4.5. Hiperboloides.2

(1)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos

Superficies cuádricas

Jana Rodriguez Hertz GAL2

IMERL

(2)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos definición

superficie cuádrica

definición (forma cuadrática)

unasuperficie cuádricaestá dada por la ecuación:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0

o, equivalentemente,

XtAX +2BtX +c =0

(3)

superficie cuádrica

XtAX +2BtX +c =0

(4)

superficie cuádrica

XtAX +2BtX +c=0

(5)

superficie cuádrica

XtAX +2BtX +c=0

(6)

ejemplo 1

la esfera unitaria

x2+y2+z2=1

(7)

ejemplo 1

la esfera unitaria

x2+y2+z2=1

(8)

ejemplo 2

la cuádricaxy =0

(9)

ejemplo 2

la cuádricaxy =0

(10)

ejemplo 2

la cuádricaxy =0

(11)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos forma reducida

ecuación reducida

Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la

cuádrica quede en unaforma reducida:

definición

ecuación reducidade una cuádrica:

se obtiene por un cambio de variables ortogonal y tiene uno de los siguientes tipos:

(12)

ecuación reducida

definición

(13)

ecuación reducida

definición

se obtiene por un cambio de variables ortogonal

y tiene uno de los siguientes tipos:

(14)

ecuación reducida

definición

(15)

ecuación reducida

definición

1 _{tipo I:}_α_x2₊_β_y2₊_γ_z2₊_δ₌₀

(16)

ecuación reducida

definición

(17)

ejemplos

ejemplo

el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I conα=β =γ =1 y

δ =−1

el ejemplo 2 (xy =0) no está en su forma reducida, ya

(18)

ejemplos

ejemplo

el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I conα=β =γ =1 y

δ =−1

el ejemplo 2 (xy =0) no está en su forma reducida, ya

(19)

objetivos

1 _{ver cómo se llega a una ecuación reducida}

(20)

objetivos

1 _{ver cómo se llega a una ecuación reducida}

(21)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos centro de una cuádrica

centro de una cuádrica

definición

XtAX +2BtX +c =0 cuádrica

Q= (xQ,yQ,zQ)centro de la cuádricasi

A





x_Q yQ

zQ



(22)

centro de una cuádrica

definición

A





x_Q yQ

zQ



(23)

centro de una cuádrica

definición

A





x_Q yQ

zQ



(24)

observación

puede haber un único centro (sistema compatible determinado)

puede haber infinitos centros (sistema compatible indeterminado)

(25)

observación

(26)

observación

(27)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos teoremas

centro y clasificación de cuádricas

teorema 1

F(x,y,z) =XtAX +2BtX +c =0 cuádrica

P−1AP=diag(α, β, γ)conP ortogonal

Si existe un centroQ= (xQ,yQ,zQ)t, entonces

haciendo el cambio de variablesX =PX0+Q

la cuádrica queda tipo I:

(28)

centro y clasificación de cuádricas

teorema 1

(29)

centro y clasificación de cuádricas

teorema 1

(30)

centro y clasificación de cuádricas

teorema 1

(31)

centro y clasificación de cuádricas

teorema 1

(32)

cuando no hay centro

teorema 2

Si la cuádricaXtAX +2BtX +c =0 no tiene centro

⇒PtAP =diag(α, β,0)y

la ecuación reducida es de tipo II:

(33)

cuando no hay centro

teorema 2

(34)

cuando no hay centro

teorema 2

(35)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I

cuádricas de tipo I

tipo I

αx2+βy2+γz2+δ =0 cuádrica de tipo I

hay dos casos importantes:

1 _δ₆₌₀

→α0x2₊_β0_y2₊_γ0_z2₌₁

2 _δ₌₀

(36)

cuádricas de tipo I

tipo I

1 _δ₆₌₀

→α0x2₊_β0_y2₊_γ0_z2₌₁

2 _δ₌₀

(37)

cuádricas de tipo I

tipo I

1 _δ6₌₀

→α0x2₊_β0_y2₊_γ0_z2₌₁

2 _δ₌₀

(38)

cuádricas de tipo I

tipo I

1 _δ6₌₀

→α0x2₊_β0_y2₊_γ0_z2₌₁

2 _δ₌₀

(39)

cuádricas de tipo I

tipo I

1 _δ6₌₀→_α0_x2₊_β0_y2₊_γ0_z2₌₁ 2 _δ₌₀

(40)

cuádricas de tipo I

tipo I

(41)

clasificación de cuádricas de tipo I

clasificación

cómo se clasifican?

