Análisis Matemático I CIBEX

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Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias Exactas

Universidad Nacional de La Plata

Unidad 2: Límites y Continuidad

2015 - Primer Cuatrimestre

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana Alonso

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UNIDAD 2

Límites y continuidad

Contenidos de la Unidad 2: Límites para x →x0 nito. Límites laterales. Límites nitos,

innitos y oscilantes. Reglas para operar con límites nitos. Reglas para operar con límites nulos y con límites innitos. Límites para x → ±∞. Asíntotas horizontales y verticales.

Continuidad en un punto. Discontinuidades. Continuidad en intervalos. Teorema del Valor Intermedio.

Clase 2.1. Límite de una función f(x) para x tendiendo a un valor x0

Contenidos de la Clase: Límite parax→x0nito. Límites laterales. Límites nitos, innitos

y oscilantes. Nociones intuitivas y deniciones formales.

La noción de límite que exploramos en esta Unidad es el concepto fundamental que permitió el desar-rollo del Análisis Matemático, tal como lo veremos en este curso.

Cuando en las materias troncales de sus carreras les expliquen distintas leyes y modelos matemáticos de la Naturaleza, verán que no son sucientes los cálculos algebraicos. No se asusten ahora, pero verán que mayormente se utilizan funciones, y que se las relaciona mediante derivadas (en situaciones locales o instantáneas, dando lugar a ecuaciones diferenciales) y mediante integrales (en situaciones globales).

Para comprender el contenido de esos modelos, o más precisamente qué signican las derivadas e integrales en esos modelos, necesitamos primero adquirir la noción de límite. Esta Unidad está dedicada, entonces, a sentar las bases del resto del curso.

2.1.1. Noción de límite para x tendiendo a un valor nito

Vamos discutir algunas ideas, antes de hacer cuentas. Para empezar, ¾a qué se reeren las palabras que están en el título de esta sección?

Cuando hablamos de límite de una función y =f(x) hablamos de describir el comportamiento de la

función en una región particular de su dominio. En primer lugar, no se trata de calcular solo un número, como hacemos para calcular el valor def(x)en un dado valor dex. Se trata de observar todos los valores

que va tomando la función cuandoxes variable, dentro de un cierto conjunto de valores dex. En segundo

lugar, el resultado esperado no es en principio un número, sino algo que nos permita caracterizar "el comportamiento de la función".

Cuando decimos límite paraxtendiendo a un valor nito, por ejemplo para "xtendiendo a 0", estamos

diciendo que la región que nos interesa es la de valores de xbien cercanos a 0, y también que no vamos a

considerar x estrictamente igual a 0.

Intentemos darle sentido a estas ideas en algunos ejemplos. De a poco incorporaremos ideas más precisas, hasta llegar a las deniciones formales.1

1_{Nos parece más importante hoy que incorporen las ideas, antes que las deniciones nales. Incluso no será importante}

que se aprendan las deniciones, sino que ganen conanza en su propia intuición.

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CLASE 2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓNf(x)PARA xTENDIENDO A UN VALOR x0 66

Ejemplo 2.1.1. La energía de repulsión entre dos cargas eléctricas de valor Q1 yQ2 depende de la

distancia r que las separa. La ley de Coulomb enuncia que esta energía está dada por kQ1Q2

r

donde kes una constante universal (la misma para electrones, protones, moléculas, bolitas de ruleman,

etc.)

Consideremos dos electrones, que son partículas de carga negativa, y que al día de hoy se supone que son realmente puntuales (es decir, no tienen un volumen propio). En consecuencia, dos electrones podrían ubicarse tan cerca uno del otro como logremos juntarlos. Para simplicar supongamos que en ciertas unidades la energía nos queda

2

r

¾se puede calcular la energía de repulsión cuando la distancia es bien pequeña?

¾si pensaron en una cierta distancia pequeña, por ejemplo 1, pueden pensar en una distancia

más pequeña?

¾qué sucede con la energía a medida que se consideran distancias todavía más pequeñas? ¾se puede calcular la energía cuando los dos electrones estén en el mismo lugar, es decir que la distancia es r= 0?

En este ejemplo ya estamos pensando en un límite: el comportamiento de la funciónf(r) = 2/rcuando r tiende a 0.

Con más cuidado, notemos que una distancia siempre es positiva, o a lo sumo nula, pero nunca negativa. Como la expresión2/rno está bien denida parar= 0, el dominio de esta función es el intervalo(0,+∞).

El límite que estamos pensando involucra solamente valores dex mayores a 0, o lo que es lo mismo, a la

derecha del0.

Hay una notación particular para referirse a este estudio. Se dice que estamos calculando un límite lateral, que se anota en símbolos

l´ım

r→0+f(r)

y se lee "límite de f(r) parar tendiendo a 0 por la derecha". Hasta ahora esto es una pregunta: "¾cómo

se comporta la funciónf(r) cuandor tendiendo a 0 por la derecha?", que no hemos respondido.

Para continuar este estudio, tenemos al menos tres estrategias:

1. Exploración gráca. Si tenemos un buen gráco de la función f(r), que llegue hasta r = 0 sin

tocarlo, podemos observar qué pasa con el valor def(r)(es decir, la altura de la gráca) a medida

quer se vuelve más y más pequeño.

2. Exploración numérica. Podemos construir una tabla de valores (r, f(r)) con valores de r tan

pequeños como se nos ocurra, y observar los correspondientes valores de f(r).

3. Exploración analítica. Es más abstracta que las anteriores, se trata de pensar qué pasa con la cuenta2/r cuandor se hace arbitrariamente pequeño, sin llegar a valer cero.

Ejemplo 2.1.2. Sigamos con el ejemplo anterior. Empecemos con la exploración gráca. Un gráco de la función f(r) = 2/r, hecho con GeoGebra, se ve así:

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¾qué sucede con la energía a medida que se consideran distancias cada vez más pequeñas? ¾pueden ver la gráca a distancias tan pequeñas como ustedes quieran?

si trabajan en la computadora y cambian la escala de los ejes, ¾pueden ver distancias más pequeñas que antes? ¾pueden ver cualquier distancia?

Aunque no puedan llegar a mirar arbitrariamente cerca der = 0, lo que vemos nos alcanza para armar:

cuando r tiende a0 por derecha, los valores def(r) crecen por encima de cualquier valor dado.

Ahora que ya intuimos el resultado, hagamos una exploración numérica: completen la siguiente tabla de valores, agregando algunos renglones:

r f(r) = 2/r

1

0.1 0.01

...

¾tiene sentido llegar al valor der >0más pequeño posible?

a partir de los valores que hayan tabulado, ¾pueden intuir qué pasará con valores aún más pequeños?

¾pueden armar el mismo resultado que obtuvimos de la exploración gráca?

Ahora que ya hicimos una exploración numérica, intenten una exploración analítica: dado que tenemos un cociente con numerador constante (2) y denominador variable (r positivo),

¾cómo cambia el cociente cuando disminuir el denominador? ¾hasta cuándo podemos disminuimos el denominador? ¾hasta cuánto crece el resultado del cociente?

Como conclusión de cada estrategia de exploración obtenemos la misma información:f(r) crece

arbi-trariamente grande y positivo a medida quertiende a cero por derecha. Se dice quef(r)tiende a "innito

positivo" cuando r tiende a 0 por la derecha; con algunos símbolos, se puede decir lo mismo escribiendo

quef(r)→+∞ cuandor→0+.

El resultado de esta exploración se anota

l´ım

r→0+ 2

r = +∞

y se lee "el límite de 2/r cuando r tiende a 0 por la derecha es más innito". No es el resultado de

una cuenta, sino el resultado de un estudio de comportamiento. Además, es muy importante advertir que el signo = no signica una igualdad entre números: el lado izquierdo es un símbolo que representa el

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comportamiento de la función en una región de su dominio, y en el lado derecho +∞ no es un número,

sino un símbolo para indicar que los valores de la función devienen arbitrariamente grandes.

Esperamos que con este ejemplo tengan una mejor idea de lo que intentamos escribir en el primer párrafo de esta clase: estudiar un límite para x → x0 es estudiar el comportamiento de la función para

valores de xarbitrariamente cercanos a x0 , sin llegar a considerarx igual ax0.

Además del comportamiento que vimos (un caso en que f(r) → +∞), hay otros comportamientos

posibles. Y en general podemos explorar valores dex tanto a la derecha como a la izquierda de un cierto

valorx0. Sigamos discutiendo estas ideas en nuevos ejemplos (que deben trabajar ustedes).

Ejemplo 2.1.3. Supongamos que se quiere analizar la función f(x) = x

2₋₁

x−1 cerca de x0 = 1.

Vemos que no está denida para x0 = 1, pero sí está denida alrededor de ese punto. Si bien no

podemos calcular f(1), podemos realizar una tabla con valores tan cercanos a 1como querramos, para

tratar de determinar el comportamiento de la función cerca de x0 = 1. Les proponemos completar la

siguiente tabla y a partir de ella, responder

¾cuál parece ser el valor al que la función se acerca cuandox está más y más cerca de1?

