Los griegos inventaron la trigonometría hace más de 200 años, necesitaban métodos precisos para medir ángulos y lados de triángulos. La palabra trigonometría deriva de dos palabras griegas trígono, triangulo + métrico, medición.
La ciencia de la trigonometría esta dedicada a la medición de los lados y ángulos de los triángulos. La trigonometría es usada para calcular la gravedad de un astro distante, analizar la fuerza de campo en un circuito electrónico ó trazar la demarcación rombal en el juego de beisbol, en astronomía para medir distancias a estrellas, en puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélite.
La idea básica de la trigonometría es aquello que en dos segmentos de recta divergen de un punto común:
Luego un tercer segmento de recta que une los extremos de los otros dos será de longitud y dirección fija, determinada por las longitudes de los dos segmentos de recta y por la medida
del ángulo incluido entre ellos.
Sabias que
…
En geometría un ángulo se define como el conjunto de puntos determinados por dos semirectas A y C, que tienen el mismo punto de partida B que se llama vértice.
Al ángulo se le designa por medio de letras mayúsculas colocadas en el vértice y en los lados del ángulo.
En trigonometría se interpreta a los ángulos como rotaciones de rayos (ó semirectas), se empieza con un rayo fijo l1 que tiene punto de partida 0 y gira respecto a 0 en un plano, hasta la posición especificada por el rayo l2. Se dice que, l1 es el lado inicial, l2 es el lado terminal y que 0 es el vértice de < A0B. Se podría hacer que l1 diera varias vueltas o revoluciones en cualquier sentido alrededor de 0, antes de llegar a la posición de l2 ejemplo:
2.1.1 Funciones trigonométricas.
Ángulos.
A
C B
l1 l2
0 0 l1
l2
Existen muchos ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal. Dos cualesquiera de ellos se llaman ángulos cotermínales.
Si se introduce un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición normal de ángulos se obtiene colocando el vértice en el origen y haciendo que el lado inicial l1, coincida con el eje X positivo. Si l1 gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, hasta la posición terminal l1 se considera entonces que el ángulo es positivo. Si l1 se hace girar en el mismo sentido que el reloj, el ángulo es negativo. Ejemplo:
I II
III IV
I II
III IV
I II
III IV
x y
x y
x y
l1
l2
l1 l2
l2
TIPOS DE ÁNGULOS DEFINICIÓN EJEMPLO
Ángulo agudo θ 0º<θ<90º 11º, 37º,…
Ángulo obtuso θ 90º<θ<180º 95º, 157º,…
Ángulos complementarios θ
α,β α+β=90º 20º, 70º, 83º,…
Ángulos suplementarios θ
α,β α+β=180º 115º, 65º,18º, 162º,… Los ángulos se miden en grados. (Un ángulo contiene 360 grados (360°)) El ángulo en posición normal que se obtiene con un giro completo en sentido contrario alas manecillas del reloj mide 360 grados lo cual se escribe 360°, así un ángulo que mide 1 grado (1°) se obtiene con 1/360 de un giro, en sentido contrario del reloj.
•Si se necesitan dimensiones exactas de un grado, se emplean decimos, centésimos ó milésimos de grado. También se puede dividir el grado en 60 partes iguales, llamados minutos (se representan con ΄) y al dividir el minuto en 60 partes iguales, llamados segundos (se representan con “). Así 1°= 60΄ y 1΄ θ= 60”. La notación de =73°56΄18” indica un ángulo θ cuya medida es 73 grados, 56 minutos, 18 segundos.
•La medición de ángulos en grados se emplea en campos como topografía, navegación y diseño de equipo mecánico. En aplicaciones científicas que necesiten del cálculo, se acostumbra usar la medida en radianes (rad)
•Para definir un ángulo cuya medida en radianes sea 1, se considera una circunferencia de radio r.
•Un ángulo central de una circunferencia es aquel cuyo vértice se encuentra en el centro de la curva.
S a
a = s / r
El ángulo a puede medirse como el cociente del arco s entre el radio r.
