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Sistemas dinámicos y caos

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Academic year: 2020

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(1)Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros Informáticos Grado en Grado en Ingeniería Informática. Trabajo Fin de Grado Sistemas dinámicos y caos. Autor: Adrián Caro Mira Tutor(a): Juan Ángel Rojo Carulli. Madrid, 15 de Mayo de 2020.

(2) Este Trabajo Fin de Grado se ha depositado en la ETSI Informáticos de la Universidad Politécnica de Madrid para su defensa.. Trabajo Fin de Grado Grado en Grado en Ingeniería Informática Título: Sistemas dinámicos y caos 15 de Mayo de 2020. Autor: Adrián Caro Mira Tutor: Juan Ángel Rojo Carulli Departamento de Matemática Aplicada a las TIC ETSI Informáticos Universidad Politécnica de Madrid.

(3) Resumen Los sistemas dinámicos modelizan matemáticamente procesos que evolucionan en el tiempo acorde a unas reglas. Cuando el tiempo se considera discretizado, se utilizan los sistemas dinámicos discretos y en otro caso, los continuos. El estudio de ambos tipos de sistemas dinámicos es de gran importancia en la modelización matemática de diversos procesos. Alguno de estos casos son los modelos de comportamiento socio económicos de la sociedad, los modelos de crecimiento de poblaciones para la gestión de ecosistemas y los modelos de predicción dinámica del clima. Los conceptos de equilibrio, órbitas periódicas, estabilidad y caos juegan un papel importante en el estudio de los sistemas dinámicos. En este trabajo se propone el estudio de diversos tipos de sistemas dinámicos, principalmente discretos. Para ello, será conveniente utilizar tanto técnicas matemáticas como técnicas de computación. Las primeras permitirán predecir de manera exacta el comportamiento teórico de un sistema dinámico, mientras que las segundas permitirán representar gráficamente y computar empíricamente resultados que apoyen a las primeras. Por ejemplo, la representación del diagrama de Fiegenbaun de una familia paramétrica de sistemas dinámicos sería imposible sin la potencia computacional de un ordenador.. i.

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(5) Abstract Dynamical systems mathematically model processes that evolve over time according to rules. When time is considered discrete, discrete dynamical systems are used, and in another case, continuous systems. The study of both types of dynamical systems have great importance when modelling various processes. Some of these consist of socio-economic behaviour of society models, population growth for the management of ecosystems and climate prediction models. The concepts of equilibrium, periodic orbits, stability and chaos play an important role in the study of dynamical systems. This project proposes the study of several types of dynamic systems, mainly discrete. For this purpose, it will be convenient to use both mathematical and computational techniques. The first ones will allow to predict exactly the theoretical behavior of a dynamical system, while computational techniques will graphically represent and compute empirically results that support the first ones. For example, the representation of the Fiegenbaun diagram of a parametric family of dynamical systems would be impossible without the computational power of a computer.. iii.

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(7) Tabla de contenidos 1. Introducción. 1. 2. Desarrollo 2.1. Nociones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales . . . . . . 2.2.1. La Familia Cuadrática . . . . . . . . . . . . 2.2.1.1. Diagrama de Feigenbaum . . . . . 2.2.1.2. Series Temporales . . . . . . . . . 2.2.2. La familia logística . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1. Diagrama de Feigenbaum . . . . . 2.2.2.2. Series Temporales . . . . . . . . . 2.3. Sistemas dinámicos caóticos . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Función Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Función Tienda . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Aplicaciones topológicamente conjugadas 2.4. Sistemas dinámicos planos o bidimensionales . . 2.4.1. Sistemas dinámicos planos lineales . . . . 2.4.2. Atractor de Henón . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Aplicación del panadero . . . . . . . . . . . 2.4.4. Sistemas dinámicos complejos . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 3 5 5 8 11 12 22 23 25 25 26 27 29 29 31 34 34. 3. Resultados y conclusiones. 39. 4. Bibliografia. 41. v.

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(9) Capítulo 1. Introducción En el trabajo se va a realizar un estudio teórico-práctico de los sistemas dinámicos reales y complejos, principalmente los discretos. Se implementarán algoritmos que permitan determinar propiedades importantes de un sistema dinámico, como sus equilibrios y comportamiento caótico. También se estudiarán familias paramétricas de sistemas, como la logística y cuadrática, implementando algoritmos que computen sus diagramas de bifurcación y los conjuntos de tipo Maldelbrot de estas familias, cuando proceda. Un sistema dinámico modeliza matemáticamente un proceso que evoluciona con el tiempo. Se define como un par (X, f ) donde X es el conjunto de estados del sistema y f es la ley que permite pasar de un estado al siguiente. Dado x0 , la órbita de x0 representa cómo evoluciona el sistema cuando se empieza en x0 . Algunos ejemplos de sistemas dinámicos son: Población de una especie (xk , f ), siendo: xk = número de individuos de la especie en tiempo k. x0 = número de individuos en tiempo 0. x1 = f (x0 ) = número de individuos en tiempo 1. f = la ley de reproducción de los individuos, regla de pasar del tiempo n al tiempo n + 1. Orb(x0 ) = evolución del sistema si el dato inicial es x0 = {x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ), ...}. El clima, con X = R3 , dado unos valores iniciales (x0 , y0 , z0 ), x0 = temperatura, y0 = presión , z0 = humedad y f = f (x, y, z), f : R3 → R3 , siendo f la ley de evolución del clima. Se observa que, aunque esto sirve como ejemplo de qué procesos se pueda modelizar con un sistema dinámico discreto, las predicciones modernas del tiempo se realizan estudiando un sistema dinámico continuo. 1.