¾es distinta la respuesta al considerarx a la izquierda o a la derecha dex0= 1?

x tiende a1 por la izquierda x tiende a1 por la derecha

x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25

f(x) ?

f(x) tiende a ... f(x) tiende a ...

Comprueben ahora si su respuesta es correcta gracando la función en una computadora. Recuerden que no hay un punto encima de x0 = 1 (aunque en la pantalla no se note el hueco). Van a obtener algo

como

Cuando hablamos límite def(x) paraxtendiendo a1estamos interesados en el comportamiento de la

función cuando los valores dexse mueven haciax0 = 1, por ambos lados y tan cerca como se quiera, pero

sin llegar a tomarlo. En el ejemplo podemos inferir que a medida x que se acerca más y más a 1, tanto

por la izquierda (se anotax→1−) como por la derecha (se anotax→1+), los valores def(x)están cada

vez más cerca del valor 2. En notación de límites, corresponde escribir los límites laterales l´ım

x→1−f(x) = 2 y_xl´ım_→₁+f(x) = 2

El comportamiento de f(x), tanto por derecha como por izquierda, es nito: los valores de la función se

acercan al valor numérico2. En estos casos, en que los límites laterales dan lo mismo por ambos lados, se

anota simplemente que

l´ım

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Además de límites nitos y de límites innitos, hay otro comportamiento que conviene discutir. Las cuentas son un poco más difíciles, pero con ayuda de una gráca podemos ir ganando intuición al respecto: Ejemplo 2.1.4. Por medio de un gráco de computadora, analicemos el comportamiento def(x) = sen (1/x).

Con GeoGebra verán lo siguiente

¾cuál es el dominio de esta función?

¾cuandox→0+, observan un crecimiento arbitrario def(x)? ¾y cuando x→0−

¾cuando x → 0+, observan que la función se estabilice cerca de algún valor nito? ¾y cuando

x→0−

¾cómo describirían el comportamiento de la función cuandox→0+? ¾y cuando x→0−?

Si no les queda claro el comportamiento, intenten ayudarse con una exploración numérica, construyendo una tabla de valores.

Intenten una exploración analítica. Podrían preguntarse: ¾cómo se comportau = 1/xcuando x→0+? Luego, ¾cómo se comporta la función sen(u) en esa región de valores deu?

En una situación como esta, se dice el límite def(x) parax→0 no existe porque la función oscila.

Con estos ejemplos ya hemos presentado todos los casos de límite parax tendiendo a un valor dado x0. Veamos en algunas actividades si han quedado claras las ideas principales.

Actividad 2.1.5. Interpreten la información dada en cada ítem, y hagan un ejemplo gráco es-quemático de cada situación:

Para cierta funciónf(x) se sabe que, cuando x→3−,f(x)→5.

Para cierta funcióng(x) se sabe que, cuandox→3+,g(x)→ −2.

Para cierta funciónh(x) se sabe quel´ımx→−1+h(x) = 0, y queh(x)→

√

2cuandox→ −1−.

Para cierta funciónm(x) se sabe quel´ım_x→1−m(x) = 0, y quel´ım_x_→₁+m(x) = 0.

Para cierta funciónr(t) se sabe quel´ımt→2r(t) = 2.

Para cierta funciónk(x)se sabe quel´ım_x→7−k(x) = +∞ y quel´ım_x_→₇+k(x) =−∞.

Para cierta funcióna(s)se sabe quel´ıms→−4a(s) = +∞ y quel´ıms→+4a(s) = 0.

Para cierta función p(x) se sabe que, cuando x → −5+el límite no existe porque la función

oscila.

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Estamos preparados para dejar bien escrito qué signica cada límite que hemos presentado. Noten que hay una variedad de comportamientos, por eso hay una variedad de deniciones de límite. Cada denición establece formalmente qué signica un determinado comportamiento.

En realidad, las deniciones formales son un poco duras de leer e interpretar. Se escriben con proposi-ciones lógicas y expresiones de distancias y desigualdades, para indicar conceptos como "arbitrariamente cerca", "arbitrariamente grande" o "sucientemente cerca". En este curso vamos a presentar las mismas deniciones, con todo rigor, pero en un lenguaje coloquial (con palabras en lugar de símbolos de lógica). Por eso decimos que son informales. Pueden buscar en libros, o en nuestro sitio web, la versión matemáti-camente precisa de estas deniciones.

Límite lateral de f(x) cuando x tiende ax0 por izquierda: caso nito

Describamos con cuidado qué signica

l´ım

x→x−₀

f(x) =L

donde x0 es un número real, yLtambién es un número real. Por ejemplo,l´ımx→5−f(x) = 2.

En primer lugar, para que este límite tenga sentido necesitamos que f(x) esté denida al menos en

un intervalo a la izquierda dex0. Es decir, en algún intervalo de la forma(a, x0)con a < x0. No importa

cuanto valea, solo importa que exista alguno. Por ejemplo, podremos estudiarl´ımx→5−f(x)si el intervalo

(−10,−5) está incluido en el dominio de f, pero también alcanzaría que (−5.01,−5)esté en el dominio

de f.

Con este cuidado podemos enunciar la denición:

Definición 2.1.6. Sea f(x) una función denida al menos en un intervalo a la izquierda dex0, de

la forma (x0−r, x0).

Si los valores de f(x) se mantienen tan cerca de un valor joL como se quiera, bajo la condición de

considerarx < x0 y sucientemente cerca de x0, escribimos

l´ım

x→x−₀

f(x) =L

que se lee el límite lateral de f(x), cuandoxtiende a x0 por la izquierda, es igual aL.

Actividad 2.1.7.

Encuentren en las actividades anteriores un ejemplo que corresponda a esta denición. Dada la función

f(x) =

(

2x−1, si x <4

x2+ 3, si x≥4

estimen el valor del límitel´ım_x→4−f(x) .

Observación 2.1.8. Un intervalo abierto de la forma (x0−r, x0), donderes una distancia positiva r >0, se suele llamar entorno a izquierda de x0, de ancho r.

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Límite lateral de f(x) cuando x tiende ax0 por derecha: caso nito

Analicemos ahora qué signica la expresión

l´ım

x→x+₀

f(x) =L

donde x0 es un número real, yLtambién es un número real. Por ejemplo,l´ımx→5+f(x) = 2.

Con el mismo esquema que el caso por izquierda, podemos enunciar la denición:

Definición 2.1.9. Seaf(x) una función denida al menos en un intervalo a la derecha de x0, de la

forma (x0, x0+r).

Si los valores de f(x) se mantienen tan cerca de un valor joL como se quiera, bajo la condición de

considerarx > x0 y sucientemente cerca de x0, escribimos

l´ım

x→x+₀

f(x) =L

que se lee el límite lateral de f(x), cuandoxtiende a x0 por derecha, es igual aL.

Observación 2.1.10. Un intervalo abierto de la forma(x0, x0+r), donderes una distancia positiva r >0, se suele llamar entorno a derecha de x0, de ancho r.

Dibujen un ejemplo, para recordarlo mejor. Actividad 2.1.11.

Encuentren en las actividades anteriores un ejemplo que corresponda a esta denición. Dada la función

f(x) =

(

2x−1, si x <4

x2+ 3, si x≥4

estimen el valor del límitel´ım_x→4+f(x) .

Límite de f(x) cuando x tiende a x0 por ambos lados: caso nito

En muchas ocasiones podemos analizar el comportamiento de una función f(x) cuando x se acerca a x0 tanto por la izquierda como por la derecha. En esos casos se habla simplemente de límite (y se entiende

que se consideran ambos lados). Cuando ese límite es nito, escribiremos la expresión

l´ım

x→x0

f(x) =L

donde x0 es un número real, yLtambién es un número real. Por ejemplo,l´ımx→0f(x) = 3.

Usando el esquema de los casos laterales, podemos enunciar la denición:

Definición 2.1.12. Seaf(x) una función denida al menos en un intervalo a la izquierda de x0, de

la forma (x0−r, x0), y en un intervalo a la derecha de x0, de la forma (x0, x0+r).

Si los valores de f(x) se mantienen tan cerca deL como se quiera, bajo la condición de considerar

la distancia |x−x0|sucientemente pequeña y no nula, escribimos

l´ım

x→x0

f(x) =L

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Conviene recordar esta denición con un gráco:

Cuandox se acerca a x0 en el eje horizontal, f(x)se mantiene cerca L en el eje vertical. Es decir, los

puntos(x, f(x))se mueven sobre la gráca manteniendo su altura cerca de L. El hecho de que f(x) esté

o no esté denida enx0, no inuye en este análisis.

Actividad 2.1.13.

