Invariantes de grupos finitos

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Invariantes de grupos finitos

Autor:

Guillermo Sanmarco

Director:

_{Nicolás Andruskiewitsch}

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA

Marzo de 2015

Invariantes de grupos finitos por Guillermo Sanmarco se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial 2.5 Argentina.

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Resumen

En este trabajo se realiza un repaso por la teoría de invariantes de grupos finitos y de grupos racionales. Se introducen las nociones básicas de geometría algebraica y los preliminares de álgebra conmutativa necesarios. Entre los resultados se destacan los teoremas que prueban que para grupos finitos y grupos algebraicos reductivos, el álgebra de invariantes es finitamente generada. En el caso finito, se analiza la dimension de Krull del álgebra de invariantes y se muestra una cota para el grado de los generadores.

Palabras claves:

Teoría de invariantes

Representaciones de grupos finitos Representaciones de grupos racionales

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Índice general

Resumen 1

Capítulo 1. Introducción 5

Capítulo 2. Preliminares 7

1. Conceptos básicos de geometría algebraica 7

2. El Nullstellensatz 9

3. Equivalencia álgebra-geometría 10

4. Grupos algebraicos afines 11

5. Representaciones de grupos 13

6. Anillos noetherianos y el teorema de la base de Hilbert 15

Capítulo 3. Nociones generales de invariantes 17 1. Invariantes de grupos algebraicos reductivos 19

Capítulo 4. Invariantes de grupos finitos 21 1. Ejemplo: Invariantes de los grupos simétricos 21 2. Ejemplo: Invariantes de los grupos alternantes 23 3. Primera noción de finitud del álgebra de invariantes 24

4. Dimensión de Krull 26

5. Cota de Noether 34

Bibliografía 39

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Capítulo 1

Introducción

(. . . ) has been pronounced dead several times, and like the phoenix it has been again and again rising from its ashes.

- Jean Dieuddoné,Invariant Theory, Old and New.

La teoría de invariantes toma como punto de partida una representación de un grupo algebraico sobre un espacio vectorial, y luego la representación que ésta induce sobre las funciones polinomiales en ese espacio vectorial. El principal objeto de estudio es el álgebra formada por los polinomios que permanecen invariantes por dicha acción. Uno de los resultados que darían inicio al estudio de esta teoría fue el Teorema fundamental de los polinomios simétricos, enunciado por primera vez por Lagrange. Sin embargo, existen indicios de que, un siglo antes, Isaac Newton (1643, 1727) ya conocía dicho teorema. A lo largo de los últimos 150 años el desarrollo de la teoría de invariantes supo alternar su importancia en la escena mundial, tomando un papel protagónico en algunos casos, y también aguardando en silencio el próximo resultado que la colocara de vuelta en los primeros planos.

A lo largo del siglo XIX el foco estaba puesto en probar que el álgebra de invariantes es finitamente generada, y se probaron algunos casos particulares. Ya en esos momentos, la teoría empezó a generar lenguaje y métodos propios.

Ya mas cerca del siglo XX, Emmy Noehter y David Hilbert usaron las he-rramientas existentes del álgebra abstracta para poner en contexto y en palabras precisas los problemas que la teoría intentaría resolver en los años siguientes. Esas preguntas resultaron ser estímulos fundamentales para el origen del álgebra con-mutativa moderna. En 1890, Hilbert resolvió el problema de generación finita para una familia muy particular de representaciones deGL(n,C). Su demostración tuvo

como argumento central el Teorema de la base de Hilbert, que establece que los anillos de polinomios sobre un cuerpo son noetherianos.

En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1890 Hilbert postuló su pro-blema número 14, indagando si las álgebras de invariantes son siempre finitamente generadas. Recién en 1959, y después de algunos intentos fallidos de demostración por parte de Maurer, Nagata exhibió un contraejemplo.

En este trabajo se realiza un breve repaso de los resultados básicos de la teo-ría de invariantes de grupos finitos, y algunos pocos resultados sobre la teoteo-ría de invariantes de grupos algebraicos reductivos.

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Capítulo 2

Preliminares

En este capítulo se fija lenguaje y se introducen nociones básicas de geometría algebraica, álgebra conmutativa, y grupos algebraicos.

1. Conceptos básicos de geometría algebraica

En esta sección, k denota un cuerpo algebraicamente cerrado, y por lo tanto infinito.

Cada polinomiof ∈ k[x1, x2, ..., xn] puede ser visto como una función

f:kn→k.

Las funciones así obtenidas se llamanfunciones polinomiales del espacio vectorial

kn ak. Si una función polinomial es nula, entonces es la asociada al polinomio nulo (esto sucede porque el cuerpo es infinito). Por lo tanto, polinomios distintos tienen asociadas funciones polinomiales distintas. Esto permite identificar ak[x1, x2, ..., xn]

con una subálgebra del álgebra de funcioneskn_→_k_.

Definición 2.1. Dado un subconjunto T ⊂ k[x1, x2, ..., xn], se define el

con-junto de ceros deT por

Z(T) ={P∈ kn:f(P) = 0 para todof ∈ T}.

Los subconjuntos dekn _{obtenidos de esta forma se llaman}_{conjuntos algebraicos, o}

tambiénsubconjuntos algebraicos dekn_.

De la definición se desprende que si dos subconjuntosT1 yT2 generan el mis-mo ideal enk[x1, x2, ..., xn], entonces Z(T1) =Z(T2). Comok[x1, x2, ..., xn] es un

anillo noetheriano, todo ideal es finitamente generado, y por lo tanto todo conjunto algebraico se puede escribir como el conjunto de ceros de una cantidad finita de polinomios.

Proposición 2.2. (a). La unión de dos conjuntos algebraicos es un con-junto algebraico.

(b). La intersección de una familia arbitraria de conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico.

(c). El vacío y el total son conjuntos algebraicos.

Demostración. Sean T1 y T2 subconjuntos de k[x1, x2, ..., xn], y sea T1T2 el conjunto de todos los productos de elementos de T1 con elementos de T2. Si

P ∈Z(T1)∪Z(T2), entonces P está enZ(T1) o enZ(T2), y por lo tanto P es un cero de cualquier polinomio deT1T2. Recíprocamente, si P es un elemento deZ(T1T2), y P /∈Z(T1), digamos f(P) 6= 0 conf ∈T1, entonces para todo g ∈T2, se tiene

f g(P) = 0, y por lo tantog(P) = 0. AsíZ(T1)∪Z(T2) =Z(T1T2). Del mismo modo, siZ(Tα) es una familia de conjuntos algebraicos, entoncesTαZ(Tα) =Z(SαTα).

Finalmente, el conjunto vacío esZ(1) y el total esZ(0).

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Definición 2.3. Por la proposición anterior, los complementos (enkn) de los conjuntos algebraicos determinan una topología enkn. Esta se denominatopología de Zariski.

Ejemplo 2.4. En k[x], todos los ideales son principales. Así, todo conjunto

algebraico es el conjunto de ceros de un polinomio en una variable, y por lo tanto es finito o todo k. Luego, los abiertos de Zariski enk son los complementos de los conjuntos finitos y el conjunto vacío.

Definición 2.5. Sea X un espacio topológico, y sea Y ⊂ X. Se dice que Y es irreducible si no existen subconjuntos cerrados propios Y1, Y2 ⊂ X tales que

Y =Y1∪Y2. El conjunto vacío no se considera irreducible.

