Plano y Recta en el espacio

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(1)

Ecuación del plano

Conociendo Nnx,ny,nz y la distanciana la que se encuentra el plano del origen de coordenadas ( medidaen la dirección del vectorN ), deberemos encontrar la expresión del puntoPx,y,zel cual es un punto cualquiera del plano, o seaPx,y,z

El vector OPpor partir del origen tendrá como componentes OPx,y,z las cuales coincidirán con las coordendas deP.Además, su proyección respecto de la dirección de Nnx,ny,nznos da como resultadon.

OP cosn

(2)

N.OPN . OP . cos

N.OPnxxnyynzz

nxxnyynzzN . OP . cos

nxxnyynzzN .n 1

A partir de esta expresión encontramos dos caminos distintos de desarrollo, primero

nxxnyynzzN .n  0

quedando la expresión de la forma General de la ecuación del plano

axbyczd0

"los coeficientes a,b y c de la forma General son las componentes del vector normal al plano. A este vector se lo conoce como vector asociado al plano"

(nótese la diferencia con el vector asociado a la recta el cual era paralelo a la misma)

si continuamos operando axbycz  −d

a

−dx −db y −dc z  1finalmente

x −d

a

y

−d b

z −d

c

1

conocida como"Ecuación segmentaria del plano" en la cual los denominadores −d

(3)

respectivamente.

ejemplo

determinar la ecuación del plano perpendicular al vector S3, 4, 2que pasa por el puntoQ1−1, 3.

los coeficientes de la ecuación del plano coincidirán con el del vector S.

3x4y2zD  0

para obtenerdreemplazamos las coordenadas del punto Q 314−123d  0  d  −5

finalmente el plano queda determinado por

(4)

2

0 0 0 -2

x y

z -2

-2

-4 -4

-4 2 2

4

4 4

l

Ahora desde (1) procederemos a dividir ambos miembros por N para luego igualar a 0.

nx N

xny N

ynz N

zn  0

cosxcosycoszn  0

esta última expresión es conocida como Ecuación normal del plano, en la cual cos, cosy cos, son los cosenos directores del vector normal al mismo.

Del mismo modo que la ecuación normal de la recta en el plano a partir de esta expresión podemos definir

(5)

Cuando reemplacemos las coordenadas de un puntoP0x0,y0,z0cualquiera en la ecuación normal de un plano pueden darse dos casos

-) cosx0 cosy0cosz0n  0 el punto verifica la ecuación, luegoperteneceal plano.

-) cosx0 cosy0cosz0nd el puntoNOverifica la ecuación. El valor dobtenido corresponde a la distancia del punto al plano.

Veremos ahora cómo pasar de la forma General a la Normal .

dado el planoaxbyczd  0dado en forma general , para pasarlo a la foma normal bastará con dividir la expresión por - a2 b2c2,donde el signo−responde al signo opuesto al del término independiente.

ecuación general axbyczd  0

ecuación Normal axbyczda2 b2 c2  0

ejemplo

Calcular la distancia del puntoR5, 4, 4al plano4x4y2z−2  0 Primero pasaremos a la forma normal la ecuación del plano

4x4y2z−2

 4242 22  0

4x4y2z−2

6  0

luego reempazamos el puntoR5, 4, 4en la ecuación obtenida. 454424−2

6  7

finalmente el puntoRse encuentra a 7unidades del plano

Distintos casos de obtención de la ecuación de un plano

(6)

aax,ay,az , bbx,by,bz y P0x0,y0,z0

Nuestro problema se reduce a encontrara ,a partir de los vectores , la dirección perpendicular al plano buscado. Para ello procedemos a plantear el producto vectorial de los vectores dados ya que del mismo resultará un vector cuya dirección será perpendicular a ambos y finalmente al plano.

a b

i j k ax ay az bx by bz

i ay az by bzj

ax az bx bzk

ax ay bx by

a bNnx,ny,nz

finalmente con este vector y el puntoP0 obtendremos la ecuación del plano buscado.

ejemplo

Obtener la ecuación del plano paralelo a los vectores a3, 4, 2 y b5, 1, 2 y que pasa por el puntoP02, 2, 2

