PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS MAESTRIA EN ECONOMÍA
APLICACIÓN DEL MODELO ESTOCÁSTICO DE DIFUSION -SALTO DE MERTON PARA LA SIMULACIÓN DEL VALOR DEL ÍNDICE COLCAP.
EDWIN ALEXANDER VELOZA MORENO TRABAJO DE GRADO
Dr. GABRIEL IGNACIO PENAGOS DIRECTOR TRABAJO DE GRADO
BOGOTA D.C 2019
AGRADECIMIENTOS
El presente trabajo de grado solo ha sido posible al irrestricto apoyo de mi querida Madre, a ella por creer en mi, a mi director, cuya confianza, guía y enseñanzas forzaron mi mente para sacar este documento adelante, para ellos las gracias infinitas.
RESUMEN
Este trabajo de grado tiene como objetivo aplicar el modelo estocástico de salto-difusión propuesto por Merton (1976) en adelante modelo MJD así como el proceso de estimación de sus parámetros, aplicado al índice bursátil COLCAP. Autores como (Andersen, Benzoni, & Lund, 2002), (Hanson & Westman, 2002) (Hanson & Zongwu, 2004) (Penagos, Gabriel; Rubio, Gonzalo, 2013) (Tang, 2018) muestran como la incorporación de saltos, permite obtener una Función de Densidad de Probabilidad (PDF) más acorde con distribuciones asimétricas y con curtosis elevadas que caracterizan a los datos de log-retornos financieros. Los resultados presentados tendrán como punto de referencia el modelo de (Black & Scholes, 1973) en adelante B&S el cual es un modelo de difusión puro, cuya base es la Distribución Gaussiana.
El trabajo consta de 5 partes, en la primera se encuentra todo el sustento teórico de los modelos de difusión y salto-difusión y la revisión bibliográfica sobre la aplicación de estos, en la segunda parte se describe al índice COLCAP, así como su historia y composición, la tercera parte se hace una descripción de los datos y se define el modelo MJD, sus Momentos, ecuaciones y se describe el proceso para el cálculo de los parámetros del modelo. La cuarta parte muestra los resultados y los compara contra los datos empíricos y los del modelo de B&S, y la 5 parte se muestran las conclusiones.
ABSTRACT
The objective of this graduate work is to apply the stochastic jump-diffusion model proposed by Merton (1976), hereinafter the MJD model, as well as the process of estimating its parameters, applied to the COLCAP stock index. Authors like (Andersen, Benzoni, & Lund, 2002), (Hanson & Westman, 2002), (Hanson & Zongwu, 2004), (Penagos, Gabriel; Rubio, Gonzalo, 2013) (Tang, 2018) show how the incorporation of jumps, allows obtaining a Probability Density Function (PDF) more in line with skewed distributions and high kurtosis characterizing data log-returns financial. The results presented have as reference model (Black & Scholes, 1973) onwards B&S which is a pure diffusion model, whose base is the Gaussian distribution.
The work consists of 5 parts, in the first one there is all the theoretical support of the diffusion and jump-diffusion models and the bibliographic revision on the application of these, in the second part is described to the COLCAP index, as well as its history and composition, the third part is a description of the data and the MJD model is defined, its Moments, equations and described the process for calculating model parameters. The fourth part shows the results and compares them against the empirical data and those of the B & S model, and the 5 part shows the conclusions
Tabla de Contenido
INTRODUCCIÓN ... 5
1. MARCO TEÓRICO ... 6
1.1 Variable Aleatoria 𝑿 y Espacios de Probabilidad 𝛀, 𝕴, ℙ ... 6
1.2 Función Característica ... 7
1.3 Función Generadora de Momentos. ... 7
1.4 Procesos Estocásticos ... 8
1.4.1 Funciones Cadlag: ... 8
1.4.2 Filtraciones e Historias ... 9
1.4.3 Proceso de Poisson ... 9
1.4.4 Proceso de Poisson Compuesto. ... 10
1.4.5 Retornos Logarítmicos (log-retornos). ... 10
1.4.6 Movimiento Browniano ... 10
1.5 Revisión de Literatura Académica Empírica. ... 11
2. Índice COLCAP ... 15
2.1 Generalidades ... 15
2.1.1 Acciones Seleccionables: ... 15
2.1.2 Composición del COLCAP. ... 16
2.1.3 Ponderación del COLCAP ... 17
3. Modelo ... 18
3.1 Datos ... 18
3.2 Modelo de Salto-Difusión de Merton (MJD). ... 20
3.2.1 Estimación de los momentos para la distribución del MJD ... 21
3.3 Estimación de los parámetros del modelo de Merton ... 23
4. Resultados ... 24
4.1 Simulación del índice ... 26
5. Conclusión ... 27
Bibliografía ... 28
Anexos. ... 30
A. Modelo de Black & Scholes ... 30
B. Código Matlab para los parámetros del Modelo-Gráficos y Simulación ... 31
INTRODUCCIÓN
Nadie puede predecir el futuro, sin embargo, el ser humano intentara usar cualquier información, creencia o herramienta para acercarse a él, en este sentido, una de las mayores obsesiones por conocer el futuro se relaciona con el valor de los activos financieros. (Fama & Blume, 1966) admiten que en el corto plazo se puede dar la situación en que toda la información disponible no esté incorporada correctamente a los precios, permitiendo que algunos inversores obtengan en consecuencia beneficios superiores al promedio del mercado, originado en éste una ineficiencia temporal, también sostienen que estas variaciones de corto plazo no pueden predecirse, siendo el beneficio extraordinario generado producto del azar. Robert J. Shiller1 plantea que las fluctuaciones del precio futuro de los activos esta mas relacionada con la forma conductual e irracional con la que algunos inversores actúan en el mercado, generando burbujas cíclicas. Ambas visiones pueden explicar en parte las crisis financieras de los últimos 30 años, en cualquier caso, estas visiones aún son tema de debate en la comunidad académica.
En la literatura financiera se ha empleado el cálculo estocástico con buenos resultados, desde comienzos del siglo XX (Bachelier, 1900) realizo uno de los primeros modelos estocásticos, pero particularmente desde la aparición del modelo B&S2 en los años 70 del siglo XX el uso de estos tuvo mayores desarrollos gracias a los avances en computación. El uso de cálculo estocástico permite modelar principalmente dos fenómenos existentes sobre el comportamiento estadístico de los activos financieros, el primero la volatilidad ya que choques de información u otras variables pueden generar volatilidades sobre el precio de un activo en un corto periodo de tiempo, es decir que los valores pueden presentar discontinuidades o saltos, por otra parte al observar la distribución sobre las fluctuaciones aleatorias, tales como choques y concentraciones en la distribución de los log-retornos de las acciones, que no se ajustan a las características de una distribución normal, es decir se presentan características tales como la asimetría negativa y forma leptocúrtica (Hanson & Westman, 2002). La correcta estimación de una PDF3 permitiría simular los riesgos asociados a una inversión determinada y su comportamiento en ventanas de tiempo diferentes, en este sentido el Modelo de Merton puede modelar una mejor aproximación a los datos, esto es fundamental para determinar una o varias estrategias de inversión, cobertura o incluso especulación a la cuales se puede acceder a través de los instrumentos tradicionales de inversión o más sofisticados como son los derivados financieros, en particular, el mercado de valores de Colombia a partir de marzo de 2019 ha implementado la negociación de derivados y futuros a sus operaciones sobre varias especies incluido el COLCAP, este hecho puede cambiar la dinámica del mercado y por lo tanto poder contar con una herramienta que permita simular su comportamiento, puede marcar una diferencia en la aplicación de las estrategias mas convenientes de inversión.
1 El 14 de octubre de 2013, se anunció que Shiller, junto con Eugene Fama y Lars Peter Hansen, recibirán el Premio
del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel, 2013 - "por su análisis empírico de los precios de los activos"
2 El modelo de Black-Scholes o ecuación de Black-Scholes es una ecuación usada en matemática financiera para
determinar el precio de determinados activos financieros. Dicha ecuación se basa ampliamente en la teoría de procesos estocásticos en particular modela variaciones de precios como un proceso de Wiener.
1.
