Integraci´
on y Derivaci´
on
Fraccionaria
Antes de adentrarnos en los operadores de integraci´on y derivaci´on gene-ralizados recordaremos algunos resultados y notaciones del c´alculo elemental que servir´an como punto de partida para construir las definiciones.
La n-´esima derivada de una funci´onf est´a definida recursivamente por Dnf(t) =D[Dn−1f(t)], n∈N (2.1) Para el caso en quen= 0 el resultado obtenido esf(t), que significa que la funci´on no est´a siendo alterada.
En el mismo sentido la n-´esima integral la definimos a trav´es de Inf(t) =
� t
0
In−1f(t)dt (2.2)
Con la propiedad de que
D0f(t) =I0f(t) (2.3) Para (2.2) Cauchy encontr´o otra manera de escribirla y demostr´o que al ser cierto que
Inf(t) = 1 (n−1)!
� t
0
(t−τ)n−1f(τ)dτ, ∀n≥1 (2.4) Inf(t) puede ser reducida a una integral de convoluci´on. Este resultado es conocido como la f´ormula de Cauchy y marca el inicio de la integral f raccionaria.
2.1.
Operador Integral Fraccionario
Con los resultados del c´alculo de orden entero que hemos mencionado estamos listos para reducir las restricciones del ´ındice de iteraci´on de los operadores de derivaci´on e integraci´on cl´asicos.
2.1.1. Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville
Tomando (2.4) tiene sentido que intercambiemos a n por un n´umero α >0 y a su vez el factorial por su valor correspondiente en t´erminos de la funci´ongamma.
Haciendo los cambios descritos tenemos una extensi´on del resultado de Cauchy expresado de la siguiente manera
Iαf(t) = 1 Γ(α)
� t
0
(t−τ)α−1f(τ)dτ (2.5) La ecuaci´on anterior da pie a la definici´on de integral fraccionaria de Riemann-Liouville.
Definici´on 1 Sea f ∈L1(a, b). La ecuaci´on
Iαf(t) = 1 Γ(α)
� t a
(t−τ)α−1f(τ)dτ, (t > a) es la integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α.
Cuando α=n∈N se recupera el resultado del c´alculo de orden entero cl´asico.
Como podemos observar esta definici´on de integral fraccionaria tambi´en es representada a trav´es de una convoluci´on. Esto nos da la posibilidad de utilizar (1.5) y tratar de encontrar el mismo resultado de la Definici´on 1
a trav´es de una integral del tipo (1.10) multiplicada por una constante. Si aplicamos la convoluci´on entre (1.5) y una funci´on f(t) es f´acilmente verificable que el resultado s´ı coincide con el de Riemann-Liouville. Por lo tanto, la convoluci´on nos da la opci´on de que la integral fraccionaria tambi´en puede ser escrita como lo enuncia la siguiente propiedad.
Propiedad 1 SiIαf(t)es la integral fraccionaria de orden αde Riemann-Liouville, entonces ´esta tambi´en puede ser representada por
Iαf(t) = (Φ∗f)(t) dondeΦ(t) = tα−1
LaPropiedad 1 resulta ´util en su relaci´on con la transformada integral de Laplace. Para verificar esto tendremos que encontrar las transformadas de las funciones Φ(t) y f(t) respectivamente.
�L{Φ(t)}(s) =s−α.
Para f(t) suponemos que cumple con las condiciones descritas en el cap´ıtulo anterior, donde se requiri´o quef debe ser regular a trozos y de orden exponencial.
Utilizando las transformadas de Φ(t) yf(t) y la relaci´on dada enPropiedad
1, la Transformada de Laplace de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville se encuentra mediante
�L{Iαf}(s) =s−αF(s) (2.6) dondeF(s) es la Transformada def(t).
Propiedad 2 Sea f ∈L1(a, b), entonces se verifica que
l´ım α→0I
αf(t) =f(t) casi para todo t∈ [a,b].
Demostraci´on de Propiedad 2
Si a la expresi´on paraIαf le aplicamos integraci´on por partes obtenemos que Iαf(t) =− 1 Γ(α)[ 1 αf(τ)(t−τ) α− 1 α � t a (t−τ)αf�(τ)dτ] Cuando esto lo evaluamos enay en tel resultado que se encuentra es
Iαf(t) =− 1
Γ(α+ 1)[−(t−a)αf(a)− � t
a
(t−τ)αf�(τ)dτ] que al tomar l´ımα→0Iαf(t) demuestra muy f´acilmente la Propiedad 2.