Este cociente es adimensional, ambas longitudes deben estar en las mismas unidades, cualesquiera que sean estas. Dicho cociente tiene la peculiaridad de no depender del tamaño del círculo, sólo depende de la abertura del ángulo.
1
1 radian 2
3 3.1416=?
180º=?radianes
1radian=180º/?=57.2958º
Es decir:es el ánguloque se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo.
Un radian marca una longitud de circunferencia igual al radio.
•A esta medición se le asigna la unidad llamada radian o radiante , así el ángulo de un radian es aquel ángulo central que solo tiende a un arco de igual longitud que el radio del circulo.
•Entonces si se tiene una circunferencia de radio r, el ángulo cuya medida es 1 rad corta un arco AP de longitud r.
•El ángulo B tiene como medida de 2 rad, ya que está subtendido por un arco de longitud 2 r.
Si se tiene una circunferencia de radio r, el ángulo cuya medida es 1 rad corta un arco AP de longitud r.
r
r A
P
r
ß=2rad
•El ángulo Y tiene una medida de 3 rad, ya que está subtendido por un arco de longitud 3 r.
•Para determinar la medida en rad que corresponde a 360°, se calcula el número de veces que puede trazarse un arco circular de longitud r sobre la circunferencia.
Y
r
r A
r
r
y=3rad
2r
A=P 3r
r
360º 4r
5r
6r
•Como el perímetro de una circunferencia es , el número de veces que pueden caber
r unidades es . Así un ángulo que mida corresponde a la medida de . Este resultado da las siguientes relaciones.
•Relaciones entre grados y radianes.
180º=π rad
1º=π/180 rad =0.0175 rad 1 rad= (180/π)º =57.2958
•Cuando se usan ángulos medidos en radianes suele no indicarse la unidad; por tanto, si un ángulo es 5 rad, se escribe θ=5. Si θ está en grados y su medida es 5, se escribe θ=5° y no θ=5.
r
2
r
•Para pasar de grados a radianes multiplicamos por: Π / 180
Ejemplo:
150º = 150 (π/180) = 5π/6
225º = 225 (π/180) = 5π/4
•Para pasar de radianes a grados multiplicamos por: 180/π
Ejemplo:
7π/4 = 7π/4 (180º/ π)º = 315º π/3 = π/3 (180º/ π)º = 60º
•Transformar radianes a grados, minutos y segundos.
Si θ=3 aproximar θ en grados, minutos y segundos.
3 radianes = 3 (180º/ π)º ….. Multiplicamos por 180º/ π 3 radianes =171.8873º
3 radianes =171º+(0.9369130)(60´) 3 radianes =171º+53.238´
3 radianes =171º+53´+(0.238)(60”) 3 radianes =171º53´+14.28”
3 radianes =171º53´14”
Ejemplo:
Expresa minutos y segundos como fracciones decimales de grado.
Primero pasa 19°47´23” a la forma decimal, redondeando al diezmilésimo de grado.
1´= (1/60)º
1”= (1/60)´= (1/3600)º
19º47´23” = 19º + (47/60)º+(23/3600)º 19º47´23” = 19º + 0.7835º+0.0064º
19º47´23” = 19.7897º
Convierte el ángulo 73°15´36” en radianes.
Ahora expresa el ángulo en grados, así:
73º + (15/60) + (36/3600) = 73º+0.25º+0.01º = 73.26º
Para finalizar multiplica por 180/π para convertir a radianes.
Triángulo:
Es un polígono de tres lados y tres ángulos, es el polígono de menor número de lados y se llama figura rígida porque es indeformable, a eso se debe su uso en las construcciones.
Los triángulos tienen propiedades de carga estática, las cuales se aplican en el diseño y la construcción, tales como: torres, puentes, techos, rascacielos, etc.
Un triangulo tiene tres elementos:
•3 ángulos, •3 lados •3 vértices
CLASIFICACION DE TRIANGULOS:•Según sus lados:
•ISOCELES: Dos lados iguales.
•ESCALENO: Tres lados desiguales.
•Según sus ángulos:
•ACUTANGULO: Tres ángulos agudos.
Se describen las funciones trigonométricas como la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.