MARCO TEÓRICO
1.1 Variable Aleatoria
𝑋
y Espacios de Probabilidad
(Ω, ℑ, ℙ
)Desde una perspectiva de modelado, el punto de partida es un conjunto de observaciones que toman valores en algún conjunto 𝐸(piense, por ejemplo, en una medida numérica, 𝐸 = ℝ) para el cual nos gustaría construir un modelo estocástico. Nos gustaría representar tales observaciones 𝑥/, 𝑥0, … . , 𝑥3como muestras extraídas de una variable aleatoria 𝑋 definida en
algún espacio de probabilidad (Ω, ℑ, ℙ). Es importante ver que el único ingrediente natural aquí es el conjunto 𝐸 donde las variables aleatorias tomarán sus valores: el conjunto de eventos W no se da a priori y hay muchas formas diferentes de construir un espacio de probabilidad
(Ω, ℑ, ℙ) para modelar el mismo conjunto de observaciones (Cont, Rama; Tankov, Peter, 2004). Por ejemplo, si uno está modelando el valor de mercado de una acción en alguna fecha T en el futuro como una variable aleatoria 𝑆/, se puede considerar que el valor de la acción se ve afectado por muchos factores como las noticias externas, la oferta y la demanda del mercado, los indicadores económicos. , etc., resumido en una variable abstracta ω, que puede que ni siquiera tenga una representación numérica: corresponde a un escenario para la evolución futura del mercado. 𝑆/(𝜔) es entonces el valor de la acción si el escenario de mercado que ocurre está
dado por 𝜔. Sí la única cantidad interesante en el modelo es el precio de la acción, entonces siempre se puede etiquetar el escenario 𝜔 por el valor del precio de la acción 𝑆/(𝜔), lo que equivale a identificar todos los escenarios en los que la acción 𝑆/ toma el mismo valor y utiliza el código canónico, es decir W. La descripción probabilística de una variable aleatoria 𝑋 puede reducirse al conocimiento de su distribución 𝜇8 solo en el caso de que la variable aleatoria 𝑋 sea la única fuente de aleatoriedad (Cont, Rama; Tankov, Peter, 2004).
Formalmente se define un conjunto, denominado conjunto de escenarios, compuesto por una σ-álgebra ℱ . En un contexto de modelado financiero, podría representar los diferentes escenarios que pueden ocurrir en el mercado, cada escenario 𝜔 ∈ Ω se describe en términos de la evolución de precios de diferentes instrumentos. Una medida de probabilidad en (Ω, ℱ) es una medida finita positiva ℙ con masa total de 1. (Ω, ℱ, ℙ)) se denomina espacio de probabilidad. Un conjunto medible 𝐴 ∈ ℱ, llamado evento, es por lo tanto un conjunto de escenarios a los que se puede asignar una probabilidad. Una medida de probabilidad asigna una probabilidad entre 0 y 1 a cada evento:
ℙ: ℱ → [0,1] 𝐴 ⟼ ℙ(𝐴)
Un evento 𝐴 con probabilidad ℙ(𝐴) = 1 se dice que ocurre con casi seguridad. Sí ℙ(𝐴) = 0 esto se interpreta diciendo que el evento 𝐴 es imposible. Si se trata de una serie de medidas de probabilidad definidas en el mismo conjunto, entonces uno debe ser más específico: entonces vamos a reemplazar “casi con seguridad” o “imposible” por “P-casi con toda seguridad” o “imposible bajo ℙ.”
Un conjunto P-nulo es un subconjunto de un evento imposible. Como antes, podemos completar
ℱ para incluir todos los conjuntos nulos. Esto significa que asignamos probabilidad cero a subconjuntos de eventos imposibles, lo cual es intuitivamente razonable. A menos que se indique lo contrario, consideraremos versiones completas de todas las 𝜎 − 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑠. Diremos que una propiedad contiene ℙ -casi con seguridad (ℙ a.s. abreviado) si el conjunto de 𝜔 ∈ 𝛺 para el cual no se mantiene la propiedad es un conjunto nulo.
Una 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑋 tomando valores en 𝐸 es una función medible.
𝑋: Ω → 𝐸,
Donde (Ω, ℱ, ℙ) es un espacio de probabilidad. Un elemento 𝜔 ∈ Ω se llama un escenario de aleatoriedad. 𝑋 (𝜔) representa el resultado de la variable aleatoria si ocurre el escenario 𝜔 y se denomina realización de 𝑋 en el escenario 𝜔. Sí 𝑋 𝑦 𝑌 son dos variables aleatorias, escribimos
"𝑋 = 𝑌 𝑃 𝑐. 𝑠. " (casi seguro) si ℙ{𝜔 ∈ 𝛺, 𝑋 (𝜔) = 𝑌 (𝜔)} = 1. La ley (o distribución) de 𝑋 es la medida de probabilidad en 𝐸 definida por
𝜇8(𝐴) = ℙ(𝑋 ∈ 𝐴)
1.2 Función Característica
La función característica de una variable aleatoria es la Transformada de Fourier de su distribución. Muchas propiedades probabilísticas de las variables aleatorias corresponden a las propiedades analíticas de sus funciones características, lo que hace que este concepto sea muy útil para estudiar variables aleatorias.
𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 ℝ]𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 Φ8: ℝ] → ℝ 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟
∀𝑧 ∈ ℝ], Φ
8(𝑧) = 𝐸[exp (𝑖𝑧. 𝑋)] = f 𝑒ghi.8𝑑𝜇8(𝑥)
ℝj (1)
La principal utilidad de la función característica es encontrar aquella distribución que ajusta a los datos de la muestra, lo cual permite calibrar los modelos estocásticos de la manera mas apropiada.
1.3 Función Generadora de Momentos.
Contrariamente a la función característica, la cual siempre es bien definida (como la Transformada de Fourier de una medida de probabilidad), la función generadora de momentos no siempre es definida, esto debido a que
∀𝑢 ∈ ℝ], 𝑀
La integral podría no converger para algunos o todos los valores de 𝑢. Cuando 𝑀8 es bien
definido, puede relacionarse formalmente a la función característica Φ8 por
𝑀8(𝑢) = Φ8(−𝑖𝑢).
Sí la función generadora de momentos 𝑀8 de una variable aleatoria 𝑋 𝑒𝑛 ℝ es definida sobre el intervalo (−𝜖, 𝜖 ).
1.4 Procesos Estocásticos
Para (Cont, Rama; Tankov, Peter, 2004), Un proceso estocástico X es una familia de variables aleatorias (𝑋m), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ∈ [0, 𝑇] indexadas al tiempo. El parámetro de tiempo t puede ser
discreto o continuo, para cada realización de la aleatoriedad w, la trayectoria 𝑋(
w
): 𝑡 → 𝑋m(𝜔)define una función del tiempo, conocido como trayectoria muestral del proceso 𝑋.
A su vez un proceso estocástico también puede verse como funciones aleatorias; las variables aleatorias toman valores del espacio de las funciones. Los procesos aleatorios con rutas de muestreo continuas se pueden construir como variables aleatorias definidas en el espacio de las funciones continuas 𝐶([0, 𝑇], ℝ]). La topología habitual en este espacio está definida por la
norma superior, que a su vez se puede usar para construir un σ-álgebra de Borel, en el que se pueden definir medidas. El ejemplo más conocido es la medida de Wiener, una medida gaussiana en 𝐶([0, 𝑇], ℝ]) que describe el proceso de Wiener.
∥ 𝑓 ∥q=m∈[u,v]rst ∥ 𝑓(𝑡) ∥
1.4.1 Funciones Cadlag:
La palabra "Cadlag" es el acrónimo francés de "continu` a droite, limite `a gauche" que simplemente significa "derecho-continuo con límites izquierdos", algunos autores usan el acrónimo en inglés "rcll". Se refiere a una clase de objetos para los que se tiene continuidad lateral por la derecha y para los cuales se tiene simultáneamente que existen sus límites por la izquierda en todos sus puntos, para cada 𝑡 ∈ [0, 𝑇] los limites
𝑓(𝑡 −) = lim
z→m,z{m𝑓(𝑠) 𝑓(𝑡 +) = limz→m,z}m𝑓(𝑠)
Existe y 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡+)
Toda función continua es entonces Cadlag, pero las funciones Cadlag pueden tener discontinuidades, Si t es un punto de discontinuidad la denotamos por
Δ𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡 −)
El “salto” de 𝑓 𝑒𝑛 𝑡. Sin embargo, las funciones Cadlag no pueden saltar muy violentamente. Una función cadlag f puede tener como máximo un número contable de discontinuidades:{𝑡 ∈ [0. 𝑇], 𝑓(𝑡) ≠ 𝑓(𝑡−)} es finito o contable. También para cualquier 𝜀 > 0, el número de discontinuidades (“saltos”) sobre [0, 𝑇] más grande de lo que debería ser finito. Por lo tanto, una
función cadlag en [0, T] tiene un número finito de "saltos grandes" (más grande que) y un número posiblemente infinito, pero contable de saltos pequeños.
1.4.2 Filtraciones e Historias
La interpretación del índice t como variable temporal introduce un aspecto dinámico que debe tenerse en cuenta al definir adecuadamente las nociones de información, causalidad y
previsibilidad en el contexto de un modelo estocástico.
En un contexto dinámico, a medida que pasa el tiempo, se revela progresivamente más información al observador. El resultado es que muchas cantidades que son vistas como "aleatorias" en t = 0 pueden cambiar el estado en un momento posterior t>0 sí su valor t t> es revelado por la información disponible en el momento t. Se debe agregar algún ingrediente dependiente del tiempo a la estructura de nuestro espacio de probabilidad (Ω, ℱ, ℙ) para acomodar esta característica adicional. Esto se hace generalmente utilizando el concepto de filtración.