Na b

N

i j k 3 4 2

5 1 1

 7j−17k2i

el plano tendrá la forma → 2x7y−17kD  0 reemplazando las coordenadas deP0

→ 2272−172d  0 → d  16

finalmente

(7)

-4 -2 0 2 4 0

-2

-4

x z

y

0

-2 2

-4 4

4

2

A partir de tres puntos que pertenezcan al plano

DadosAxa,ya,za,Bxb,yb,zb, yCxc,yc,zc puntos pertenecientes al plano buscado consideremos un cuarto puntoPx,y,z cualquiera representativo del plano. Podemos ahora conformar los siguientes vectores :

PA , PB , y PC

y sus componentes serán :

PAxax,yay,zaz

PBxbx,yby,zbz

(8)

Ahora bien , por ser coplanares su producto mixto deberá ser igual a 0 , luego

PA∗PBPC  0

PA∗PBPC

xax yay zaz xbx yby zbz xcx ycy zcz

 0

al último determinante le agregaremos convenientemente una fila y una columna

x y z 1

xax yay zaz 0 xbx yby zbz 0 xcx ycy zcz 0

 0

finalmente sumamos a la2°, 3° 4°fila la primera .Finalmente

x y z 1 xa ya za 1 xb yb zb 1 xc yc zc 1

(9)

Este último determinante representa la ecuación del plano que pasa por tres puntos.

ejemplo

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A3,−1, 2,B4,−1,−1, y C2, 0, 2

la ecuación del planose obtendrá de

x y z 1

3 −1 2 1

4 −1 −1 1

2 0 2 1

 0  3x3yz−8  0

-4 2

4

2

-2 -4

-4 -2

z

y x -2

2 0

0 0 4

4

Ángulo entre dos planos.

Si consideramos los coeficientes de la ecuación General del plano sabemos que los mismos son las componentes de un vector (Nnormal al mismo . Ahora bien, podemos tomar dicho vector como representativo de la "orientación " del plano.

"el ángulo que determinan dos planos coincide con el que determinan los vectores normales representativos de cada uno de ellos "

(10)

a xbc d  0

sus vectores normales serán : N → a,b,c y N → a,b,c respectivamente.

su producto escalar estará dado por las siguientes expresiones

N.Na.ab.bc.c o bien N.N  |N||N|. cos (donde representa el ángulo determinado por ellos)

igualando

|N||N|. cosa.ab.bc.c finalmente despejandocosy reemplazando los módulos

cosa.ab.bc.c a2 b2 c2 . a2 b2 c2

consideraciones

Si los planos son paralelos (// sus componentes serán proporcionales, N Nk

a b

b b

c ck

Si los planos son perpendiculares ()el producto escalar de sus vectores normales será nulo

a.ab.bc.c  0

ejemplo

Hallar el ángulo que forman los planos → 2x−yz  7 y

xy2z−11  0

(11)

cos  2∗1−1∗11∗2 22−12 12. 12 1222

cos  −1

2 luego

(12)

Ejercitación

1. Hallar y graficar la ecuación del plano :

a. Paralelo al planoXY y situado a 3 unidades debajo de él. (rta.z  −3

b. paralelo al planoYZy que corta al ejeXen el punto de abscisa 4 rta.x  4

2. Hallar y graficar la ecuación del plano paralelo al eje Z y cuya traza con el plano XY es la rectaxy−2  0 rta. xy−2  0

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P−1, 2, 4 y es paralelo al plano 2x−3y−5z6  0. ( rta. 2x−3y−5z28

4. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano 6x−6y7z−44  0 y que se encuentra a dos unidades del origen ( rta.6x−6y7z66  0)

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P3,−2, 4 y es perendicular a los planos7x−3yz−5  0 y 4x−yz9  0.(rta. 4x11y5z−10  0

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P1, 3,−2 y Q3, 4, 3 y es perpendicular al plano 7x−3y5z−4  0 (rta.