Encuentren en las actividades anteriores un ejemplo que corresponda a esta denición. Dada la funciónf(x) =x2−x+ 2, discutir si les parece cierto que l´ımx→2f(x) = 4.

Observación 2.1.14. La unión de un entorno a izquierda de x0, de radio r > 0, y un entorno a

derecha de x0, del mismo radio, se llama entorno reducido de centro x0 y radio r. Lo vamos a anotar

como un entorno, con un subíndice para indicar que es reducido:

E0(x0, r) ={x: 0<|x−x0|< r}

Es decir, el entorno reducido E0(x0, r)es el conjunto de puntos vecinos a ambos lados de x0, hasta una

distancia r, excluyendo ax0. Se puede representar grácamente

2.1.3. Cuando el límite no existe: límites innitos y comportamiento oscilante

Hasta ahora denimos límites para x→ x0 que existen y dan un resultado nito: cuandox se acerca

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casos en que la función no se acerca a ningún determinado punto. En esos casos se dice que el límite no existe.

Sin embargo, hay formas de distinguir distintos comportamientos cuando el límite no existe. Como vimos en los primeros ejemplos, puede ser que la función crezca más allá de cualquier valor positivo, o que decrezca por debajo de cualquier valor negativo, o que oscile.

Límites innitos

Describamos con cuidado qué signican las expresiones

l´ım

x→x−₀

f(x) = +∞ o l´ım

x→x−₀

f(x) =−∞

donde x0 es un número real. Por ejemplo,l´ımx→5−f(x) =−∞.

Observen que estas expresiones no son igualdades entre números, sino que dan información acerca de comportamientos. El ejemplo nos dice que la función toma valores negativos y con valor absoluto arbitrariamente grandes siempre quexesté sucientemente cerca de5(y sea menor que él). Dicho de otro

modo, la función decrece hacia menos innito .

El esquema es similar a las deniciones anteriores. Caracterizaremos ahora a qué nos referimos con el resultado +∞ y las restantes deniciones quedarán propuestas como actividad.

Definición 2.1.15. Seaf(x) una función denida al menos en un intervalo a la izquierda de x0, de

la forma (x0−r, x0).

Si los valores de f(x) se mantienen positivos y tan grandes como se quiera, bajo la condición de

considerarx < x0 y sucientemente cerca de x0, escribimos

l´ım

x→x−₀

f(x) = +∞

que se lee el límite lateral de f(x), cuandoxtiende a x0 por izquierda, es+∞.

El siguiente gráco muestra este tipo de comportamiento (anotandoaen lugar dex0):

Observen que no se dibuja nada del comportamiento de la función a la derecha de a, smplemente

porque no es lo región que nos interesa en esta denición.

Actividad 2.1.16. Les proponemos ahora que construyan las deniciones (informales) correspondi-entes a distintos casos en que la función crezca positiva o negativamente sin cota cuandox se acerca ax0.

Es decir, que siguiendo el modelo de la denición 2.1.15 le den signicado a:

l´ım_x_→_x− 0 f(x) =−∞ l´ım_x_→_x+ 0 f(x) = +∞ l´ım_x_→_x+ 0 f(x) =−∞ l´ımx→x0f(x) = +∞

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CLASE 2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓNf(x)PARA xTENDIENDO A UN VALOR x0 74 l´ımx→x0f(x) =−∞

Los grácos siguientes ilustran cada situación. Escriban debajo de cada gráco a qué límite corresponde.

Límites oscilantes

Cuando una funciónf(x) esté denida en un entorno a la izquierda dex0 y el límite l´ım_x→x−0 no sea

un número nito, ni sea más ni menos innito, sabremos que la función no se mantiene cerca de ningún valor dado, ni se hace arbitrariamente alta ni arbitrariamente baja. Podemos concluir que la función oscila entre distintos valores sin estabilizar su comportamiento. En consecuencia, se dice que el límite de f(x)

parax tendiendo ax0 por izquierda no existe porque es oscilante (o más brevemente, es oscilante).

Análogamente, cuando una función f(x) esté denida en un entorno a la derecha de x0 y el límite

l´ım_x_→_x+

0 no sea un número nito, ni sea más ni menos innito, se dice que el límite de f(x) para x

tendiendo a x0por derecha no existe porque es oscilante.

El ejemplo típico de este comportamiento es la funciónf(x) =sen

1

x

alrededor de x0 = 0, que ya

hemos gracado más arriba.

2.1.4. Algunas propiedades básicas de los límites

El límite de una funciónf(x) parax→x0 (completo, considerando ambos lados a la vez) involucra el

estudio de los dos límites laterales def(x)para x→x−₀ y parax→x+₀. Los resultados están claramente

relacionados, y conviene recordar que:

Propiedad 2.1.17. Dada una función f(x) denida en un entorno reducido de x0,

si l´ım

x→x0

f(x) =L ( siendo L un número real nito, +∞ o −∞), entonces tienen el mismo

resultado l´ım

x→x+₀

f(x) = l´ım

x→x−₀

f(x) =L.

recíprocamente, si tienen el mismo resultado l´ım

x→x+₀ f(x) = l´ım x→x−₀ f(x) =L, entonces l´ım x→x0 f(x) =L. si no existe lim x→x+₀ f(x) (o bien no existe l´ım x→x−₀ f(x)), entonces no existe l´ım x→x0 f(x).

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si existenlim_x_→_x+

0 f(x) y l´ımx→x

−

0 f(x) pero son distintos, entonces no existe xl´ım→x0

f(x).

Muchas veces estudiaremos unl´ımx→x0f(x) considerando ambos lados a la vez, para ahorrar tiempo.

Pero apenas sospechen que el comportamiento puede ser distinto dependiendo del lado que se mire, tengan el cuidado de calcular los límites laterales por separado.

Otra propiedad básica es que un límite no puede dar dos resultados distintos. Si usan distintas técnicas o razonamientos, el resultado debe ser el mismo. Lo enunciamos así:

Propiedad 2.1.18. Dada una función f(x),

si existelim_x_→_x−

0 f(x), su resultado es único.

si existelim_x_→_x+

0 f(x), su resultado es único.

si existelimx→x0f(x), su resultado es único.

Actividad 2.1.19.

Calculen los límites laterales de la función

f(x) =

(

2x+ 1, si x <2

x2+k, si x >2

dondekes un número jo, por ambos lados dex0 = 2. ¾Para qué valor dekexistelimx→2f(x)?

Para la función

g(x) =

(

−1, si x <0 1, si x >0

decidan si es verdadera o falsa la armación: "g(x) tiene dos límites distintos parax→1"

2.1.5. Asíntotas verticales

En los ejemplos en que el límite de f(x) parax tendiendo a x0 (por derecha o por izquierda) da un

resultado innito, hemos comprobado que las grácas tienden a ubicarse verticalmente, acercándose más y más a la recta vertical de ecuaciónx=x0. Esta recta se llama asíntota vertical y resulta una guía visual

para trazar la gráca. Observen que a veces este comportamiento puede darse de un solo lado de la gráca (por izquierda o por derecha) y otras veces puede darse por ambos lados.

Definición 2.1.20. La rectax=x0 se llama asíntota vertical de la curva y=f(x) si

l´ım

x→x−₀

f(x) = +∞(o bien− ∞) o l´ım

x→x+₀

f(x) = +∞(o bien− ∞).

Siempre que encuentren una asíntota vertical conviene describir cual es el comportamiento de cada lado: si es asíntota vertical por izquierda (o por derecha) con valores arbitrariamente negativos (o positivos). 2.1.6. Denición formal de límite

Por completitud, nalizaremos esta clase presentando la denición formal de límite. En la clase 2.2 encontrarán algunas actividades que les servirán para ver cómo se construye y utiliza esta denición.

No insistiremos con este tipo de trabajo formal. Sin embargo, recuerden que para cada límite intuitivo que usemos en el curso hay una demostración rigurosa que lo respalda.

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Definición 2.1.21. Límite lateral por derecha, con resultado +∞

Sea f(x), denida al menos en un intervalo a derecha de x0, de la forma (x0, x0+r).

Se dice que

l´ım

x→x+₀

f(x) = +∞

si y solo si para cada M >0 existe una distancia >0 tal que

x0 < x < x0+⇒f(x)> M

Definición 2.1.22. Límite para x→x0, con resultado nito

Sea f(x), denida al menos en un entorno reducido dex0.

Se dice que

l´ım

x→x0

f(x) =L

si y solo si para cada >0 existe una distancia δ >0 tal que 0<|x−x0|< δ⇒ |f(x)−L|<

2.1.7. Ejercitación

Para terminar la clase, les proponemos que revisen los ejemplos de la sección 2.1.1 y discutan cómo se aplican las deniciones en cada caso.

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CLASE 2.2. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 77

Clase 2.2. Actividades de integración

Contenidos de la clase: Ejercitación con límites para x tendiendo a un valor nito.