(10) Dado un dato inicial, que se corresponde con medir la temperatura, presión y humedad en cierto instante de tiempo, se quiere predecir el comportamiento de la órbita f k (x0 , y0 , z0 ) con k ∈ N, que dará el comportamiento del clima para tiempos posteriores. Otro concepto a tener en cuenta es el caos. El caos rompe las esperanzas deterministas, es imposible predecir con exactitud el comportamiento de las órbitas para estados avanzados. Esto se conoce como sensibilidad respecto a las condiciones iniciales. Esta sensibilidad implica que errores infinitesimales en los datos de medición (o sea, el dato inicial) provoca cambios muy grandes de las órbitas a largo plazo. Esta es la razón por la que las predicciones del tiempo no sirven para más de dos o tres días. Otra propiedad del caos se llama transitividad topológica. Esta propiedad implica que todos los estados del sistema están conectados entre sí; en el sentido de que por muy lejanos que estén dos estados, siempre puedo encontrar una órbita que pasa arbitrariamente cerca de los dos estados. Gráficamente se puede representar esta propiedad de la siguiente manera:. La tercera propiedad del caos es que los puntos periódicos de X son densos. Es decir, muy cerca de cualquier dato inicial hay una órbita periódica. Como, por las propiedades anteriores, también debe haber órbitas no periódicas cerca del punto, entonces vemos que las órbitas periódicas y no periódicas están por doquier. Esto cuadra con el concepto de caos.. 2.

(11) Capítulo 2. Desarrollo 2.1.. Nociones básicas. Definición 1 Se define un sistema dinámico como un par (X, f ) con f : X → X, X=espacio métrico. Se va a considerar X ⊆ R o X ⊆ R2 en este trabajo, que es por tanto un espacio métrico. También se considera que X = R (números reales), Intervalo [a, b), R2 = C (números complejos). Para el estudio del comportamiento de un sistema dinámico, se define la órbita de un punto x0 ∈ X, como Orb(x0 ) = { x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ), ..., f n (x0 ), ... }, que puede ser finita o infinita. Si es finita y tiene k elementos, significa que: { x0 , f (x0 ), ..., f k (x0 ) = x0 , f (k+1) (x0 ) = f (x0 ), ... }, esto es una órbita de periodo k, que está caracterizado por el hecho de que f k (x0 ) = x0 . Si k = 1, x0 se llama punto fijo y cumple que f (x0 ) = x0 . Además, un punto eventualmente fijo es un punto x0 tal que en su órbita hay algún punto fijo, es decir ∃ k ∈ N tal que f k (x0 ) es un punto fijo, con lo que f (f k (x0 )) = f k (x0 ). Un punto eventualmente fijo no tiene por qué ser punto fijo, pero en su órbita debe haber algún punto fijo, con lo que esta órbita es constante a partir de cierta iteración. Los puntos fijos a veces son atractivos, esto es un concepto de gran importancia para el estudio del comportamiento de un sistema dinámico, porque un punto fijo atractivo es un estado del sistema al que convergen otros estados. Definición 2 Se dice que x0 es un punto fijo atractivo si las órbitas de puntos cerca de x0 convergen a x0 ; es decir: si cojo x0 cerca de x0 , la órbita {f n (x0 ), n ∈ n→∞ N} = Orb(x0 ) cumple f n (x0 ) −−−→ x0 . Se denota F ix(f ) como el conjunto de puntos fijos de f . 3.

(12) 2.1. Nociones básicas Lo escrito arriba quiere decir que existe cierto radio δ > 0 tal que si x0 ∈ B(x0 , δ) entonces la órbita de x0 converge a la de x0 . Aquí δ > 0 es cierto radio que depende de x0 . Definición 3 Se dice que x0 es un punto fijo repulsivo si no es atractivo. Para ser más concretos, un punto fijo x0 se dice repulsivo si en toda bola B(x0 , δ) centrada en x0 , existe un x0 ∈ B(x0 , δ) tal que la órbita de x0 no converge a x0 . También se establece el criterio para saber si un punto fijo es atractivo o repulsivo: Teorema 4 [2] Sea (X, f ) un sistema dinámico con X ⊆ R un intervalo y f : X → X una función derivable. Entonces: Si: |f  (x0 )| > 1 entonces x0 es repulsivo Si: |f  (x0 )| < 1 entonces x0 es atractivo Si: |f  (x0 )| = 1 entonces x0 es indiferente. El carácter atractivo o repulsivo de los puntos indiferentes depende de la forma específica de la función.. 4.