20x25y−13z−121  0

7. Hallar la distancia del punto P7, 3, 4al plano 6x−3y2z−13  0. (rta. d4)

8. Hallar el ángulo que forman los planos x2y−z  12 y x−2y−2z−7  0. (rta. 82°10, 7′

9. Hallar la distancia entre los planos paralelos 2x−3y−6z−14  0 y 2x−3y−6z7  0 rta. 3

(13)

Ecuación de la recta en R3

Partiendo de un punto y un vector paralelo

Sabemos que P0x0,y0,z0r y que Aax,ay,az//r y tomamosPx,y,zcomo punto genérico de la recta.

OPOP0P0P

no podemos obtenerOP debido a quePpuede estar en cualquier lugar a lo largo de la recta , de todos modos sabemos que

Aax,ay,az es paralelo a ella. Luego

P0P  A

finalmente

(14)

esa expresión es conocida como forma vectorial de la recta

del mismo modo que en el plano , apartir de quí podemos obtener distintas formas. x,y,z  x0,y0,z0ax,ay,az

xx0ax yy0ay zz0az

forma paramétrica

despejandoe igualando llegamos a la forma simetrica xx0

axyayy0zazz0

En este punto debemos destacar el hecho que no siempre será posible expresar la recta de esta forma debido a la la existencia de componentes nulas respecto de

alguna/s de las direcciones.

Es decir que ax ,ay oaz pueden ser 0.

en ese caso deberemos expresar dos variables en función de la tercera. xx0

ax

yy0 ay zz0

azyayy0

operando adecuadamente

xaxay y−y0x0 zaayz y−y0z0

forma reducida de la recta

(15)

xx0

zaayz y−y0z0 o bien

xaxay y−y0x0 zz0

veamos un ejemplo

Sea el puntoQ3, 2, 5 y el vector v3, 0, 2.Hallaremos la recta que pasando por el puntoQes paralela al vector v.

es evidente que no podemos expresarla en forma simétrica dado que en el término correspondiente a la variable Y quedaría una división por 0 lo cual no es correcto.

Utilizaremos la forma reducida

xaxaz z−z0x0 yy0

x−3

3 

(16)

Partiendo de dos puntos

Sabemos que P0x0,y0,z0r y P1x1,y1,z1r. y tomamosPx,y,zcomo punto genérico de la recta.

OPOP0P0P

y no podemos obtenerOP debido a quePpuede estar en cualquier lugar a lo largo de la recta , asimismo sabemos que

P0PP0P1

finalmente

OPOP0P0P1

como anteriormente hicimos

(17)

xx0x1 −x0 yy0y1 −y0 zz0z1 −z0

forma paramétrica

despejandoe igualando llegamos a la forma simetrica xx0

x1 −x0

yy0

y1 −y0  z1z−−z0z0

Veamos un ejemplo

Hallar la recta que pasa por los puntosP2, 3, 4 yS4, 5, 1

aplicando la forma simétrica x−2 4−2 

y−3

5−3  1z−−44

x−2 4−2 

y−3

5−3  1z−−44

x−2

2 

y−3

2 

z−4 −3

Recta intersección de dos planos

Dadas las ecuaciones de los planos axbcd  0 y

(18)

axbcdka xbc d

siendo K un parámetro del cual dependerá la acuación de cada plano.

ejemplo

Hallar la ecuación de la recta intersección de los planos 2x−3y3z−4  0 y x2y−z3  0.

para obtenerla eliminaremos 2 de las variables en ambas ecuaciones -) eliminamos Z (k  −3

2x−3y3z−4  −3 x2y−z3

5x3y5  01

-) eliminanos Y (k  −3 2 

(22x−3y3z−4  −3x2y−z3

7x3z1  0 2

-) Finalmente despejamos X en (1) y (2) y luego igualamos obteniendo la ecuación de la recta buscada

x  3y−55  3z−71

x

y 5 3 −5

3

z

1 3 −7

3

x 3 

y 5 3 −5 

(19)

Luego es la ecuación de una recta que pasa por el punto P0,−5 3,−

1

3 y es paralela al vector de componentes3,−5,−7

2x−3y3z−4  0

-4 -2 -4 -2 0 0 0 x y2 2

4 4 -4 z -2 2 4

Ángulo entre rectas

Del mismo modo que en el plano tomaremos los vectores ascociados a las rectas como representativos y obtendremos el ángulo que ellos determinan.