Una filtración o flujo de información sobre (Ω, ℱ, ℙ) es un incremento de familias de 𝜎 − 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑠 (ℱm)m∈[u,v]:∀𝑡 ≥ 𝑠 ≥ 0, ℱz ⊆ ℱm ⊆ ℱ
ℱm es interpretado entonces como la información conocida en el tiempo t, la cual incrementa con el tiempo. Si se comienza con un conjunto ℱ entonces ℱm ⊆ ℱ entonces un espacio de probabilidad (Ω, ℱ, ℙ) equipado con una filtración es llamado espacio de probabilidad filtrado. Desde un punto de vista intuitivo, la probabilidad de que ocurra un evento aleatorio cambiará con el tiempo a medida que se revele más información. Sin embargo, en lugar de cambiar la medida de probabilidad ℙ con el tiempo, mantendremos ℙ fijo y modelaremos el impacto de la información al condicionar la información ℱm.
1.4.3 Proceso de Poisson
Sea (𝜏h)h…/ una secuencia de variables aleatorias independientes exponenciales con parámetro l y 𝑇3 = ∑3h‡/𝜏h 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 (𝑁m, 𝑡 ≥ 0)𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟
𝑁m= ‰ 1m…vŠ
3…/ (2)
es llamado un proceso de Poisson con intensidad l. Por lo tanto, el proceso de Poisson se define como un proceso de conteo: cuenta el número de veces aleatorias (𝑇3) que ocurren entre
0 𝑦 𝑡, (𝑇3 − 𝑇3g/)3…/donde es 𝑖. 𝑖. 𝑑. Secuencia de variables exponenciales. (Cont, Rama;
Tankov, Peter, 2004).
Para cualquier 𝑡 > 0, 𝑁m 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜆𝑡: ∀𝑛 ∈ ℕ, ℙ(𝑁m= 𝑛) = 𝑒gŽm
(𝜆𝑡)3
1.4.4 Proceso de Poisson Compuesto.
Definición: Sea {𝑄𝑖}h…/ una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas, y {𝑁𝑡}m…u sea un proceso de Poisson con el parámetro de intensidad l. Entonces, el
proceso de Poisson compuesto {𝑌𝑡}m…uestá definido por 𝑌m= ‰ 𝑄h
‘’ h‡/
𝑆í 𝑁m= 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑌m, 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑌m= ∑uh‡/𝑄h= 0.
Para simular el proceso de Poisson compuesto, la suma de saltos en [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡] tiene la misma distribución que ∑”‘’𝑄h
h‡/ , donde recordamos que el número de saltos ΔNm es Poisson distribuido
con la media 𝜆Δ𝑡. Para simular ∑”‘’𝑄h
h‡/ , lo primero ΔNm es simulado a partir de la distribución Poisson con media
𝜆Δ𝑡, dado tal entero aleatorio ΔNm = 𝑘 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ∑”‘’𝑄h
h‡/ = ∑—h‡/𝑄h es generado. Si el 𝑄h, es
distribuido normalmente 𝑄h~𝑁(𝜇™, 𝜎™0), donde j, representa los saltos, entonces
∑—h‡/𝑄h~𝑁(𝑘𝜇™, 𝑘𝜎™0).
1.4.5 Retornos Logarítmicos (log-retornos).
Definición: sea 𝑆m el precio de un activo financiero en el tiempo t. durante el incremento de
tiempo Δ𝑡, 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑅”m 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜
Por conveniencia, reescribiremos el retorno logarítmico en su forma abreviada log-retorno. El log-retorno depende no solamente sobre el tiempo t pero también sobre su incremento Δ𝑡. Como sea, la distribución de los log-retornos no depende del tiempo para el modelo.
Un hecho empírico bien conocido es que para un pequeño incremento de tiempo t, el log-retorno
𝑅”m es aproximadamente igual al retorno aritmético 𝑆m›”m− 𝑆m⁄𝑆m. Para el modelo de Merton
empleado en este trabajo, el log-retorno es más conveniente de analizar que el retorno aritmético. Por lo tanto, en este trabajo de grado compararemos el log-retorno de los datos empíricos con los modelados para decidir si el modelo MJD puede ser mucho más adecuado para el mercado de valores real.
1.4.6 Movimiento Browniano
Definición: Un proceso estocástico {𝑊m}m…u es llamado un Movimiento Browniano estándar si las siguientes propiedades se satisfacen:
(1) 𝑊u = 0
(2) 𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 0 ≤ 𝑡/ ≤ 𝑡0 ≤ ⋯ ≤ 𝑡3,
los incrementos 𝑊: 𝑊mŠ− 𝑊mŠ¡¢, 𝑊mŠ¡¢−𝑊mŠ¡£, … . 𝑊m£− 𝑊m¢, son variables aleatorias independientes.
(3) Distribución Normal: para cada tiempo 0 ≤ 𝑡/ ≤ 𝑡0 ≤ ⋯ ≤ 𝑡3, los incrementos
𝑊: 𝑊mŠ − 𝑊mŠ¡¢, 𝑊mŠ¡¢−𝑊mŠ¡£, … . 𝑊m£ − 𝑊m¢ son distribuidos normalmente con media cero y varianza (𝑡3 − 𝑡3g/), (𝑡3− 𝑡3g/), … . , (𝑡0− 𝑡/), respectivamente.
(4) Con probabilidad uno, 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡 ⟼ 𝑊m 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡.
Los incrementos de ΔW¥= W¥›”¥− W¥~N(0, Δt)~√ΔtN(0,1), lo cual significa que
(W¥›”¥− W¥) √Δt~N(0,1)⁄ . Entonces ΔW¥~√ΔtN(0,1), un movimiento Browniano estándar es fácilmente simulado.
1.5 Revisión de Literatura Académica Empírica.
Una de las primeras aproximaciones al cálculo estocástico aplicado a las finanzas fue gracias Louis Bachelier4 en su tesis doctoral “LA TEORÍA DE LA ESPECULACIÓN”, el propuso el siguiente modelo para la determinación del valor futuro de un activo financiero de la forma que es la forma estándar de la representación de un movimiento Browniano.
𝑆m= 𝑆u+ 𝜎𝑊m
De la ecuación, en su versión multiplicativa se deriva el modelo de B&S
𝑆m= 𝑆u𝑒𝑥𝑝[𝜇𝑡 + 𝜎𝑊m]
A partir de esta modelación se han usado otras variaciones y distribuciones de probabilidad para intentar modelar el comportamiento de activos financieros que cambian en el tiempo, en particular si el tiempo es tomado en forma discreta o continua.
Uno de los principales desafíos encontrados a lo largo de la literatura es la estimación de los parámetros de la Función de Densidad de Probabilidad (PDF en ingles) dadas las características no normales que exhiben los datos de activos financieros, (Leonard, 1978) propone resolverlo a través de métodos no paramétricos.
El modelo de Black-Scholes se basa sobre un proceso de difusión log-normal, tal que el proceso de los rendimientos en logaritmo sigue una distribución normal. (Hanson & Westman, 2002) señalan que los mercados reales exhiben varias desviaciones de este modelo ideal, aunque útil. Este modelo tiene la forma:
𝑆m= 𝑆u𝑒
¨©gª0 «m›ª¬£ ’ (4)
4 Louis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier (El Havre, 11 de marzo de 1870 - 28 de abril de 1946) fue un matemático
francés a quien se le atribuye haber sido el primero en modelar el movimiento browniano en su tesis La teoría de La Especulación, publicado en 1900. Bachelier, L., ThÅLeorie de la spÅLeculation, Annales de l’Ecole Normale SupÅLerieure, 17 (1900), pp. 21–86. English translation in [100].
Donde 𝑆u es el precio de la acción en el tiempo 0, µ es la tasa de deriva y s es llamada la volatilidad
la cual expresa la incertidumbre para el precio de la acción. El logaritmo del precio de la acción es:
ln(𝑆m) = ln(𝑆u) + ®𝜇 − 𝜎0
2° 𝑡 + 𝜎𝑊m (5)
Por definición uno puede obtener el retorno logarítmico (Log-return), 𝑅”m del modelo de BS se
obtiene el precio de la acción.
𝑅”m= 𝐿𝑛 ¨ 𝑆m›”m 𝑆m « (6) 𝑅”m= ®𝜇 − 𝜎0 2° Δ𝑡 + 𝜎(𝑊m›”m− 𝑊m)~𝑁 ±®𝜇 − 𝜎0 2° Δ𝑡, 𝜎0Δ𝑡² (7) 𝑅”m= ®𝜇 − 𝜎0 2° Δ𝑡 + 𝜎√Δ𝑡𝑁(0,1) (8)
Lo cual implica que
𝑅”m− ¨𝜇 − 𝜎 0 2 « Δ𝑡
𝜎√Δ𝑡 ~𝑁(0,1)
Este modelo ha sido ampliamente usado como punto de referencia en la literatura financiera, su importancia es resaltada por autores posteriores eso si, aclarando que este modelo como ideal dista bastante de la realidad observada en los mercados, principalmente al no cumplirse con los criterios de normalidad. Para mayor detalle ver anexo A.
Merton introdujo el modelo de difusión por salto en el modelado financiero, utilizando un proceso de Poisson compuesto para el tiempo de salto para las amplitudes de salto distribuidos normalmente que pueden describir los desplomes y los repuntes del mercado. La distribución del mercado, por ejemplo, para las acciones, debe tener varias propiedades realistas que no se encuentran en el modelo lognormal ideal.
