15. MOVIMIENTO OSCILATORIO.

15. MOVIMIENTO OSCILATORIO.

Concepto de movimiento armónico simple.

• Movimiento armónico simple (M.A.S.).–Movimiento periódico en el que el móvil está sometido en todo instante a una aceleración tangencial at k x

r r _{=− ⋅}

, siendo k una constante positiva y el vector de posición de la partícula respecto de un punto denominado posición de equilibrio.

xr

• Elongación.– Es el módulo de xr en cada instante.

• Amplitud.– Es el valor máximo de la elongación. Se nota por A.

Cinemática del M.A.S.

• La ecuación del movimiento armónico simple es del tipo:

( )

t =A⋅sen

(

ω⋅t+ϕ

)

x o x

( )

t =A⋅cos

(

ω⋅t+ϕ

)

siendo A la amplitud, ω una constante positiva denominada pulsación o frecuencia angular y ϕ una constante denominada fase inicial. La unidad de pulsación S.I. es el radián por segundo, y la de fase inicial el radián.

El argumento de la función seno o coseno empleada en la ecuación del movimiento, ω⋅t+ϕ, se denomina fase. Su unidad S.I. es el radián.

• El movimiento armónico simple es periódico. El período viene dado por: ω π = 2 T y la frecuencia por: π ω = ν 2

• La ecuación de la velocidad se obtiene derivando la ecuación del movimiento respecto del tiempo. Si empleamos la función seno en la ecuación del movimiento se obtiene:

( )

t = A⋅ω⋅cos

(

ω⋅t+ϕ

)

v

A partir de la ecuación del movimiento y la ecuación de la velocidad puede obtenerse la rela-ción entre la velocidad y la elongarela-ción:

( )

2

( )

2 t x A t v =ω⋅ −

Como puede comprobarse, el módulo de la velocidad es máximo cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio ( ), y se anula cuando pasa por los puntos más alejados de dicha posición (

0 x =

A x =± ).

• La elongación inicial y la velocidad inicial se obtienen a partir de la ecuación del movi-miento y de la ecuación de la velocidad. Si la ecuación del movimovi-miento contiene a la función seno, se obtiene:

ϕ ⋅ =A sen

x₀ , v₀ =A⋅ω⋅cosϕ. A partir de estas dos ecuaciones, se tiene que:

2 2 0 2 0 v x A ω + = y 0 0 v x arctgω⋅ = ϕ .

• La ecuación de la aceleración tangencial se obtiene derivando la ecuación de la velocidad respecto del tiempo. Si empleamos la función seno en la ecuación del movimiento se obtiene:

( )

t =−A⋅ω ⋅sen

(

ω⋅t+ϕ

)

a 2 t Entonces:

( )

t x

( )

t a 2 t =−ω ⋅

expresión que está de acuerdo con la definición de movimiento armónico simple dada ante-riormente.

La aceleración tangencial, por tanto, es nula cuando la partícula pasa por la posición de equi-librio ( ) y alcanza su módulo máximo cuando está más alejada de dicha posición (

0 x=

A x =± ).

Relación entre el M.A.S. y el movimiento circular uniforme.

• El movimiento armónico simple está relacionado con el movimiento circular uniforme. Consideremos un móvil P que recorre una circunferencia de radio A en sentido antihorario con velocidad angular constante, y un sistema de referencia con origen en el centro de dicha circunferencia, como se indica en la figura. Llamaremos rr al vector de posición de P.

Consideremos otro móvil Q que recorre el eje OX del sistema de referencia, de modo que su vector de posición, al que llamaremos xr, coincida en cada instante con la proyección de rr

sobre el eje OX. Obviamente, el movimiento de Q es periódico, y dicho período coincide con el de P.

En estas condiciones, el móvil Q realiza un movimiento armónico simple, en el que la ampli-tud representa el radio de la circunferencia descrita por P, la pulsación coincide con la veloci-dad angular de P y la fase inicial (si se emplea la función seno en la ecuación del movimiento armónico simple) es

2 0

π +

θ , que representa el ángulo formado en el instante inicial entre el semieje positivo OY y el vector de posición de P.

