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(1)

Solución a Ejercicios de derivadas

1.- 3/25

2.- lim ( ) 1 lim ( ) 1 2

2

 

 _

 _

 f x y x f x

x

.

3.- a) 1 o 2; b) 1

4.- b = 5; a = 2

5.-senx

2

6.- a) y (2x 5) x 5x

2 3

´  2  ; b)

3 2

2 5 3

) 2 10 ( 2 ´

x x

x y

  

7.- a) Nunca; b) 1/5

8.- a)

4 3

3 ) 4 3 ln( 2

1

  

x x x

x ; b)

1 2 ) 1 ln( 2

  

x x

x ; c)

) 1 (

) 1 ln( ) 1 ( 3 2

2 4

2 2

2



 



x x

x

9.- a) y´6x·23x21ln2; b) y´2xex23; c) y´2x(1x2)e2x1; d) ₂ ) 2 (

) 1 ( ´

  

x x e y

x

10.- 4xsenx2cosx2; 4x(x2 1)cos(x2 1)2)

11.- dR/dt =  (1 + ( Atp + B) )–1.  ( Atp + B)–1.pAtp–1

12.- y x1

13.- 2

4 1 _ 

 x

y

14.- y = x + 2 e y = x 2

15.- 1,11,05

16.- a) 1,11/3 = 1’03228  1’03333=1+1/3*0’1 b) 37 6'082766’05=6+1/2*1

17.- 0,02

18.- (c) 22xn(L2)n

19.- _n

n n

x n x

f ( ) ( 1) ·( 1)!

1

) _  



20.- b) Continua pero no derivable

(2)

22.- b) Sólo si a = 2 y b = 4

23.- c) Ninguna de las anteriores.

24.- c) 1 y 21/4

25.- b) 8 5 8 1    x y

26.- a) 2x·2x23ln2; b) (22x)·32xx2ln3; c) ex3; d) 10e5xe) 4x4)e2x1

27.- a) ( ₂ 1)

x x

ex 

; b) _x

e x

 1

; c) ₂ ) 1 2 ( ) 3 6 (   x e x x

; d) ₂ 2 ) 1 ( ) 1 ( x e x x x   

; e) e x x

2 1

; f) /2 2 1 x

e

28.- a) f´(x)4



3x5 4x2 7



3·(15x4 8x); b) ₂ ₂ 3 4 ) 4 ( ) 2 8 ( 2 ) ´( x x x x x x f      ;

c) ´( ) 6₄ 12₅ 20₆

x x x x

f    ; d) ₂ ₂

) 5 3 ( 12 10 ´ x x x y  

 ; e) ₂ ₆

2 ) 1 ( 3 27 ´     x x y

29.- a) e

x x x log 2 4 1 8 2  



; b)

5 35 21 3 2   x x

; c) e

xlog

1

; d) e

x x x log 1 1 · 2 1       _ 

30.- a) xecosx



2xsen x



; b) 2ex·sen ex·cosex; c) 6x2·sen x3·cosx3; d) 2x3sen(x2);

e) x x x x 2 sen cos sen 

; 31.- a) 2 5 1 ´ x y  ; b)

3 6 ´

x y ; c)

4 6 ´

x y  ; d)

2 2 ) 2 ( 2 2 ´ x x x y  

 ; e)

2 2 ) 7 2 ( ) 7 4 ( 5 ´ x x x y     32.- a) 5 4 3 2 3 ´

2  

 

x x

x

y ; b)

x x x y 4 2 2 ´ 4 3  

 ; c) y 1 5x

2 15

´  ; d)

x x x y    2 14 3 6 ´ 33.- a) 2 4 1 2 ´ x y 

 ; b)

2 ) 2 ( 1 1 ´ x y  

 ; c)

2 2 ) ( 1 2 ´ x x y    d) 2 ) ( 1 ´ x x e e y  

 ; e)

2 ) 2 3 ( 1 3 ´    x

y ; f)

4 1 2 ´´ x x y   34.- a) ) 1 ( cos 2

´ ₂ ₂

 

x x

y ; b) ₂ ₂

) 1 ( cos ) 1 ( 2 ´    x x

y ; c)

) 1 ( cos 2 ´ ₂   x y

(3)

35.- a) 3 2 1 ´ x y  ; b)

x x x y 3 2 2 3 2 ´ 2 _ 

 ; c)

3 2 3 ´ 3 2     x x x x

y ; e)