(Hanson & Zongwu, 2004) y (Hanson & Westman, 2002) aplicaron estos modelos para emular el comportamiento del índice S&P500, partiendo de las siguientes características;
1- El modelo debe permitir grandes fluctuaciones aleatorias, como choques o alzas repentinas.
2- La distribución logarítmica debe ser sesgada, ya que los valores atípicos descendentes grandes son más grandes que los valores atípicos ascendentes, y
3- La distribución debe ser leptocúrtica, ya que el modo suele ser mayor y las colas más gruesas que para una distribución normal.
Para modelar estas propiedades adicionales, utilizaron un proceso de difusión de saltos con un proceso de Poisson de amplitud de saltos log-uniforme para ajustarse a los rendimientos
logarítmicos del índice S&P 500. La estimación de los parámetros del proceso de retorno logarítmico utilizando una aproximación ponderada de mínimos cuadrados que es una mejora con respecto a los resultados del modelo anterior de salto de definición de Merton.
(Hanson & Zongwu, 2004) hacen un avance respecto al trabajo de (Hanson & Westman, 2002), en esta oportunidad usan el método de máxima verosimilitud para la estimación de los parámetros básicos del modelo y lo comparan con los resultados del primer trabajo además de incorporar un parámetro adicional. (Penagos, Gabriel; Rubio, Gonzalo, 2013) aplican un modelo estocástico de difusión con salto y muestran el proceso de estimación de los parámetros para la Función de Densidad de Probabilidad para ajustar los parámetros de las ecuaciones diferenciales estocásticas.
La selección del modelo y los métodos para estimar sus parámetros son también tratados (Andersen, Benzoni, & Lund, 2002) y lo aplican sobre la estimación del índice S&P500. Para fines de modelación del mercado financiero, es necesario tener una estimación de los parámetros de la distribución del mercado. Para la difusión log-normal, log-uniforme amplitud-salto salto-difusión ³𝜇], 𝜎]0, 𝜇
™, 𝜎™0, 𝜆´ y otras variaciones.
(Andersen, Benzoni, & Lund, 2002) señalan que La principal dificultad para realizar una inferencia eficiente para un modelo de tiempo continuo a partir de datos muestreados discretamente es que las expresiones de forma cerrada para la densidad de transición discreta generalmente no están disponibles, especialmente en presencia de variables de estado no observadas y correlacionadas en serie. También sugieren que “La necesidad de un marco general y eficiente para la inferencia nos lleva a adoptar una variante de la técnica del método de momentos simulados (SMM) de Duffie y Singleton (1993). Las condiciones de momento se obtienen a partir de una implementación del procedimiento de método eficiente de momentos (EMM) de Gallant y Tauchen (1996), y el rendimiento se evalúa a través de las pruebas de especificación asociadas y los diagnósticos del modelo.” Sus resultados indican que tanto la volatilidad estocástica como los componentes de salto discreto son ingredientes críticos del mecanismo de generación de datos. Además, parece necesaria una pronunciada correlación negativa entre el retorno y las innovaciones de volatilidad para capturar la asimetría en los rendimientos del S&P 500. Un componente de salto de frecuencia relativamente baja representa las colas gruesas de la distribución de devoluciones. Estimamos que los saltos ocurren en promedio de tres a cuatro veces al año. Las discontinuidades son relativamente pequeñas, con la mayoría de los saltos dentro del rango del 3%. Además, sus hallazgos sugieren que una combinación de representaciones bastante estándar y parsimoniosas de la volatilidad y saltos estocásticos acomoda las características dominantes de los rendimientos del índice de acciones de S&P 500 y ofrece una alternativa atractiva a, por ejemplo, la compleja especificación de difusión pura de cuatro factores de Gallant y Tauchen (1997). En su artículo, ellos evitaron deliberadamente explotar los precios de los derivados con fines de estimación. Si bien esto no es totalmente eficiente, existen importantes ventajas asociadas con este enfoque. Primero, podemos enfocarnos exclusivamente en la adecuación del modelo bajo la medida "física". Características tales como la volatilidad estocástica, una correlación negativa entre las innovaciones de retorno y volatilidad, y los saltos en consecuencia, no se extraen de precios de los derivados, y por lo
tanto se demuestra que son características inherentes de la dinámica de retorno subyacentes. Este análisis es un punto de referencia importante, ya que los precios de las opciones hablan de los parámetros del sistema de retorno bajo la medida "neutral al riesgo". Por lo tanto, la estimación conjunta requiere supuestos de distribución no solo para la dinámica del retorno de las acciones, sino también para las primas asociadas del mercado para riesgo no diversificable, como la volatilidad estocástica y los saltos.
La incorporación de un proceso adicional de salto en el modelo de Merton es la principal diferencia con el modelo de B&S. El componente de salto resulta un desafío puesto que requiere de una regla de decisión para determinar cuando estos se presentan, de ahí la utilidad de usar los log-retornos. (Penagos, Gabriel; Rubio, Gonzalo, 2013) señalan que, en el entorno financiero globalizado actual, la presencia de saltos y su tamaño afecta los rendimientos de los portafolios, así como el valor de las acciones que componen el Índice COLCAP.
2. Índice COLCAP
2.1 Generalidades
La Bolsa de Valores de Colombia (BVC), nace el 3 de julio de 2001, tras la fusión de la Bolsa de Bogotá (1928), la Bolsa de Medellín (1961) y la Bolsa de Occidente (Cali, 1983). Actualmente en este mercado se encuentran registradas 177 compañías, de las cuales, entre 20 y 25 acciones componen el índice actual del COLCAP, el cual remplazo IGBC a partir del 15 de enero 2008. De acuerdo al documento (Bolsa de Valores de Colombia, 2018), el COLCAP es un índice de capitalización que refleja las variaciones de los precios de las acciones más líquidas de la Bolsa de Valores de Colombia (BVC), donde la participación de cada acción en el índice está determinada por el correspondiente valor de la capitalización bursátil ajustada (flotante de la compañía multiplicado por el último precio). El valor base 𝐼(𝑡) con el que inició el COLCAP en la apertura de la rueda del 15 de enero de 2008 fue de 1.000 puntos.
El índice COLCAP tiene dos procesos importantes, el de recomposición y el de rebalanceo, el primero consiste en la selección de las acciones que conformarán la canasta de acciones del índice durante el siguiente año. En el proceso de recomposición se determina, igualmente, la participación en el índice de cada acción seleccionada para el siguiente trimestre. La recomposición del COLCAP se realizará, después del cierre del mercado, el último día hábil del mes de octubre y estará vigente entre el primer día hábil de noviembre del mismo año y el último día hábil de octubre del año siguiente”.
El segundo, el rebalanceo del índice consiste en determinar la participación de cada acción en la canasta. El rebalanceo del COLCAP se realizará el último día hábil de los meses de enero, abril y julio de cada año. Como resultado del rebalanceo se ajustan los ponderadores 𝑊h de las acciones que conforman el índice para reflejar los cambios en la capitalización bursátil ajustada de cada acción. Bajo ciertas condiciones, en un periodo de rebalanceo se pueden adicionar o retirar acciones del índice.
2.1.1 Acciones Seleccionables:
Para que una acción se tenga en cuenta en el proceso de selección de la canasta del COLCAP, es necesario que cumpla los siguientes requisitos (Bolsa de Valores de Colombia, 2018):
a. Debe pertenecer a la rueda continua en la fecha de corte de información.
b. La fecha de inscripción en bolsa debe ser anterior a treinta (30) días calendario, contados desde la fecha de corte de información (incluyéndola).
c. No se tendrán en cuenta las acciones sin dividendo (SD). d. No se tendrán en cuenta derechos sobre acciones (DH).
e. No se tendrán en cuenta las acciones pertenecientes al Mercado Global Colombiano1.
f. Debe tener al menos una operación de contado que marque precio en los últimos noventa (90) días calendario, contados a partir de la fecha de corte de información (incluyéndola).
g. No se tendrá en cuenta ningún Emisor del que se tenga información, que sea publicada como relevante de conformidad con las normas vigentes, que tenga cómo resultado directo el desliste de la acción. Cuando se menciona que la información relevante tenga como resultado directo el desliste de la acción, se hace referencia a la formulación de la OPA de desliste, el anuncio de desliste o de cualquier situación que no dependa de la ocurrencia de ningún otro evento para que formalice el desliste de la acción.
h. No se tendrá en cuenta ninguna otra acción que por características especiales (tales como anuncio de reestructuración o liquidación o expropiación de la compañía, entre otros) la BVC resuelva excluir del cálculo. Se informará al mercado sobre estos casos en la fecha de selección de la canasta.
2.1.2 Composición del COLCAP.
Desde su aparición en el año 2008 el índice COLCAP y a lo largo de su historia, 48 especies han entrado o salido a lo largo de 45 periodos trimestrales, debido a los procesos de recomposición y rebalanceo. Actualmente el índice cuenta con 20 especies, de las cuales al menos 12 especies ha tenido su presencia dentro del índice desde el principio. Las acciones con mayor peso también son aquellas que mas tiempo han estado listadas dentro del índice, siendo el caso Ecopetrol, Preferencial de Bancolombia, Nutresa, etc.