Dinámica y energía del M.A.S.

• De acuerdo con la 2ª ley de Newton, si una partícula de masa m realiza un M.A.S., estará sometida en todo instante según la dirección del movimiento a una fuerza dada por:

t

a m Fr = ⋅r . Esta fuerza se denomina fuerza recuperadora. Entonces: x m F=− ⋅ω2 ⋅ 2 m

K= ⋅ω se denomina constante recuperadora.

• La fuerza recuperadora es conservativa, ya que se trata de una fuerza central.

Entonces, para cada punto x de la trayectoria se puede definir a partir de ella una energía po-tencial:

∫

⋅ − = x 0 P F dx E r r,

donde se ha tomado la posición de equilibrio como origen de energía potencial. Resolviendo la integral, se obtiene:

2

P K x

2 1 E = ⋅ ⋅

• Si el móvil está sometido únicamente a la fuerza recuperadora, su energía mecánica per-manecerá constante. Dicha energía mecánica viene dada por:

(

)

[

]

2 2

[

(

)

]

2 2 2 P C M m A 2 1 t sen A m 2 1 t A m 2 1 E E E = + = ⋅ ⋅ ⋅ω⋅cos ω⋅ +ϕ + ⋅ ⋅ω ⋅ ⋅ ω⋅ +ϕ = ⋅ ⋅ω ⋅ Entonces: 2 M K A 2 1 E = ⋅ ⋅

La energía mecánica es igual al valor máximo de energía cinética, que se alcanza cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio, y al valor máximo de la energía potencial, que se alcanza cuando la partícula se halla en los puntos de máxima elongación.

Si el móvil está además sometido a otras fuerzas conservativas, hay que tener también en cuenta sus correspondientes energías potenciales en el cálculo de la energía mecánica.

Análisis energético para una partícula unida a un resorte en posición horizontal:

• Si una partícula se encuentra unida a un resorte de longitud natural l0 y éste se estira o

comprime hasta alcanzar una longitud L, la fuerza que actúa sobre la partícula viene dada por la ley de Hooke:

x k F=− ⋅ ,

siendo x la posición ocupada en cada instante por la partícula, tomando como origen la posi-ción de equilibrio, en la cual la longitud del resorte es l0.

La partícula efectúa un M.A.S. rectilíneo, de elongación x,descrito por las ecuaciones ya vis-tas del movimiento, velocidad y aceleración tangencial, que coincide con la aceleración total. En el instante en que el resorte está estirado al máximo:

0

2 0

P k L

2 1

E = ⋅ ⋅ −l , que es su valor máximo. En la posición de equilibrio: 2 0 C k L 2 1 E = ⋅ ⋅ −l . 0 EP = .

Es decir, la energía potencial alcanza su valor mínimo y la energía cinética su valor máximo, ya que la elongación se hace cero y la velocidad se hace máxima.

En el instante en que el resorte está estirado al máximo: 0 EC = ; 2 0 P k L 2 1 E = ⋅ ⋅ −l .

Es decir, la energía potencial vuelve a alcanzar su valor máximo a costa de que se anule la energía cinética de la partícula.

Análisis energético para una partícula unida a un resorte en posición vertical:

• Consideremos un resorte de longitud l0y constante amortiguadora k, que cuelga

vertical-mente de un techo. Si se cuelga de su extremo libre una partícula de masa m, éste se estirará una longitud d hasta alcanzar una nueva posición de equilibrio, en la que tendrá una longitud

. De acuerdo con la 2ª ley de Newton: d 0 + =l l d k g m⋅ = ⋅

Si ahora se estira o comprime el resorte hasta que alcanza una longitud L, la partícula se en-contrará a una distancia d+L−l de la longitud natural del muelle. Si en esta situación se deja libre el resorte, la partícula efectuará un movimiento tal que la fuerza neta a la que estará so-metida en cada punto será:

(

y d

)

k mg y k F=− ⋅ + =− ⋅ − ,

donde y representa la posición de la partícula en cada instante, medida desde la longitud natu-ral del muelle, y se ha tomado el semieje positivo OY hacia abajo.