(13) Desarrollo. 2.2.. Sistemas dinámicos unidimensionales. 2.2.1. La Familia Cuadrática La familia cuadrática es la familia de sistemas dinámicos (R, fc ), con fc (x) = x2 + c y c ∈ R es un parámetro. En este apartado se estudia el comportamiento de estos sistemas dinámicos en función de los valores de c ∈ R. Se va a estudiar el caso c = 34 como ejemplo inicial. Dada la función f (x) = 1 − 34 x2 = 1 − 0.75x2 , perteneciente a la familia cuadrática para c = 0.75. ¿Cuáles son sus puntos fijos? ¿Qué puntos x cumplen x = f (x)? Se resuelve la ecuación x = f (x). 3 x = 1 − x2 ; 4x = 4x − 3x2 ; 4  −4 ± (42 − 48) 2 ; 3x + 4x − 4 = 0; x = 6 Sus puntos fijos son el. 2 3. y el −2.. Para estudiar el tipo de punto fijo que son, se estudia las derivadas de la función en los puntos fijos como se ha explicado en el Teorema 4: La derivada de la función f (x) = 1 − 34 x2 es f  (x) = − 32 x. Su derivada en el punto 23 : f  ( 23 ) = −1. Por tanto, el punto 23 es un punto fijo indiferente (veremos más tarde con un análisis gráfico que es atractivo). Se realiza lo mismo para el punto −2: f  (−2) = 3, por lo que el punto −2 es un punto fijo repulsivo. A continuación, se define la función ag [2] para analizar gráficamente la función f (x), en un punto inicial, número de iteraciones y rango determinados, en nuestro caso, −1.99, 2000 y [−2, 2] respectivamente.. 5.

(14) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales Se observa en la siguiente gráfica como el punto. 2 3. es atractivo:. Tomamos x0 = 1, vemos que 1, f (1), f 2 (1), ... converge al 23 .. 6.

(15) Desarrollo Se observa en las gráficas que la cuenca de atracción del 23 es (−2, 2] \ {x ∈ [−2, 2] : para algún n ∈ N, f n (x) = −2}(siendo el 2 uno de esos puntos). El −2 no pertenece a esta cuenca de atracción porque f (−2) = −2. Gráficamente se observa: Para puntos cercanos a 2, (x0 = 1.99) también converge a 23 .. 7.

(16) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales Para puntos mayores a 2, (x0 = 2.1) se observa en la gráfica que se escapa hacia −∞.. Para concluir, f (x) = 1 − 34 x2 da un sistema dinámico con un equilibrio es atractor y su cuenca es casi todo el [−2, 2].. 2 3. que. 2.2.1.1. Diagrama de Feigenbaum En el diagrama de Feigenbaum tomamos una órbita (en este caso la del punto 0) y la pintamos para iteraciones muy grandes. Para representar el diagrama de Feigenbaum se implementa el método feigenc [1] que toma los parámetros de entrada: a: extremo izquierdo de la ventana del diagrama que se va a representar. En nuestro caso: −2. b: extremo derecho de la ventana del diagrama que se va a representar.En nuestro caso: 0.25. m: número de puntos de la órbita de 0 que no se van a representar.En nuestro caso: 300. n: número de puntos de la órbita de 0 que se van a representar.En nuestro caso: 100. r: número de parámetros c para los que se pinta la órbita del punto 0. En nuestro caso: 800. 8.

(17) Desarrollo. 9.

(18) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales Ahora se va a representar el diagrama de Feingenbaum para a = −1.9, b = −1.5, m = 200, n = 100 y r = 800 para observar con más precisión lo que ocurre en la familia cuadrática para valores del parámetro c entre −1.9 y 1.5.. Se puede observar, de derecha a izquierda, una primera parte correspondiente a la duplicación del periodo. Sin embargo, pasado el punto λ∞ ≈ −1.5436 la situación se complica, alternándose franjas con órbitas aparentemente densas en un subintervalo, con franjas en las que aparece un ciclo atractivo y se vuelve a producir fenómenos de duplicación de periodo y posteriormente se vuelve a entrar al caos.. 10.

(19) Desarrollo 2.2.1.2. Series Temporales Otra forma de representar las órbitas es a través de las series temporales. Se implementa el método sertemp [2] para representar la órbita de 0 para c = −1.78 para 50 iteraciones. En el eje X están las iteraciones y en el eje Y está el valor de la órbita en las iteraciones.. En el diagrama de Feigenbaum se observa que cuando c ∼ = −1.78 aparece un 3ciclo atractivo en la familia cuadrática, esto se comprueba con el procedimiento sertemp.. 11.

(20) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales. 2.2.2. La familia logística La familia logística es la familia de un sistema dinámico (X, fc ), con X ∈ [0, 1] y fc (x) = cx(1 − x). En este apartado se va a estudiar el comportamiento de estos sistemas dinámicos en función de los valores de c. Para calcular los 2-ciclos de un sistema dinámico (X, f ), hay que encontrar los puntos fijos de f 2 que no sean puntos fijos de f , ya que estos son precisamente los 2-ciclos de f . Ejemplo: Para c = 1, f1 (x) = x(1 − x), se quieren calcular los puntos fijos de f 2 , para ello: Primero se calculan los puntos fijos de f (el 0, en este caso, como se observa en la gráfica). Tenemos que f (x) = x(1 − x) = x − x2 , luego f 2 (x) = f (f (x)) = f (x)(1 − f (x)) = x(1−x)(1−x(1−x)) = −x4 +2x3 −2x2 +x. Para ver si f tiene 2-ciclos, se calculan los puntos fijos de f 2 , que son las soluciones de la ecuación −x4 + 2x3 − 2x2 + x = 0. Esa ecuación se puede resolver con el comando solve(f 2 (x) = x) de Maple, y se puede comprobar que no hay soluciones reales salvo los puntos fijos de f , luego para c = 1 no hay 2-ciclos. Se implementa el método graficas [2] para observar el comportamiento global del sistema dinámico. Este procedimiento da información sobre las cuencas de atracción de los ciclos atractivos (y de los puntos fijos) en caso de haberlos.. 12.