Gráfica 1: Composición del Índice COLCAP, por sectores productivos a los que pertenecen las empresas. Fuente (Bolsa de Valores de Colombia, 2018)
2.1.3 Ponderación del COLCAP
El ponderador del índice COLCAP es el flotante de cada compañía expresado en miles de millones de acciones. A partir del ponderador y del precio de cada componente de la canasta se determina el peso de cada acción en el índice. En la Tabla 1 se observan las especies y la ponderación asignada en cada periodo del COLCAP.
Firmas 2017 III 39 2017 IV 40 2018 I 41 2018 II 42 2018 III 43 2018 IV 44 2019-I 45 Ponderación Peso promedio
BCOLOMBIA 6.29% 6.27% 7.10% 6.54% 6.73% 6.48% 7.49% 6.70% BOGOTA 2.81% 2.67% 2.49% 2.61% 2.64% 2.64% 2.35% 2.60% BVC 0.23% 0.25% 0.24% CELSIA 1.90% 1.81% 1.69% 2.44% 2.48% 2.42% 2.42% 2.17% CEMARGOS 4.98% 4.68% 4.28% 3.83% 3.66% 3.08% 3.30% 3.97% CLH 1.84% 1.77% 1.68% 1.29% 1.11% 0.82% 0.67% 1.31% CNEC 0.67% 0.61% 0.56% 0.35% 0.37% 0.37% 0.41% 0.48% CONCONCRET 0.33% 0.32% 0.29% 0.28% 0.20% 0.10% 0.11% 0.23% CORFICOLCF 2.63% 2.62% 2.21% 2.00% 1.97% 2.15% 1.68% 2.18% ECOPETROL 7.50% 8.93% 12.58% 14.97% 15.16% 20.40% 14.71% 13.46% EEB 4.38% 4.46% 4.07% 4.16% 4.21% 4.23% 4.25% ETB 0.23% 0.20% 0.16% 0.14% 0.14% 0.12% 0.09% 0.15% EXITO 3.04% 3.28% 3.31% 3.23% 3.13% 2.81% 2.92% 3.10% GEB 5.66% 5.66% GRUPOARGOS 6.47% 6.01% 5.56% 5.44% 5.44% 4.57% 5.43% 5.56% GRUPOAVAL 0.75% 0.62% 0.62% 0.59% 0.58% 0.56% 0.62% GRUPOSURA 9.32% 8.40% 7.58% 7.44% 7.52% 7.22% 7.71% 7.89% ISA 6.40% 6.27% 6.33% 6.44% 6.46% 6.14% 6.47% 6.36% NUTRESA 6.76% 6.91% 6.22% 6.47% 6.59% 5.93% 6.57% 6.49% PFAVAL 5.54% 5.37% 4.91% 4.78% 4.62% 4.71% 4.43% 4.91% PFAVH 0.97% 0.98% 0.94% 0.96% 0.82% 0.71% 0.60% 0.85% PFBCOLOM 13.12% 12.50% 13.88% 12.95% 12.77% 12.42% 14.79% 13.20% PFCEMARGOS 2.22% 2.20% 1.92% 1.68% 1.69% 1.36% 1.44% 1.79% PFDAVVNDA 3.33% 3.05% 2.91% 3.06% 3.31% 3.13% 3.25% 3.15% PFGRUPOARG 4.24% 3.98% 3.51% 3.23% 3.40% 2.79% 3.16% 3.47% PFGRUPSURA 4.82% 4.43% 3.98% 3.82% 3.72% 3.62% 3.55% 3.99% PROMIGAS 1.53% 1.21% 1.27% 1.26% 1.19% 1.29% Grand Total 100.00% 100.00% 100.00% 100.00% 100.00% 100.00% 100.00% 4.02%
Tabla 1 se observan la ponderación correspondiente a las acciones que componen el índice COLCAP de acuerdo con el procedimiento establecido por la BVC, siendo el sector financiero, construcción y energético los que tienen un mayor peso dentro del índice. Fuente BVC, Elaboración propia.
Tabla 2 Matriz de correlación entre los valores en diferencia (Ln(St/St-1)) de cierre diario entre el índice COLCAP, las acciones que lo componen y la variación de las tasas de interés diarias de los TES a 5 años. Fuente BVC, Banco de la República. Elaboración propia. Datos entre el 15 de enero de 2008 hasta el 2 de febrero de 2019.
En la tabla 2 se detalla la correlación entre las especies que componen el índice COLCAP, a esta se le agrega como referencia las tasas de los TES a 5 años. Se detalla que pocas acciones que lo componen tienen un elemento de contrapeso o correlación negativa al resto de las especies.
3. Modelo
3.1 Datos
Los datos utilizados corresponden a los precios de cierre históricos del índice COLCAP desde el 2008-15-01 hasta 2019-01-02, (gráfica 3) con 2693 días hábiles de negociación. Durante el periodo de existencia del índice COLCAP, iniciando con un valor de 1000, su mínimo valor se registro el 27 de octubre de 2008 con un valor de 686.65, este valor ocurrió durante el periodo de la crisis financiera, su máximo por otro lado ocurrió el 4 de noviembre de 2010 con un valor de 1942,37. El histograma del índice COLCAP (gráfico 4) muestra que la rentabilidad con una media de 1440 y al igual que con otras series de datos financieras se observa la no normalidad de la distribución de los datos.
Se aplicó log-retornos a la serie del COLCAP (Gráfica 4), esto con el fin de poder encontrar una función de densidad de probabilidad de log-retornos (gráfica 5) tal que permita modelar un proceso de difusión-salto tal que represente mejor las características usuales observadas en los datos financieros, las cuales usualmente presentan una asimetría positiva y una curtosis muy superior a la de una distribución normal (grafica 6).
Gráfica 2 Serie de tasas de interés de los TES s a 5 años desde el 15 de enero de 2008 hasta final de febrero de 2019. Se observa la correlación negativa entre esta serie y la serie del Histórico del COLCAP de la grafica 3. Esto también se observa en la tabla 2, este resultado intuitivamente revela la relación entre los rendimientos entre la renta fija y la renta variable. Fuente Banco de la Republica, Elaboración Propia.
Gráfica 3 Serie de Datos de Cierre del COLCAP 2008.2019 Gráfica 4 Histograma Indice COLCAP.
Gráfica 5 Log-retornos indice COLCAP 2008-2019, Gráfica 6 Histograma Log-retornos COLCAP
(Tang, 2018) hace un comparativo entre el modelo de difusión pura de B&S y el modelo de MJD de Merton, sus resultados sugieren que el modelo de Merton presenta un mejor desempeño que el modelo de B&S cuyos supuestos parte de la distribución normal.
3.2 Modelo de Salto-Difusión de Merton (MJD).
Siguiendo la metodología propuesta por (Andersen, Benzoni, & Lund, 2002), (Penagos, Gabriel; Rubio, Gonzalo, 2013) y (Tang, 2018), en esta sección se construirá el modelo de tiempo continuo lo suficientemente general para capturar las características sobresalientes de los rendimientos del índice de acciones COLCAP. Partiendo de la ecuación diferencial propuesta por Merton para el precio del activo tenemos
𝑑𝑆m 𝑆m = µ𝑟 − 𝜆𝑘¶·𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊m+ 𝑘𝑑𝑞m. (9) 𝑆m = 𝑆u𝑒®©jg ªj£ 0 °m›ªj¬’›∑»’º¼¢¹º (10)
Donde la ecuación (10) es la solución de la ecuación (9), 𝜇] es llamada la deriva de difusión, 𝜎]
es llamada la volatilidad de difusión, {𝑊m}m…u es el movimiento Browniano estándar, ³∑‘’ 𝑄h
h‡/ ´m…u,
es un proceso de Poisson compuesto con saltos normalmente distribuidos 𝑁(𝜇™, 𝜎™0) e intensidad
𝜆. Acá el índice d representa la difusión del MJD, y el índice j representa el salto del modelo MJD. Aplicando logaritmo al modelo MJD, el precio del índice es:
ln (𝑆m) = 𝑙𝑛 ±𝑆u𝑒 ®©jgª0 °m›ªj£ j¬’›∑»’º¼¢¹º² ln (𝑆m) = ln(𝑆½) + ®𝜇]− 𝜎]0 2° 𝑡 + 𝜎]𝑊m+ ‰ 𝑄h ‘’ h‡/ (11)
Por definición, podemos obtener los log-retornos de 𝑅”m del modelo MJD de la ecuación (8) como: 𝑅”m = ®𝜇]− 𝜎]0 2° 𝑡 + 𝜎](𝑊m›”m− 𝑊m) + ‰ 𝑄h. ‘¾¿À’ h‡‘’ (12)
Donde Δ𝑊m= 𝑊m›”m− 𝑊m es el movimiento Browniano estándar que incrementa, 𝑄h.son
independientes con distribución normal con media 𝜇™ y varianza 𝜎™0 y Δ𝑁
m= 𝑁¥›”m − 𝑁m es una
variable aleatoria Poisson con media 𝜆Δ𝑡. Se ha observado que ∑‘¾¿À’𝑄h
h‡‘’ tiene la misma
distribución como ∑‘’ 𝑄h
h‡/ , donde una vez mas Δ𝑁m= 𝑁¥›”m − 𝑁m.