Se pueden obtener seis razones entre las longitudes de los lados a, b y c, del triángulo:
Así para cada valor de θ, las seis relaciones quedan determinadas en forma única y, por consiguiente, son funciones de θ. Se llaman FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, y sus nombres específicos son senos, cosenos, tangente, cotangente, secante y cosecante, sus símbolos respectivos son: sen, cos, tan, cot, sec y csc. El símbolo sen θ, o sen (θ), indica la relación b/c, que la función seno asocia con θ.
Por definición:
sen ϴ = b/c cos ϴ = a/c tan ϴ = b/a
csc ϴ = c/b sec ϴ = b/a ϴ = a/b
?
c
b
a
ϴ
SENOS, COSENOS Y RECTÁNGULOS
•Para indicar las longitudes de esos lados, se usan las abreviaturas ady, op, é hip. Con esta notación las funciones trigonométricas se pueden expresar.
sen ϴ = op/hip cos ϴ = ady/hip tan ϴ = op/ady csc ϴ = hip/op sec ϴ = hip/ady cot ϴ = ady/op
La hipotenusa siempre será mayor que los catetos, sea el adyacente o el opuesto y por lo tanto:
sen ϴ < 1,
cos ϴ < 1,
csc ϴ > 1,
sec ϴ > 1,
? hip
op
Seno de un ángulo.
Se define para todo ángulo (el ángulo A, por ejemplo), simplemente como la razón de la longitud del lado opuesto al ángulo A a la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo que contiene el ángulo A.
Ejercicio :
•Determina el valor de seno del ángulo A del siguiente triángulo rectángulo.
•sen A = co/h •sen A = 4/5 •sen A = 0.8
•En este caso determinamos el seno de uno de los ángulos, midiendo las longitudes de los lados.
c
a
5
4
A
coseno de un ángulo.
Ejercicio :
Retomando el ejercicio anterior ¿A que distancia del pie del poste se encuentra el tirante del suelo?
Pensemos un poco…
En este problema el lado desconocido es el cateto adyacente al ángulo
Es está nueva razón, la razón de la longitud del cateto adyacente al ángulo a la longitud de la hipotenusa y recibe el nombre de coseno del ángulo, (cos) y se define como:
Ahora definamos la longitud que tiene el cateto b:
b=? c=10 m
A
30º
a=5m
b c
A
a
cos 30 = b/10 (buscar en las tablas de funciones trigonométricas el valor de cos de 30)
0.866 = b/10 (como 10 esta dividiendo pasa multiplicando)
tangente de un ángulo.
•En el ejercicio anterior hallamos la distancia con la que el avión se desplazó hacia el este. Sin embargo, hay una razón con la cuál se puede hallar directamente dicha distancia, a esa razón se le llama tangente (tg) del ángulo.
•La tangente se define como la razón de la longitud del cateto opuesto al ángulo a la longitud del cateto adyacente al mismo.
•También existen las tablas que contienen las tangentes, a diferencia del seno y del coseno, la tangente puede ser un número mayor que 1, puesto que la longitud del Cat. opuesto al ángulo puede ser mayor que la longitud del cat. adyacente al mismo.
c ady. b hip c
A
c op. a
tgA=a/b o bien, tgA= cop/cady la razón es:
ó bien
a
b
cateto opuesto
cateto adyacente
Ejercicio:
Calcula cuanto vale la tg 37º
tg A = co/ca tg 37º = 90/120 tg 37º = 0.75
Ejercicio:
En las estaciones meteorológicas se emplea la tangente para hallar la altura a que se encuentra la base de las nubes (el techo) por la noche. A una distancia de la estación perfectamente conocida se halla un reflector que ilumina verticalmente hacia arriba se mide entonces el ángulo que forma con la horizontal, la visual dirigida a la mancha de luz situada en la base de las nubes (con un aparato llamado teodolito ) y de esa medida se deduce la altura a que se halla esta.
37º 4120 millas
ca
90 millas co hip=150 millas
mancha luminosa en la base de las nubes
hip visual
3000 m c ady
haz luminoso c op ?