Ejemplo2.6. Con la topologia de Zariski,k es irreducible, porque los subcon-juntos cerrados propios son finitos, yk es infinito.

Definición 2.7. Una variedad algebraica afín es un subconjunto algebraico

irreducible dekn_{, dotado de la topología inducida.}

En este trabajo, se usan indistintamente variedad algebraica y variedad alge-braica afín.

Una construcción inversa a la construcción de conjuntos algebraicos. Ahora se obtienen ideales dek[x1, x2, ..., xn] a partir de subconjuntos dekn.

Definición2.8. SeaY ⊂kn. Se define elidealdeY enk[x1, x2, ..., xn] por I(Y) :={f ∈k[x1, x2, ..., xn] :f(P) = 0 para todoP ∈Y}.

Es inmediato que I(Y) es en efecto un ideal de k[x1, x2, ..., xn]. Así, se define el

anillo de coordenadas deY como lak-álgebra

A(Y) :=k[x1, x2, ..., xn]/I(Y)

Proposición 2.9. Sea Y ⊂ kn. Entonces A(Y) es una k-álgebra reducida y

finitamente generada.

Demostración. A(Y) es finitamente generada porque k[x1, x2, ..., xn] lo es.

Ahora se ve que es reducida. Sea f ∈ k[x1, x2, ..., xn] tal que la clase de f es

nilpotente enA(Y), digamosfd= 0 en A(Y). Ahora, para cadap∈Y, la evaluación enpes un morfismo de anillos de A(Y). Por lo tanto,f(p)d=fd(p) = 0 para todo

p∈Y. Así, la clase def enA(Y)es nula.

Ahora se cuenta con una funciónZque asigna a cada subconjunto dek[x1, x2, ..., xn]

un conjunto algebraico de kn _{y con una función} _I _{que asigna a cada}

subconjun-to de kn _{un ideal de} _k_[_x

1, x2, ..., xn]. A continuación se detallan algunas de sus

propiedades.

Proposición 2.10. (a). Si T1 ⊂ T2 son subconjuntos de k[x1, x2, ..., xn],

entonces Z(T1)⊃Z(T2).

(b). Si Y1⊂Y2 son subconjuntos de kn, entonces I(Y1)⊃I(Y2). (c). Dados Y1, Y2⊂kn, se tieneI(Y1∪Y2) =I(Y1)∩I(Y2). (d). DadoY ⊂kn_{, se tiene} _Z₍_I₍_Y_{)) = ¯}_Y_{, la clausura de} _Y.

Demostración. Las primeras dos afirmaciones son inmediatas.

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2. EL NULLSTELLENSATZ 9

SeaY ⊂kn Es inmediato queY ⊂Z(I(Y)), y como este último es cerrado, se sigue ¯Y ⊂Z(I(Y)). Recíprocamente, seaW un cerrado que contiene aY, digamos

W = Z(T) ⊃ Y. Por b, I(Z(T)) ⊂ I(Y). Por otro lado, T ⊂ I(Z(T)), luego

T ⊂I(Z(T))⊂I(Y). Así, por a,Z(T)⊃Z(I(Y)). Esto pruebad.

2. El Nullstellensatz

El Teorema de los ceros de Hilbert es la herramienta con la que terminamos de delinear la primera conexión entre objetos algebraicos (ideales dekn_{) y objetos}

geométricos (conjuntos algebraicos, conjuntos de ceros).

Teorema2.11. (Nullstellensatz). Seakun cuerpo algebraicamente cerrado. Si

a es un ideal dekn_{, entonces}

I(Z(a)) =rad(a).

Por lo tanto, las aplicaciones a7→Z(a) y X 7→I(X) inducen una biyección entre las familias de conjuntos algebraicos dekn _{y de ideales radicales de}_k_[_x

1, x2, ..., xn].

Para una demostración de este resultado, ver la sección 4.5 de [5]. La corres-pondencia establecida por elNullstellensatz tiene la siguiente propiedad.

Proposición 2.12. Bajo la correspondenciaa 7→Z(a) y X 7→I(X), un

con-junto algebraico es irreducible si, y sólo si, su ideal es primo.

Demostración. Sea X un conjunto algebraico irreducible. Veo que I(X) es

un ideal primo. Seanf, g∈k[x1, x2, ..., xn] tales quef g∈I(X). Entonces

X ⊂Z(f g) =Z(f)∪Z(g),

y por lo tantoX = (Z(f)∩X)∪(Z(g)∩X), siendo estos dos cerrados. Como X es irreducible, debe serX =Z(f)∩X o bienX =Z(g)∩X. En el primer caso se tieneX ⊂Z(f), y por lo tanto f ∈X, y en el segundo caso X ⊂Z(g), y por lo tantog∈X.

Recíprocamente, seapun ideal primo. SeanX1, X2cerrados de manera tal que que Z(p) =X1∪X2. Entonces p = I(X1∪X2) = I(X1)∩I(X2). Por lo tanto,

p=I(X1) op=I(X2), es decir, Z(p) =X1 o Z(p) =X2, y por lo tanto Z(p) es

irreducible.

El Nullstellensatz dice que los ideales radicales de k[x1, x2, ..., xn] son

preci-samente los I(X) para X conjunto algebraico. Esto, junto con la correspondencia

a7→Z(a) yX 7→I(X), son herramientas que permiten transferir el estudio geomé-trico de variedades algebraicas al álgebra. En una primera instancia, caracteriza a lask-álgebras que se obtienen como anillos de coordenadas.

Corolario 2.13. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y sea A una k-álgebra. Entonces A es el anillo de coordenadas de algún conjunto algebraico si, y sólo si,A es reducida y finitamente generada como k-álgebra.

Demostración. Si A = A(X) para algún conjunto algebraico X ⊂ kn, lo vimos en la Proposición 2.9.

Recíprocamente, si A es reducida y finitamente generada comok-álgebra, es-cogiendo generadores se sabe que A = k[x1, x2, ..., xn]/a para algún ideal a.

Co-mo A es reducida, a debe ser un ideal radical. Del Nullstellensatz se sigue que

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Observación2.14. El Nullstellensatz nos permite también calcular los ideales maximales de los anillos de coordenadas. Para poder hacerlo, mejor tener a mano lo siguiente. Sip= (a1, a2, ..., an)∈kn, entonces I(p)es el ideal

mp:= (x1−a1, x2−a2, ..., xn−an).

Primero notar quemp es un ideal maximal. En efecto, en la proyección

k[x1, x2, ..., xn]→k[x1, x2, ..., xn]/mp,

la variablexise identifica conai, luego el cociente es isomorfo ak. La inclusión

mp ⊂I(p) es inmediata y la igualdad sigue de la maximalidad de mp.

Corolario 2.15. Sea kun cuerpo algebraicamente cerrado y sea X ⊂kn _un

conjunto algebraico. Entonces todo ideal maximal del anillo de coordenadas A(X) es de la forma mp:= (x1−a1, x2−a2, ..., xn−an)/I(X)para algún

p= (a1, a2, ..., an)∈X.

En particular, los puntos de X están en correspondencia biyectiva con los ideales maximales de A(X).