Re-conocimiento de situaciones y uso de las deniciones correspondientes. Asíntotas verticales. 2.2.1. Exploración de límites

Ejercicio 2.2.1. Un paciente recibe una inyección de150mg de un fármaco cada4 horas. El gráco

muestra la cantidad de fármaco f(t) en el torrente sanguíneo después de thoras. Encontrar l´ım

t→12−f(t)

y l´ım

t→12+f(t) y explicar el signicado de estos límites laterales.

Ejercicio 2.2.2.

Dadas las funciones que están gracadas a continuación, determinen el valor de cada cantidad indicada, si existe. En caso de que no exista expliquen por qué.

1. a) l´ım x→1−f(x); b) _xl´ım_→₁+f(x) ; c)f(1); d)xl´ım→5h(x); e)f(5). 2. a) l´ım x→−3−h(x); d) h(−3); g)_xl´ım_→₀h(x); j) _xl´ım_→₂h(x); b) lim x→−3+h(x); e)_xl´ım_→₀−h(x); h)h(0); k)_xl´ım_→₅−h(x); c) l´ım x→−3h(x); f) xl´ım→0+h(x); i)h(2); l)_xl´ım_→₅+h(x).

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1. exploren los siguientes límites a) l´ım

x→−3−f(x); b) _x_→−l´ım₃+f(x); c)_xl´ım→0f(x); d) xl´ım→2f(x); e)xl´ım→5f(x).

2. hallen las ecuaciones de las asíntotas verticales.

Ejercicio 2.2.4. Dadas las siguientes funciones, indiquen en qué puntos tienen alguna asíntota vertical (si es que la tienen) y den la ecuación de cada asíntota.

Ejercicio 2.2.5. Realicen un gráco posible para una funciónf(x) que cumpla

1. f(2) = 2, f(−3) = 0, l´ımx→2f(x) = 0, l´ım x→−3−f(x) = 1, _x_→−l´ım₃+f(x) = +∞. 2. f(0) = 4, f no esté denida en x = 3, l´ım x→3f(x) = 0, f sea creciente en x > 3, l´ım x→0f(x) = +∞.

(16)

Ejercicio 2.2.6. Calculen los límites laterales de

f(x) = 4

x−2

cuandox tiende a2. Indiquen si existe una asíntota vertical y describan el comportamiento de la función

a cada lado de la misma.

Ejercicio 2.2.7. Por medio de una exploración analítica encuentren el valor de 1. l´ım x→0|x| 2. l´ım x→2 x2₋₄ x−2

Describan grácamente el comportamiento de cada función a ambos lados del punto estudiado. Ejercicio 2.2.8. Sea la funciónf(x) = 1

|x|+

1

x.

1. Identiquen el dominio natural y encuentren una expresión a trozos para esta función. 2. Calculen los límites laterales def(x)cuandox→0. ¾Existe l´ım

x→0f(x)?

3. Comprueben que f tiene una asíntota vertical enx= 0.

4. Graquen la función para comprobar los resultados. Ejercicio 2.2.9.

1. Consideren la función:f(x) = x

x−3, denida para x6= 3.

a) mediante una gráca de computadora o tabla de valores para x cercanos a 3 analicen la

existencia de los límites laterales.

b) den una explicación analítica del comportamiento de f(x) a ambos lados dex= 3.

2. Repitan la actividad anterior pero ahora con la función: g(x) = x

(x−3)2, denida para x 6= 3.

¾Por qué obtienen signos distintos que antes?

3. Por último, consideren ahora la función denida a trozos: h(x) =

( x

x−3 si x <3

x+ 1 si x≥3 .

4. ¾Podrían armar que las grácas de las tres funciones se acercan a la recta vertical de ecuación

x = 3 cuando x se acerca a 3? Describan en cada caso cómo se acercan las grácas a la asíntota

vertical.

Ejercicio 2.2.10. A partir de las grácas de las funciones trigonométricas, les proponemos que de-terminen cuáles poseen asíntotas verticales y que den las ecuaciones de las mismas.

Ejercicio 2.2.11. Comprueben, a partir de su gráca, que la función logaritmo natural f(x) = lnx

posee una asíntota vertical enx= 0.

¾Cuál es el l´ımx→0+lnx?

Observen que en este caso sólo puede considerarse asíntota vertical por derecha ya que Domf = (0,+∞).

(17)

2.2.2. Uso de las deniciones de límite

Les proponemos un trabajo guiado sobre límites sencillos: el objetivo es demostrar formalmente que estos límites obtenidos por exploración cumplen con las deniciones correspondientes.

Aunque no intentamos ser tan rigurosos en este curso, estas dos actividades guiadas les servirán para descubrir cómo se construyen y se usan las deniciones matemáticamente formales de límite.

Actividad 2.2.1. Consideren la función f(x) = 1

x, para estudiar su límite cuando x → 0

+_{. Una}

exploración (gráca, numérica, analítica) nos permite intuir que

l´ım

x→0+ 1

x = +∞

Sin embargo, realmente no hemos calculado este límite. Solo lo hemos intuido. ¾Cómo podemos asegurar que esta intuición es correcta? La manera de demostrar que el límite es +∞ es aplicar la

denición correspondiente.

En primer lugar, veriquen que hay algún entorno a derecha de 0 donde la función está bien

denida.

Ahora, vean que los valores de la función se mantienen tan grandes como se quiera en alguna región apropiada de valores de xa la derecha de 0 (es decir,x >0):

si pretenden quef(x)>100, ¾qué tan cerca de 0deben estar los valores de x >0?

si pretenden quef(x)>1000, ¾qué tan cerca de0deben estar los valores de x >0?

si proponen un valor bien grande deM positivo, y pretenden quef(x)> M, ¾qué tan cerca de

0deben estar los valores de x >0?

¾encuentran una condición apropiada para los valores dex, que para cualquier valor deM >0

asegure quef(x)> M?

Si lograron contestar la última pregunta, han probado formalmente que l´ım_x→0+ 1

x = +∞ (de acuerdo

a la denición 2.1.21).

Ejercicio 2.2.12. Hagan un trabajo similar al anterior para asegurar quel´ımx→0−

1

x =−∞.

Actividad 2.2.2. Analicen si es cierto quel´ımx→2(2x+ 1) = 5. Para ello,

en primer lugar, veriquen quef(x) = 2x+ 1está denida en algún entorno reducido dex0 = 2.

luego, escriban la distancia entre f(x) = 2x+ 1 y L = 5 como |f(x)−L|= |(2x+ 1)−5|=

|2x−4|= 2|x−2|

¾qué tan pequeña debe ser la distancia entrexy2para garantizar que|f(x)−L|es menor que

0.1?

¾qué tan pequeña debe ser la distancia entrexy2para garantizar que|f(x)−L|es menor que

0.001?

tomando >0como una distancia pequeña cualquiera, ¾qué tan pequeña debe ser la distancia

entrex y2para garantizar que |f(x)−L|< ?

Si encontraron una respuesta para la última pregunta, han probado formalmente quel´ımx→2(2x+ 1) =

(18)

CLASE 2.3. REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES 81

Clase 2.3. Reglas de cálculo de límites

Contenidos de la clase: Puntos de continuidad. Límites de funciones construidas mediante operaciones entre funciones básicas. Reglas para operar con límites nitos. Reglas para operar con límites nulos en los denominadores. Casos indeterminados.

2.3.1. Cuando los límites son evidentes: puntos de continuidad

La cuestión del límite de una funciónf(x) parax→x0 aparece naturalmente cuandox0 es un punto

difícil. Por ejemplo, un valor donde el denominador de un cociente se hace cero, o un punto donde la función cambia de fórmula. Sin embargo, podemos estudiar también puntos fáciles, donde la función no presenta ningún obstáculo.

Ejemplo 2.3.1. Consideremos la función lineal f(x) = x+ 3, denida en todo el eje real, y

es-tudiemos sus límites para x→2.

Una exploración (gráca, numérica, o analítica) de valores de x cercanos a x0 = 2, sin tocarlo, nos

indica que los valores def(x)se acercan a 5 :existen los límites tanto por izquierda como por derecha,

y ambos valen 5. Luego,

l´ım

x→2x+ 3 = 5

Además vemos que x0= 2 está en el dominio de la función. Se puede evaluar sin dicultadf(2) = 2 + 3=5.

Encontramos entonces que

l´ım

x→2f(x) =f(2)

No es casualidad que l´ımx→2f(x) yf(2) coincidan, es lo que pasa con la mayoría de las funciones

en los puntos fáciles.

En este ejemplo encontramos quel´ımx→x0f(x)da el mismo resultado que calcularf(x0). Sin embargo,

queremos insistir en que calcular un límite para x → x0 y calcular el valor de una función f(x0) son

conceptos totalmente distintos. Cuando estos dos conceptos distintos dan el mismo resultado, se dice que la función es continua enx0.