Propiedad 3 Semigrupo o ley de exponentes. Sea f ∈ L1(a, b),
en-tonces se verifica que
IβIαf(t) =Iα+βf(t), α, β∈ �+
Demostraci´on de Propiedad 3
Haremos la prueba paraf continua y α,β ∈ �+
Iβ[Iαf(t)] = 1 Γ(α) � t a (t−τ)α−1Iβf(τ)dτ = 1 Γ(β)Γ(α) � t a (t−τ)α−1dτ � τ a (τ −ξ)β−1f(ξ)dξ = 1 Γ(β)Γ(α) � t a f(ξ)dξ� t ξ (t−τ)α−1(τ −ξ)β−1dτ = 1 Γ(β+α) � t a (t−ξ)β+α−1f(ξ)dξ = Iβ+αf(t)
En el caso en quef no sea continua pero s´ı pertenezca aL1(a, b) basta con
encontrar una sucesi´on de funciones continuas que converjan af en la norma de L1(a, b) y utilizar el procedimiento anterior.
Ejemplo 1 Sea f(t)=1 yα= 12 I12(1) = 1 Γ(1 2) � t 0 (t−τ)−1/2dτ = √1 π � t 0 (u)−1/2du (con τ =t−u) = √2 πt 1/2
Es interesante mencionar que si a la funci´on delEjemplo 1le volvemos a aplicar el operador de Riemann-Liouville de orden 1
2 se obtiene el resultado
del c´alculo elemental. Esto es queI12I12(1) =t, que sin ning´un inconveniente
cumple con laPropiedad 3.
2.2.
Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville
Definici´on 2 Para funciones f(t) ∈ L1(a, b) la derivada fraccionaria de
Riemann-Liouville de ordenα ∈ �+ est´a definida como
(Dαf)(t) = [DmIm−αf](t) Dondem=−[−α]∈Z+
Una condici´on suficiente para que la derivada fraccionaria exista es que f(t)∈Cm[a, b].
Propiedad 4 Sea f ∈L1(a, b), entonces se verifica que
l´ım α→0D
αf(t) =f(t) casi para todo t∈ [a,b].
Demostraci´on de la Propiedad 4
Partiendo de laDefinici´on 2 tenemos que Dαf(t) =Dm[ 1
Γ(m−α) � t
a
(t−τ)m−α−1f(τ)dτ] Aplicando el l´ımite a ambos lados llegamos a
l´ım α→0D αf(t) = l´ım α→0[D m( 1 Γ(m−α) � t a (t−τ)m−α−1f(τ)dτ)] Dm( 1 Γ(m) � t a (t−τ)m−1f(τ)dτ) =Dm[Imf](t) =f(t)
Propiedad 5 Sea f ∈L1(a, b), entonces se verifica que
(DαIαf)(t) =f(t) casi para todo t∈ [a,b].
Demostraci´on de la Propiedad 5
Ikf(t) = Ik−αIαf(t) Por otro lado tenemos
DαIαf(t) = DkIk−αIαf(t) = DkIkf(t) = f(t)
Una conclusi´on interesante es que al igual que en C´alculo Elemental, el operador de Riemann-Liouville de derivaci´on fraccionaria es el inverso izquierdo al de integraci´on fraccionaria.
Ejemplo 2 Derivada fraccionaria de orden α= 12 de f(t) = 1. D12(1) = D[I 1 2(1)] = D[√2 πt 1/2] = √1 πt −1/2
Este resultado es totalmente inesperado, ya que la derivada fraccionaria de una constante es distinta de cero. Esto marca una enorme diferencia entre los operadores de derivaci´on cl´asicos y los generalizados.
Otra diferencia muy marcada es que en C´alculo de orden entero est´a claro que
Dm[Dnf(t)] =Dm+nf(t), (m, n= 1,2, ....).
Mientras que en C´alculo Fraccionario no se mantiene esta propiedad. Un ejemplo muy sencillo es el siguiente.