Demostración. Todo ideal maximal deA(X) se obtiene cocientando un ideal maximal de k[x1, x2, ..., xn] que contiene a I(X) por este último. Luego, basta

probar el corolario cuandoX =kn _{y por lo tanto}_A₍_X_{) =}_k_[_x

1, x2, ..., xn].

Ahora bien, si m es un ideal maximal, entonces es radical (por ser primo), y por lo tanto I(Z(m)) =m. Luego, sip∈Z(m) (este último es no vacío porque m

es propio por consecuencia del Nullstellensatz), entonces m ⊂ mp. Y como m es

maximal, se sigue la igualdad.

3. Equivalencia álgebra-geometría

En esta sección se establece la correspondencia categórica que se empezó a delinear. Se describe la conexión entre objetos algebraicos y objetos geométricos dada por el Teorema de los ceros de Hilbert.

Observación2.16. Otra interpretación del anillo de coordenadas. SeaX ⊂kn

un conjunto algebraico. Denotamos porkX a lak-álgebra de funciones de X a k. Sea R:k[x1, x2, ..., xn]→kX la restricción de funciones,f 7→f|X. El núcleo de R

coincide conI(X). Por lo tanto, la imagen de R es isomorfa al álgebraA(X). Así interpretamos a los elementos del anillo de coordenadas como funciones enX.

Definición2.17. SeaX⊂kn _{un conjunto algebraico. Se dice que una función} f ∈ kX es una función regular si es la restricción aX de una función polinomial dekn, es decir, sif está en la imagen deR. El conjunto de funciones regulares se denota pork[X].

Observación2.18. Ya se probó quek[X] es isomorfo aA(X).

Definición 2.19. Sean X ⊂ kn e Y ⊂ km dos conjuntos algebraicos. Un

morfismo de conjuntos algebraicos F: X → Y es una función de X a Y para la cual existenf1, f2, ..., fm ∈k[x1, x2, ..., xn] tales que F es la restricción aX de la

aplicación

kn→km

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4. GRUPOS ALGEBRAICOS AFINES 11

Los morfismos de conjuntos algebraicos también se llamanaplicaciones polinomia-les.

Siguiendo con la notación de la definición, se pueden usar los polinomiosf1, f2, ..., fm

para definir una morfismo dek-álgebras

F∗:k[y1, y2, ..., ym]→k[x1, x2, ..., xn]

yi7→fi(x1, x2, ..., xn).

Ahora bien, como la restricción deF a X tiene imagen enY, para genI(Y), se tieneF∗(g) =g(f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn)) se anula

en todoX, es decirF∗(g)∈I(X). Por lo tantoF∗induce un morfismo dek-álgebras

F∗:A(Y) =k[y1, y2, ..., ym]/I(Y)→k[x1, x2, ..., xn]/I(X) =A(X).

Viendo a los anillos de coordenadas como anillos de funciones,F∗es la composición conF. Por lo tanto, siF1, F2:X →Y son morfismos de conjuntos algebraicos tales queF₁∗=F₂∗, entoncesF1=F2.

Este procedimiento se puede invertir. Siψ:A(Y)→A(X) es un morfismo de

k-álgebras, se puede obtener un morfismo de conjuntos algebraicos F: X →Y tal que F∗ = ψ. Se bosqueja la construcción. Para cada i = 1,2, ..., m se elige un representantefi enk[y1, y2, ..., ym] de la claseψ(yi)∈k[y1, y2, ..., ym]/I(Y). Luego,

se define

F:kn→km

(a1, a2, ..., an)7→(f1(a1, a2, ..., an), f2(a1, a2, ..., an), ..., fm(a1, a2, ..., an)),

cuya restricción a X es un morfismo de conjuntos algebraicos X → Y tal que

F∗=ψ.

Teorema2.20. Seakun cuerpo algebraicamente cerrado. La categoría de con-juntos algebraicos afines sobrekes equivalente a la categoría de lask-álgebras afines con las flechas intercambiadas.

Existe una forma equivalente de definir los morfismos.

Definición 2.21. Sean X e Y conjuntos arbitrarios. Si F:X → Y es una función, se defineF∗_:_kY _→_kX_por_F∗₍_f_{) :=}_f_◦_F_{. Es claro que}_F∗_{es un morfismo} de álgebras.

Observación 2.22. Sean X ⊂ kn _e _Y _⊂ _km _{dos conjuntos algebraicos. Se}

puede probar que un morfismo de conjuntos algebraicosF:X →Y es equivalente a una función deX aY tal queF∗(k[Y])⊂k[X].

4. Grupos algebraicos afines

En esta sección se construye el producto directo en la categoría de conjuntos algebraicos. Se introduce el concepto de grupo algebraico afín.

Lema2.23. SeanX ⊂kn e Y ⊂kmdos conjuntos algebraicos. 1. X×Y es un subconjunto cerrado dekn+m_.

2. X ×Y, con la topología inducida de kn+m _{es el producto directo (en la}

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Demostración. Para probar1, se recuerda que, comok-álgebras,k[x1, x2, ..., xn]⊗k k[y1, y2, ..., ym] ' k[x1, ..., xn, y1, ..., ym]. Ahora, con esa identificación, se ve que X×Y =Z(I(X)⊗1 + 1⊗I(Y)). Es inmediato queX×Y está contenido en ese conjunto de ceros. Para la inclusión recíproca, sea (x, y)∈Z(I(X)⊗1 + 1⊗I(Y)). Entonces (x, y) es un cero de todos los elementos deI(X)⊗1, y por lo tantoxestá enZ(I(X)) =X. Del mismo modo,y está enZ(I(Y)) =Y.

Para probar2, se ve primero 3. Se define

ψ:A(X)⊗kA(Y)→A(X×Y)

ψ X

i

fi⊗gi

!

(x, y) =X

i

fi(x)gi(y).

Es claro que esta aplicación es regular en X ×Y. Es sobreyectiva, porque tiene en su imagen a las coordenadasx1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., ym que generanA(X×Y).

Resta ver que es invectiva. Para eso, basta probar que, si {fi} son linealmente

independientes enA(X) y {gj} son linealmente independientes enA(Y), entonces

{ψ(fi⊗gj)}son linealmente independientes en A(X×Y). Seancij tales que

X

i,j

cijfi(x)gj(y) = 0.

Seay∈km_{fijo pero arbitrario. Se tiene}

X

i

 

X

j

cijgj(y)



fi(x) = 0

para todox∈kn_{. Por lo tanto,}

X

j

cijgj(y) = 0 para todoi.

Pero esto vale para todoy∈km_{, de donde se concluye que}_c

ij= 0 para todoi, j.

Ahora, sabiendo la equivalencia de categorías dada por el teorema de los ceros de Hilbert, se sigue queX×Y es el producto directo deX conY en la categoría de conjuntos algebraicos sobrek, y eso prueba2.

La subcategoría de conjuntos algebraicos irreducibles hereda el producto direc-to.

Proposición 2.24. SeanX ⊂kn eY ⊂km dos conjuntos algebraicos irredu-cibles. EntoncesX×Y es irreducible en kn+m.

