Ecuaciones del movimiento de un fluido

Ecuaciones del movimiento de un fluido

Forma fundamental

El tensor de tensiones

Relaci´on constitutiva para un fluido Newtoniano

La ecuaci´on de Navier-Stokes

El tensor de tensiones para flujos incompresibles

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cartesianas (flujo incompre-sible)

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cil´ındricas (flujo incompresi-ble)

Ecuaciones del movimiento en coordenadas esf´ericas (flujo incompresible)

Ecuaci´on de la vorticidad

Forma fundamental

El cambio de momento dentro de un volumen V , rodeado por una superficie S depende de:

Flujo de momento:

−

Z

S

ρviv · dS.

Suma de fuerzas actuando en el interior de V :

Z

V

ρFidV.

Suma de fuerzas actuando sobre S:

Z

S

Por lo tanto, las ecuaciones del movimiento son d dt Z V ρvidV = − Z S ρviv · dS + Z V ρFidV + Z S σijdSj.

Usando el teorema de la divergencia y notando que

ρviv · dS = ρvivjdSj. obtenemos Z V ∂ ∂t(ρvi) + ∂ ∂xj (ρvivj) − ρFi − ∂ ∂xj σij dV = 0,

V es arbitrario ∂ ∂t(ρvi) + ∂ ∂x_j(ρvivj) − ρFi − ∂ ∂x_jσij.

Usando la ecuaci´on de continuidad

∂ρ ∂t + ∂(ρvj) ∂xj = 0 obtenemos ρ∂vi ∂t + ρvj ∂vi ∂xj = ρFi + ∂σij ∂xj .

El tensor de tensiones

El tensor de tensiones ha de ser sim´etrico, σij = σji.

Las componentes i = j son las tensiones normales.

Las componentes i 6= j son las tensiones tangenciales (o de cizalla).

En un fluido en reposo el tensor de tensiones es isotr´opico, σij = −pδij,

p es la presi´on hidrost´atica.

En un fluido en movimiento, podemos separar σij en una parte isotr´opica

y otra no isotr´opica

σij =

1

3σkkδij + (σij − 1

definimos la presi´on mec´anica (en general distinta de la presi´on ter-modin´amica) como P = −1₃σii y escribimos

σij = −P δij + sij,

Relaci´

on constitutiva para un fluido newtoniano

Fluido isotr´opico.

El tensor de tensiones depende linealmente del tensor velocidad de deformaci´on, eij = 1₂(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi).

σ_ij = −(p − Ke_kk)δ_ij + 2µ(e_ij − 1

3ekkδij)

La ecuaci´

on de Navier-Stokes

En la ecuaci´on del movimiento

ρDvi

Dt = ρFi +

∂σ_ij ∂xj

.

Substituimos la expresi´on del tensor de tensiones teniendo en cuenta que

e_ij = 1

2(∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi), ekk = ∂vk/∂xk = ∇ · v.

ρDvi Dt = ρFi − ∂p ∂xj + ∂ ∂xj µ∂vi ∂xj + µ∂vj ∂xi + ∂ ∂xj (K − 2 3µ) ∂v_k ∂xk

despreciando las peque˜nas variaciones de µ y K con la posici´on (debidas sobre todo a cambios de temperatura), podemos escribir

ρDv

Dt = ρF − ∇p + µ∇ 2

v + (K + 1

3µ)∇∇ · v

Flujo incompresible, ∇ · v = 0 (l´ıquidos y gases),

ρDv

Dt = ρF − ∇p + µ∇ 2

Flujo no viscoso µ = K = 0,

ρDv

El tensor de tensiones para flujos incompresibles

Como e_kk = ∇ · v = 0,

Condiciones de contorno

Contorno r´ıgido: velocidad del contorno y fluido iguales.

Contorno flexible: velocidad y tensiones del contorno y fluido iguales.

Condiciones de contorno asint´oticas.