36.- a) y´2x·2x23ln2; b) y´(22x)·32xx2ln3; c) y´ex3; d) y´10e5x

e) y´2e2x1(2x1)·2e2x1 (4x4)e2x1

37.- a) ´ ( ₂ 1)

x x e y

x 

 ; b) _x

e x

y´1 ; c) ₂ ) 1 2 ( ) 3 6 ( ´    x e x y x

; d) ₂

2 ) 1 ( ) 1 ( ´ x e x x y x    

e) e x

x y

2 1

´ ; f) /2

2 1 ´ ex y

38.- a) e

x x x y log 3 3 2 ´ ₂  

 ; b)

4 3 21 ´   x

y ; c) e

x

y´ 1log ; d) e x

y´ 2log ; e) e x

y´ 2log ;

f)

x e x

y´ 2log(5 )log ; g) e x x

y 2 log

1 2 2 ´       _ 

 ; h)





e

x x x x x y log log 2 )· 1 2 log( ) log( 1 2 2 ´ 2 2

2 _ _

  39.- a) 3 2 4 ´ 2 _  x x

y ; b)

3 4 ´ ₂   x x

y ; c) Idem; d)

3 2 8 ´ ₂   x x

y ; e) y´=

3 2 ) 3 2 ln( 8 2 2   x x x 40.- a) x y 2 1 ´ ; b)

x x y 3 ln 2 1

´ ; c)

x y

2 1 ´ ; d)

x x y 2 6 1 ´    41.- a) x y´ 2; b)

x y

3 2 ´ ; c)

3 ln 2 ´ x y

42.- a) y´3cosx5senx; b) y´sen3x3xcos3x; c) y´os2x;

d) y´3sen3x·senxcos3x·cosx

43.- a) y´2xcos4x4x2sen4x; b) y´6x2 5cos5x;

c) y´2sen(3x1)·3cos(3x1); d) ´ 2 2 ₂ cos2

x

x x

xsen

y 

44.- a)

x sen

x y´ cos₂ ; b)

x senx

y ₂

cos

´ ; c)

x sen y´ 1₂

45.- a) y´2e2xsen3xe2x·3cos3x; b) y´exsenex; c) y´senxecosx

46.- a) ´ 1cos(lnx)

x

y ; b) ´ 1sen(lnx)

x

y ; c)

x sen x

y´ 1 1

2

 ; d)

(4)

DERIVABILIDAD

1.- –26

4 1 

5

6 3

2.- (1, –2) tg: y= x – 3 3.- -30 m/s.

4.- 1. f(2)= 6

2

10 ) ( lim _ 

 f x

x

y 6 2 2 6

2

10 ·

10 ) (

lim   

 f x e

x

2. TVM[0,2]=0 TVM[0,4]=1’6·106

3. 7’4·106

5.- x= –2 pq f’+(-2)= 1 y f’–(-2)= –1

6.- Ellas solas son continuas. En x=0 disc de salto vertical, por tanto no tiene derivada. En x= π/2

continua pero no derivable. En el resto la derivada es:

     

 

  

 



2 cos

2 0

2

0

) ( '

  

x si x

x si

x si x sen

x f

7.- a= 1

8.- Solo si b=0; a es independiente.

9.- En la primera, no hay valores de a y b que lo hagan, si a=2 y b =0 es continua En la segunda, a= –1 y b=0

10.- –1

11.- 1.

t t2

1000 5000

2. 2000t

3. 20000

12.- En x= –1 y x= 1

13.- Con a= –1 y b= 4, continua pero no es derivable en x= 0, sí en x= 2. 14.- b= 0 y b= –2/9

15.- a) y= -2ax+a2_{+1 Dada la función f(x) = 1 – x}2_{, se pide:}

b) A= (0, a2_{+1) B=((a}2_{+1)/(2a), 0)}

c)

2 2

16.- a)

a a

x y ₂  2

(5)

17.- a) a·b= 1 b) 1/3

18.- (0,0), _

  



 _

2 3 ,

3 , _

  

  

2 3 , 3

19.- a) Continua en R, pero no derivable en x=2 b) y= –4x–1

20.-a) 16 b) 8

21.- Continua en R, pero no derivable en x= 3/2 22.- A= –3, B= –5, C= 3, D= 4

EJERCICIOS DERIVADAS

1.- 13

2.-

72 23 3

2  

 x

y

3.- a) f (x) es creciente en (-∞, -2) U (-1, +∞); es decreciente en (-2, -1). Tiene un máximo en el punto (-2, -3) y un mínimo en (-1, -4).

b)

 

, . T ieneunpuntode

2 3 en cóncava es

; 2

3 , en convexa es



  



 __ 

  

 __ 

x

f .

