤
b
)
, obtendremos el área que hay bajo la curva en el intervalo[ ]
a
,
b
; por lo tanto:(
a
X
b
)
P
≤
≤
= área bajo la curva en el intervalo[ ]
a
,
b
Las probabilidades de los sucesos puntuales son cero:
(
X
=
a
)
=
0
,
P
(
X
=
b
)
=
0
,
...
P
1.2- FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f x( ).
Se denomina función de distribución de la variable Xa la función real, F,que asigna a cada valor
x
la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a él; esto es:: ( ) ( ) F x F x P X x → → = ≤ ℝ ℝ
1.3.- FUNCIÓN DE DENSIDAD Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN. CÁLCULO INTEGRAL
En los conceptos antes definidos de función de densidad y función de distribución solo se ha hablado de área bajo una curva, en el caso de la función de densidad, y probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que un valor dado
x
, P X( ≤x) , en el caso de la función de distribución (obsérvese que esta última es la misma definición que se dio para variables aleatorias discretas). Pues bien, en el caso que nos ocupa, todos estos conceptos están relacionados con el cálculo integral; en concreto:La función de distribución F de una variable aleatoria continua es una primitiva de la función de densidad f,(Teorema Fundamental del Cálculo Integral) y la función de densidad es la derivada de la función de distribución:
( )
x( )
( )
F x
f x dx
y
f x
−∞
′
=
=
• Definición de función de densidad
f es función de densidad de una variable aleatoria continua X si: - f x( ) 0 ≥ ∀ ∈x ℝ
- +∞
f x dx
( )
1
−∞
=
• Función de distribución
Si una variable aleatoria X solo toma valores en el intervalo
[ ]
a b
, ,
su función de distribución es: 0 ( ) ( ) 1 x a si x a F x f x dx si a x b si x b < = ≤ ≤ >
Por lo tanto, sin más que aplicar la Regla de Barrow (o simplemente aplicando la interpretación geométrica de la función de distribución como área), se deduce fácilmente que la probabilidad
[ ]
(
, )
Área bajo ( ) entre y
b( )
( )
( )
a
P x
∈
a b
=
f x
a
b
=
f x dx
=
F b
−
F a
Ejemplo.- Consideremos la función
[ ]
[ ]
1 3 1, 4 ( ) 0 1, 4 si x f x si x ∈ = ∉ 1.4.- PARÁMETROS
La media,
µ
, y la desviación típica,σ
, tienen los mismos significados que en las distribuciones estadísticas:MEDIA,
µ
: centro de gravedad de la distribución DESVIACIÓN TÍPICA,σ
: medida de la dispersiónEl cálculo exacto de estos parámetros en el caso de variables continuas requiere cálculo de integrales. En general, serán dados como datos.
2.- LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
La campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal, es una función de probabilidad continua, simétrica y que tiene un máximo para x=
µ
(media).Esta curva fue descrita por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Por su forma acampanada se denomina campana de Gauss.
Su expresión analítica es ( ) 2 2 2
2
1
)
(
σ µπ
σ
− −=
xe
x
f
.La gran importancia de esta distribución se debe a la enorme frecuencia con que aparece en las situaciones más variadas. Entre las muchas variables que se distribuyen normalmente podemos citar:
• Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas) de una misma raza. Por ejemplo: tallas, pesos, envergaduras.
• Caracteres fisiológicos. Por ejemplo, efectos de una misma dosis de un fármaco o de una misma cantidad de abono.
• Caracteres sociológicos. Por ejemplo, consumo de ciertos productos por individuos de un mismo grupo humano.
• Caracteres físicos. Por ejemplo, resistencia a la rotura de piezas aparentemente idénticas.
Para cada valor de
µ
(media) y cada valor deσ
(desviación típica), hay una curva normal, que se denomina N(µ
,σ
). Por ejemplo, observemos las distribuciones N(0,4), N(20,4) y) 2 , 20 ( N :
Sin embargo, el reparto de probabilidades en ellas es prácticamente idéntico. Solo depende de los parámetros
µ
yσ
.2.1- CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN DISTRIBUCIONES NORMALES • TABLA DE ÁREAS BAJO LA CURVA
N
(0,1)
En la distribución N(0,1) a la variable se la suele representar por la letra Z. La tabla de la distribución normal N(0,1) nos da las probabilidades P(Z ≤ z) para valores de z de 0 a 4, de centésima en centésima:
) ( )
(z P Z z
F = ≤ (función de distribución de la variable aleatoria Z)
El valor de z se busca así: unidades y décimas en la columna de la izquierda y centésimas en la fila de arriba. El número que nos da la tabla es el valor de F(z)= P(Z ≤ z).
Ejemplos: 6736 , 0 ) 45 , 0 (Z ≤ = P 8849 , 0 ) 2 , 1 (Z ≤ = P 8413 , 0 ) 1 (Z ≤ = P
Recíprocamente, si conocemos el valor de la probabilidad F(z), se puede saber el valor de z. Ejemplos: 58 , 0 7190 , 0 ) (Z ≤ z = →z = P 1 , 1 8643 , 0 ) (Z ≤ z = →z = P 14 , 0 5560 , 0 ) (Z ≤ z = →z≈ P
Recordemos que en una distribución de variable continua las probabilidades puntuales son nulas: P(X =k)=0 y por tanto P(X ≤k)=P(X <k).
• CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN
N
(0,1)
Si z≥0, las probabilidades P(Z ≤ z)= P(Z < z) se encuentran directamente en las tablas.
) ( 1 ) (Z z P Z z P ≥ = − <
Para abscisas negativas, P(Z ≤−z)=P(Z ≥ z)=1−P(Z <z) Las restantes probabilidades se pueden obtener a partir de estas como se ve en los siguientes ejemplos:
1) P(Z ≥1,73)=1−P(Z <1,73)=1−0,9582=0,0418 2) P(0,21<Z ≤1,34)=P(Z ≤1,34)−P(Z ≤0,21)=0,9099−0,5832=0,3267 3) P(−0,83<Z ≤2,3)=P(Z ≤2,3)−P(Z ≤−0,839) P(Z ≤−0,83)= P(Z ≥0,83)=1−P(z<0,83)=1−0,7967=0,2033 P(−0,83<Z ≤2,3)=0,9893−0,2033=0,7860 4) P(−1,95<Z <−1)=P(1<Z <1,95)=P(Z <1,95)−P(Z <1)=0,9744−0,8413=0,1331
• CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
N
( , )
µ σ
Si X es N(µ
,σ
) entonces la variableσ
µ
− = XZ es N(0,1) (tipificación de la variable) y así: − < < − = − < − < − = < <
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
b Z a P b X a P b X a P( )3.- APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A UNA NORMAL
Consideremos primero el siguiente ejemplo:Si X∈B(100;0,8), vamos a calcular las dos siguientes probabilidades: (P X =70) y (P X >70) a) Para calcular la primera de las probabilidades debemos utilizar la expresión de la función
de masa de probabilidad de la binomial, puesto que en las tablas no aparece el valor 100. n= 70 30 100 ( 70) 0,8 0,2 0,0052 70 P X = = ⋅ ⋅ =
b) Para calcular la segunda de las probabilidades tenemos dos problemas:
- No podemos, al igual que en el caso anterior, utilizar las tablas de la binomial.
- Tendríamos que calcular 30 probabilidades puntuales y sumarlas todas, algo completamente inoperativo.
Para resolver este problema vamos a recurrir a la distribución normal, en el sentido de que vamos a poder aproximar una distribución binomial por una normal. Esto nos lo asegura el siguiente resultado:
Si X es una variable discreta que sigue una distribución binomial de parámetros n y p, ( , ),
X∈B n p y se cumple que n≥30, n p⋅ >5 y n q⋅ >5, resulta una aproximación bastante buena suponer que la variable X se aproxima a la variable normal N np( , npq);es decir:
( , ) ( , )
X∈B n p ≈ ∈X N np npq
Recordar que en una variable ( , )B n p su media y su desviación típica valen µ =np y σ = npq
respectivamente.
3.1.- CORRECCIÓN DE CONTINUIDAD DE YATES
Cuando aproximamos una distribución binomial mediante una normal, estamos convirtiendo una variable discreta X (toma un determinado número de valores) en una continua Y (toma valores en un intervalo).
Los valores de probabilidad para valores fijos de la variable continua son cero (ya que sería el área de un punto), y necesitamos definir un intervalo. Para evitar este problema en la aproximación de los valores fijos, estos se corrigen (corrección de continuidad o de Yates) sustituyéndolos por un intervalo centrado en el punto y de valor unidad. En el siguiente esquema se muestran todas las situaciones posibles:
Pensemos en el anterior ejemplo: X∈B(100;0,8), vamos a calcular las probabilidades (P X =70)
y (P X >70) utilizando la aproximación por la normal:
(100;0,8) (100 0,8; 100 0,8 0,2) (80;4) X∈B Y∈N ⋅ ⋅ ⋅ Y∈N • (P X =70)
(
)
(
)
(
(
)
(
) (
)
69,5 80 70,5 80 ( 70) 70 0,5 70 0,5 69,5 70,5 2,63 2,38 4 4 2,38 2,63 2,63 2,38 0,9957 0,9913 0,0044 P X P Y P Y P Z P Z P Z P Z P Z − − = = − ≤ ≤ + = ≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤ − = = ≤ ≤ = ≤ − < = − = • (P X >70)(
)
(
)
70,5 80(
)
(
)
( 70) 70 0,5 70,5 2,38 2,38 0,9913 4 P X > =P Y≥ + =P Y≥ =P Z ≥ − =P Z ≥ − =P Z≤ = Ejemplos.1) Si tiramos un dado 100 veces, calculamos la proba bilidad de obtener entre 20 y 33 cincos (ambos inclusive) (Solución: 0,1867)
2) Suponiendo que la probabilidad de que una persona sufra un resfriado es 0,3, ¿qué probabilidad hay de que en un grupo de 200 personas haya 50 resfriadas? (Solución:
Binomial Normal ( ) P X =a P a( −0,5≤ ≤ +Y a 0,5) ( ) P X >a P Y( ≥ +a 0,5) ( ) P X <a P Y( ≤ −a 0,5) ( ) P X ≥a P Y( ≥ −a 0,5) ( ) P X ≤a P Y( ≤ +a 0,5) ( ) P a< <X b P a( +0,5≤ ≤ −Y b 0,5) ( ) P a≤ ≤X b P a( −0,5≤ ≤ +Y b 0,5) ( ) P a< ≤X b P a( +0,5≤ ≤ +Y b 0,5) ( ) P a≤ <X b P a( −0,5≤ ≤ −Y b 0,5)