Demostración. Sean Z1, Z2 ⊂ kn+m cerrados tales que X×Y ⊂Z1∪Z2. Para cada x∈ X, {x} ×Y es irreducible, por ser homeomorfo a Y. Por lo tanto, para cadax∈X, {x} ×Y es un subconjunto de Z1 o de Z2. Sean, parai = 1,2,

Xi :={x∈X: {x} ×Y ⊂Zi}. Se sabe que X =X1∪X2. Ahora se ve que estos dos son cerrados. Fijo y ∈ Y, la aplicación X → X×Y, x7→(x, y) es continua. Así, como Zi es cerrado, la preimagen {x ∈ X: (x, y) ∈ Zi} es cerrada. Luego, Xi = Ty∈Y{x ∈ X: (x, y) ∈ Zi} es cerrado. Como X es irreducible, se tiene X ⊂X1 oX ⊂X2. Es decir,X×Y ⊂Z1 o X×Y ⊂Z2.

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5. REPRESENTACIONES DE GRUPOS 13

Definición 2.26. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Un grupo alge-braico afín sobre k es un variedad algebraica afín G definida sobre k que cuenta además con una estructura de grupo tal que la multiplicación G×G → G y la inversiónG→Gson morfismos de variedades algebraicas.

5. Representaciones de grupos

Definición2.27. SeanGun grupo yX un conjunto no vacío. Unaacción de

GenX es una aplicación G×X→X, (g, x)7→g·xtal que:

Si edenota a la identidad deG, entoncese·x=xpara todox∈X. Parag, h∈Gy parax∈X, se cumpleg·(h·x) =gh·x.

En este caso, la aplicaciónψg:X →X, x7→g·xes una biyección, con inverso ψg−1. Además, la condicióng·(h·x) =gh·xse traduce enψ_g◦ψ_h=ψ_gh.

SiGactúa en un espacio vectorialV, se dice queGactúa linealmente si, para cadag∈G, la aplicaciónψg es lineal (y, por lo tanto, un automorfismo deV).

Definición2.28. SeanGun grupo y V un espacio vectorial. Una representa-ción deGenV es un morfismo de gruposG→GL(V).

En este caso, se dice queV es unG-módulo.

Observación 2.29. Si V es un k-espacio vectorial de dimensión finita, diga-mosn, fijando una base se tiene un isomorfismo de grupos de GL(V) en el grupo

GL(n, k) de matrices inversiblesn×ncon coeficientes enk. SiG→GL(V) es una representación, se dice que la aplicación G→GL(V)'GL(n, k) es la representa-ción matricial asociada.

Proposición2.30. SeanGun grupo yV un espacio vectorial. Hay una biyec-ción

{Acciones lineales de G en V} → {Representaciones de G en V}.

Demostración. Sea G×V → V una acción lineal, y para cada g ∈ G sea

ψg:V →V, v7→g·v. Se defineρ:G→GL(V),g7→ψg. Se sabe queψg∈GL(V),

y también queψg◦ψh=ψghpara todosg, h∈G. Es decir,ρes una representación

deGenV.

Recíprocamente, siρ:G→GL(V) es un morfismo de grupos, entonces se define

G×V → V, g·v := ρ(g)v. Como ρ aplica la identidad de Gen la identidad de

GL(V), se tiene e·v = v para todo v ∈ V. Al ser ρ(gh) = ρ(g)◦ρ(h), se tiene

g·(h·v) =gh·v. Así,G×V →V es una acción lineal deGenV. Resta ver que las construcciones son recíprocas.

Empezando con una acción lineal G×V → V, sea ρ su representación, se denota porα: G×V →V a la acción que se obtiene deρ. Entonces, para g∈G

yv∈V arbitrarios, se tieneα(g, v) =ρ(g)v=g·v. Es decir,αes la acción con la que se empezó. Recíprocamente, seaρ:G→GL(V) una representación. Se denota porG×V →V su acción lineal asociada, y seaπ:G→GL(V) la representación que se obtiene de esa acción. Entonces, para g ∈ G yv ∈ V arbitrarios, se tiene

π(g)v=g·v=ρ(g)v. Así,ρ=π.

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Definición 2.31. Sea ρ: G → GL(V) un G-módulo de dimensión finita. Se define elcaracter deρpor

χρ: G→k

g7→tr(ρg).

5.1. Restricción de representaciones.

Definición2.32. Seaρ:G→GL(V) unG-módulo y seaW un subespacio de

V. Se dice queW esG-invariante si para cadag∈G, se tiene g·W ⊂W.

Notar que toda representación tiene siempre dos subespaciosG-invariantes, el 0 y todo el espacio.

Observación 2.33. Si W es un subespacioG-invariante deV, entonces para

cadagla aplicación ψg|_W está enGL(W), y por lo tanto,ρinduce una

representa-ción deGenW. Si ademásV es de dimensión finita, y{v1, ..., vn} es una base de V que contiene a una base{v1, ..., vd} de W, entonces la representación matricial

asociada tiene la forma

ψg=

ψg|_W ∗

0 ∗

.

Definición2.34. Una representación se diceirreduciblesi no admite subespa-cios invariantes propios.

5.2. Suma directa de G-módulos. Si ρ:G→ GL(V) y η:G→GL(W) son G-módulos sobre k, se puede dotar a la suma directa V ⊕W de la misma estructura. Se defineρ⊕η: G→GL(V ⊕W) por

ρ⊕η(g)(v+w) :=ρ(g)v+η(g)w.

Notar que siV yW son de dimensión finita, con bases{v1, ..., vn}y{w1, ..., wm}

respectivamente, entonces la representación matricial asociada a ρ⊕η en la base {v1, ..., vn, w1, ..., wm} resulta

ρ⊕η(g) =

ρg 0

0 ηg

.

Por lo tanto,χρ⊕η=χρ+χη.

Definición 2.35. UnG-móduloV se dicedescomponible si existenV1, V2 G -submódulos deV tales queV =V1⊕V2.

V se dicesemisimpleocompletamente reduciblesi existenV1, ..., VnG-submódulos

irreducibles deV tales queV =V1⊕...⊕Vn.

5.3. Producto tensorial de G-módulos. Si se tienen ρ: G → GL(V) y

η:G → GL(W)G-módulos sobre k, también es un G-módulo V ⊗W: Se define

ρ⊗η:G→GL(V ⊗W) por

ρ⊗η(g)(v⊗w) :=ρg(v)⊗ηg(w).

Y resultaχρ⊗η =χρχη.

5.4. Representación contragradiente. Siρ:G→GL(V) es unG-módulo, entonces V∗ también. Se defineρ∗:G→ GL(V∗) por ρ∗(g)(φ)(v) :=φ(ρ(g−1)v), parag∈G,φ∈V∗ yv∈V.

Resultaχρ∗(g) =χ_ρ(g−1).

(16)

6. ANILLOS NOETHERIANOS Y EL TEOREMA DE LA BASE DE HILBERT 15

5.5. Álgebra de grupo. Sea Gun grupo finito. SiAes un anillo conmuta-tivo, se define elálgebra de grupoAGcomo elA-módulo libre con base{eg:g∈G},

con la estructura de álgebra dada por las reglasegeh=egh parag yhenG.

Proposición 2.36. SeanGun grupo finito y kun cuerpo. Hay una biyección

{k-representaciones deG} ↔ {kG-módulos}.

Demostración. Sea ρ: G → GL(V) una representación de G. Entonces V

admite estructura dekG-módulo con la acción α(ρ) dada por

 

X

g∈G ageg



·α(ρ)v:= X

g∈G

agρ(g)v

paraP

g∈Gageg ∈kGyv∈V. Se denotará porα(ρ) a estekG-módulo.