Definición 2.3.2. Dada una función f(x), denida al menos en un entorno de un punto x0, se dice

quef es continua en x0 si

l´ım

x→x0

f(x) =f(x0)

(19)

1. f(x0) está denida, es decirx0 pertenece al dominio de la función,

2. f(x)está denida también en algún entorno de x0, se puede calcular, existe y es nito l´ım

x→x0

f(x),

3. los resultados de evaluar el límite y de evaluar la función son iguales.

Cuando no ocurre alguna de estas tres condiciones, la función no es continua enx0. Diremos que la función

es discontinua (o que tiene una discontinuidad) en dicho punto.

Grácamente, la continuidad def(x)enx0 asegura que podemos unir el trazo de la gráca viniendo por

la izquierda dex0 con el trazo viniendo por la derecha de x0, justo en el punto(x0, f(x0))que representa

el valor de la función. Es decir, que el trazo no se interrumpe2 _{al pasar por}₍_x

0, f(x0)).

En la práctica, si sabemos de antemano que una función es continua en un punto, nos podemos ahorrar el trabajo de calcular un límite: usamos la denición de continuidad para asegurar que el límite existe y es igual al valor de la función en ese punto.

Actividad 2.3.3. Analicen la función recíproca f(x) = 1/x.

veriquen quef(x) es continua en x= 1.

veriquen quef(x) no es continua enx= 0.

Recuerden que una misma función puede ser continua en algunos puntos, y a la vez ser discontinua en otros puntos.

Les proponemos revisar las funciones básicas vistas en la Unidad 1 y reconocer dónde son continuas. Mediante una exploración gráca pueden convencerse de que todas las funciones básicas en general son continuas, excepto en los pocos puntos en que tienen obstáculos. Podemos hacer una lista:

Propiedad 2.3.4.

Las funciones polinómicas (constante, lineal, cuadrática, cúbica, etc.) son continuas en cada punto de (−∞,+∞).

La función recíproca f(x) = 1/xes continua en cada punto (−∞,0)y en cada punto de (0,+∞).

No es continua en x= 0.

Las funciones seno y coseno son continuas en cada punto de (−∞,+∞).

Las funciones exponenciales (de cualquier base) son continuas en cada punto de (−∞,+∞).

Las funciones logaritmo (de cualquier base) son continuas en cada punto de (0,+∞).

La función√x es continua en(0,+∞). Enx= 0no se puede calcular el límite completo, solo por

derecha: l´ım_x→0+

√

x=√0 = 0.

Ejercicio 2.3.1. Graquen la siguiente función, usando sus conocimientos de rectas y parábolas:

f(x) =      2 +x, si x <−1 −x, si −1≤x <1 (x−1)2, si x≥1

Indiquen para qué valores dea∈_Rexiste l´ım

x→af(x). Indiquen dónde es continua y dónde es discontinua

la función.

Ejercicio 2.3.2. Usando la noción de continuidad, calculen los siguientes límites y justiquen sus resultados: 1) l´ımx→5 x2−3x+ 1 2) l´ımx→25 √ x 3) l´ımx→1lnx 4) l´ımx→πcosx 5)l´ımx→0ex

(20)

2.3.2. Reglas para operar con límites

Una vez que podemos reconocer límites de funciones sencillas, podemos usarlos para calcular límites de funciones más elaboradas. Nos referimos a funciones escritas como sumas, restas, productos, cocientes y composición de funciones sencillas.

Al estudiar funciones elaboradas, las formas de exploración intuitiva no resultan ecientes. La explo-ración analítica se complica cuando combinamos términos y factores con distinto comportamiento, por ejemplo en el producto de una cantidad muy pequeña por una muy grande. Hacer una tabla de valores en general lleva mucho tiempo, y no sabemos si elegimos los valores más representativos. Incluso una gráca de computadora puede dar indicios erróneos porque vemos solo una región, nunca la gráca completa.

Ejemplo 2.3.5. Por ejemplo, no es evidente el comportamiento del límite

l´ım

x→0+xlnx

¾cómo se comporta cada factor?

Ejemplo 2.3.6. Graquen con GeoGebraf(x) = 20 exp(−10x2). ¾Les parece que tiene una asíntota

vertical en x= 0? ¾Qué pasa si cambian la escala para ver alturas mayores que y= 20?

El modo práctico y eciente de calcular estos límites se basa en reglas prácticas, que relacionan límites de funciones conocidas. Lo llamaremos álgebra de límites. La utilidad de las reglas prácticas se puede sintetizar en varios puntos:

Las reglas prácticas permiten analizar fórmulas complicadas en términos de expresiones más sen-cillas, sin necesidad de hacer las grácas.

Describen con precisión cuándo se pueden usar, y cuándo no. Cuando las reglas no se pueden usar, es momento de tomar los recaudos necesarios y mirar tablas o grácos con mayor cuidado. Simplican los cálculos y razonamientos donde haya que evaluar límites.

El cálculo de límites mediante reglas se elabora en tres etapas:

1. Descomponer la expresión de la función que se estudia en términos de operaciones entre funciones más sencillas.

2. Reconocer los límites de esas funciones sencillas. Si es necesario, descompondrá cada expresión hasta que sea realmente sencilla.

3. Aplicar las reglas propiamente dichas.

Para reconocer los límites de funciones básicas nos basamos en sus grácos, vistos en la Unidad 1, y en la noción de continuidad.3

Reglas algebraicas de límites nitos

La siguiente lista enumera las primeras propiedades de los límites que utilizaremos para el cálculo.

3_{Como ya mencionamos, sepan que cada límite que aceptamos está respaldado por demostraciones rigurosas. No}

(21)

Propiedad 2.3.7. Supongamos que l´ım

x→af(x)yxl´ım→ag(x)existen y son nitos, y seakuna constante

real. Entonces 1. existe lim x→a(f(x) +g(x)) = limx→af(x) + limx→ag(x) 2. existe lim x→a(kf(x)) =k xlim→af(x) 3. existe lim x→a(f(x).g(x)) = limx→af(x)·xlim→ag(x) 4. si lim x→ag(x)6= 0, existe xlim→a f(x) g(x) = limx→af(x) limx→ag(x)

En cada caso, deben calcular primero los límites def(x)yg(x)por separado. Si existen, y son nitos,

la expresión de la derecha les dice cuál es el resultado de los límites planteados. Ejemplo 2.3.8. Supongamos que l´ım

x→2f(x) = 4 y quexl´ım→2g(x) = 5. Calculemos a partir de las reglas

anteriores los siguientes límites: 1. l´ım

x→a(5f(x)−g(x)) = 5 l´ımx→2f(x)−xl´ım→2g(x) = 5·4−5 = 15.

Hemos utilizado las reglas 1 y 2 para llegar al resultado. 2. l´ım

x→2 g(x)

f(x)−2.

Calculemos primero el límite del denominador:

l´ım

x→2(f(x)−2) = l´ımx→2f(x)−2 = 4−2 = 2. Como es distinto de cero, se puede utilizar la

regla 4, y entonces l´ım x→2 g(x) f(x)−2 = l´ımx→2g(x) l´ımx→2(f(x)−2) = 5 2 3. l´ım x→2 f(x).g(x) 4−f(x) . Como lim

x→2(4−f(x)) = 4−xlim→2f(x) = 4−4 = 0 , no puede utilizarse la regla del límite de un

cociente. Explorando el comportamiento del numerador y del denominador ¾qué piensan que ocurre con este límite?

Intuitivamente estas reglas parecen ser ciertas. Para la primera, por ejemplo, si los valores de f(x)

están muy cerca deL cuando x tiende a a, y los de g(x) están tan cerca como se quiera de M cuando x

se acerca aa, es muy razonable pensar que los valores def(x) +g(x)van a estar muy cerca deL+M. La

denición formal de límite nos permite demostrar efectivamente todas las propiedades. No lo haremos,pero pueden encontrar más detalle en los libros sugeridos para este curso, o en nuestro sitio web.

Para recordar estas propiedades se las suele expresar diciendo:

el límite de una suma es la suma de los límites, si ambos existen y son nitos.

el límite de una constante por una función es el producto de la constante por el límite de la función, si este último existe y es nito.

el límite de un producto es el producto de los límites, si ambos existen y son nitos.

el límite de un cociente es el cociente de los límites, cuando ambos existen, son nitos, y el límite del denominador no es cero.

Afirmación 2.3.9. Las reglas que hemos enunciado para límites son válidas también para el cálculo de límites laterales, cuando x→a− o x→a+.

(22)

2.3.3. Cuando el denominador de un cociente tiende a cero

Sabemos que el límite de un cociente es el cociente de los límites siempre que el denominador no tienda a 0. ¾Y qué pasa cuando el denominador tiende a cero?

Primero insistimos en que no podemos usar directamente la regla del cociente. Segundo, no quiere decir que el límite no exista, simplemente, tenemos que seguir trabajando para averiguarlo.