La partícula lleva a cabo, por tanto, un M.A.S. en el que la elongación vale y la ampli-tud es d y− l − L .

Las ecuaciones del movimiento, velocidad y aceleración son:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ + ⋅ ⋅ − + = t m k sen L d y l ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ + ⋅ ⋅ ⋅ − = t m k m k L V l cos ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ + ⋅ ⋅ − ⋅ − = t m k sen m L k a l

En el análisis energético será necesario tener en cuenta la energía potencial gravitatoria: Pg

Pe

C E E

E

Tomaremos la longitud natural del muelle como origen de las energías potenciales elástica y gravitatoria. Entonces: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = t m k L k 2 1 t m k m k L m 2 1 v m 2 1 EC 2 l2 cos2 l cos2 .

[

]

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = t m k sen L k 2 1 t m k sen L d k d k 2 1 L d k 2 1 y k 2 1 E 2 2 2 2 2 Pe l l l ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ − = t m k sen L d k d k y g m E_Pg 2 l ,

donde el signo menos se debe a que se ha tomado el semieje positivo OY hacia abajo. Entonces, la energía mecánica viene dada por:

(

)

[

2 2

]

M k L d 2 1 E = ⋅ ⋅ −l −

Al estar sometida la partícula únicamente a las fuerzas elástica y gravitatoria, su energía me-cánica se mantiene constante.

En el punto más bajo de su trayectoria

(

y=d+ L−l

)

, cada energía viene dada por: 0

E_C = , ya que en ese momento v=0;

(

)

2 Pe k d L 2 1 E = ⋅ ⋅ + − l ;

(

+ −l

)

⋅ ⋅ − = k d d L E_Pg .

Es decir, la energía potencial elástica alcanza su valor máximo, y las energías cinética y po-tencial gravitatoria sus valores mínimos.

En la posición de equilibrio

(

y=d

)

: 2 C k L 2 1 E = ⋅ ⋅ −l ; 2 Pe k d 2 1 E = ⋅ ⋅ ; 2 Pg k d E =− ⋅ .

Es decir, la energía cinética alcanza su valor máximo y la energía potencial gravitatoria ha aumentado, mientras que la energía potencial elástica ha disminuido, pero no se hace cero debido a que el muelle está estirado.

En el punto más alto de la trayectoria

(

y=d−L−l

)

: 0

E_C = , ya que en ese momento v=0;

(

)

2 Pe k d L 2 1 E = ⋅ ⋅ − −l ;

(

− −l

)

⋅ ⋅ − = k d d L E_Pg .

Es decir, la energía potencial gravitatoria alcanza su valor máximo, mientras que las energías cinética y potencial elástica alcanzan sus valores mínimos.

El péndulo simple.

• Péndulo simple.– Partícula suspendida de un hilo inextensible sin masa.

Consideremos un péndulo simple de masa m y longitud L, que se desplaza un ángulo θ0 de su

posición de equilibrio y a continuación se suelta:

La partícula se desplazará a ambos lados de su posición de equilibrio.

Consideraremos positivos los ángulos situados al lado derecho de la posición de equilibrio y negativos los del lado izquierdo.

• La velocidad de la partícula puede expresarse: dt d L v= ⋅ θ

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso y la tensión. Si tomamos un sistema de referencia en el que uno de los ejes sea tangente a la trayectoria y el otro perpendicular, tene-mos que: ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ = θ ⋅ ⋅ − ⋅ = θ ⋅ ⋅ − n t a m g m T a m sen g m cos

Para valores de θ0 pequeños, senθ≅θ en todo instante (si θ0 ≤0'1rad., senθ y θ difieren en menos de un 1 %).

Teniendo esto en cuenta, la primera ecuación se transforma en: θ

⋅ − = g a_t

• Si llamamos x a la longitud del arco desde la posición de equilibrio hasta la posición que ocupe la partícula, considerándola positiva hacia la derecha y negativa hacia la izquierda, se tiene que:

x L g at =− ⋅

De acuerdo con esta ecuación, el péndulo simple efectúa un M.A.S. de amplitud: 0 L A= ⋅θ , frecuencia angular: L g = ω , y constante recuperadora:

L g m K= ⋅ El período del péndulo es:

g L 2 T= π⋅

Se dice que un péndulo bate segundos si T=2 s.