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cartesianas

(flujo incompresible)

∂vx ∂t + (v · ∇)vx = − 1 ρ ∂p ∂x + ν∆vx ∂vy ∂t + (v · ∇)vy = − 1 ρ ∂p ∂y + ν∆vy ∂vz ∂t + (v · ∇)vz = − 1 ρ ∂p ∂z + ν∆vz donde (v · ∇)f = vx ∂f ∂x + vy ∂f ∂y + vz ∂f ∂z ∆f = ∂ 2_f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2

La ecuaci´on de continuidad es ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z = 0

El tensor de tensiones tiene la forma

σ_ik = −pδ_ik + η ∂vi ∂xk + ∂vk ∂xi

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cil´ındricas

(flujo incompresible)

∂vr ∂t + (v · ∇)vr − v_φ2 r = − 1 ρ ∂p ∂r + ν ∆vr − 2 r2 ∂vφ ∂φ − vr r2 ∂vφ ∂t + (v · ∇)vφ + vrvφ r = − 1 ρr ∂p ∂φ + ν ∆vφ + 2 r2 ∂vr ∂φ − vφ r2 ∂vz ∂t + (v · ∇)vz = − 1 ρ ∂p ∂z + ν∆vz donde (v · ∇)f = vr ∂f ∂r + vφ r ∂f ∂φ + vz ∂f ∂z ∆f = 1 r ∂ ∂r r∂f ∂r + 1 r2 ∂2f ∂φ2 + ∂2f ∂z2

La ecuaci´on de continuidad es 1 r ∂(rvr) ∂r + 1 r ∂vφ ∂φ + ∂vz ∂z = 0

El tensor de tensiones tiene la forma

σrr = −p + 2η ∂vr ∂r σφφ = −p + 2η 1 r ∂vφ ∂φ + vr r σ_zz = −p + 2η∂vz ∂z σrφ = η 1 r ∂v_r ∂φ + ∂v_φ ∂r − v_φ r

σφz = η ∂vφ ∂z + 1 r ∂vz ∂φ σzr = η ∂vz ∂r + ∂vr ∂z

Ecuaciones del movimiento en coordenadas esf´

ericas

(flujo incompresible)

∂vr ∂t + (v · ∇)vr − v_θ2 + v_φ2 r = −1 ρ ∂p ∂r + ν ∆v_r − 2 r2 _sin2 _θ ∂(v_θ sinθ) ∂θ − 2 r2 sinθ ∂v_φ ∂φ − 2v_r r2 ∂vθ ∂t + (v · ∇)vθ + vrvθ r − v_φ2 cotθ r = − 1 ρr ∂p ∂θ + ν ∆vθ − 2 cosθ r2 sin2 θ ∂v_φ ∂φ + 2 r2 ∂v_r ∂θ − v_θ r2 sin2 θ

∂vφ ∂t + (v · ∇)vφ + vrvφ r + vθvφ cot θ r = − 1 ρr sinθ ∂p ∂φ + ν ∆vφ + 2 r2 _sinθ ∂vr ∂φ + 2 cos θ r2 sin2 θ ∂vθ ∂φ − vφ r2 sin2 θ donde (v · ∇)f = vr ∂f ∂r + vθ r ∂f ∂θ + vφ r sin θ ∂f ∂φ ∆f = 1 r2 ∂ ∂r r2∂f ∂r + 1 r2 sin θ ∂ ∂θ sinθ∂f ∂θ + 1 r2 sin2 θ ∂2f ∂φ2 La ecuaci´on de continuidad es 1 r2 ∂(r2vr) ∂r + 1 r sinθ ∂(vθ sin θ) ∂θ + 1 r sinθ ∂vφ ∂φ = 0

El tensor de tensiones tiene la forma σrr = −p + 2η ∂vr ∂r σφφ = −p + 2η 1 r sinθ ∂vφ ∂φ + vr r + vθ cotθ r σθθ = −p + 2η 1 r ∂vθ ∂θ + vr r σrθ = η 1 r ∂vr ∂θ + ∂vθ ∂r − vθ r σθφ = η 1 r sinθ ∂vθ ∂φ + 1 r ∂vφ ∂θ − vφ cot θ r σ_φr = η ∂v_φ ∂r + 1 r sinθ ∂v_r ∂φ − v_φ r

Ecuaci´

on de la vorticidad

Tomando el rotacional de la ecuaci´on de Navier-stokes obtenemos la ecuaci´on de la vorticidad, ω = ∇ × v,

∂ω

∂t + v · ω − ω · ∇v = ν∇ 2

ω

donde hemos utilizado ∇ · v = 0.

Podemos reescribir la ecuaci´on como

Dω

Dt = ω · ∇v + ν∇ 2

Vorticidad y circulaci´

on

Por el teorema de Stokes, el flujo de la vorticidad a trav´es de una

superficie es igual a la circulaci´on de la velocidad a lo largo del contorno de dicha superficie: Z v · dl = Z ∇ × v · dS = Z ω · dS