Vamos a discutir dos casos:

que el numerador tienda a un límite nito distinto de cero y el denominador tienda a cero (se suele decir límite tipo "1/0")

que el numerador tienda a cero, y el denominador también (se suele decir límite tipo "0/0")

"Límite tipo 1 sobre 0".

En estos casos, cuando el numerador tienda a un límite nito distinto de cero y el denominador tienda a cero, podemos asegurar que el valor absoluto del cociente tiende a innito (como cierta cantidad nita dividido algo arbitrariamente pequeño).

Recomendamos entonces analizar los límites laterales, para decidir en cada lado si el límite del cociente es+∞o−∞. El numerador seguramente mantiene el mismo signo desde ambos lados, pero el denominador

que tiende a cero puede tomar valores positivos o negativos según el lado que se mire. Finalmente, aplicamos la regla de signos de un cociente.

Ejemplo 2.3.10. Estudien los límites

l´ım x→3− x3 x−3 y xl´ım→3+ x3 x−3

Primero estudiamos el numerador y el denominador por separado:

- el numerador tiende a 27 por ambos lados de 3, porque x3 es una función continua en a= 3 (luego l´ımx→3x3 = 33 = 27)

- el denominador tiende a0por ambos lados de3, porquex−3es una función continua ena= 3 (luego l´ımx→3x−3 = 3−3 = 0). Además, según x tienda a 3 por izquierda o por derecha, el denominador x−3se acerca a cero con distinto signo:

por izquierda sabemos que x <3, luego x−3<0(es negativo)

por derecha sabemos que x >3, luegox−3>0(es positivo)

Entonces, l´ım_x→3−

x3

x−3 = −∞ y l´ımx→3+

x3

x−3 = +∞. Claramente, la función presenta una

asíntota vertical en a= 3.

"Límite tipo 0 sobre 0".

A lo largo del curso encontrarán muchos casos de cocientes de dos funciones donde tanto el numerador como el denominador tienden a 0cuando nos acercamos a cierto valor x0 del dominio.

Con esta información no podemos determinar la existencia del límite; de hecho, hay ejemplos del tipo 0 sobre 0 donde el límite del cociente es un número nito L 6= 0, otros ejemplos donde el límite del

cociente es cero, e incluso otros donde el límite del cociente es ±∞). Por esto se dice que se trata de un

límite indeterminado: la inspección del numerador y del denominador no es suciente para determinar ni la existencia ni el valor del límite.

(23)

analicen ell´ımx→0 x3

x2. Si miran numerador y denominador por separado, resulta indeterminado

del tipo 0 sobre 0. Pero si simplican primero (teniendo en cuenta que en el estudio del límite no se mira el valorx= 0) encuentran

l´ım x→0 x3 x2 = l´ım_x_→₀x= 0 analicen ell´ımx→0 x

l´ım x→0 x x2 = l´ım_x_→₀ 1 x

que da ±∞según el lado que se mire.

analicen ell´ımx→0 x2

l´ım

x→0 x2

x2 = l´ım_x_→₀1 = 1

Estos ejemplos son un poco tontos, porque es muy fácil simplicar y evitarse las dicultades. Sin embargo ilustran dos puntos clave:

- que el límite de un cociente del tipo 0 sobre 0 puede dar distintos resultados, - y que en esos casos es muy útil simplicar, para evitar la indeterminación.

En general, aprovechando quex está tan cerca dex0 como se quiera, pero sin ser nuncax0, intentamos

manipular algebraicamente la expresión para transformarla en otra donde sí podamos utilizar nuestras reglas. Por ejemplo, discutan el siguiente

Ejemplo 2.3.12. En la Actividad 2.1.3, concluimos que l´ım

x→1f(x) = l´ımx→1 x2−1

x−1 =2 a partir de una

tabla de valores. Queremos comprobar nuestra respuesta mediante el uso del álgebra de límites. Pero, como el numerador y el denominador tienden a 0, no podemos hacerlo directamente. El límite es

indeterminado y hay que trabajar un poco más:

1. Parax6= 1 reescriban la función, factorizando el numerador. (Ayuda: para el numerador deben

llegar a la expresión x2−1 = (x−1)(x+ 1)).

2. Simplicando, comprueben que f(x) = x+ 1, mientras x 6= 1. Recuerden que f(x) no está

denida parax= 1.

3. Calculen ahora l´ım

x→1f(x), usando la expresión simplicada.

4. ¾Verdad que resulta sencillo después de acomodar la expresión? Al simplicar, se dice que han salvado la indeterminación.

Para simplicar cocientes serán útiles todas las operaciones algebraicas que hayan aprendido en el colegio: factorear, simplicar, sacar denominador común, racionalizar denominadores, etc. Si les resulta necesario un repaso, pueden encontrar ejercitación en el sitio web; sugerimos que consulten todas sus dudas en clase.

(24)

2.3.4. Límites de funciones compuestas

Muchas funciones se construyen como composición de funciones más sencillas, con la forma general

f(x) =g(u(x)). Al estudiar un límite de una función de la forma g(u(x))podemos explorar por separado

el comportamiento de la "función de adentro"u(x)y el de la "función de afuera"g(u). Veamos un ejemplo.

Actividad 2.3.13. Analicen estas situaciones: 1. Comprueben que l´ım

x→2(x+ 1)

2 _{= 9}_{. ¾Qué reglas prácticas sobre límites utilizaron?}

2. Proponemos ahora esta idea: llamando u(x) =x+ 1, podemos escribir f(x) = (x+ 1)2 como

una función compuesta:

f(x) = (u(x))2

3. Ahora, cuando x → 2, tendremos u(x) = x+ 1 → 3. ¾Les parece correcto razonar que, para

estudiarx→2, podríamos estudiar directamenteu→3? Es decir, l´ım

x→2(x+ 1)

2 _{= l´ım}

u→3u 2_?

¾Obtienen9como resultado?

Si consideramos las funcionesu(x) =x+ 1 ,g(u) =u2 y la composición f(x) = (g◦u) (x) =g(u(x)),

los cálculos que hicimos nos muestran que, teniendo en cuenta queu→2, l´ım

x→1(g◦u) (x) = l´ımx→1g(u(x)) = l´ımu→2f(u)

Este ejemplo sugiere una nueva regla: proponer una sustitución o un cambio de variables, que for-malmente está basada en la composición de funciones. La regla, con sus condiciones de aplicabilidad, se formula como:

Teorema 2.3.14. Seanu yg dos funciones que verican queImu⊂Domg.

Si

1. existe el l´ımx→au(x) =b

2. g(u) es continua en el punto u=b (es decir, existe l´ımu→bg(u) =g(b)

entonces existe el l´ımx→ag(u(x)) y vale

l´ım

x→ag(u(x)) = l´ımu→bg(u).

Esta regla justica lo hecho en la Actividad 2.3.13, donde usamos la noción de función compuesta para calcular límites. Las funciones u(x) = x+ 1 yg(u) = u2 verican las hipótesis del enunciado, por lo que

podemos conar en que

l´ım

x→2(x+ 1)

2 _{= l´ım}

u→3u 2_{= 9}

2.3.5. Desigualdades y regla de compresión

Terminamos esta clase discutiendo cómo se relacionan los límites de distintas funciones relacionadas por desigualdades.

(25)

1. ¾Podrían señalar un entorno de1 donde f(x)≤g(x)?

2. ¾Existen los límites de f(x) y de g(x) cuandox tiende a 1? ¾Qué relación de orden hay entre

ellos?

Actividad 2.3.16. Consideren ahora las grácas de f(x),g(x)yh(x).

1. ¾Podrían señalar un entorno reducido de1donde f(x)≤g(x)≤h(x)?

2. ¾Qué ocurre ahora con los límites de las funciones cuandox tiende a1?

Lo que vemos en este ejemplo es una situación bastante intuitiva: por un lado, los límites de f(x) y

g(x) mantienen la misma relación de orden que las funciones. Por otro lado, si los límites de f(x) yg(x)

coinciden, una funciónh(x) atrapada entre ellas tiene el mismo límite.

Esta situación se formaliza con los siguientes teoremas:

Teorema 2.3.17. Sean dos funciones f(x) y g(x) denidas en un entorno reducido de a. Sif(x)≤ g(x) para todo x n ese entorno reducido, y los límites de f y g existen cuando x→a, entonces

l´ım

(26)

Teorema 2.3.18. Seanf(x), g(x) yh(x) funciones denidas en un entorno reducido dea. Sif(x)≤ g(x)≤h(x) para todo x en ese entorno reducido, y l´ım

x→af(x) = l´ımx→ah(x) =L, entonces

l´ım

x→ag(x) =L.

Este último resultado se suele llamar la regla de la compresión, del encaje o del sandwich, porque grácamente la función que nos interesa se encuentra entre medio de las otras dos; cuando ambas tienen el mismo límite, la que está entre medio no tiene otra posibilidad que tener el mismo límite también.