(21) Desarrollo En la imagen siguiente se ven representadas las gráficas de f, f 2 , f 3 , f 4 y f 5 para ver el comportamiento global del sistema dinámico.. En este caso no hay puntos fijos de f 2 , sus puntos fijos son los de f . Gráficamente vemos que el 0 es el único punto fijo de todas las iteraciones de f ; además es un punto fijo atractivo. Para c ≤ 1 el comportamiento de fc es similar al caso c = 1 ya estudiado. En particular: se calcula que no hay 2-ciclos y el 0 es el único un punto fijo.. 13.

(22) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales Para 1 < c < 3, hay 2 puntos fijos. Observamos que los puntos fijos de f son los cortes de su gráfica con la recta y = x. En la siguiente representación, para c = 1.55, vemos que todas las iteraciones de f tienen los mismos puntos fijos, ya que todas las gráficas intersectan a la recta y = x en los mismos puntos.. El 0 es punto fijo repulsivo y el 0.3 es punto fijo atractivo.. 14.

(23) Desarrollo Para 3 < c < 3.449 usamos el método graf icas obteniendo:. Aquí se observa un 2-ciclo formado por los puntos 0.44 y 0.8. También se ve que f 3 no tiene más puntos fijos que f , por lo que no hay 3-ciclos.. 15.

(24) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales Para c = 3.5, observamos que hay 2 puntos fijos y por otro lado hay un 4-ciclo atractivo.. Para el punto x0 = 0.5, se observa su órbita f (x0 ), f 2 (x0 ), f 3 (x0 ), f 4 (x0 ), un 4-ciclo atractivo.. 16.

(25) Desarrollo Para c = 3.56, el 4-ciclo atractivo de c = 3.5, ahora se convierte en un 4-ciclo repulsivo y se crea un 8-ciclo atractivo, que se puede ver en la figura siguiente.. 17.

(26) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales Si se incrementa c ligeramente (c = 3.565) se genera un 16-ciclo atractivo, siendo el 8-ciclo atractivo anterior un 8-ciclo repulsivo ahora. Esta característica se cumple hasta c ≈ 3.57 (λ∞ ). Se denota λ∞ al valor de c para el cual la familia entra en un comportamiento caótico.. 18.

(27) Desarrollo Para λ∞ ∼ = 3.57 hay un conjunto de cantor atractivo. El conjunto de Cantor es la iteracion infinita de quitar los intervalos centrales de un intervalo.. El conjunto de Cantor se aprecia como lo que está coloreado en rojo en la recta y = x.. 19.

(28) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales Para c = 3.828, aparece un 3-ciclo atractivo. Esto es sorprendente porque hemos pasado de un comportamiento caótico (para valores de c más pequeños), a la existencia de un 3-ciclo atractivo para c = 3.828.. 20.

(29) Desarrollo Para c = 4, las órbitas de los puntos no convergen a nada. Las órbitas son densas.. Cuando c > 4 la función fc (x) = cx(1 − x) no va del intervalo [0, 1] en sí mismo, porque se sale del [0, 1], luego no tiene sentido como sistema dinámico en [0, 1].. 21.

(30) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales 2.2.2.1. Diagrama de Feigenbaum Al igual que se ha estudiado en la familia cuadrática, a continuación se estudia el diagrama de Feigenbaum para la familia logística. En el digrama de Feigenbaum tomamos una órbita (en este caso la del punto 12 ) y la pintamos para iteraciones muy grandes. Para representar el diagrama de Feigenbaum se implementa el método feigen [1] que dados los parámetros de entrada: a: extremo izquierdo de la ventana del diagrama que se va a representar. En nuestro caso: 0. b: extremo derecho de la ventana del diagrama que se va a representar.En nuestro caso: 4. m: número de puntos de la órbita de nuestro caso: 300. n: número de puntos de la órbita de caso: 100.. 1 2. 1 2. que no se van a representar.En. que se van a representar.En nuestro. r: número de parámetros c para los que se pinta la órbita del punto 12 .En nuestro caso: 800.. Para c = 2, el punto (1) es el punto fijo atractivo para c = 2. Para c = 3.2 hay dos puntos fijos((2),(3)) en el diagrama de Feigenbaum, 2-ciclo atractivo. A partir de 3.57 aparece la zona oscura, zona donde empieza el caos, la órbita 22.

(31) Desarrollo deja de converger a nada concreto, a ningún k-ciclo. Para c = 3.828 hay un claro en la zona oscura donde se encuentra un 3-ciclo atractivo, que se bifurca en un 6-ciclo, luego en un 12-ciclo, y así sucesivamente basta entrar en el caos de nuevo. 2.2.2.2. Series Temporales También se va a hacer un estudio de las series temporales para la familia logística. Se implementa el método sertemp [2] para representar la órbita de 0.75 y 0.7500000001 para c = 4. En el eje X están las iteraciones y en el eje Y está el valor de la órbita en las iteraciones.. Como 0.75 es un punto fijo mantiene el valor de la órbita.. 23.