La velocidad máxima del péndulo, que alcanzará al pasar por la posición de equilibrio, será:

0 máx g L

v = ⋅ ⋅θ

Péndulo compuesto.

• Péndulo compuesto.– Sólido rígido que puede oscilar en torno a un eje que no pase por su centro de gravedad.

• El período de oscilación de un péndulo compuesto es:

d g m I 2 T ⋅ ⋅ π = , siendo:

I ≡ momento de inercia del sólido, respecto del eje de suspensión; m≡ masa del sólido;

d ≡ distancia del centro de masas al punto de suspensión.

• Se define la longitud equivalente de un péndulo compuesto como: d m I L_e ⋅ = El período puede expresarse también como:

g L 2

T= π⋅ e

Movimiento oscilatorio amortiguado.

• Es el movimiento que efectúa una partícula que está sometida en todo instante en la direc-ción de su movimiento a una fuerza recuperadora Fr=−k⋅xr y a una fuerza de rozamiento proporcional a su velocidad Fr_r =−λ⋅vr, siendo λ una constante positiva.

De no ser por la fuerza de rozamiento, la partícula llevaría a cabo un M.A.S. • Al aplicar la 2º ley de Newton se obtiene:

v x k a m⋅ t =− ⋅ −λ⋅ m 2⋅ λ =

γ se denomina coeficiente de amortiguamiento, y

m k

0 =

ω frecuencia angular del oscilador sin amortiguamiento.

0 x dt dx 2 dt x d 2 0 2 2 = ⋅ ω + ⋅ γ ⋅ + .

Una solución de esta ecuación diferencial es:

( )

= ⋅ −γ⋅ ⋅

(

ω⋅ +ϕ

)

t sen e A t x t ,

siendo A una constante positiva y ω= ω₀2 −γ2 .

La amplitud del movimiento, A⋅e−γ⋅t, va disminuyendo exponencialmente:

t

x

Esto se debe a que la energía mecánica de la partícula va disminuyendo, ya que la fuerza de rozamiento no es conservativa.

Movimiento oscilatorio forzado.

• Es el que lleva a cabo una partícula sometida en todo instante a una fuerza periódica en la dirección de su movimiento F_ext =F₀ ⋅cos

(

ω_ext ⋅t

)

, además de a una fuerza recuperadora

. Puede existir también la fuerza de rozamiento x

k

F=− ⋅ Fr_r =−λ⋅vr.

Si no existiera la fuerza periódica, la partícula efectuaría un M.A.S. o un movimiento oscilato-rio amortiguado.

En el movimiento oscilatorio forzado, tras un cierto intervalo de tiempo, la partícula termina por oscilar con amplitud constante y con la frecuencia angular de la fuerza periódica, ωext.

• Al aplicar la 2ª ley de Newton obtenemos:

(

t

)

F v x k a m⋅ _t =− ⋅ −λ⋅ + ₀ ⋅cosω_ext ⋅ La solución de esta ecuación diferencial es:

( )

t =A⋅sen

(

ω ⋅t−ϕ

)

x ext , siendo:

(

)

2 ext 2 2 2 0 2 ext 0 4 m F A ω ⋅ γ ⋅ + ω − ω ⋅ = y ext 2 0 2 ext 2 arctg ω ⋅ γ ⋅ ω − ω = ϕ .

La amplitud depende, por tanto, de parámetros característicos del oscilador y también de la frecuencia de la fuerza periódica aplicada.

• Se denomina frecuencia de resonancia a la frecuencia de la fuerza aplicada para la cual la amplitud del oscilador es máxima. Viene dada por:

2 2 0 r ext = ω −2⋅γ ω

La amplitud máxima es entonces:

2 2 0 0 r m 2 F A γ − ω ⋅ γ ⋅ ⋅ =

Por tanto, en el movimiento armónico forzado el oscilador puede alcanzar gran amplitud aun-que la fuerza periódica aun-que se le aplica sea de peaun-queña amplitud.