Con los mismos razonamientos, estos resultados son válidos también para límites laterales cuando x

tiende aa+ _{o a}_a−_.

La utilidad de la regla decompresión aparece cuando no conocemos el límite de cierta función pero sí tenemos la información de los límites de dos funciones que la acotan por abajo y por arriba. Como ejemplo, vamos a utilizar este resultado para demostrar un límite importante: l´ım

x→0

senx x = 1.

2.3.6. Un límite indeterminado especial: l´ımx→0 sen_x x

Hay casos de límites tipo "cero sobre cero" que no se pueden salvar mediante manipulación algebraica. Un caso importante es

l´ım

x→0

senx x

Actividad 2.3.19. Hagan una gráca cuidadosa de senx

x cerca dex0 = 0, con ayuda de GeoGebra.

(27)

¾Existe el límite l´ımx→0sen_xx? ¾Cuánto parece valer?

Recuerden a partir de este ejercicio que

l´ım

x→0

senx

x = 1

Este resultado se puede probar de varias maneras. Una de ellas es usando la regla de compresión. Les proponemos hacerlo como una actividad guiada:

Actividad 2.3.20. Más arriba concluimos que l´ım

x→0

senx

x = 1, a través de un análisis gráco.

Proponemos ahora hacer una demostración de este resultado.

1. En la circunferencia trigonométrica, graquenx, senx ytanx parax pequeño y en el primer

cuadrante. Comprueben geométricamente que senx≤x≤tanx.

2. invirtiendo desigualdad anterior, demuestren que six >0, cosx

senx ≤

1

x ≤

1

senx.

3. Multiplicando todos los términos por senx >0 veriquen que cosx≤ senx x ≤1.

4. Apliquen la regla de la compresión para concluir que l´ım

x→0+

senx x = 1.

5. Finalmente, observando que f(x) = senx

x es una función par, utilicen la sustitución u = −x

para calcular por izquierda l´ım

x→0−

senx x = 1 .

2.3.7. Ejercitación

(28)

CLASE 2.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: EJERCITACIÓN CON LÍMITES PARA x→x0. 91

Clase 2.4. Actividades de integración: ejercitación con límites para x→x0.

Contenidos de la clase: Uso de reglas prácticas para calcular límites parax→x0.

Ejercicio 2.4.1. Supongamos que las siguientes son las grácas de dos funcionesf(x)yg(x). Calcular,

si es que existen, los siguientes límites. Justiquen a partir de las reglas de límites. a) l´ım

x→−2[f(x) + 5g(x)] b) xl´ım→1[f(x).g(x)] c)xl´ım→2 f(x)

g(x)

Ejercicio 2.4.2. Discutan si las siguientes funciones presentan asíntotas verticales. En cada caso describan el comportamiento lateral.

1. a)f(x) = 2 x−5 b)g(t) = −1 (t+ 1)2 c)h(x) = 3 x2₋₂_x₋₂ d)f(t) = x x2₋₂_x₋₂

Ejercicio 2.4.3. Les proponemos que, usando las propiedades de los límites y de las funciones conti-nuas, realicen los siguientes cálculos:

1. Sabiendo que l´ım x→af(x) =L, calculen xl´ım→a(f(x)) 2_, l´ım x→a(f(x)) 3_, l´ım x→a(f(x)) 4_{. Si} n∈_N,¾qué valor propondrían para l´ım x→a(f(x)) n_? 2. l´ım x→2 x 2_{+ 3}_x5₋₇

3. Consideremos la función polinomialp(x) =a0+a1x+a2x2+. . .+anxn. ¾Qué valor propondrían

para l´ım

x→x0

p(x)?

Ejercicio 2.4.4. Supongamos que l´ım

x→2f(x) = 3. 1. Calcular l´ım x→2x f(x) yxl´ım→2 f(x)−3 5 +x . 2. Si l´ım

x→2f(x).g(x) = 5, ¾qué se puede decir sobrexl´ım→2g(x)?

Ejercicio 2.4.5. Calcular los siguientes límites, aplicando las reglas permitidas. a) l´ım x→2 x3+ 3−x (x2₋₁₎2 ; b) xlim→2 x2−12 x3_{+ 3}₋_x; c)_xlim_→₀ x+ 5 x3_{+ 3}₋_x Ejercicio 2.4.6. 1. Seaf(x) =x 3₋₁ x−1 . a) Calcular l´ım x→1+f(x); _xl´ım_→₁−f(x).

(29)

b) ¾Existe l´ım

x→1f(x)?

c) Gracar f(x).

2. Repetir los puntos (a,b,c), ahora con la función f(x) = x

3₋₁ |x−1|.

Ejercicio 2.4.7. Calcular los límites indicados. Cuando sea necesario, reescribir adecuadamente la expresión.

1. f(x) = x+ 3

x2₋₉ ;_xl´ım_→₁f(x); _xl´ım_→−₃f(x)

2. g(u) = √u−4

u−2;ul´ım→4g(u). Sugerencia

4_{: multiplicar y dividir por}√_u_{+ 2}_{y utilizar luego el ejercicio}

2.4.9. 3. f(t) = √ t−5 t−25 ;tl´ım→9f(t); tl´ım→25f(t) 4. f(h) = (3 +h) 2₋₉ h ;hl´ım→0f(h)

Ejercicio 2.4.8. Calcular los siguientes límites. 1. l´ım x→−4 1 4+ 1 x 4 +x 2. l´ım h→0 (3 +h)−1−3−1 h 3. l´ım x→0 1 x − 1 x2₊_x

Ejercicio 2.4.9. En este ejercicio no les damos el punto x0 donde calcular el límite, sino que les

pedimos que consideren todos losx0 posibles. Operando con funciones conocidas indiquen para qué valores

de a∈R existe l´ım x→af(x). 1. f(x) = tanx 2. f(x) =e2x 3. f(x) = sinhx 4. f(x) = coshx

5. f(x) = √n_x (distinguir_n par o impar)

Ejemplo 2.4.1. Utilizando que l´ım

x→0

senx

x = 1, podemos calcular varios límites. Como sugerencia

general, la idea es reescribir la función de forma que aparezca senx

x y luego aplicar reglas.

Calculemos por ejemplo lim

x→0

tanx

x . Como se trata de un cociente, inspeccionamos el numerador y

el denominador:

l´ımx→0tanx= 0 (porque conocemos la gráca de la funcióntanx, que es continua enx= 0 )

limx→0x= 0

Nos encontramos con un límite tipo "cero sobre cero" que no se puede simplicar. La estrategia es escribir tanx x = 1 x senx cosx = 1 cosx senx x

(30)

Como l´ımx→0cosx = 1 (porque conocemos la gráca de la función cosx, continua en x = 0 ) y

l´ımx→0 sen_xx = 1 , podemos armar que

l´ım x→0 tanx x = l´ımx→0 1 cosx senx x = l´ım x→0 1 cosx l´ım x→0 senx x = 1∗1 = 1 Ejercicio 2.4.10. 1. l´ım x→0 x2−senx x 2. l´ım x→0 1−cosx

x . Sugerencia: multiplicar y dividir por1+cosxy utilizar identidades trigonométricas.

3. l´ım

x→0

cosx−1

senx . Sugerencia: multiplicar y dividir por x .

Ejercicio 2.4.11. Les proponemos calcular los siguientes límites, re-escribiéndolos en términos de composiciones a) lim x→2 x2−4 x−2 , llamandou(x) =x−2 b) lim x→1 x3−1 x−1 , llamandou(x) =x−1

Ejercicio 2.4.12. Les proponemos comprobar que lim

x→0 x2sen 1 x = 0.

1. ¾Por qué no se puede usar la regla del producto de límites? 2. Recordando que−1≤sen

1

x

≤1, comprueben que−x2 _≤_x2_sen

1

x

≤x2.

3. Graquen las funcionesf(x) =−x2 _y_h₍_x_{) =}_x2 _{en un mismo gráco. En un entorno reducido de}

0, ¾dónde debería estar la gráca de g(x) =x2sen

1

x

? ¾Qué valor propondrían para el límite cuandox→0?

4. Apliquen la regla de la compresión para justicar la respuesta anterior. Ejercicio 2.4.13.

1. Usando que −1≤cosx≤1 y−1≤senx≤1 calcular los siguientes límites:

a) lim x→+∞ cosx x ; b) x→−∞lim senx x .

(sugerencia: comparar con −1/xy con 1/x)

Ejercicio 2.4.14.

1. Suponiendo que 4x−9≤f(x)≤x2−4x+ 7parax≥0, calcular lim

x→4f(x) .

2. En un mismo gráco ubicar las funciones g(x) = 4x−9 y h(x) = x2 −4x+ 7 y comprobar

grácamente el valor del límite propuesto.

3. ¾Se puede armar algo sobre la existencia de lim

x→6f(x)? Gracar distintas posibilidades.