La esperanza y la varianza del log-retorno 𝑅”m del modelo MJD del precio del activo es:
Á𝐸(𝑅”m) = ®𝜇]− 𝜎]0 2° Δ𝑡 + 𝜇™𝜆Δ𝑡 𝑉𝑎𝑟(𝑅”m) = 𝜎]0Δ𝑡 + µ𝜎™0+ 𝜇™0·𝜆Δ𝑡. (13) (14)
Por definición, la PDF del modelo MJD-Log-retorno 𝑅”m es: 𝑓ÃÀ’(𝑥) = ‰ 𝑝—(𝜆Δ𝑡)𝜑(𝑥 Å®𝜇]− 𝜎]0 2° Δ𝑡 + 𝜇™𝑘, 𝜎]0𝜆Δ𝑡 + 𝜎™0𝑘), q —‡u (15) Donde 𝑝—(𝜆Δ𝑡) = 𝑝(Δ𝑁m = 𝑘) = (𝜆Δ𝑡)— 𝑘! 𝑒gŽ”m (16)
Tal vez, uno de los elementos de un modelo que involucre la incorporación de saltos es decidir la regla para estimar cuando realmente se presenta uno. La discusión de este hecho tiene implicaciones no solo en la distribución sino en el modelo mismo ya que cada caso puede tener sus propios criterios. (Penagos, Gabriel; Rubio, Gonzalo, 2013) señalan que es bien sabido que para describir correctamente los rendimientos del índice de acciones se deben permitir saltos discretos. los saltos desempeñan un papel importante para comprender los rendimientos del mercado de los EE. UU. por encima de la volatilidad estocástica y la relación negativa entre los choques de retorno y la volatilidad. Por otra parte (Kou, Yu, & Zhong, 2017) utilizan un MCMC (Cadena de Markov Monte Carlo) para estimar los saltos y su tamaño, también proporciona una intuición de por qué los tamaños de salto distribuidos de manera doble exponencial pueden ajustarse mejor a los rendimientos del índice de acciones, así como la descripción del procedimiento de inferencia de MCMC Bayesiano utilizado.
3.2.1 Estimación de los momentos para la distribución del MJD
Para poder trabajar el modelo de MJD es necesario dividir los datos de los log-retornos en dos grupos 𝒥 el cual representa los log-retornos considerados como un salto y 𝒟 y corresponden a los log-retornos que siguen un proceso de difusión. Para realizar esta separación se empleo el criterio usado por (Tang, 2018) la cual consiste en sacar el valor absoluto de los log-retornos de la serie, tal que aquellos valores mayores de un e, serán considerados como un salto. En conjunto con esto para establecer un valor inicial de los parámetros de salto y difusión, respecto al termino
l es el numero de saltos por año. Para estimar los parámetros de salto se parten de las ecuaciones (13) y (14) partiendo de la existencia de un solo salto.
Á𝜇̂™= 𝐸(𝑅 É ”m) − ®𝜇]− 𝜎]0 2° Δ𝑡 𝜎Ê™0= 𝑉𝑎𝑟(𝑅É”m) − 𝜎]0Δ𝑡. (17) (18) ⎩ ⎨ ⎧ 𝜇̂]= 𝐸(𝑅Î ”m) + 𝑉𝑎𝑟(𝑅É”m)Δ𝑡 2Δ𝑡 𝜎Ê]0= 𝑉𝑎𝑟(𝑅Î ”m) Δ𝑡 (19) (20)
Las ecuaciones 17-20 son las media y varianza para cada uno de los grupos en los que se dividieron los datos. Estos valores calculados serán usados como los valores iniciales para estimar iterativamente los parámetros del modelo por el método de máxima verosimilitud.
Partiendo de la ecuación (10), los momentos del modelo de de Salto-Difusión de Merton y al igual que en el modelo de B&S, el movimiento Browniano tiene una distribución normal que
Δ𝑊m~√Δ𝑡𝑁(0,1) y 𝑄h~𝑁µ𝜇™, 𝜎™0·, recordando que, ∑ 𝑄 h ‘’¿∆’
h‡‘’ tiene la misma distribución que ∑‘’ 𝑄h
h‡/ , donde ∆𝑁m es un proceso de Poisson con un incremento con media 𝜆∆𝑡. Entonces,
𝐸(∆𝑁m) = 𝑉𝑎𝑟(∆𝑁m) = 𝜆∆𝑡 (21)
Primer Momento, Media:
𝐸(𝑅∆m) = (𝜇]− 𝜎]0)∆𝑡 + 𝐸(𝑄)𝐸(∆𝑁m)
𝐸(𝑅∆m) = (𝜇]− 𝜎]0)∆𝑡 + 𝑢™𝜆∆𝑡 (22)
Segundo Momento, Varianza
𝑉𝑎𝑟(𝑅∆m) = 𝐸[(𝑅∆m)0] − 𝐸[(𝑅∆m)]0 (23) 𝑉𝑎𝑟(𝑅∆m) = 𝐸[µ𝜎]𝑊v+ 𝑄∆𝑁m− 𝜇™𝜆∆𝑡· 0 ] 𝑉𝑎𝑟(𝑅∆m) = 𝐸[ µ𝜎]𝑊v)0 + (𝑄∆𝑁m)0+ (𝜇™𝜆∆𝑡)0+ 2𝜎]𝑊v𝑄∆𝑁m− 2𝜎]𝑊v𝜇™𝜆∆𝑡 − 2𝑄∆𝑁m𝜇™𝜆∆𝑡· 𝑉𝑎𝑟(𝑅∆m) = 𝜎]0∆𝑡 + (𝜎™0+ 𝜇™0)𝜆∆𝑡 (24)
Tercer Momento central, Asimetría
𝑆𝑘𝑒(𝑅∆m) = 𝐸[µ𝑅∆m− 𝐸(𝑅∆m)· Ð ] (𝑉𝑎𝑟(𝑅∆m)) Ñ £ (25) 𝑆𝑘𝑒(𝑅∆m) = (3𝜎™0+ 𝜇™0)𝜇™𝜆∆𝑡 [𝜎]0∆𝑡 + (𝜎™0+ 𝜇™0)𝜆∆𝑡] Ñ £ (26)
Cuarto Momento Central, Curtosis
𝐾𝑢𝑟(𝑅∆m) = 𝐸[µ𝑅∆m− 𝐸(𝑅∆m)· Ô ] (𝑉𝑎𝑟(𝑅∆m))0 (27) (3𝜎™Ô+ 6𝜇™0𝜎™0+ 𝜇™Ô)𝜆∆𝑡 + (3𝜆0∆𝑡µ𝜎™0+ 𝜇™0· 0 + 6𝜆𝜎]0µ𝜎™0+ 𝜇™0· + 3𝜎™Ô)(∆𝑡)0 [𝜎]0∆𝑡 + (𝜎™0+ 𝜇™0)𝜆∆𝑡]£ (28)
3.3 Estimación de los parámetros del modelo de Merton
Para estimar los parámetros, se recurre al método de estimación por máxima verosimilitud, para lo cual es necesario encontrar la función de verosimilitud 𝐿(𝜃; 𝑥), donde q es un parámetro para el modelo y x son los datos, entonces podríamos encontrar un q tal que maximice la función de verosimilitud. Es importante establecer la función de densidad de probabilidad de los datos del COLCAP para utilizar el método de máxima verosimilitud (MLE)
La función objetivo a minimizar en el método de MLE la función
−𝐿(𝜃; 𝑥) = − Ø 𝑓ÃÀ’(𝑥h), 3
—‡u (29)
Partiendo de (15) y (16) donde 𝑓ÃÀ’(𝑥) = ∑q—‡u𝑝—(𝜆∆𝑡)𝜑Ù𝑥Ú Ù𝜇]− ªj£ 0Û Δ𝑡 + 𝜇™𝑘, 𝜎] 0∆𝑡 + 𝜎 ™0𝑘Û y 𝜑(𝑥|𝜇, 𝜎) es la PDF de la variable aleatoria x, 𝑝—(𝜆∆𝑡) = 𝑝(∆𝑁m= 𝑘) =(Ž∆m) Ý —! 𝑒 gŽ”m, es el proceso de
Poisson compuesto con saltos distribución normal 𝑁(𝜇™, 𝜎™0) y x son los datos log-retornos
empíricos. Es más conveniente minimizar la función negativa de verosimilitud dada por:
− ln 𝐿(𝜃; 𝑥) = − ‰ 𝑙𝑛 3
—‡u
𝑓ÃÀ’(𝑥h) (30)
Dado que no existe un método analítico que permita encontrar los parámetros que minimicen la función, siguiendo el procedimiento de (Tang, 2018) y (Hanson & Zongwu, 2004), se construyó una función de densidad de probabilidad (PDF) para el proceso del modelo de la ecuación (15) en Matlab (Ver anexo B) la cual consta de las 5 variables objetivo µd,sd, µj, sj y l. Con estos elementos se uso la función de Matlab fminsearch5 , la cual a través de los métodos numéricos determina los parámetros del modelo, esto requiere de unos valores iniciales que permitan a la función encontrar los óptimos.