(32) 2.2. Sistemas dinámicos unidimensionales. El punto 0.7500000001 se puede ver que tiene una órbita densa. Se observa en estas gráficas que existe una sensibilidad a las condiciones iniciales, un pequeño cambio en un dato inicial produce un cambio muy grande en las órbitas para iteraciones altas. En concreto, la órbita del punto 0.7500000001 se aleja mucho de la órbita del 0.75 a partir de la iteración 30.. 24.

(33) Desarrollo. 2.3.. Sistemas dinámicos caóticos. Definición 5 Un sistema dinámico (X, f ) se llama caótico si se dan una serie de características: 1. En un comportamiento caótico, un pequeño cambio en un dato inicial produce un cambio muy grande en las órbitas para muchas iteraciones. 2. En X hay infinitos puntos periódicos. Los puntos periódicos de (X, f ) son densos. 3. Es topológicamente transitivo. Si f posee una órbita densa, entonces (X, f ) es topológicamente transitivo. En efecto, supongamos que la órbita de cierto punto x0 es densa. Eso quiere decir que en toda bola abierta de X hay un punto de la órbita de x0 . Entonces, dados U , V ⊆ X dos bolas abiertas: existe k1 tal que f k1 (x0 ) ∈ U , y existe k2 tal que f k2 (x0 ) ∈ V . Podemos suponer que k2 es mayor que k1 , luego k2 = k1 + k, cierto k ≥ 1. Así, f k2 (x0 ) = f k (f k1 (x0 )) ∈ V , con f k1 (x0 ) ∈ U . Esto es precisamente la condición de transitividad topológica. A continuación, se va a estudiar un ejemplo de un sistema dinámico caótico relevante por su simplicidad: la función Shift.. 2.3.1. Función Shift Empezamos recordando la expresión en binario de un número x ∈ [0, 1]. Expresión binaria de x ∈ [0, 1]: x = a1 2−1 + a2 2−2 + a3 2−3 + ... x = a1 21 + a2 14 + a3 1 + ... x = 0.a1 a2 a3 ... 0.0a2 a3 a4 ... ⇔ x = a2 2−1 + a3 2−3 + ... 2x − 1 = 1.a2 a3 a4 ... − 1 = 0.a2 a3 a4 ... Se define la función Shift [1] S : [0, 1] → [0, 1] como  S(x) =. 2x si 0  x < 12 2x − 1 si 12  x  1. Se va a estudiar la forma de la función Shift en binario. Si 0  x < 0.a2 a3 ... Si. 1 2. 1 2,. entonces en binario tenemos x = 0.0a2 a3 ..., luego S(x) = 2x =.  x  1, entonces en binario x = 0.1a2 a3 ..., luego S(x) = 2x − 1 = 0.a2 a3 .... De forma aclaratoria, el modo de calcular S(x) si x está expresado en binario es correr la coma y eliminar el primer término. En binario entendemos por correr la coma a multiplicar o dividir por 2, así S(0.a1 a2 a3 a4 ...) = 0.a2 a3 a4 .... 25.

(34) 2.3. Sistemas dinámicos caóticos Por ejemplo, el punto x = 0.101001010010100 ... es un punto de periodo 5, puesto que Shift a la 5 de x es x, S 5 (x) = x. Esto es así porque la expresión en binario de x es periódica de periodo 5. Los números periódicos y pre periódicos son los números racionales. Veamos por qué. Todo número racional x ∈ [0, 1] ∩ Q se expresa en binario como x = 0.b1 ...bk a1 ...al a1 ...al ..., para ciertos k, l ∈ N. Es decir, la expresión en binario de un número racional X consiste en k términos cualesquiera (cierto k ∈ N) y a partir del término k es periódica de periodo l. El preperiodo de x será k y el periodo será l, ya que S k (x) = 0.a1 ...al a1 ...al ... es un punto periódico. ¿Qué puntos serán periódicos, es decir tendrán k = 0? Los puntos periódicos son los p q ∈ Q con mcd(p, q) = 1, q impar. esa condición de q impar es equivalente a que p q = 0.a1 ...ak a1 ...ak ... tenga expresión binaria periódica. Esos puntos son densos en R y en [0, 1]. El sistema dinámico ([0, 1], S) es caótico, ya que para cualesquiera U y V abiertos de [0, 1] existe una órbita periódica que visita ambos. Esta demostración se encuentra en el Teorema 4.2.2 del libro Sistemas dinámicos y caos [1].. 2.3.2. Función Tienda Se define la función Tienda [1] T : [0, 1] → [0, 1] como  T (x) =. 2x si 0  x < 12 2x − 2 si 12  x  1. La función Tienda es una función continua. Además, el sistema dinámico ([0, 1], T ) es caótico, ya que para cualesquiera U y V abiertos de [0, 1] existe una órbita periódica que visita ambos. Esta demostración se encuentra en el Teorema 4.3.3 del libro Sistemas dinámicos discretos y caos [1]. La función Tienda en binario, tiene la forma: 1 T (0.0a2 a3 a4 ) = 0.a2 a3 a4 ... con 0.0a2 a3 a4 ∈ [0, ] 2 1 T (0.1a2 a3 a4 ) = 0.a2 a3 a4 ... con 0.1a2 a3 a4 ∈ [ , 1] 2 Para los puntos en [ 12 , 1], consiste en correr la coma y cambiar 1 s por 0 s y 0 s por 1 s. Para los puntos en [0, 12 ], corremos la coma en binario. T. T. Ejemplo: 0.10010110 − → 0.0010110 − → 0.1101001. 26.