Ejercicio 2.4.15. Utilizando la propiedad de la compresión, calcular lim

x→0x 4_cos 2 x .

(31)

Ejercicio 2.4.16. Consideren las funciones g(x) =x4−x2+ 2yh(x) =x2+ 1.

Graquen ambas con computadora, en un mismo plano.

Hallen sus puntos de intersección y comprueben queh(x)≤g(x) para todox.

Suponiendo que cierta función f(x) verica h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), ¾para qué valores de x = a se puede

predecir el valor de lim

(32)

CLASE 2.5. CONTINUIDAD Y TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO 95

Clase 2.5. Continuidad y Teorema del Valor Intermedio

Contenidos de la clase: Continuidad en intervalos. Reconocimiento de funciones conti-nuas. Clasicación de discontinuidades. Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados.

La noción de continuidad es intuitiva, la podemos asociar a una función "bien comportada". Los modelos matemáticos de la Naturaleza generalmente presuponen que cada variable depende de las otras en forma continua: si cambiamos muy poco una variable, van a cambiar muy poco las demás. Por ejemplo, el desplazamiento o la velocidad de un vehículo varían en forma continua con el tiempo. El volumen de una esfera, cuya fórmula es V(r) = 4₃πr3_{, varía continuamente con su radio. Pero también se presentan}

discontinuidades en situaciones de la vida real, como por ejemplo en corrientes eléctricas. Otro ejemplo podría ser el electrocardiograma de una persona en el instante en que sufre un paro cardíaco. El ejercicio 2.2.1 es otro ejemplo concreto: en el instante en el que se administra una medicación, la función que mide su concentración en la sangre se discontinúa.

En todos estos casos, es tan importante reconocer la continuidad de la función que se estudia como saber distinguir las posibles discontinuidades y la razón por la cual ocurre la discontinuidad.

En esta clase vamos a discutir importantes propiedades de las funciones continuas. 2.5.1. Repaso de la noción de continuidad en un punto

En la clase 2.3 presentamos la noción de continuidad. Según la Denición 2.3.2, una función f(x) es

continua en un punto x0 si cumple tres condiciones:

1. f(x0) está denida, es decirx0 pertenece al dominio de la función,

2. f(x)está denida también en algún entorno de x0, se puede calcular, existe y es nito lim

x→x0

f(x),

3. los resultados de evaluar el límite y de evaluar la función son iguales.

Cuando no ocurre alguna de estas tres condiciones, se dice que la función no es discontinua (o tiene una discontinuidad) en dicho punto.

Actividad 2.5.1. En cada uno de los siguientes grácos,

analicen la existencia del límite (lateral y completo) de la función cuandox→a

¾está denida la función en a?

¾dirían que la gráca de la función no tiene rupturas? ¾Por qué?

Si la gráca tiene rupturas, ¾podrían cambiar la función en a para modicar esa ruptura sin

alterar el resto de la gráca?

Encontramos cuatro situaciones diferentes. En el primer caso, el trazo de la gráca puede seguirse sin necesidad de levantar el lápiz del papel. En términos de límites, cuando la variable independiente x se

acerca aa, vemos que la función f(x)tiende af(a). En los otros casos, por algún motivo hay que levantar

el lápiz del papel al pasar porx=a.

Recordando la denición de continuidad en un punto, el primer caso corresponde a una función continua en x = a. Efectivamente la única función que cumple con las tres condiciones de la continuidad es la

(33)

correspondiente al primer gráco. Analicemos por qué motivo las restantes no son continuas en el punto

x0.

1. En el segundo gráco, la función no está denida enx0; luego no puede ser continua allí.

Observe-mos, sin embargo, que el límite cuandox→x0 existe.

2. El gráco que gura en tercer lugar es similar al anterior; la diferencia es que ahora la función está denida enx0. Sin embargo, f(x0) no coincide con el límite y por eso no es continua enx0.

3. Finalmente, en el último gráco no existe el límite cuandox→x0. La función resulta discontinua

en x0, independientemente de cómo esté denidaf(x0).

Actividad 2.5.2. Analizar si las siguientes funciones son continuas o no en x0 =−1 , aclarando

en caso de ser discontinua cuál (o cuáles) de las tres condiciones no se verica. 1. a)f(x) = x 2₋₁ x+ 1; b) g(x) =    x2−1 x+ 1 six6=−1 −2 six=−1 ; c)h(x) =    x2−1 x+ 1 six6=−1 0 six=−1 . 2. Gracar las tres funciones, para comprobar los resultados obtenidos. (pueden usar computadora,

o elaborar la expresión para reconozcer la gráca). Continuidad lateral en un punto

Cuando no podemos tomar el límite por ambos lados, o cuando podemos pero los límites laterales son distintos, podemos analizar separadamente la continuidad por izquierda o por derecha. Por ejemplo, podemos preguntar si la funciónf(x) =√xes continua en x0 = 0. En estos casos se habla de continuidad

lateral.

Definición 2.5.3. Se dice que una función f(x) denida al menos en un intervalo (x0−r, x0] es

continua en x0 por izquierda si

lim

x→x−₀

f(x) =f(x0)

Se dice que una función f(x) denida al menos en un intervalo ([x0, x0+r) es continua en x0 por

derecha si lim x→x+₀ f(x) =f(x0) Ejemplo 2.5.4. Sea f(x) = ( x2+ 1, si x≤0

2−x, si x >0. Calculemos los límites laterales en x0 = 0. lim

x→0−f(x) = lim_x→0x

2_{+ 1 = 1}

lim

x→0+f(x) = lim_x_→₀2−x= 2.

Como son diferentes, no existe lim

x→0f(x) y por lo tanto f no es continua en 0. Sin embargo, como f(0) = 1 = lim

x→0−f(x), concluimos que f es continua por izquierda.

Actividad 2.5.5. Analicen si la función f(x) =√x es continua por derecha enx0 = 0. ¾Se puede

analizar la continuidad por izquierda?

Comparando las deniciones 2.3.2 y 2.5.3 tenemos la siguiente propiedad:

Propiedad 2.5.6. Una funciónf(x) es continua en un punto x0 si y sólo si es continua por derecha

(34)

Demostración. Vamos a justicar esta propiedad. Es un buen ejercicio para aplicar la denición de continuidad y las propiedades de límites.

Sif(x) es continua enx0,entonces lim

x→x0

f(x) =f(x0). Pero entonces los límites laterales existen

y son iguales al límite original, es decir lim

x→x−₀

f(x) =f(x0) y lim

x→x+₀

f(x) =f(x0).

Por lo tanto,f resulta continua por izquierda y por derecha en x0.

Recíprocamente, supongamos quefes continua por izquierda y por derecha enx0. Como lim

x→x−₀

f(x) =f(x0) y lim

x→x+₀

f(x) =

f(x0) , los límites laterales coinciden y, por lo tanto, existe lim

x→x0

f(x)y es igual a f(x0).

Es decir,f es continua enx0.

2.5.2. Continuidad en conjuntos

Actividad 2.5.7. Consideremos la función del Ejemplo 2.5.4. 1. ¾en qué valores la función es continua?

2. en los puntos donde no es continua, analicen si es continua a derecha o a izquierda.

En esta actividad, y en otras funciones que recuerden, vemos que las funciones que trabajamos son continuas en la mayoría de los puntos de su dominio. Para indicar que una función es continua en todo un conjunto de puntos, se dice:

Definición 2.5.8. Se dice que una función f(x) es continua en un conjunto A cuando f(x) es

continua en cada punto x0 ∈A.

También se usa un nombre para indicar todos los puntos donde una función es continua:

Definición 2.5.9. Dada una función f : D→R, se llama dominio de continuidad de f al conjunto

de todos puntos donde f es continua,

dominio de continuidad de f ={x∈D: f es continua en x}

Muchas veces encontramos funciones "continuas en todo su dominio". Es decir, el dominio de deni-ción coincide con el dominio de continuidad. Cuidado que esto no quiere decir que no presenten discon-tinuidades, puede haber puntos donde las funciones son discontinuas porque no están denidas.

Ejemplo 2.5.10. Analicemos la función recíproca, f(x) = 1/x. Tengan a mano una gráca de la

función.

¾Cuál es su dominio natural?

¾Cuál es su dominio de continuidad?

Veriquen (usando la denición 2.3.2) quef(x) presenta una discontinuidad enx0= 0.

Expliquen por qué la función es "continua en todo su dominio", pero tiene discontinuidades. Las funciones que son continuas en intervalos cerrados tienen propiedades particulares, que veremos más adelante. Para eso es útil denir:

Definición 2.5.11. Se dice que una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] cuando es

continua en cualquier punto del intervalo abierto (a, b) y al menos continua por derecha en a y

continua por izquierda en b.

Además, si el dominio fuera semicerrado, se considerará solamente la continuidad lateral, a izquierda o a derecha según corresponda, en el extremo cerrado del intervalo.