C
reflector 37º
•Tenemos un reflector emplazado verticalmente a la distancia de 3000 m de la estación meteorológica, la visual a la mancha luminosa situada en la base de las nubes forma un ángulo de 37º con la horizontal. ¿A que altura se halla la base de las nubes?
Pensemos…
•Necesitamos saber la altura a la que se encuentran la base de las nubes ( c op) •Tenemos: el ángulo A de 37º
•Tenemos c ady y la distancia de 3000 m del reflector a la estación meteorológica •Utilizamos tg = co/ca donde despejamos c op.
mancha luminosa
en la base de las nubes
hip visual
3000 m c ady
haz luminoso c op ?
C
reflector 37º
A estación meteorológica
tg 37º = co/3000 m de tablas:
Como hemos visto son necesarias las tablas de las funciones trigonométricas para realizar cálculos en los que intervengan ángulos.
En matemáticas, cuando una cantidad depende de una segunda cantidad ó varía con ella, se dice que la primera es una función de la segunda. Puesto que las razones dependen del ángulo, se las llama funciones del ángulo.
Ejercicio:
En la figura se representa una regla de 2 m que se apoya contra la pared de tal forma que el punto de apoyo de ella está a 1.46 cm por encima del suelo ¿Qué ángulo forma la regla con el suelo?
Pensemos…
•Tenemos el co al ángulo y la distancia a la que se apoya la regla en la pared al suelo.
•Tenemos la hip (la regla de 2 m apoyada).
•Necesitamos saber el ángulo al que está inclinada la regla. •Tenemos el co y la hip, con estas medidas obtenemos el
sen del ángulo y en tablas verificamos a que ángulo pertenece. sen = co/hip = 1.46 m /2 m = 0.73
•Buscamos en tablas: sen = 0.73 •Pertenece a 47º.
A = ?
29 millas
N
100 millas
E
viento
aeroplano
Ejercicio:
Un aeroplano esta volando a la velocidad de 100 millas por hora respecto al aire, y con el eje dirigido hacia el norte. Sin embargo, sopla el viento del oeste a 28 millas por hora, al cabo de una hora el aeroplano habrá viajado 100 millas hacia el norte, pero el viento le ha desplazado 29 millas hacia el este durante esa hora. •¿En que dirección ha estado volando el avión respecto al suelo?
Pensemos…
•Sabemos que el aeroplano habrá viajado 100 millas en una hora (c ady)
•El viento ha desplazado 29 millas hacia el este (c op)
•Necesitamos saber la dirección en la que se desplazó respecto al suelo. (ángulo)
•Teniendo los dos catetos ocupamos la tg para saber la trayectoria del aeroplano.
tg = co/ca = 29/100 = 0.29
16º = 0.29 trayectoria.
La trayectoria forma con la dirección norte un ángulo de 16º, contando el ángulo en el sentido de avance de las agujas del reloj.
Ejercicio:
Tomando el ejercicio anterior y utilizando la función coseno. Determina que distancia recorrió el avión efectivamente sobre el suelo:
Ejercicio:
Calcula el coseno de 62º
Tomamos el seno de (90º-62º)=28º sen 28º = 0.4695
cos 28º = 0.4695
16º
c ady 29 millas
N
ca 100 millas
E
viento
aeroplano
distancia recorrida ? •Utilizando función coseno:
cos = ca/h
EN SINTESIS…TANGENTE
La tangente de un ángulo es la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud del cateto adyacente al mismo.
tg A = a/b = co/ca tg B = b/a = co/ca
De la misma manera en que el sen es igual al cos de su ángulo complementario, trataremos de buscar si con la tangente podemos obtener su complementario.
b c
A
a
B
C
Desde luego, a/b es la inversa de b/a
De tal manera que tg B es igual a 1 dividido entre tg A. si hemos de hallar las tangentes de ángulos comprendidos entre 45º y 90º, podemos obtenerlas dividiendo la unidad (1) por la tangente del ángulo complementario.
Ejemplo: encontremos la tan de 68º
Busquemos la tan del ángulo (90º-68º) = 22º y encontramos
tg 22º = 0.40
tg 68º = 1/tg 22º = 1/0.40 = 2.5