(35) Desarrollo. 2.3.3. Aplicaciones topológicamente conjugadas Ahora vamos a estudiar cuando dos sistemas dinámicos (X, f ) y (Y, g) son equivalentes, en el sentido de que representan el mismo comportamiento. Esto conduce a la definición siguiente: Definición 6 Dos funciones f : X → X, g : Y → Y son aplicaciones topológicamente conjugadas si existe h : Y → X una función invertible, continua y con inversa tal que f ◦ h = h ◦ g ⇔ h−1 ◦ f ◦ h = g ↔ f Rg. Ser topológicamente conjugadas es una relación de equivalencia. Esto quiere decir, que es simétrica, reflexiva y transitiva. Simétrica: si f Rg ⇒ gRf . Reflexiva: f se relaciona con f (f Rf ), con h = identidad. Transitiva: f Rg, gRϕ ⇒ f Rϕ. Ser topológicamente conjugadas es una relación transitiva, en efecto: f Rg ⇒ f = h1 ◦ g ◦ h−1 1 , para cierta h1 .. gRϕ ⇒ g = h2 ◦ ϕ ◦ h−1 2 , para cierta h2 . Veamos que f se relaciona con ϕ:. f = h1 ◦ g ◦ h1 −1 = h1 ◦ (h2 ◦ ϕ ◦ h2 −1) ◦ h1 −1 = (h1 ◦ h2 ) ◦ ϕ ◦ (h1 ◦ h2 )−1 = −1 −1 (h1 ◦ h2 ) ◦ ϕ ◦ (h−1 2 ◦ h1 ) → f = h3 ◦ ϕ ◦ h3 , siendo h3 = h1 ◦ h2 . Gráficamente, estas son las relaciones de 3 sistemas dinámicos topológicamente conjugados:. 27.

(36) 2.3. Sistemas dinámicos caóticos Sean (X, f ), (Y, g) dos sistemas dinámicos tales que f y g son topológicamente conjugadas vía una función h : Y → X. h es un cambio de coordenadas, es biyectiva, continua y h−1 es continua. Podemos interpretar h como un diccionario entre los sistemas dinámicos (X, f ), (Y, g). La función tienda T y la función f (x) = 4x(1 − x) (ambas definidas en [0, 1]) son topológicamente conjugadas. Osea f = h◦T ◦h−1 para h : [0, 1] → [0, 1] biyectiva y continua. en este caso concreto, la función h tiene que ser h(t) = sen2 (( Π2 )x). Es la única h que relaciona f (x) = 4x(1 − x) con la función Tienda. Al ser funciones topológicamente conjugadas, el comportamiento de ([0, 1], 4x(1−x)) y de ([0, 1], T ) es el mismo, si hay caos en uno, lo hay en otro; si hay ciclo atractivo en uno, lo hay en otro. Concluimos que son sistemas dinámicos equivalentes. Por lo que f (x) = 4x(1 − x) es caótico.. 28.

(37) Desarrollo. 2.4.. Sistemas dinámicos planos o bidimensionales. Los sistemas dinámicos planos son sistemas dinámicos (X, f ) siendo f : X → X una aplicación y X ⊆ R2 un subconjunto del plano R2 .. 2.4.1. Sistemas dinámicos planos lineales Se va a clasificar los distintos comportamientos que puede tener un sistema dinámico plano (R2 , f ), con f lineal. Para ello, vamos a encontrar un cambio de coordenadas P adecuada en el cual la función f tenga una expresión sencilla. P es un cambio de coordenadas, es una transformación. P −1 Y = X ←− Y X −→ Y = P Y Si encuentro un cambio de coordenadas (P ), tal que la aplicación en las coordenadas Y = P tenga una forma sencilla entonces puedo estudiar la dinámica de A estudiando la dinámica de P AP −1 = A vista en coordenadas Y = P X. Esto se realiza para estudiar sistemas dinámicos planos con f una aplicación lineal. Denomino D como P AP −1 . DY = P AP −1 Y = P AX, es decir:. Esto nos indica que (R2 , A) y (R2 , D) son sistemas dinámicos equivalentes y P lleva órbitas en órbitas. ¿Puedo encontrar P = cambio lineal de coordenadas tal que D = P AP −1 sea sencilla? (encontrar P que sea diagonal, o casi). 1) Si puedo conseguir P AP −1 = D sea diagonal, la matriz A se llama diagonizable, esta es una condición que tiene que ver con las dimensiones geométricas y algebraicas de los autovalores de A. 2) Si no puedo conseguir P AP −1 sea diagonal, puedo conseguir que sea del tipo:     λ 1 α −β o 0 λ β α 29.

