Universidad Diego Portales
Facultad de Ingeniería. Asignatura: Cálculo II
Instituto de Ciencias Básicas
LABORATORIO Nº 5 Integración aproximada
Contenido:
• Estimación del punto medio.
• Regla del Trapecio.
• Regla de Simpson
En este Laboratorio con Class Pad, , trabajaremos los conceptos básicos de programación, a saber, ClrText, SetDecimal, Input, For – Next y Print. Para ello, el estudiante debe conocer el uso de y , íconos que se han trabajado en Laboratorios anteriores.
Desarrollaremos tres métodos de cálculo aproximado de integrales definidas, a saber, la regla del Punto Medio y la regla del Trapecio para una partición regular de [a, b] en n intervalos; y la regla de Simpson para particiones regulares en un número par de intervalos.
Actividad 1:
Estimar el valor de al integral
∫
1
0
2
dx
ex , usando método del punto medio, con n=10.
Note que se debe ajustar la Ventana de visualización para visualizar la curva en el intervalo de interés.
Usando la regla del punto medio, para n subintervalos, la integral aproximada es:
Esto nos permite construir un programa simple, similar a los creados en el Laboratorio anterior. Por lo tanto, nos limitaremos a describir la sucesión de pasos a seguir .
Desde el menú Aplicaciones procedemos como sigue:
Abrir Programa. Crear archivo nuevo Definir nombre del archivo Limpie textos con ClrText Configure SetDecimal Borre variables a
usar con DelVar Ingrese a, b, n, y f. ( )
[
( )1 ( 2) ... ( )]
b n n a f x dx≈h f x + f x + + f x =M∫
donde n a b h= − y[
i]
i i i x x puntomediode x x =12( 1+ )= xi-1, − , ∀i=1,2,...,n. Note que n ... i , h ) i ( a xi 2 1 1 2 1 − ∀ = + = .Defina la variable h Asigne valor 0 a A Ingrese comando For iniciando ciclo de suma A Ingrese fórmula de área Cierre ciclo For con Next
Defina salida de resultado con Print (salida de A) Guarde cambios y corra el Programa
Ingresamos valor de a. De la misma forma ingresamos b, n y la fórmula de f.
Resultado de nuestra aproximación
Actividad 2: Calcule la integral
∫
1 0 2 )sin(x dx, usando método del punto medio, con n=10, y n=30. Verifique que cuando el programa aproxima por el método del punto medio para n=100, nuestra aproximación se acerca al valor del área
∫
1
0 2
)
sin(x dx con precisión de 1 en 10 . 5
Para desarrollar esta actividad podemos usar el programa IntApPM recién construido. Si estamos iniciando trabajo con la calculadora, vamos a , Library y ejecutamos nuestro programa.
Por tres veces ejecutamos nuestro programa e ingresamos a, b, n y f(x) a medida que el programa lo solicite, y sólo cambiamos el valor para ‘n’ en cada ocasión. Se obtienen las siguientes salidas:
Por otro lado el valor de
∫
1 0 2 ) sin(x dx es: 10 = n n=30 n=100
Observe que nuestra aproximación, (con n=100), se acerca al valor del Área
Un programa alternativo que muestra las tres aproximaciones simultáneamente, se muestra a continuación: (a) (b) (c) (d) (f)
Actividad 3: Calcule la integral
∫
1 0 2 dx ex , usando método: a) Del trapecio, con n=10.Creemos un nuevo programa en , , Library y lo nombramos InApTrap. Vamos a y abrimos nuestro programa InApPM. Con Edit seleccionamos todo, y copiamos las instrucciones. Volvemos a y abrimos el nuevo programa InApTrap y, en él, pegamos dichas instrucciones (con Edit – Pegar).
Ahora, procedemos a hacer los cambios necesarios para que se ejecute la suma A según el Método de los Trapecios.
Recordemos que, según el método de los Trapecios la integral Aproximada es:
La última fórmula nos sugiere que la variable A debiese partir con el valor h
[
f(a)−f(b)]
2que es fijo, y la fórmula recursiva para A dentro del ciclo ‘For - To’ debiese ser
[
]
[
f(a h) f(a h) ... f(a nh)]
h + + +2 + + + .[
]
0 1 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2 b n n n a h f x dx≈ ⎣⎡f x + f x + f x + + f x− + f x ⎤⎦=T∫
donde n a b h= − y note que xi =a+ih,∀i=1,...,n. Luego, Tn =[
f(a) f(b)[
f(x ) f(x ) ... f(x )]
]
h n + + + + − 2 1 2 2 Y, finalmente: Tn = h[
f(a)−f(b)+2[
f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+nh)]
]
2Todo lo anterior significa:
b) De Simpson, con n=10.
Usando la regla de Simpson, para un número par de subintervalos, la integral aproximada es: Abrir Programa. Crear archivo nuevo
Definir nombre del archivo(InApTrap) Abra programa IntApPM Copie instrucciones de InApPM y pegue en InApTRap Modificamos A: (f(a) − f(b))·h/2 ⇒ A Modificamos fórmula recursiva: A + h·f(a + i·h) ⇒ A Modificamos Print: InMT(a,b,n) = A Guardamos cambios y Ejecutamos.
Ingresamos a, b, n y f Resultado con n=10
( )
[
( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ... 2 (0 1 2 3 2) 4 ( 1) ( )]
3 b n n n n a h f x dx≈ f x + f x + f x + f x + + f x− + f x− +f x =S∫
donde n a bh= − . Note que f(x0) = f(a); f(xn) =f (b) y xi =a+ih,∀i=1,...,n, luego:
Sn =
[
f(a) f(b)[
f(x) f(x) ... f(x )] [
f(x ) f(x ) ... f(x )]
]
h n n + + + + + + + + − 4 1 3 −1 2 2 4 3 , con n par.Creemos programa nuevo InApSimp y procedamos de manera análoga a lo hecho en el caso de Trapecios, es decir, abrimos programa InApTrap, copiemos sus instrucciones y peguemos ellas en el programa recién creado. A continuación efectuemos los cambios que se indican:
Ingresando a = 0, b = 1, n = 10
y f(x) =
e
x2y obtenemos
Guardamos con
y
Ejecutamos con
f
Modificamos A
Modificamos ciclo For-To
Modificamos fórmula recursiva A+(4·f(a + (2i-1)·h) + 2·f(a + 2i·h))·h/3 ⇒ A