CERTAMEN
Nº02 (PAUTA)
FISICA GENERAL
ELECTROMAGNETISMO
(FIS 331)
Prof. Rodrigo
Vergara Rojas
SEGUNDO
SEMESTRE
2007
Miércoles 31 de Octubre de 2007
Pregunta 01) (+1 punto base)
Módulo D) En la figura 1 se aprecia un condensador de placas paralelas relleno de aire en paralelo con una batería. Si la distancia entre las placas disminuye en un 50% sin dejar de estar conectado a la batería, indique si cada uno de los siguientes parámetros aumenta (↑), mantiene (=) o disminuye su valor (0.5 puntos cada uno)
a) Capacitancia ↑ = ↓
b) Campo eléctrico entre las placas ↑ = ↓
c) Magnitud de la carga en cada placa ↑ = ↓
d) Energía almacenada en el condensador ↑ = ↓
Desarrollo:
a) La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es C=A 0
d
ε
⋅. Luego:
d
↓
⇒
C
↑
(0.5 punto)b) El campo eléctrico entre las placas es E = V
d . Luego:
d
↓
⇒
E
↑
(0.5 punto)c) La magnitud de la carga en cada placa es Q = C V⋅ . Luego:
d
↓
⇒
C
↑
⇒
Q
↑
(0.5 punto)d) La energía almacenada en el condensador es U=1 C V2
2⋅ ⋅ . Luego:
d
↓
⇒
C
↑
⇒
U
↑
(0.5 punto)Módulo E) En el circuito de la figura 2, las tres ampolletas A, B y C tienen radio R y el interruptor S está inicialmente abierto. Si se cierra S, indique si cada uno de los siguientes parámetros aumenta (↑), mantiene (=) o disminuye su valor (0.5 puntos cada uno)
a) Corriente I ↑ = ↓
b) Brillo de la ampolleta A ↑ = ↓
c) Resistencia equivalente entre a y b ↑ = ↓
d) Potencia disipada por el circuito ↑ = ↓
Desarrollo:
c) Con el interruptor abierto, las tres ampolletas están en serie, por lo que RabOFF=3 R⋅ . Al cerrarse, B y C quedan cortocircuitadas, por lo que no pasa corriente a través de ellas. Así,
abON
R = R. En consecuencia, la resistencia equivalente entre a y b disminuye su valor (↓)(0.5 punto).
a) La corriente i está dada por
ab
V i =
R . Luego:
OFF ON ab
S
→⇒
R
↓
⇒
i
↑
(0.5 punto)b) El brillo de la ampolleta A es proporcional a su potencia disipada. A mayor potencia, mayor brillo. La potencia disipada por A está dada por P = iA 2⋅R. Luego:
OFF ON ab A
S
→⇒
R
↓
⇒
i
↑
⇒
P
↑
⇒
Brillo de A
↑
(0.5 punto)d) La potencia disipada por el circuito está dada por Ptotal = V i⋅ . Luego:
OFF ON ab total
S
→⇒
R
↓
⇒
i
↑
⇒
P
↑
(0.5 punto)Módulo F) A partir del circuito de la figura 3, rellene los cuadrados con signos “+” o “-“, según los convenios de signos para LVK y LCK vistos en clases (0.2 puntos cada uno)
1
ε
1 1
i R⋅
ε
2 i R2⋅ 2= 0
2
ε
i R2⋅ 2 i R3⋅ 3= 0
3
i
= 0
1
i
i
2
Desarrollo:
LVK en Malla 1 (0.8 puntos)
1
ε
1 1
i R
⋅
ε
2i R
2⋅
2= 0
LVK en Malla 2 (0.6 puntos)
2
ε
i R
2⋅
2i R
3⋅
3LCK en Nodo a (0.6 puntos)
Opción 1:
3
i
= 0
1
i
i
2Opción 2:
3
i
= 0
1
i
i
21
ε
ε
2Pregunta 02) Un condensador de placas paralelas cuadradas de lado y distancia /4 relleno de aire se quema, y por lo tanto debe ser reemplazado. Para ello, se dispone solamente de dos condensadores esféricos idénticos, de radio de esfera interior /4 y radio de esfera exterior /2, rellenos de aire en el espacio entre ambas esferas, aunque con la posibilidad de rellenarlos con un mismo material. Existen dos posibilidades: que se conecten en serie, o se conecten en paralelo
a) Calcule la constante dieléctrica relativa del material con que tendrían que ser rellenadas las capacitancias para que, en cada caso (serie o paralelo), se logre igualar la capacitancia del condensador original
b) Para las condiciones establecidas en el problema, ¿se pueden usar las capacitancias esféricas para hacer el reemplazo? Justifique para los casos serie y paralelo.
