Gráfica de la función

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Universidad Diego Portales

Facultad de Ingeniería. Asignatura: Cálculo II

Instituto de Ciencias Básicas

LABORATORIO Nº 5 Integración aproximada

Contenido:

• Estimación del punto medio.

• Regla del Trapecio.

• Regla de Simpson

En este Laboratorio con Class Pad, , trabajaremos los conceptos básicos de programación, a saber, ClrText, SetDecimal, Input, For – Next y Print. Para ello, el estudiante debe conocer el uso de y , íconos que se han trabajado en Laboratorios anteriores.

Desarrollaremos tres métodos de cálculo aproximado de integrales definidas, a saber, la regla del Punto Medio y la regla del Trapecio para una partición regular de [a, b] en n intervalos; y la regla de Simpson para particiones regulares en un número par de intervalos.

Actividad 1:

Estimar el valor de al integral

1

0

2

dx

ex , usando método del punto medio, con n=10.

(2)

Note que se debe ajustar la Ventana de visualización para visualizar la curva en el intervalo de interés.

Usando la regla del punto medio, para n subintervalos, la integral aproximada es:

Esto nos permite construir un programa simple, similar a los creados en el Laboratorio anterior. Por lo tanto, nos limitaremos a describir la sucesión de pasos a seguir .

Desde el menú Aplicaciones procedemos como sigue:

Abrir Programa. Crear archivo nuevo Definir nombre del archivo Limpie textos con ClrText Configure SetDecimal Borre variables a

usar con DelVar Ingrese a, b, n, y f. ( )

[

( )1 ( 2) ... ( )

]

b n n a f x dxh f x + f x + + f x =M

donde n a b h= − y

[

i

]

i i i x x puntomediode x x =12( 1+ )= xi-1, − , ∀i=1,2,...,n. Note que n ... i , h ) i ( a xi 2 1 1 2 1 = + = .

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Defina la variable h Asigne valor 0 a A Ingrese comando For iniciando ciclo de suma A Ingrese fórmula de área Cierre ciclo For con Next

Defina salida de resultado con Print (salida de A) Guarde cambios y corra el Programa

Ingresamos valor de a. De la misma forma ingresamos b, n y la fórmula de f.

Resultado de nuestra aproximación

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Actividad 2: Calcule la integral

1 0 2 )

sin(x dx, usando método del punto medio, con n=10, y n=30. Verifique que cuando el programa aproxima por el método del punto medio para n=100, nuestra aproximación se acerca al valor del área

1

0 2

)

sin(x dx con precisión de 1 en 10 . 5

Para desarrollar esta actividad podemos usar el programa IntApPM recién construido. Si estamos iniciando trabajo con la calculadora, vamos a , Library y ejecutamos nuestro programa.

Por tres veces ejecutamos nuestro programa e ingresamos a, b, n y f(x) a medida que el programa lo solicite, y sólo cambiamos el valor para ‘n’ en cada ocasión. Se obtienen las siguientes salidas:

Por otro lado el valor de

1 0 2 ) sin(x dx es: 10 = n n=30 n=100

Observe que nuestra aproximación, (con n=100), se acerca al valor del Área

(5)

Un programa alternativo que muestra las tres aproximaciones simultáneamente, se muestra a continuación: (a) (b) (c) (d) (f)

(6)

Actividad 3: Calcule la integral

1 0 2 dx ex , usando método: a) Del trapecio, con n=10.

Creemos un nuevo programa en , , Library y lo nombramos InApTrap. Vamos a y abrimos nuestro programa InApPM. Con Edit seleccionamos todo, y copiamos las instrucciones. Volvemos a y abrimos el nuevo programa InApTrap y, en él, pegamos dichas instrucciones (con Edit – Pegar).

Ahora, procedemos a hacer los cambios necesarios para que se ejecute la suma A según el Método de los Trapecios.

Recordemos que, según el método de los Trapecios la integral Aproximada es:

La última fórmula nos sugiere que la variable A debiese partir con el valor h

[

f(a)f(b)

]

2

que es fijo, y la fórmula recursiva para A dentro del ciclo ‘For - To’ debiese ser

[

]

[

f(a h) f(a h) ... f(a nh)

]

h + + +2 + + + .

[

]

0 1 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2 b n n n a h f x dxf x + f x + f x + + f x + f x=T

donde n a b h= − y note que xi =a+ih,i=1,...,n. Luego, Tn =

[

f(a) f(b)

[

f(x ) f(x ) ... f(x )

]

]

h n + + + + − 2 1 2 2 Y, finalmente: Tn = h

[

f(a)f(b)+2

[

f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+nh)

]

]

2

(7)

Todo lo anterior significa:

b) De Simpson, con n=10.

Usando la regla de Simpson, para un número par de subintervalos, la integral aproximada es: Abrir Programa. Crear archivo nuevo

Definir nombre del archivo(InApTrap) Abra programa IntApPM Copie instrucciones de InApPM y pegue en InApTRap Modificamos A: (f(a) − f(b))·h/2 ⇒ A Modificamos fórmula recursiva: A + h·f(a + i·h) ⇒ A Modificamos Print: InMT(a,b,n) = A Guardamos cambios y Ejecutamos.

Ingresamos a, b, n y f Resultado con n=10

( )

[

( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ... 2 (0 1 2 3 2) 4 ( 1) ( )

]

3 b n n n n a h f x dxf x + f x + f x + f x + + f x− + f x− +f x =S

donde n a b

h= − . Note que f(x0) = f(a); f(xn) =f (b) y xi =a+ih,i=1,...,n, luego:

Sn =

[

f(a) f(b)

[

f(x) f(x) ... f(x )

] [

f(x ) f(x ) ... f(x )

]

]

h n n + + + + + + + + − 4 1 3 −1 2 2 4 3 , con n par.

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Creemos programa nuevo InApSimp y procedamos de manera análoga a lo hecho en el caso de Trapecios, es decir, abrimos programa InApTrap, copiemos sus instrucciones y peguemos ellas en el programa recién creado. A continuación efectuemos los cambios que se indican:

Ingresando a = 0, b = 1, n = 10

y f(x) =

e

x2

y obtenemos

Guardamos con

y

Ejecutamos con

f

Modificamos A

Modificamos ciclo For-To

Modificamos fórmula recursiva A+(4·f(a + (2i-1)·h) + 2·f(a + 2i·h))·h/3 ⇒ A

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