2 7 , 2

3 en

inflexión 

  



 

4.- a)

3 4h



b) – 4/3

5.- y= 10x+9 y y= 10x – 7.

6.- f (x) es creciente en (-∞, 0) U (2, +∞); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0). f (x) es convexa en (-∞, 1); es cóncava en (1, +∞). Tiene un punto de inflexión en (1, 2).

7.- Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de B (45) = 6 050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.

8.- a)

) 2 ( 2

3  

h

b) –3/4

9.-

4 9 8

7  

 x

y

10.- f (x) es creciente en (–∞, 0) U (2, +∞); es decreciente en (0, 1) U (1, 2). Tiene un máximo en (0, –2) y un mínimo en (2, 2).

(6)

12.- f (x) es decreciente en (–∞, –2) U (0, 3); es creciente en (–2, 0) U (3, +∞). Tiene

 

0,1. en máximo un

Tiene . 4 17 , 3 en otro y 9

7 , 2 en mínimo

un 

  

   

  



_ 

f (x) es decreciente en (–∞; –1,12) U (1,79; +∞); es convexa en (–1,12; 1,79). Tiene dos puntos de inflexión: (–1,12; 0,03) y (1,79, –1,99)

13.- Se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 24+8=32 árboles, que producirán 15360 frutos. 14.- – 4

15.-

3 2 3 1

  x y

16.- f (x) es creciente en (-∞, 2) U (4, +∞); es decreciente en (2, 4). Tiene un máximo en (4, 1).

17.- lado de la base debe medir x = 20 dm y la altura, y = 10 dm.

Deriva:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

DERIVADAS

1.- 3 2 1 ) ( '   x x f 2.- No. 3.-            0 2 3 0 0 3 2 ) ( ' x si x si x si x f . 4.- a)



₂



2 2 1 4 '    x x e e

y b) y'sen2xcos2x.

5.- a) ₃ 3 5 · 3 10 '   x

y b)

4 9 2 ' x x y   6.- a) 1 2 2 '   x

y b) _

       2 1 ' 2 2 x tg x y . 7.- a) 2 2 1 '   x

y b) ₂

1 arctan 2 ' x x y   .

8.- a)

_

_

3 ln 2 7 7 '   x

y b)

x sen x y 6 6 ' 2   .

9.- a)





1 3 cos 1 3 90

' ₄ ₂

2 2    x x xsen y b) x x x y          2 2 1 1 ' 10.- a) 2 2 2 tan · cos ' x x x

y  b)

12 3 2 2 · 4 ' ₂ 3     x x x y . 11.- a)             3 si 3 2 3 0 si 0 0 si ) ( ' x x x x e x f x

En x=3 disc. de salto; no derivable en 0 y 3

b)               2 si 8 2 2 1 -si 2 1 si 2 2 ) ( ' x x x x x x

f En x=2 disc. de salto; no derivable en –1 y 2

12.-

a) 2x2yy'0 b) 2x2yy'46y'0 c) 0 9

' 2

4 

yy x

d) 0

25 ' 2 9

2x_ yy _

e) 3x23y2y'2y2xy'0 f) 0 7 ' ) 3 ( 4

1_  _

 y y

x

13.-

a) _

                    1 ' tgx x x senx Ln x senx y x

b) y'xx



xLnxx1



c)

 



  



 _ _

(ln ) · 1 1

' x Lnx Ln Lnx x y x

(14)

15.-

a) m= 2 y n= –1. b) Nunca

16.- k= 1.

17.- Sí.

18.- a = 2 y b = –7

19.- f'(x)2ne2x.

20.- a=2 y b=2 ; no es derivable en x=0.

21.- a=0 y b=2. x = 2/3

22.- y = –2x , y = –2x+8.

23.- x=1.

24.- y= x+0’75. x = 1

25.- a= –8 b=16 c= –8.

26.- a)  b)  c) ? d) ? e) 

27.- a) 0 b) 1 c)

4 3

28.- a) 0 b)  c)

e

 1

1

29.- a) e2 b) e

30.- 2x2x2 dm3.

31.- 5–2√3 desde el vértice

32.- a= 1

33.- No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en x = 1

34.- c= 3

3 

35.- Si la función tuviera dos raíces, f(x1) = f(x2) = 0, el teorema del Rolle diría que existe un c (x1, x2) tal que f' (c) = 0, pero f' (x) ≠ 0

(15)