(+1 punto base)
Desarrollo:
a) La capacitancia del condensador de placas paralelas que se quemó es:
2
0 0
par 0
A
C = 4
d 4
ε
ε
ε
⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅
(1 punto)
La capacitancia de cada uno de los condensadores esféricos, de radio exterior b = /2, radio interior
a = /4, y relleno con dielétrico de constante εr es:
esf 0 r 0 r
0 r 0 r 0 r
b a 2 4
C = 4 4
b - a -
2 4
2 4
4 4 2
2 4
π ε ε
π ε ε
π ε ε
π ε ε
π ε ε
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(1 punto)
Si los capacitores se conectan en paralelo, la capacitancia equivalente de los condensadores esféricos es
esfpar esf esf esf 0 r 0 r
C = C + C = 2 C⋅ = 2 2⋅ ⋅ ⋅
π ε ε
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 4π ε ε
⋅ ⋅ (1 punto)Igualando con el capacitor original, se puede obtener el valor de εr con el que habría que rellenar los condensadores esféricos:
par esfpar 0 0 r r
1
C = C 4
ε
4π ε ε
ε
π
Si los capacitores se conectan en serie, la capacitancia equivalente de los condensadores esféricos es
2
esf esf 0 r
esfserie 0 r
esf
C C 2
C =
2 C 2 2
π ε ε
π ε ε
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ ⋅
⋅
(1 punto)
Igualando con el capacitor original, se puede obtener el valor de εr con el que habría que rellenar los condensadores esféricos:
par esfserie 0 0 r r
4
C = C 4
ε
π ε ε
ε
π
⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⇒ = (0.5 punto)
b) Los materiales que se usan para rellenar los condensadores tienen constante dieléctrica relativa mayor que 1. Luego, para que la idea de ocupar los condensadores esféricos sea posible, el dieléctrico resultante debe cumplir esta condición.
• En el caso de la conexión en paralelo,
ε
r 1 1π
= < , por lo que no resulta viable
conectarlas de esa manera. (0.5 punto)
• En el caso de la conexión en serie,
ε
r 4 > 1π
= , por lo que resulta viable conectarlas de
Pregunta 03) Para la red mostrada en la figura 4, donde cada resistencia R es un tubo cilíndrico de área de sección transversal A, longitud L y resistividad ρ
a) Determine, en términos de R, la resistencia equivalente entre los puntos a y b.
b) Si se aplica un voltaje V entre a y b, calcule, en términos de V, A, L y ρ, la corriente que entra por el punto a y la potencia total disipada por la red.
c) Si se reemplaza la red por un cilindro de longitud 6L y área de sección transversal A/9, determine, en términos de ρ, su resistividad para mantener el valor de la resistenca entre a y b.
(+1 punto base)
Desarrollo:
a) Debido a la simetría de la red, se aprecia que el potencial eléctrico en los puntos a2 y a3 es el mismo, por lo que se puede conectar un “alambre imaginario” entre esos puntos. Lo mismo sucede entre los puntos b2 y b3. El resto se limita a aplicar equivalencias serie y paralelo, llegándose a que
ab
7 R R =
2 ⋅
(3 puntos)
(Nota: otra manera de abordar
el problema es transformar los triángulos formados por los puntos a1-a2-a3 y b1-b2-b3 en
estrellas con resistencias de valor R/3, para luego aplicar equivalencias serie y paralelo)
b) De los datos del problema, R =ab 7 R 7 L 2 2 A
ρ
⋅ ⋅ ⋅= ⋅
La corriente que entra por el punto a está dada por
ab
V V 2 V A
i =
7 L
R 7 L
2 A
ρ
ρ
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(1 punto)
La potencia total disipada por la red está dada por
Figura 4) Pregunta 03
2 2 2
ab
V V 2 V A
P =
7 L
R 7 L
2 A
ρ
ρ
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(1 punto)
c) El nuevo elemento resistivo tiene resistencia new new new
6 L 54 L R =
A 9 A
ρ
⋅ ⋅ ⋅ρ
⋅= .
Para poder reemplazar a la red completa:
new
new ab new
54 L 7 L 7
R = R
A 2 A 108
ρ
ρ
ρ
ρ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⇒ = ⇒ = ⋅
Pregunta 04) En el circuito de la figura 5, ε = 25 [V] y R = 45 [Ω]. Si en el instante t = 0 se cierra el switch, calcule lo que marcan los amperímetros A1, A2 y A3 en los instantes:
a) t = 0+ (inmediatamente después de que se cerró el switch)
b) t → ∞ (cuando los condensadores están cargados)
(+1 punto base)
Desarrollo:
a) En t = 0+, ambos condensadores actúan como
cortocircuitos. Luego el circuito que queda se aprecia al lado. (1 punto)
El amperímetro A1 mide la corriente i1a, el amperímero A2 mide la corriente i2a y el amperímetro A3 mide la corriente i3a. Del circuito se puede deducir fácilmente que:
[ ]
[ ]
[ ]
2a
25 V 5
i = = = A
4 R 4 45 36
ε
⋅ ⋅ Ω (1 punto)
[ ]
[ ]
[ ]
3a
25 V 5
i = = = A
8 R 8 45 72
ε
⋅ ⋅ Ω (1 punto)
[ ]
[ ]
[ ]
1a 2a 3a
5 5 15 5
i = i i = A A A
36 72 72 24
+ + = =
(0.5 punto)
b) En t → ∞, ambos condensadores actúan como circuitos abiertos. Luego el circuito que queda se aprecia al lado. (1 punto)
El amperímetro A1 mide la corriente i1b, el amperímero A2 mide la corriente i2b y el amperímetro A3 mide la corriente i3b.
Como la resistencia 8R está en serie con un circuito abierto,
3b
i = 0. (0.5 punto)
Debido a lo anterior,
[ ]
[ ]
[ ]
1b 2b
25 V 5 i = i = = = A
4 R 4 45 36
ε
⋅ ⋅ Ω (1 punto)
ε
Figura 5) Pregunta 04)