"el ángulo que determinan dos rectas coincide con el que determinan los vectores paralelos representativos de cada una de ellas "

sean axax0 x

yy0

ayzazz0 y b

xx0 bx

yy0 by

zz0 bz

cosax.bxay.byaz.bz ax2 ay2 a

z

(20)

Ejercitación de recta y plano

1. Hallar la forma Simétrica, paramétrica o reducida ( de ser necesario) de la recta en los siguientes casos y graficar

a. Pasa por los puntos A2, 3, 5y B1, 6,−2

b. Pasa por el puntoP2, 3,−5y es paralela al vector v5, 2,−3

c. Pasa por los puntos A3, 3, 4y B1, 2, 4

d. Pasa por el puntoP−3, 2,−5y es paralela a la recta de ecuación x−8

2 

y2

3  z−34

2. Determinar y graficar las formas simétrica o reducida de la recta determinada por los puntosPyQ en los siguientes casos

a. P3; 4; 6,Q1; 3; 6

b. P3; 2; 2,Q3; 2; 1

c. P2; 1; 1,Q−2;−1; 0

3. El pié de la perpendicular trazada desde el origen a un plano es el puntoP1;−2; 1.Hallar la ecuación del plano.

(rta.x−2yz−6  0

4. Desde el punto P5; 4;−7 se ha trazado una recta perpendicular a un plano. Si el pié de la perpendicular es el puntoR2; 2;−1.Hallar la ecuación del plano.(rta.3x2y−6z−16  0

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P6; 4;−2y es perpendicular a la recta que pasa por los puntosM7;−2; 3 y

R1; 4;−5.(rta.−6x6y−8z−4  0

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P5, 2,−3 y es perpendicular a cada uno de los planos → 2x−y2z−9  0y

x3y−5z3  0.rta.−x12y7z2  0

7. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano XYy que pasa por los puntosP1, 5.−3y−5,−4, 11.rta. 3x−2y7  0

8. Dados A3,−2, 1y rx−1

4 

y2

−1  z.hallar la ecuación del plano determinado por ambos.(rta.x2y−2z3  0

(21)

10. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta

r

x  2t1 y  −3t2

z  2t−3

y por el puntoM21−2−1

(rta.4x6y5z1  0

11. Hallar las ecuaciones de los planos paralelos al plano2x−2y−z−3  0 que se encuentrana una distancia5de él.

(rta. → 2x−2y−z18  0y → 2x−2y−z−12  0

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta x−1

2 

y2

−3  z−22 y es perpendicular al plano → 3x2y−z−5  0. (rta.−x8y13z−9  0

13. Dadas las rectasr → 5x5  10z

5y−10  20z y sx−1

2  y3

−5  z−1

4 . Hallar la ecuación del planotal que //s yr.

(rta.x1

2 

y−2 4  z

14. Ecuación del plano que pasa por los siguientes puntos.

a. P1; 4;−4,Q2; 5; 3,R3; 0;−2

b. P−3; 2; 4,Q1; 5; 7,R2; 2;−1

15. Hallar la ecuación normal de los planos

a. → 8x−4y−z18  0

b. → 6x6y7z−22  0

16. Hallar la distancia entre los planos → 3x6y2z  22 y

→ 3x6y2z  27.(rta.d  5 7

17. Hallar la ecuación del plano perpendicular a los planos ycuya distancia al puntoP0; 0; 0sea igual a 2

→ −2x−3y−z8  0 → 2x−2y2z7  0 (rta.−8x2y10z−2 168  0

18. Hallar en el eje OXun punto equidistante a los planos

→ 12x−16y15z1  0y → 2x2y−1−z  0(rta.P11

43, 0, 0

(22)

x 6 

y− 1 3

−2  z−32 , x  6t,y  1

3 −2t,z  23t

20. Hallar la ecuación del plano formado por las rectas x−1

4 

y1

2 

z−2

3 y

x−1

5 

y1

4 

z−2 3

21. Hallar la acuación de la recta que pasa por el punto 1, 4.−2y es paralela a los planos6x2y2z3  0 y 3x−5y−2z−1  0

(rta.x−1

1 

y−4

3 

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