Para la estimación de los saltos, siguiendo las ecuaciones (3) y (16) se crea un índice de estos a partir de los datos de los Log-retornos a partir de un e que permita diferenciar cuando estos se presentan en la serie de datos (R), tal que permita a la función de salto iterar hasta estimar una aproximación al valor del parámetro tal que satisfaga la función de verosimilitud. Para este aparte se utilizará una regla de decisión apoyada en un proceso de Poisson donde 𝜆Þ = 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜 dividido entre la duración total en años, esto permite filtrar los datos de tal forma que se pueda determinar los saltos y dividir los datos como los argumentos de la función fminsearch.
Una vez obtenidos los parámetros, se procedió a estimar los momentos de los Log-retornos de los datos comparados con los generados a partir del modelo de Merton y el modelo de B&S, de acuerdo a las ecuaciones (22),(23),(26) y (28) y se generó un kernel 6 de distribución que permitiera compararse con el de los datos del COLCAP (grafica 6).
5 Encuentra el mínimo de una función multivariable sin restricciones mediante el método de derivación libre. 6 Estimación de la función de suavizado del kernel para datos univariados y bivariados.
4. Resultados
Los valores iniciales que fueron utilizados para calcular los parámetros fueron:
µd sd l µj sj e Asimetría Curtosis
MJD iniciales 0.1075 0.1157 13.5351 -0.0048 0.0306 0.0200 - -
MJD MLE 0.1394 0.0868 106.3304 -0.0009 0.0127 0.0200 -0.1928 6.3177 Tabla 3 Parámetros del Modelo de MJD.
El valor de la función de verosimilitud es: − ln 𝐿 = −8778.90737541579
µ s2 Coef. Asimetría Coef. Curtosis
MJD MLE 0.00015 0.00010 -0.19277 6.31768
B&S 0.00020 0.00019 0.00000 3.00000
Log-Retornos 0.00015 0.00011 -0.36614 11.16162
Tabla 4 Comparación de los momentos entre los Log-retornos y los modelos MJD Y BS
Gráfica 7 Comparación de los Log-retornos del COLCAP y los Log-retornos del modelo MJD.
Gráfica 8 Función de Probabilidad de los modelos MJD de Merton y el modelo de B&S de los Log-retornos y la estimación del Kernel de densidad de los datos de los Log-retornos del COLCAP.
La tabla 3 muestra los parámetros iniciales y definitivos del modelo de MJD, estos parámetros describen a la función de densidad de probabilidad del modelo y a partir de estos se pueden encontrar los momentos del modelo y compararlos con los de los log-retornos los cuales se muestran en la tabla 4, se observa que el modelo MJD tiene un mejor desempeño en aproximarse a los datos de los Log-retornos del COLCAP respecto al modelo de B&S, lo cual sugiere que el Modelo MJD puede representar mejor los Valores del COLCAP respecto al modelo de B&S. en la tabla 3 el parámetro de salto nos dice que habrá un salto cada 1.24 meses. Respecto al parámetro e se tomo el valor de 0.02 aunque al probar con diferentes valores, al final los parámetros no variaron significativamente sin embargo el valor de verosimilitud si mostro un valor mas alto al aplicar este ultimo valor frente a otros parámetros de épsilon variando desde
0.005 hasta 0.09 (ver anexo C), lo cual es consistente con lo mostrado por (Tang, 2018) además que confirma que la estimación por el método de máxima verosimilitud no tiene una dependencia fuerte sobre este valor, sin embargo, si el valor de e es mayor que el valor absoluto máximo de los log-retornos empíricas 𝑅∆m, se decide que no hay saltos. Entonces se estima que el parámetro es 0, µjsj no pueden ser estimados.
En la grafica 7 se observa que el modelo no capta los picos iniciales de la serie de datos lo cual puede explicarse en una parte debido a que el coeficiente de asimetría no es cercano a la de los datos de Log-retornos del COLCAP ya que los picos mas fuertes se encuentran precisamente en el periodo de 2008 y pueden reflejar la turbulencia de la crisis financiera y coincide con el menor valor registrado por el índice a lo largo de su existencia.
En la grafica 8 al comparar el kernel de densidad de los log-retornos del COLCAP comparado con los del modelo MJD son bastantes similares, no obstante, la curtosis del modelo y de los datos nos indica que los datos se concentran mas sobre la media respecto a la curtosis que arroja el modelo, esto es importante puesto que así como con la asimetría, los datos iniciales de los log-retornos coinciden con el periodo mas fuerte de la crisis financiera, en su concepción clásica, una curtosis grande implica una mayor concentración de valores de la variable tanto muy cerca de la media de la distribución (pico) como muy lejos de ella (colas), al tiempo que existe una relativamente menor frecuencia de valores intermedios. Esto explica una forma de la distribución de frecuencias/probabilidad con colas más gruesas, con un centro más apuntado y una menor proporción de valores intermedios entre el pico y colas, este efecto es mas notorio comparando los resultados con el modelo de B&S cuya distribución es normal. Los valores de la media y varianza en los 3 modelos son bastantes similares esto tiene sentido teniendo en cuenta que una mayor curtosis no implica una mayor varianza, ni viceversa.
Si bien no hay conceso académico de cuando termino la crisis financiera para efectos de ver como sucesión de hechos que marcaron el mercado en octubre de 2008, se volvió a correr el modelo a partir de este punto, hasta el, hasta el 1 de noviembre de 2018 para completar ciclos anuales, los resultados se muestran a continuación.
µd sd l µj sj e Asimetría Curtosis
MJD iniciales 0.0949 0.1143 11.2536 -0.00166 0.0269 0.0200 - -
MJD MLE 0.1126 0.0761 158.3052 -0.00025 0.00971 0.0200 -0.0590 5.3928 Tabla 5 Parámetros del Modelo de MJD. Datos desde octubre de 2008
El valor de la función de verosimilitud es: − ln 𝐿 = −8103.26561802452
µ s2 Coef. Asimetría Coef. Curtosis
MJD MLE 0.000287 0.0000854 -0.05909 5.3928
B&S 0.000329 0.0000859 0.00000 3.00000
Log-Retornos 0.000287 0.0000859 0.043461 5.6202
Gráfica 9 Comparación de los Log-retornos del COLCAP y los Log-retornos del modelo MJD con los datos iniciando en octubre de 2008
Gráfica 10 Función de Probabilidad de los modelos MJD de Merton y el modelo de B&S de los Log-retornos y la estimación del Kernel de densidad de los datos de los Log-retornos del COLCAP con los datos iniciando en octubre de 2008
Los datos de la tabla 6 muestran una mayor similitud entre el modelo MJD y los log-retornos respeto al total de la serie inicialmente analizada, también la curtosis de los log-retornos tomados desde octubre de 2008 muestran un considerable descenso con respecto a la serie completa, acercándose a la de una distribución normal. Al comenzar la serie desde su punto mas bajo, el modelo MJD tiene una curtosis muy similar a la de los log-retornos, sin embargo, el coeficiente de asimetría si muestra un cambio de signo en ambas y sus valores son mas pequeño respecto al primer modelo. De la tabla 5, el parámetro de salto l aumenta sin embargo su intensidad y sentido cambian respecto al primero siendo estos últimos mas pequeños y mostrando como se observa en la grafica 7 mayor número de puntas negativas respecto a las de la serie.
4.1 Simulación del índice
Una vez se obtienen los parámetros del modelo MJD de la serie completa se simularon log-retornos a partir de una función random programada en Matlab de acuerdo con la PDF del modelo a partir de los parámetros estimados previamente. Los valores generados son usados en la ecuación (10), una vez hecho esto siguiendo el método Monte Carlo se simularon 20.000 trayectorias y se promediaron dando como resultado una línea recta, en esta se puede observar que al menos desde el periodo 2008-2015 los valores del COLCAP exhibieron rendimientos muy superiores a lo que se puede extrapolar a partir de las simulaciones, esta línea muestra claramente una tendencia alcista no muy pronunciada, sin embargo a partir de 2016 esta línea muestra estar por encima a muy corta distancia de los datos reales. Es importante destacar que el periodo de mayor crecimiento del índice ocurrió justo entre noviembre del 2008 hasta noviembre del 2010 ver gráfica (3) durante este periodo el índice triplico su valor alcanzando el máximo, después de este periodo tuvo un descenso prolongado hasta por debajo de los 1110 entre el 25 de noviembre de 2015 hasta febrero de 2016 y empezar una senda de recuperación que en promedio ronda los 1440 puntos.