Recíprocamente, si V es un kG-módulo, se define β(V) :G → GL(V) por

β(V)(g)v := eg ·V v para g ∈ G y v ∈ V. Es evidente que ρ(g) está en GL(V).

Ademásρes un morfismo de grupos porque

β(V)(gh)v=egh·V v= (egeh)·V v=eg·V (eh·V v) =β(V)(g)◦β(V)(h)v

parag, h∈Gyv∈V.

Las construcciones son recíprocas:

Si ρ:G→GL(V) una representación de G, para todo g∈Gy todov∈V se tiene

β(α(ρ))(g)v=eg·α(ρ)v=ρ(g)v

y por lo tantoβ(α(ρ)) =ρ.

Del mismo modo, siV es unkG-módulo, entonces para todoP

g∈Gageg∈kG

y todov∈V se tiene

 

X

g∈G ageg



·α(β(V))v= X

g∈G

agβ(V)(g)v=

X

g∈G

ageg·V v=

 

X

g∈G ageg

 ·V v

y por lo tantoα(β(V) =V.

6. Anillos noetherianos y el teorema de la base de Hilbert

Definición2.37. SeaAun anillo con unidad. UnA-módulo se dicenoetheriano

si toda cadena ascendente de submódulos es eventualmente constante. Se dice que

Aes unanillo noetherianosi es unA-módulo noetheriano sobre si mismo. Es decir, si toda cadena ascendente de ideales deAes eventualmente constante.

Observación2.38. La suma directa de una cantidad finita de módulos

noet-herianos, al igual que los cocientes y submódulos de módulos noetnoet-herianos, son también noetherianos.

Proposición2.39. Un móduloM sobre un anillo noetherianoAes noetheriano si, y sólo si, es finitamente generado.

(17)

Recíprocamente, si M es noetheriano, comenzando por unv1 arbitrario deM se elige inductivamente una sucesión v1, v2, ..., vn, ... de elementos de M tal que,

para cada i ≥ 2, vi no está en el submódulo generado por v1, ..., vi−1. Como M es noetheriano, la cadena ascendente de ideales (v1, ..., vi), i ∈N es

eventualmen-te constaneventualmen-te, y así la sucesión se debe eventualmen-terminar. Por lo tanto, M es finitamente

generado.

Corolario 2.40. Todo submódulo de un módulo finitamente generado sobre

un anillo noetheriano es también finitamente generado.

Lema 2.41. Un anillo con unidad es noetheriano si, y sólo si, todo ideal es

finitamente generado.

Demostración. Si A es un anillo noetheriano, por el corolario todo ideal a izquierda es finitamente generado. Recíprocamente, se asume que todo ideal a izquierda de A es finitamente generado. Sea (ai)i∈N una cadena ascendiente de ideales a izquierda deA. Como la cadena es ascendente, la uniónS

i∈Naies un ideal a izquierda, y por lo tanto es finitamente generado, digamos que es generado por

x1, ..., xn. Ahora bien, ese subconjunto finito está incluido en la unión de la cadena

ascendente, y por lo tanto está incluido en alguno de los ideales de la cadena. La cadena resulta constante a partir de ese ideal.

Teorema 2.42. Teorema de la base de Hilbert. SiA es un anillo conmutativo

y con unidad noetheriano, entonces el anillo de polinomiosA[x] también lo es.

Demostración. Por el lema, es suficiente probar que, si a es un ideal de

A[x], entonces es finitamente generado. Inductivamente, se construye una suce-sión f1, ..., fn, ... en a. Sea f1 un elemento de grado mínimo de a. Para i ≥ 1, si (f1, ..., fi) 6= a, se elige fi+1 un elemento de grado mínimo de a−(f1, ..., fi). Si

(f1, ..., fi) =a, se deja de elegir elementos. Seaajel coeficiente principal defj.

Co-mo A es noetheriano, el ideal (a1, ..., ai, ...) es finitamente generado, digamos que

pora1, ..., am.

Ahora se prueba quef1, ..., fmgenerana. Suponiendo que no es así, se elige un fm+1 de grado mínimo ena−(f1, ..., fm), y se tiene

am+1=

m

X

j=1

cjaj

para algunosc1, ..., cm. Ahora bien, paraj∈ {1, ..., m}, el grado defm+1 es menor que el grado defj, y asídj :=deg(fm+1)−deg(fj) es un entero positivo. Se considera

g:=

m

X

j=1

cjfjxdj

Estegestá en el ideal generado porf1, ..., fmy tiene el mismo coeficiente principal

y grado quefm+1. Entoncesfm+1−g ∈a−(f1, ..., fm) y tiene grado menor que fm+1, contradiciendo la elección defm+1.

(18)

Capítulo 3

Nociones generales de invariantes

Definición3.1. SeanGun grupo algebraico afín yX una variedad algebraica.

Unaacción regular a izquierdadeGenX es una acciónG×X →Xque es, además, un morfismo de variedades algebraicas.

En este caso, se dice queX es unaG-variedad.

Observación 3.2. Si X es una G-variedad, entonces para cada g ∈ G, la aplicaciónψg: X →X, x7→g·xes un isomorfismo de variedades algebraicas, con

inversoψg−1.

En efecto,ψg es la composición

X →G×X →X

x7→(g, x)7→g·x

de morfismos de variedades algebraicas.

Parax∈X se denota porGx al conjunto de losg∈Gtales queg·x=x. Es

inmediato queGxes un subgrupo cerrado deG, y se llamagrupo de isotropía dex.

Se denota porXG _{al conjunto de los}_x_∈_X _{cuyo grupo de isotropía es todo}_G_.

Estos se llaman loselementos invariantes por la acción.

Definición 3.3. SeaGun grupo algebraico afín, y seanX eY G-variedades.

Unmorfismo de G-variedades es un morfismo de variedades algebraicasf:X →Y

tal quef(g·x) =g·f(x) para todo x∈X y para todo g∈G.

Definición3.4. SeaGun grupo algebraico afín y seaV unk-espacio vectorial

de dimensión finita. Unarepresentación racional de G en V es una acción regular y lineal deGenV.

En este caso, se dice queV es unG-módulo racional.

Definición 3.5. Sea G un grupo y G → GL(V) una representación de G

en un k-espacio vectorial V. Para v ∈ V y α ∈ V∗, se define α|v: G → k por (α|v)(g) :=α(g·v).

La funciónα|v se llama elcoeficiente matricial asociado aα, v.

Observación3.6. SiV es de dimensión finita yv1, v2, ..., vn es una base deV

con base dual α1, α2, ..., αn, entonces las funciones αj|vi son los coeficientes de la

representación matricial asociada. Mas aún, éstas generan el espacio de coeficientes matriciales.

Proposición 3.7. SeanG un grupo algebraico sobrek y V un k-espacio vec-torial de dimensión finita. Sea ρ:G→GL(V)una representación abstracta de G

en V. Entonces la acciónG×V →V es regular si, y sólo si, ρes un morfismo de grupos algebraicos.

(19)

Demostración. Sea v1, v2, ..., vn una base de V con base dualα1, α2, ..., αn.

Entoncesρes un morfismo de variedades algebraicas si, y sólo si, los coeficientes de la representación matricial asociada son funciones polinomiales en G. Pero, por la observación anterior, los coeficientes de la representación matricial son αj|vi, que

generan el espacio de las coeficientes matriciales. Por lo tanto, estos últimos son funciones polinomiales si, y sólo si, la acciónG×V →V es regular. Esto prueba el

resultado.