(38) 2.4. Sistemas dinámicos planos o bidimensionales La matriz J = P AP −1 que representa a la matriz A en coordenadas distintas y que es más sencilla que A se llama la forma de Jordan de A. Dependiendo de como sea A, J será de una forma u otra, la dinámica cambiará. Posibles formas de Jordan de matrices 2 × 2:       λ 0 λ 0 α −β J = ,J = ,J = . β α 0 β 0 1 En función de las matrices, las órbitas pueden converger a cero, a ∞, etc.    1 − 13 1 1 −2 6 . Example 7 A = 6 = 1 2 1 4 6 3 1  1   −x 6 3   = (x− 1 )(x− 1 ). Calculamos el polinomio característico: det(A−xId) =  1 2 2 3  6 3 −x λ2 = 13 , estos son los autovalores de A. Como λ1 = λ2 ⇒ A es 1  0 diagonizable; J = 2 1 ⇒ ∃ P cambio de coordenadas tal que P −1 AP = J, 0 3 siendo u = autovector de λ1 = 12 , v = autovector de λ2 = 13 .     x 0 1 = . (A − 2 Id) y 0     x 0 1 (A − 3 Id) = . y 0   a 2 ∈ R2 , Órbitas de los puntos en (R , J): dado un punto b   1    1   a 0 0 a a a k k = 2 1 = 2 = 2bk cuando k tiende a ∞ eso converge a J 0 31k 0 3 b b b 3k   0 . 0 Raíces: λ1 =. 1 2,.   0 Por tanto es un equilibrio atractivo en (R2 , J) con cuenca de atracción R2 . 0     0 0 −1 Por tanto P = es un equilibrio atractivo en (R2 , A). 0 0. 30.

(39) Desarrollo. 2.4.2. Atractor de Henón Dada la función h(x, y) = [1 + y − 1.4x2 , 0.3x], se estudian sus puntos fijos:. Primera y segunda componente de h:. Se calculan los puntos fijos:. Vemos que hay dos puntos fijos: (x = 0.6313544771, y = 0.1894063431) y el (x = −1.131354477, y = −0.3394063431). Comprobamos que, efectivamente, son puntos fijos.. A continuación, se estudia si los puntos fijos son atractivos o repulsivos.. Hay dos autovalores −1.923738857366578 y 0.15594632236657757. Como uno de ellos es mayor que 1 en módulo (−1.923738857366578), este punto fijo es repulsivo, en concreto es un punto de silla (ya que el otro autovalor es menor que uno en módulo). Por ser punto de silla es atractivo en una dirección y repulsivo en el resto.. 31.

(40) 2.4. Sistemas dinámicos planos o bidimensionales Se comprueba que es repulsivo gráficamente. Se coge un punto muy cercano al punto fijo (el punto que da Maple ya que es un punto cercano, ya que es una aproximación de 9 decimales, y el punto fijo real tiene más.). Con solamente 20 iteraciones, la órbita permanece muy cercano al dato inicial, lo cual es lógico porque se ha tomado un dato inicial muy cercano al punto fijo.. 32.

(41) Desarrollo. Al aumentar el número de iteraciones, se oberva en la gráfica como la función converge a un conjunto de una forma determinada, ese conjunto formado por los puntos azules es el atractor de Henón. De una forma más clara se observa el atractor de Henón simplemente representando los puntos:. 33.

(42) 2.4. Sistemas dinámicos planos o bidimensionales. 2.4.3. Aplicación del panadero Sea f : C → C y C = [0.1] × [0.1] [1] dado por  f (x, y) =. (2x, 12 y) si 0  x < 12 1 1 (2x − 1, 2 y + 2 ) si 12  x  1. El sistema dinámico (C, f ) es caótico. Para ello, necesitaríamos valorar que dados U, V ⊆ C abiertos cualesquiera, puedo encontrar una órbita periódica que visita ambos. La demostración se puede consultar en el Teorema 5.4.1 del libro Sistemas dinámicos discretos y caos [1]. Vamos a ver la expresión de f en binario, lo cual haciendo su estudio: f (x, y) = f (0.a1 a2 ..., 0.b1 b2 ...) = (0.a2 a3 ..., 0.a1 b1 b2 ...). Tomo: (x, y) ↔ (0.a1 a2 a3 ..., 0.b1 b2 b3 ...) → (0.a2 a3 ..., 0.a1 b1 b2 ...) f. → ...b2 b1 a1 · a2 a3 ... ...b3 b2 b1 · a1 a2 a3 ... − Con la forma de interpretar (0.a1 a2 ..., 0.b1 b2 ...) como un solo array ...b2 b1 · a1 a2 ...., la aplicación f se interpreta como correr la coma. Con esta interpretación de f , se observa una clara analogía con la función Shift, con lo que no debemos sorprendernos que el sistema dinámico de la aplicación del panadero también sea caótica.. 2.4.4. Sistemas dinámicos complejos Vamos a estudiar un caso particular de sistema dinámico dado por la familia cuadrática compleja. Se considera la familia de funciones fc : C → C, con fc (z) = z 2 + c, con z ∈ C y siendo c ∈ C un parámetro. Como C se puede identificar con R2 mediante la identificación z = x + iy ∈ C con (x, y) ∈ R2 , vamos a poder interpretar fc : R2 → R2 como una aplicación definida en R2 . fc (z) = z 2 + c, siendo c = c1 + ic2 ∈ C y z = x + iy. Es decir f (x + iy) = (x + iy)2 + c1 + ic2 → f (x + iy) = (x + iy)(x + iy) + c1 + ic2 = x2 − y 2 + 2ixy + c1 + ic2 = x2 − y 2 + c1 + (2xy + c2 )i. Es decir, fc (x, y) = (x2 − y 2 + c1 , 2xy + c2 ), con c = c1 + ic2 . Igual que hicimos con la familia cuadrática real, se puede hacer un estudio del comportamiento del sistema dinámico (C, fc ) = (R2 , fc ) según los valores del parámetro c ∈ C. Aquí cobra importancia el conjunto de Mandelbrot, que nos representa gráficamente los valores de c para los cuales el sistema dinámico (C, fc ) presenta sus distintos comportamientos (existencia de ciclos atractivos, caos, etc). Observación: Si escojo un c concreto, por ejemplo c = 0 → f0 (z) = z 2 , f0 (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy), el conjunto de Julia para c = 0 es el conjunto de z0 ∈ C datos iniciales tales que Orb(z0 ) = {f0 (z), f02 (z), ..., f0n (z), ...} es un conjunto acotado del plano C.. 34.