Gráfica 11 Trayectorias simuladas a partir de la PDF del modelo
MJD de Merton sobre la serie de datos originales del índice COLCAP. Gráfica 12 Serie del COLCAP y la media de las 20.000 simulaciones realizadas a partir del modelo MJD.
5. Conclusión
La incorporación de saltos que caracteriza al modelo MJD frente al modelo de difusión pura de B&S mostró una mejor aproximación a los momentos estadísticos del Los Log-retornos del índice COLCAP, (Tang, 2018) muestra esta misma conclusión al aplicarlo sobre los datos financieros de la acción de GOOGLE además al igual que en este trabajo, la PDF del modelo es bastante cercana a la del kernel de los log-retornos. Tang, siguió la metodología planteada por (Hanson & Zongwu, 2004) quienes también mostraron que la incorporación de saltos aplicado a los datos del S&P500 mejoraba las características de los modelos estocásticos, sin embargo, detectar los saltos, así como su modelado tienen incidencias que varían de acuerdo con el periodo estudiado y la longitud de los mismos, es importante destacar que la estimación del parámetro de salto puede seguir otros procesos diferentes al mostrado en este documento y puede ser materia de estudio para fines académicos futuros.
Otro resultado importante se desprende de las condiciones iniciales del índice COLCAP, ya que la fecha donde este se crea, se dio la mayor crisis financiera registrada en los últimos 30 años, (Penagos, Gabriel; Rubio, Gonzalo, 2013) señalan en sus conclusiones que la tendencia globalizada de integración de los mercados repercute en los saltos que caracterizan a los mercados, es evidente que la crisis tuvo efectos en el sistema financiero colombiano además dado esto, la política monetaria del país en el mismo periodo de tiempo impacto las tasas de interés de los TES que muestran un descenso prolongado que influyo en los rendimientos que exhibió el mercado colombiano durante el periodo de crisis y post-crisis, como se evidencia en la grafica 7, el modelo no es capaz de captar los picos iniciales que tuvo el mercado durante el 2008, sin embargo al tomar los datos desde el valor mas bajo registrado por el índice el coeficiente de asimetría de los datos y del modelo son bastante similares en cuanto a sus funciones de densidad de probabilidad al menos para periodos de tiempo donde reine una estabilidad y calma en los mercados globales. 0 500 1000 1500 2000 2500 S0 S1 69 S3 38 S5 07 S6 76 S8 45 S1 01 4 S1 18 3 S1 35 2 S1 52 1 S1 69 0 S1 85 9 S2 02 8 S2 19 7 S2 36 6 S2 53 5
Simulación Monte Carlo
Bibliografía
Andersen, T. G., Benzoni, L., & Lund, J. (2002). An Empirical Investigation of Continuos-Time Equity Return Models. THE JOURNAL OF FINANCE, 1239-1284.
Bachelier, L. (1900). ThÅLeorie de la spÅLeculation. Annales de l’Ecole Normale SupÅLerieure, 21-86.
Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of political economy, 81(3), 637-654.
Bolsa de Valores de Colombia. (Agosto de 2018). METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DEL ÍNDICE COLCAP AGOSTO DE. Recuperado el Octubre de 2018, de
https://www.bvc.com.co/pps/tibco/portalbvc/Home/Mercados/descripciongeneral/indi cesbursatiles?com.tibco.ps.pagesvc.action=updateRenderState&rp.currentDocumentID
=-5057504f_154e26bf23c_7ee30a0a600b&rp.revisionNumber=1&rp.attachmentProperty Name=Attachment&co
Cont, Rama; Tankov, Peter. (2004). Financial Modellling With Jump Processes Second Edition (Vol. 2). (C. a. Series, Ed.)
Fama, E., & Blume, M. (1966). Filter rules and stock market trading. Journal of Business, 39(1), 226-241.
Hanson, F. B., & Westman, J. J. (2002). Jump-Diffusion Stock Return Models in Finance: Stochastic Process Density with Uniform-Jump Amplitude. 15th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems, (p. 7).
Hanson, F. B., & Zongwu, Z. (2004). Comparison of Market Parameters for Jump-Diffusion Distributions Using Multinomial Maximum Likelihood Estimat. 43rd Conference on Decision Control, (pp. 3919-3925). Atlantis, Paradise Island, Bahamas.
Kou, S. (2001). A Jump Diffusion Model for Option Pricing with Three Properties: Leptokurtic Feature, Volatility Smile, and Analytical Tractability. Retrieved from SSRN:
https://ssrn.com/abstract=242367 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.242367
Kou, S. (2007). Chapter 2 Jump-Diffusion Models for Asset Pricing in Financial Engineering. In Handbooks in or & MS. 15. 10.1016/S0927-0507(07)15002-7. .
Kou, S., Yu, C., & Zhong, H. (2017). Jumps in Equity Index Returns Before and During the
Recente Financial Crisis: A Bayesian Analysis. Managment Science, Vol 63, No 4, pp 988-1010.
Leonard, T. (1978). Density Estimation, Stochastic Proccesses and Prior Information. Journal of the Royal Statistial Society. Serie B (Methodological), 113-146.
Merton, R. C. (1976). Option pricing when underlying stock returns are discontinuos,. Journal of Finnancial Economics, 3(1-2),125-144.
Namhyoung , Kim; Younhee, Lee. (2018). Estimation and prediction under local volatility jump– diffusion model. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 491, 729-740. Penagos, Gabriel; Rubio, Gonzalo. (2013). "The Effects of Systemic Risk on the Allocation
between Value and Growth Portfolios,". Journal of Mathematical Finance, 3(1A), 165-180.
Wu, J. (2004). Empirical Characteristic Function Estimation and Its Applications. ECONOMETRICS REVIEWS, 23-2, 93-123.
Wu, L. (2010). "Stochastic modeling and statistical analysis" Graduate Theses and Dissertations. Retrieved from Scholar Commons : http://scholarcommons.usf.edu/etd/1813
http://www.banrep.gov.co/es/tes
https://www.grupoaval.com/wps/portal/grupo-aval/aval/portal-financiero/renta-variable/acciones-bolsa-colombia/datos-historicos visitado el primero de febrero de 2019, rango de fechas 15 de enero de 2008 al 10
http://www.banrep.gov.co/es/indices-del-mercado-bursatil-colombiano
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved =2ahUKEwizjIuvg6ngAhUGd98KHabrApUQFjAAegQICxAC&url=http%3A%2F%2Fwww.bvc.com.c o%2Fmercados%2FDescargaCanastaServlet%3Fpath%3D%2Fhome%2Fcanastasvigentes%2FCan asta_ICAP.xls&usg=AOvVaw32_prFMW57tlkCUYzWMUcd
Anexos.
A. Modelo de Black & Scholes
El modelo de B&S sigue el proceso del precio de un activo como se muestra en la ecuación (4) donde: 𝑆m 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡. 𝑆u 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙. 𝜇 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑟𝑒 𝜎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑊m 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵𝑟𝑜𝑤𝑛𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑡 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜.
Donde la PDF de la Distribución Normal estándar 𝑁(0,1) 𝑒𝑠 𝜑(𝑥 Ú0,1) = /
√0ç𝑒 ¡è £) Esto es, 𝐸(𝑁(0,1)Ð) = ∫ 𝑥q Ð gq / √0ç𝑒 ¡è£ £ 𝑑𝑥 = 0, 𝐸(𝑁(0,1)Ð) = ∫ 𝑥q Ô gq / √0ç𝑒 ¡è£ £ 𝑑𝑥 = 3 por lo tanto, 𝑆𝑘𝑒(𝑅∆m) = 0 y 𝐾𝑢𝑟(𝑅∆m) = 3
El componente de movimiento Browniano del modelo de B&S por definición se distribuye normalmente ya que Δ𝑊m= 𝑊m›”m− 𝑊m~𝑁(0, Δ𝑡)~√Δ𝑡𝑁(0,1), donde Δt = 1/días hábiles de negociación.
Dado que el modelo de B&S esta definido en términos de la Distribución Gaussiana, antes de abordar el desarrollo del Modelo de Merton, derivaremos los momentos del modelo de B&S de los Log-retornos, media, varianza, asimetría y curtosis así:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝐸(𝑅∆m) = (𝜇 −𝜎20)∆𝑡 (1) 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑉𝑎𝑟(𝑅∆m) = 𝜎0Δ𝑡 (2) 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑆𝑘𝑒(𝑅∆m) =𝐸[µ𝑅∆m− 𝐸(𝑅∆m)· Ð ] 𝑉𝑎𝑟(𝑅∆m) 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑆𝑘𝑒(𝑅∆m) = 𝐸[𝜎∆𝑊m]Ð 𝜎0(∆𝑡)Ñ£ 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑆𝑘𝑒(𝑅∆m) = 𝜎Ð(∆𝑡)Ñ£ 𝐸(𝑁(0,1))Ð 𝜎Ð(∆𝑡)Ñ£ 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑆𝑘𝑒(𝑅∆m) = 𝐸[𝜎√∆𝑡𝑁(0,1)]Ð 𝜎Ð(∆𝑡)Ñ£ 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑆𝑘𝑒(𝑅∆m) = 𝐸(𝑁(0,1)Ð) = 0 (3) (4)