Observación3.8. Seanρ:G→GL(V) yη:G→GL(W)G-módulos raciona-les, es decir,ρyηson morfismos de grupos algebraicos. Entoncesρ∗:G→GL(V∗) y

ρ⊗η:G→GL(V⊗W) también son racionales. Por lo tanto,Hom(V, W) =V∗⊗W

es unG-módulo racional. Mas aún, Hom(V, W)G= HomG(V, W).

Definición 3.9. Sean G un grupo y V unk-espacio vectorial (no

necesaria-mente de dimensión finita). Seaρ:G→GL(V) una representación abstracta deG

enV. Se dice queV es unG-módulolocalmente finitosi para cadav∈V existe un subespacio vectorialG-invariante de dimensión finita que contiene av.

Definición 3.10. SeanGun grupo algebraico sobrek yV unk-espacio vec-torial. Seaρ:G→GL(V) una representación abstracta de GenV. Se dice que la representación esracional si se satisfacen las siguientes condiciones:

(a). V es un G-módulo localmente finito.

(b). Para cadav∈V y cadaα∈V∗, el coeficiente matricial α|vestá enk[G].

Corolario3.11. SeanGun grupo algebraico sobreky V unk-espacio vecto-rial. SeaG→GL(V)una acción abstracta deGenV. EntoncesV es unG-módulo racional si, y sólo si, existe una familia {Vi: i ∈I} de subespacios G-estables de

dimensión finita deV tales que (a). V =P

i∈IVi

(b). Para cada i ∈ I la acción restringida G → GL(Vi) es un morfismo de

grupos algebraicos afines.

En otras palabras,V es unG-módulo racional si, y sólo si es unión filtrante de

G-módulos racionales de dimensión finita.

Definición 3.12. Un grupo algebraico Gse dice reductivo si todo G-módulo racional es semisimple.

Lema3.13. SeaGun grupo algebraico reductivo y seaV unG-módulo racional. Si existe un morfismo deG-módulosV →V que proyecta V sobreVG_{, entonces es}

único (y se llama el operador de Reynolds deV).

Demostración. Se considera la descomposiciónV =⊕_S_∈ b

GVS en

componen-tes isotípicas, de modo que V=Vtrivial⊕V2, dondeV2 =⊕_S_∈ b

G:S6=trivialVS.

Cla-ramente la proyección π1 : V → Vtrivial = VG de núcleo V2 es un operador de Reynolds.

Sea ahoraπ2:V →VGotro operador de Reynolds. Para ver queπ1=π2basta ver queV2⊂kerπ2. Para esto, basta ver queπ2|Vs = 0 para todoS ∈Gb. Pero VS

(20)

1. INVARIANTES DE GRUPOS ALGEBRAICOS REDUCTIVOS 19

Luegoπ2(W) = 0, de donde se deduceπ2(V2) = 0 y así,π1=π2.

Corolario 3.14. Sea G un grupo algebraico y sea T:V →W un morfismo deG-módulos racionales. Si V y W admiten operadores de ReynoldsπV:V →V

y πW: W → W, entonces πW ◦T = T ◦πV. En particular, si T es sobreyectivo,

entonces su restricción TG:VG→WG también lo es.

Demostración. Es consecuencia del lema anterior, porqueπW ◦T y T◦πV

proyectanIm(T) sobre susG-invariantes.

Lema3.15. Sea Gun grupo algebraico. Son equivalentes:

(a) Ges reductivo.

(b) Para todoG-módulo racionalV, existe un morfismo deG-módulosV →V que proyectaV sobreVG.

Demostración. (a) =⇒ (b): Sea V un G-módulo racional. Como G es

reductivo, V es semisimple. SeaV = L

i∈IVi la descomposición en componentes

isotípicas deV, y digamos que la componente de tipo trivial esV0. Esta componente es el mayor subespacio deV donde Gactúa trivialmente, es decir, V0 =VG. Sea

π:V →VG _{la proyección sobre la componente de tipo trivial. Ésta es un morfismo}

deG-módulos, y es una retracción de la inclusiónVG_,_→_V_{, y por lo tanto proyecta} V sobreVG_.

(b) =⇒ (a):

Recordar que, para G módulos arbitrarios W, W0, la estructura usual de G -módulo de Hom(W, W0), dada por (g·φ)w =g·φ(g−1·w) es racional, y por lo tanto Hom(W, W0) admite un operador de Reynolds.

Se prueba en primera instancia que todoG-módulo racional de dimensión finita es semisimple. Sea V un G-módulo racional de dimensión finita, y sea U un G -submódulo racional deV. Se mostrará queU tiene un G-módulo complementario. La inclusióni:U ,→V es un morfismo deG-módulos. Se considera el morfismo deG-módulos que éste induce

i∗: Hom(V, U)→Hom(U, U)

T 7→T◦i.

Es decir, la restricción. Esta aplicación es sobreyectiva, porque todo operador de

U → U se puede extender trivialmente a V → U. Por el corolario anterior, se sigue que la inclusióni:U ,→V (que esG-invariante) es la imagen pori∗ de algún

ρ∈ Hom(V, U)G_{. Es decir,}_i_:_{U ,}_→ _V _{es la restricción a} _U _{de un morfismo de}_G

módulosρ: V →U. Ahora el núcleo deρes unG-submódulo racional de V, que es claramente un complemento deU.

Esto prueba que todo G-módulo racional de dimensión finita es semisimple. Ahora bien, si V es un G-módulo racional de dimensión no necesariamente fini-ta, entonces es suma de G-módulos racionales de dimensión finita, y por lo tanto semisimples, y asíV es semisimple.

1. Invariantes de grupos algebraicos reductivos

(21)

Lema3.16. La aplicaciónπ:k[V]→k[V] es un morfismo de k[V]G-módulos.

Demostración. Seax∈k[V]G. Entonces las aplicacionesk[V]→k[V] dadas pory7→xπ(y), y pory7→π(xy) proyectank[V] sobre los invariablesk[V]G, y por

3.13, son iguales.

Teorema 3.17. (Hilbert, Nagata). Sea Gun grupo algebraico reductivo. Para

todoG-módulo racionalV de dimensión finita, el álgebra de funciones polinomiales

G-invariantes es finitamente generada.

Demostración. Sea I el ideal de k[V] generado por los invariantes

homogé-neos de grado positivo. Por el Teorema de la base de Hilbert,k[V] es noetheriano, y por lo tantoIes generado por una cantidad finita de invariables, digamosf1, . . . , fs.

Afirmación:{f1, . . . , fs} generak[V]G comok-álgebra.

Sea f un invariante homogéneo de grado positivo. Comof está en I, se pue-de escribir f = Ps

i=1hifi para algunos h1, . . . , hs en k[V]. Por el lema anterior,

aplicando a esta igualdad el morfismo dek[V]G_-módulos _π_:_k_[_V_]_→_k_[_V_{], se tiene}

f =

s

X

i=1

π(hi)fi.

Ahora bien, por definición de π, cada π(hi) es un invariante de grado menor que f. Inductivamente, se asume queπ(h1), . . . , π(hs) están en la subálgebra dek[V]G

generada por{f1, . . . , fs}, y se deduce quef también pertenece a esa subálgebra.