Ejemplo 3 Sea f(t) =t−1/2. I12(t−1/2) = 1 Γ(1 2) � t 0 (t−τ)−1/2(τ)−12dτ = √1 π � 1 0 (1−u)−1/2u−1/2du, τ =tu
que es independiente de t. Entonces por Definici´on 2 obtenemos que D12(t−1/2) = D[I
1
2(t−1/2)]
= 0
Si volvemos a aplicar el operador de Riemann-Liouville de orden 1
2 se obtiene como sigue D12[D 1 2(t−1/2)] = D 1 2(0)
lo cual es muy distinto de lo que se obtiene mediante D(t−1/2).
Por lo tanto, el operador de derivada fraccionaria de Riemann-Liouville no cumple en general la propiedad del semigrupo.
Una cualidad sobresaliente del operador de derivaci´on generalizado es que su aplicaci´on trae consigo efectos no locales. Esto debido a la presen-cia de una integral en su formulaci´on, la cual depende del intervalo donde est´e definida. Hecho totalmente contrario a lo que ocurre con la derivada convencional que s´olo proporciona informaci´on local.
Transformada de Laplace de la Derivada Fraccionaria de Riemann-Liouville
SeaDαf(t) =g(m)(t), dondeg(t) =Im−αf(t), m−1≤α < m. Al aplicarle la Transformada de Laplace se obtiene
�L{Dαf}(s) = �L{g(m)}(s) =sm�L{g}(s)−
m�−1
k=o
skg(m−k−1)(0)
que sin ning´un problema puede ser cambiada a t´erminos def para encontrar nuestra siguiente ecuaci´on.
�L{Dαf}(s) =sα�L{f}(s)−
m�−1
k=o
skD(α−k−1)f(0) (2.7) Esta ecuaci´on tiene el inconveniente de que las condiciones iniciales que se requieren son de orden fraccionario, pero a su vez abre las puertas para una l´ınea de investigaci´on llamadaEcuaciones Dif erenciales F raccionarias.
2.3.
Derivada Fraccionaria de Caputo
Esta definici´on alternativa de derivada fraccionaria utiliza las mismas operaciones de la definici´on de Riemann-Liouville pero invirtiendo el orden de aplicaci´on.
Definici´on 3 Para funciones f(t) ∈ L1(a, b) la derivada fraccionaria de
Caputo est´a definida como
(Jαf)(t) =Im−α[Dmf](t) para t≥a, α∈ �
+
La validez de esta definici´on est´a limitada para funciones f tales que Dmf ∈�L1(a, b). Esto es equivalente a decir que la m-´esima derivada def es
integrable.
Propiedad 6 Sea f ∈L1(a, b), entonces se verifica que
l´ım α→nJ
Demostraci´on de la Propiedad 6 l´ım α→nJ αf(t) = l´ım α→n( f(n)(a)(t−a)n−α Γ(n−α−1) + 1 Γ(n−α−1) � t a (t−τ)n−αf(n+1)(τ)dτ) = f(n)(a) + � t a f(n+1)(τ)dτ = f(n)(t) (2.8)
No hace falta mostrar la diferencia notable entre las definiciones de Rie-mann-Liouville y de Caputo. Para la definici´on de RieRie-mann-Liouville que dimos la derivada fraccionaria de una constante es distinta de cero, mientras que para Caputo el resultado es cero. Otra diferencia, que resulta de gran ayuda para las aplicaciones, consiste en sus transformadas de Laplace, ya que la definici´on de Caputo ofrece una ventaja sobre las condiciones iniciales que hacen m´as f´acil la cuesti´on operativa.
Transformada de Laplace de la Derivada Fraccionaria de Caputo
SeaJαf(t) =Im−αg(t), dondeg(t) =f(m)(t), m−1≤α < m
Al aplicarle el operador de Laplace se obtiene �L{Jαf}(s) = �L{Im−αg}(s) = sα−m�L{g}(s) = sα−m�L{Dmf}(s) = sα−m[smF(s)− m�−1 k=o skDm−k−1f(0)] que es equivalente a escribir
�L{Jαf}(s) =sα�L{f}(s)− m�−1
k=o
sα−k−1Dkf(0) (2.9) Lo interesante y realmente conveniente de la ecuaci´on (2.9) es que las condiciones iniciales empleadas consisten en derivadas elementales que encie-rran interpretaciones f´ısicas conocidas, un hecho muy relevante para la parte de aplicaciones de los operadores fraccionarios.