1ero porδ6=0 oδ6=0

(42)

clasificación de cuádricas de tipo I

clasificación

(43)

clasificación de cuádricas de tipo I

clasificación

(44)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I -δ6=0

elipsoide

+ + + 1

(45)

elipsoide

+ + + 1

(46)

hiperboloide de una hoja

hiperboloide de 1 hoja

+ + − 1

(47)

hiperboloide de una hoja

hiperboloide de 1 hoja

+ + − 1

(48)

hiperboloide de dos hojas

hiperboloide de 2 hojas

+ − − 1

(49)

hiperboloide de dos hojas

hiperboloide de 2 hojas

+ − − 1

(50)

cilindro elíptico

+ + 0 1

(51)

cilindro elíptico

+ + 0 1

(52)

cilindro hiperbólico

cilindro elíptico

+ − 0 1

(53)

cilindro hiperbólico

cilindro elíptico

+ − 0 1

(54)

dos planos paralelos

+ 0 0 1

(55)

dos planos paralelos

+ 0 0 1

(56)

otros casos

− − − 1 → ∅

− − 0 1 → ∅

(57)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo I -δ=0

cono

+ + − 0

− − + 0

(58)

cono

+ + − 0

− − + 0

(59)

planos que se cortan

+ + − 0

− − + 0

(60)

planos que se cortan

+ + − 0

− − + 0

(61)

otros casos

± ± ± 0 un punto

± ± 0 0 una recta

(62)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos tipo II

tipo II

αx2+βy2+ρz =0 conρ6=0

cómo se clasifican:

(63)

tipo II

(64)

tipo II

(65)

paraboloide elíptico

α.β >0

(66)

paraboloide elíptico

α.β >0

(67)

paraboloide hiperbólico

α.β <0

(68)

paraboloide hiperbólico

α.β <0

(69)

cilindro parabólico

α.β =0

(70)

cilindro parabólico

α.β =0

(71)

superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos ejemplo 1

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

A=





9 3 −5

3 9 −3

−5 −3 3

  B=   14 6 −8  

Ecuación de centro: AQ+B =~0

Q= (3y −1,y,6y+1)

(∞centros)

→TIPO I

vap deA: det(A−λI) =−λ3+21λ2−92λ=0

(72)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

A=





9 3 −5

3 9 −3

−5 −3 3

  B=   14 6 −8  

Q= (3y −1,y,6y+1)

(∞centros)

→TIPO I

(73)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

A=





9 3 −5

3 9 −3

−5 −3 3



 B=

  14 6 −8  

Q= (3y −1,y,6y+1)

(∞centros)

→TIPO I

(74)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

A=





9 3 −5

3 9 −3

−5 −3 3



 B=

  14 6 −8  

Ecuación de centro:AQ+B =~0

Q= (3y −1,y,6y+1)

(∞centros)

→TIPO I

(75)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

A=





9 3 −5

3 9 −3

−5 −3 3



 B=

  14 6 −8  

Ecuación de centro:AQ+B =~0Q= (3y −1,y,6y+1)

(∞centros)

→TIPO I

(76)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

A=





9 3 −5

3 9 −3

−5 −3 3



 B=

  14 6 −8  

(∞centros)

→TIPO I

(77)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

A=





9 3 −5

3 9 −3

−5 −3 3



 B=

  14 6 −8  

(∞centros)

→TIPO I

(78)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

A=





9 3 −5

3 9 −3

−5 −3 3



 B=

  14 6 −8  

(∞centros)

→TIPO I

(79)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

Q= (3y−1,y,6y +1)

ecuación reducida: αx2+βy2+0z2+F(Q) =0

F(Q) =F(−1,0,1) =−7<0

ecuación reducida: α₇x2+β₇y2=1

(80)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

Q= (3y−1,y,6y +1)

F(Q) =F(−1,0,1) =−7<0

(81)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

Q= (3y−1,y,6y +1)

F(Q) =F(−1,0,1) =−7<0

(82)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

Q= (3y−1,y,6y +1)

F(Q) =F(−1,0,1) =−7<0

ecuación reducida: α₇x2₊β

7y2=1

(83)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

Q= (3y−1,y,6y +1)

F(Q) =F(−1,0,1) =−7<0

ecuación reducida: α₇x2₊β

7y2=1

(84)

ejemplo 1

Clasificar

9x2+9y2+3z2+6xy−10xz−6yz+28x+12y−16z+15=0

(85)

ejemplo 2

Clasificar

5x2−y2+z2+4xy +6xz +2x+4y+6z−8=0

(86)

ejemplo 2

Clasificar

5x2−y2+z2+4xy +6xz +2x+4y+6z−8=0

(87)

ejemplo3

ejemplo 3

Clasificar

−x2+yz+2x −4z−5=0

(88)

ejemplo3

ejemplo 3

Clasificar

−x2+yz+2x −4z−5=0