Esto prueba la afirmación, y por lo tanto el álgebra de invariantes es finitamente generada.

Corolario 3.18. Sean G un grupo algebraico reductivo y X una variedad algebraica afín dondeGactúa racionalmente. El álgebra de funciones polinomiales

G-invariantesk[X]G es finitamente generada.

Demostración. Por hipótesis,Gactúa enk[X] por automorfismos de álgebras de forma localmente finita (esto es, todo vector pertenece a un G-submódulo de dimensión finita). Luego, existe unG-submóduloV de dimensión finita que genera

k[X] como álgebra. Se considera la proyección canónica π:k[V]→k[X] inducida por la inclusión de V en k[X]; entonces π es un morfismo de G-módulos y por lo tanto induce πG _: _k_[_V_]G _→ _k_[_X_]G_{; esta} _πG _{es suryectiva y aplicar el teorema}

(22)

Capítulo 4

Invariantes de grupos finitos

Sea Gun grupo finito. Dado unk-espacio vectorial V, el álgebra de funciones polinomiales sobreV se puede interpretar de otro modo:

Si x1, ..., xn es una base de V∗, y Sm(V∗) denota elproducto simétrico de m

copias de V∗, que está formado por los polinomios homogéneos de grado m en

x1, ..., xn, entonces

k[V] =k⊕V∗⊕S2(V∗)⊕S3(V∗)⊕...

SiV es unG-módulo, entoncesGactúa enk[V] vía (g·f)(v) :=f(g−1_·_v_). Por definición, esta acción envía polinomios homogéneos a polinomios homogé-neos.

En este capítulo se plantea la pregunta: existe un conjunto finitof1, . . . , fsde

invariantes tales que todo invariante pueda ser escrito como polinomio enf1, . . . , fs.

También se analizan algunos aspectos de la dimensión del álgebra de invariantes.

1. Ejemplo: Invariantes de los grupos simétricos

En esta sección,V =kn _y_G_{es el grupo simétrico}

Sn, que actúa enV

permu-tando los vectores de la base canónica, que denotamosα1, . . . , αn; la base dual se

denotax1, . . . , xn, y es un sistema de generadores dek[V].

En este caso, la acción que G induce en k[V] permuta las variables de los polinomios, y está dada por

σ·f(x1, . . . , xn) =f(xσ(1), . . . , xσ(n)).

Así, los elementos invariantes de esta acción son los polinomiosf(x1, . . . , xn)

tales que f(x1, . . . , xn) =f(xσ(1), . . . , xσ(n)) para cada σen Sn. Estos polinomios

se llaman simétricos.

Ahora se introduce una nueva variable X. Se consideran los polinomios ei ∈ k[x1, . . . , xn] definidos por

n

Y

i=1

(X+xi) = n

X

i=0

eiXn−i.

El productoQn

i=1(X+xi) permanece invariante bajo cualquier permutación de sus factores, y por lo tantoei∈k[x1, . . . , xn] son simétricos. Se llamanpolinomios

simétricos elementales enx1, . . . , xn.

Ahora se demuestra en términos elementales que el álgebra de polinomios si-métricos es finitamente generada.

Proposición 4.1. Todo polinomio simétrico dek[x1, . . . , xn]puede ser escrito

como un polinomio en los polinomios simétricos elementales e1, . . . , en.

(23)

Demostración. La acción de Sn enk[x1, . . . , xn] envía polinomios

homogé-neos en polinomios homogéhomogé-neos. Por lo tanto, un polinomio de k[x1, . . . , xn] es

simétrico si, y sólo si, todas sus componentes homogéneas son simétricas. Basta con probar que todo polinomio homogéneo simétrico de k[x1, . . . , xn] puede ser

escrito como un polinomio en los polinomios simétricos elementalese1, . . . , en.

Se introduce elorden lexicográficoen monomios, que es un orden parcial deter-minado por

xa1

1 · · ·x

an

n ≺x b1

1 · · ·x

bn

n

si, y sólo si, la primera diferencia no nulabi−ai es positiva.

Seaf(x1, . . . , xn) un polinomio homogéneo simétrico. Sea x1a1· · ·xann el mayor

monomio que aparece con coeficiente no nulo, digamosa, enf(x1, . . . , xn). Como

éste es el mayor monomio, para ningúnipuede ocurrirai+1> ai. En efecto, si eso

ocurre para algúni, se considera el menor índice para el que ocurre esa desigualdad. La transposición que intercambiai coni+ 1 está enSn y comof es invariante, se

deduce que el monomioxa1

1 · · ·x

ai+1 i x

ai

i+1· · ·x

an

n también ocurre enf con coeficiente a, pero este es un monomio mayor quexa1

1 · · ·x

an

n . Por lo tanto,ai+1≤aipara todo i. Además, el producto

ea1₁ −a2ea2₂ −a3· · ·ean

n

también tiene al monomioxa1₁ · · ·xan

n como mayor monomio. Por lo tanto,

f(x1, . . . , xn)−aea11 −a2e

a2−a3

2 · · ·e

an

n

es un polinomio simétrico cuyo monomio mayor es menor que el mayor de f, que eraxa1₁ · · ·xan

n .

Inductivamente, asumiendo que

f(x1, . . . , xn)−aea11−a2e

a2−a3

2 · · ·e

an

n

es un polinomio en los simétricos elementales, se deduce quef(x1, . . . , xn) también

lo es.

Los polinomios simétricos elementales no sólo generan el álgebra de invariantes, sino que además se tiene la siguiente unicidad.

Proposición 4.2. Los polinomios simétricos elementalese1, . . . , en son

alge-braicamente independientes.

Demostración. Sea f(x1, . . . , xn) ∈ k[x1, . . . , xn] un polinomio que cumple

quef(e1, . . . , en) = 0 como polinomio en x1, . . . , xn. Se probará, quef(x1, . . . , xn)

es el polinomio nulo. Este polinomio es suma de monomios, y se los escribe de la siguiente forma

xa1−a2

1 x

a2−a3

2 · · ·x

an

n

para enterosa1≥a2≥ · · · ≥an.

Sif 6= 0, sea

axa1−a2

1 x

a2−a3

2 · · ·x

an

(24)

2. EJEMPLO: INVARIANTES DE LOS GRUPOS ALTERNANTES 23

con a 6= 0, el mayor monomio en el orden lexicográfico entre todas las posibi-lidades para (a1, . . . , an). Entonces f(e1, . . . , en), considerado como polinomio en x1, . . . , xn, tiene a axa11−a2x

a2−a3

2 · · ·xann como mayor monomio en el orden

lexico-gráfico, y por lo tantoa= 0, contradiciendo lo anterior. Se deducef = 0.

Las dos últimas proposiciones constituyen el Teorema fundamental de los po-linomios simétricos. Como se dijo en la introducción, este resultado se debe a La-grange (1770), aunque aparece en los trabajos de Newton 100 años antes.

En resumen, el anillo de invariantes es un anillo de polinomios; y cada polinomio simétrico se escribe de forma única como polinomio en los simétricos elementales.

Las siguientes secciones abordan esta pregunta en un marco más general.

2. Ejemplo: Invariantes de los grupos alternantes

En esta sección se muestra que no es necesario hacer un análisis demasiado exhaustivo para encontrar grupos con anillos de invariantes que no son anillos de polinomios.