(43) Desarrollo Se define la función julia [4] para representar conjuntos de Julia.. Para el caso c = 0, el conjunto de Julia es una bola de radio 1:. 35.

(44) 2.4. Sistemas dinámicos planos o bidimensionales Para c = −1.3 el conjunto de Julia es de la forma:. Observación: El conjunto de Mandelbrot divide el espacio paramétrico de los distintos c ∈ C según el comportamiento del sistema dinámico (C, z 2 + c). Una vez fijo un valor concreto de c, me planteo qué valores iniciales tienen una órbita acotada, ese valor concreto de c es el conjunto de Julia. Lema 8 Para cada valor de c, hay un conjunto de Julia distinto. Lema 9 Si la órbita de un punto es acotada, está en conjunto de Julia. Para puntos de fuera del conjunto de Julia, sus órbitas divergen. Se define la función mandelbrot [4] para representar el conjunto de Mandelbrot.. 36.

(45) Desarrollo. En la siguientes gráficas [5] se representa para el valor c = −0.18 + 0.77i el conjunto de Mandelbrot y el conjunto de Jula:. Se observa un 3-ciclo atractivo.. 37.

(46)

(47) Capítulo 3. Resultados y conclusiones En este trabajo se ha realizado un estudio sobre los sistemas dinámicos, en concreto, sobre los sistemas dinámicos unidimensionales, planos y caóticos. En cada uno de ellos se ha analizado sus características y comportamientos usando tanto técnicas matemáticas como técnicas de computación. Primero se ha empezado por los sistemas dinámicos unidimensionales, analizando la familia cuadrática y logística para los distintos valores del parámetro c, y viendo cual puede ser el estado final de un sistema (ciclo, punto fijo, etc.) y como predecirlo. A continuación, se siguió con el estudio de los sistemas caóticos, viendo como aparece en sistemas sencillos como son el caso de la función Shift y Tienda. Finalmente, se analizó los sistemas dinámicos planos con ejemplos como el atractor de henón y la aplicación del panadero, seguido por los sistemas dinámicos complejos, proporcionando así una visión global sobre estos sistemas. Otro de los aspectos que se ha visto en este trabajo es la aplicación en el mundo real que tiene esta rama de las matemáticas. Como se ha mencionado al inicio del estudio, los sistemas dinámicos son utilizados para predecir el tiempo dados unos valores de temperatura, presión y humedad en cierto instante de tiempo y además se utilizan para el estudio de población de una especie. Personalmente, este trabajo me ha hecho enfrentarme a nuevos retos, como es el aprender un concepto completamente nuevo para mí como son los sistemas dinámicos. Es por esto que creo que ha sido aún más beneficioso para mi, puesto que el empezar prácticamente desde cero en esta rama de las matemáticas, ha exigido de mi un mayor esfuerzo en comprender nuevos conceptos que no he visto en la carrera.. 39.

(48)

(49) Capítulo 4. Bibliografia. 41.

(50)

(51) Bibliografía [1] Antonio Giraldo y M. Asunción Sastre, Sistemas dinámicos discretos y caos: teoría, ejemplos y algoritmos, Fundación General de la U.P.M, Madrid, 2002. [2] Apuntes de la asignatura: Sistemas dinámicos fractales y caos, enlace: https://drive.google.com/drive/folders/1Y1_ QTda4mPZmzDLLPMxTWg1OVx6tkSQU?usp=sharing. [3] Luis M. Molina Apuntes de LATEX 2009, enlace: http://metodos.fam. cie.uva.es/~latex/apuntes/apuntes3.pdf [4] Fractales, conjunto de Julia y Mandelbrot 2003, enlace: http://cb.mty. itesm.mx/ma3002/materiales/ma2003-fractales.html. [5] Javascript Julia Set Generator, enlace: https://www.marksmath.org/ visualization/julia_sets/.. 43.

(52) Este documento esta firmado por Firmante Fecha/Hora Emisor del Certificado Numero de Serie Metodo. CN=tfgm.fi.upm.es, OU=CCFI, O=Facultad de Informatica - UPM, C=ES Mon Jun 29 18:35:20 CEST 2020 EMAILADDRESS=camanager@fi.upm.es, CN=CA Facultad de Informatica, O=Facultad de Informatica - UPM, C=ES 630 urn:adobe.com:Adobe.PPKLite:adbe.pkcs7.sha1 (Adobe Signature).

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Referencias

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