Antes de ver el ejemplo que ocupa esta sección, se muestra un caso más sencillo.

Ejemplo4.3. SeaG=Z2, considerarV =C2, donde el elemento no trivial de Gactúa víav7→ −v. Entonces el anillo de invariantes es la suma de las componentes homogéneas de grado par. Por lo tanto, tiene como sistema minimal de generadores a x2

1, x22, x1x2. Así, C[V]G no es un anillo de polinomios, porque sus generadores

satisfacenx2

1x22= (x1x2)2.

En esta sección, el grupo en cuestión será el grupo alternanteAn, que está

for-mado por todas las permutaciones pares del grupo simétrico_Sn. La representación

a estudiar será la misma que en el ejemplo anterior, pero restringida aAn. Se añade

una restricción sobre la característica del cuerpo de base.

Sea k un cuerpo que no tiene característica 2. SeaV el espacio vectorial kn_.

EntoncesAnactúa enV permutando los vectores de la base canónica. Seax1, . . . , xn

la base dual. Los invariantes de esta acción se llamanpolinomios alternantes. Por otro lado se tienesgn:Sn →k×, la representaciónsignodeSn que asigna

a cada permutación su signo. EntoncesAn es justamente el núcleo desgn.

Se considera el anillok[V]Sn

sgnformado por losf enk[V] tales queg·f =sgn(g)f

para todog enSn. Este anillo se suele llamar el anillo de invariantes con respecto

al caráctersgn.

Con este vocabulario, los polinomios alternantes son exactamente los elementos dek[V]Sn

sgn.

El siguiente resultado describe ak[V]Sn

sgn comok[V]Sn-módulo.

Proposición 4.4. En anillo k[V]Sn

sgn como k[V]Sn-módulo es libre y generado

por un solo elemento. Mas aún,

k[V]Sn

(25)

donde ∆se define como el determinante de la matriz de Vandermonde

∆ :=det

    

1 . . . 1

x1 . . . xn

..

. . . . ...

xn₁−1 . . . xn−1

n      Es decir,

∆ =Y

j<i

(xi−xj)

Demostración. Es claro que ∆ está enk[V]Sn

sgn. Por lo tanto, basta con probar

que sifestá enk[V]Sn

sgn, entonces ∆ divide af. Ahora bien, comok[V] es un dominio

de factorización única, basta probar que cadaxi−xj divide af. Es decir, ver quef

se anula en el subespacio deV determinado por la ecuaciónxi=xj. La permutación

que intercambiaicon j actúa en f multiplicandola por −1. Por lo tanto,f =−f

en ese subespacio. Como kno tiene característica 2, se sigue que f es nula en ese

subespacio.

Este resultado es de gran ayuda para calcular k[V]An_{. Primero, notar que se}

tienen extensiones de anillos

k[V]Sn_⊂_k_[_V_]An_⊂_k_[_V_]_.

Además,An es un subgrupo normal deSn, y por lo tanto el grupo cocienteZ2 actúa enk[V]An_{. Como la característica de}_k _{no es 2, se sigue que el elemento no}

nulo deZ2 es diagonalizable con autovalores±1; quek[V]Sn es el autoespacio de 1 yk[V]Sn

sgn el de−1.

Corolario 4.5. Sean k un cuerpo de característica distinta de 2, V = kn

la representación permutación de Sn, y sgn: Sn →k× la representación signo de Sn. Entonces el anillo de invariantes k[V]An es un módulo libre de rango 2 sobre k[V]Sn_,

k[V]An₌_k_[_V_]Sn_⊕_k_[_V_]Sn

sgn=k[e1, . . . , en]⊕k[e1, . . . , en]·∆.

Observación 4.6. Notar que e1, . . . , en,∆ es un conjunto minimal de

gene-radores de k[V]An_{. Sin embargo, no son algebraicamente independientes, porque}

∆2∈k[e1, . . . , en].

En resumen,k[V]An_{no es un anillo de polinomios, pero es un módulo}

finitamen-te generado sobre su subálgebrak[e1, . . . , en], que si es un álgebra de polinomios.

Para una demostración del Teorema siAes un dominio de factorización única, entonces el anillo de polinomios A[X] también es dominio de factorización única, ver [4], pp.304.

3. Primera noción de finitud del álgebra de invariantes

SiGes un grupo finito ykun cuerpo cuya característica no divide al orden de

G, seaR_G= _|_G1_|P

g∈Gg∈kG.

Se considera para cadaG-móduloρ:G→GL(V), la aplicación

ρ

Z

G

(26)

3. PRIMERA NOCIÓN DE FINITUD DEL ÁLGEBRA DE INVARIANTES 25

que está dada porρ(R_G)(v) =_|_G1_|P

g∈Gρ(g)(v). Este es un morfismo deG-módulos.

Además, todos los elementos de la imagen de ρ(R_G) están en VG_{: dados} _v _∈_V _y h∈G, se tiene

ρ(h)

ρ

Z

G

(v)

= 1

|G| X

g∈G

ρ(hg)(v) = 1 |G|

X

g∈G

ρ(g)(v) =ρ

Z

G

(v).

Con una idea similar, se prueba el siguiente resultado.

Corolario4.7. (Teorema de Maschke). SiGes un grupo finito ykun cuerpo

cuya característica no divide al orden deG, entonces Ges reductivo.

Demostración. Sea V un G-módulo con representación ρ : G → GL(V). Sea ι: VG _,_→ _V _{la inclusión. Se considera} _ρ₍R

G) :V → V

G_{. Entonces, para todo}

v∈VG_{, se tiene}

ρ

Z

G

◦ι(v) = 1 |G|

X

g∈G

ρ(g)(v) = 1 |G|

X

g∈G v=v.

Por lo tanto, ρ(R_G) :V → VG es una retracción de G-módulos de la inclusión

VG_,_→_V_{, y así}_V _{se proyecta sobre}_VG_.

Cuando el grupo en cuestión es finito, el siguiente resultado garantiza que el álgebra de invariantes es finitamente generada.

Teorema4.8. (Hilbert, Noether) Seankun cuerpo yAunak-álgebra conmu-tativa finitamente generada. SiGactúa por automorfismos enA, entonces el álgebra deG-invariantes AG _{también es finitamente generada sobre} _k _y _A _{es finitamente}

generado como AG_-módulo.

Demostración. Primero, se remarca que Aes una extensión íntegra de AG. En efecto, dadoaenA,aes una raíz del polinomio mónico

Y

g∈G

(X−g·a)

que está enAG[X].

Sea{a1, ..., am}un conjunto que genera aAcomok-álgebra, y para cadaisea pi un polinomio mónico en AG que tiene a ai como raíz. Se denota por B a la

subálgebra deAG _{generada por los coeficientes de}_p

1, ..., pn. EntoncesB es unak

-álgebra finitamente generada, y por lo tanto noetheriana. ComoAes unB-módulo finitamente generado, se sigue queAG_{también lo es. Por lo tanto,}_AG_{es finitamente}

generada comok-álgebra.

La última prueba está muy lejos de ser constructiva. Hay dos aspectos que se destacan:

(1) No se conoce AG, pero se necesitan generadores de A sobre AG y peor aún, polinomios que los tengan como raíces.

(2) Como no se conoceAG, tampoco se sabe qué es B, y sin embargo se necesitan generadores deAG _como_B_-módulos.