Plano y Recta en el espacio

Ecuación del plano

Conociendo Nnx,ny,nz   y la distanciana la que se encuentra el plano del origen de coordenadas ( medidaen la dirección del vectorN ), deberemos encontrar la expresión del puntoPx,y,zel cual es un punto cualquiera del plano, o seaPx,y,z ∈ 

El vector OPpor partir del origen tendrá como componentes OPx,y,z las cuales coincidirán con las coordendas deP.Además, su proyección respecto de la dirección de Nnx,ny,nznos da como resultadon.

OP cos  n

N.OP  N . OP . cos

N.OP  nxxnyynzz

 nxxnyynzz  N . OP . cos

nxxnyynzz  N .n 1

A partir de esta expresión encontramos dos caminos distintos de desarrollo, primero

nxxnyynzz− N .n  0

quedando la expresión de la forma General de la ecuación del plano

axbyczd0

"los coeficientes a,b y c de la forma General son las componentes del vector normal al plano. A este vector se lo conoce como vector asociado al plano"

(nótese la diferencia con el vector asociado a la recta el cual era paralelo a la misma)

si continuamos operando axbycz  −d

a

−dx −db y −dc z  1finalmente

x −d

a

 y

−d b

 z −d

c

1

conocida como"Ecuación segmentaria del plano" en la cual los denominadores −d

respectivamente.

ejemplo

determinar la ecuación del plano perpendicular al vector S3, 4, 2que pasa por el puntoQ1−1, 3.

los coeficientes de la ecuación del plano coincidirán con el del vector S.

3x4y2zD  0

para obtenerdreemplazamos las coordenadas del punto Q 314−123d  0  d  −5

finalmente el plano queda determinado por

2

0 0 0 -2

x y

z -2

-2

-4 -4

-4 2 2

4

4 4

l

Ahora desde (1) procederemos a dividir ambos miembros por N para luego igualar a 0.

nx N

x ny N

y nz N

z−n  0

cos∗xcos∗ycos∗z−n  0

esta última expresión es conocida como Ecuación normal del plano, en la cual cos, cosy cos, son los cosenos directores del vector normal al mismo.

Del mismo modo que la ecuación normal de la recta en el plano a partir de esta expresión podemos definir

Cuando reemplacemos las coordenadas de un puntoP0x0,y0,z0cualquiera en la ecuación normal de un plano pueden darse dos casos

-) cos∗x0 cos∗y0cos∗z0 −n  0 el punto verifica la ecuación, luegoperteneceal plano.

-) cos∗x0 cos∗y0cos∗z0 −n  d el puntoNOverifica la ecuación. El valor dobtenido corresponde a la distancia del punto al plano.

Veremos ahora cómo pasar de la forma General a la Normal .

dado el planoaxbyczd  0dado en forma general , para pasarlo a la foma normal bastará con dividir la expresión por - a2 _b2_c2_{,donde el signo}−_responde al signo opuesto al del término independiente.

ecuación general axbyczd  0

ecuación Normal axbyczd − a2 _b2 _c2  0

ejemplo

Calcular la distancia del puntoR5, 4, 4al plano4x4y2z−2  0 Primero pasaremos a la forma normal la ecuación del plano

4x4y2z−2

 42_42 _22  0

4x4y2z−2

6  0

luego reempazamos el puntoR5, 4, 4en la ecuación obtenida. 454424−2

6  7

finalmente el puntoRse encuentra a 7unidades del plano

Distintos casos de obtención de la ecuación de un plano

aax,ay,az , bbx,by,bz y P0x0,y0,z0

Nuestro problema se reduce a encontrara ,a partir de los vectores , la dirección perpendicular al plano buscado. Para ello procedemos a plantear el producto vectorial de los vectores dados ya que del mismo resultará un vector cuya dirección será perpendicular a ambos y finalmente al plano.

a  b 

i j k ax ay az bx by bz

 i ay az by bz −j

ax az bx bz k

ax ay bx by

a  b  Nnx,ny,nz

finalmente con este vector y el puntoP0 obtendremos la ecuación del plano buscado.

ejemplo

Obtener la ecuación del plano paralelo a los vectores a3, 4, 2 y b5, 1, 2 y que pasa por el puntoP02, 2, 2

N  a  b

N 

i j k 3 4 2

5 1 1

 7j−17k2i

el plano tendrá la forma  → 2x7y−17kD  0 reemplazando las coordenadas deP0

 → 2272−172d  0 → d  16

finalmente

-4 -2 0 2 4 0

-2

-4

x z

y

0

-2 2

-4 4

4

2

A partir de tres puntos que pertenezcan al plano

DadosAxa,ya,za,Bxb,yb,zb, yCxc,yc,zc puntos pertenecientes al plano buscado consideremos un cuarto puntoPx,y,z cualquiera representativo del plano. Podemos ahora conformar los siguientes vectores :

PA , PB , y PC

y sus componentes serán :

PAxa−x,ya −y,za−z

PBxb−x,yb −y,zb−z

Ahora bien , por ser coplanares su producto mixto deberá ser igual a 0 , luego

PA∗PB∗PC  0

PA∗PB∗PC 

xa −x ya −y za −z xb −x yb −y zb −z xc−x yc −y zc −z

 0

al último determinante le agregaremos convenientemente una fila y una columna

x y z 1

xa −x ya −y za −z 0 xb −x yb −y zb −z 0 xc−x yc −y zc −z 0

 0

finalmente sumamos a la2°, 3° 4°fila la primera .Finalmente

x y z 1 xa ya za 1 xb yb zb 1 xc yc zc 1

Este último determinante representa la ecuación del plano que pasa por tres puntos.

ejemplo

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A3,−1, 2,B4,−1,−1, y C2, 0, 2

la ecuación del planose obtendrá de

 

x y z 1

3 −1 2 1

4 −1 −1 1

2 0 2 1

 0  3x3yz−8  0

-4 2

4

2

-2 -4

-4 -2

z

y x -2

2 0

0 0 4

4

Ángulo entre dos planos.

Si consideramos los coeficientes de la ecuación General del plano sabemos que los mismos son las componentes de un vector (Nnormal al mismo . Ahora bien, podemos tomar dicho vector como representativo de la "orientación " del plano.

"el ángulo que determinan dos planos coincide con el que determinan los vectores normales representativos de cada uno de ellos "

 → a _xb_ c _d  0

sus vectores normales serán : N → a,b,c y N → a,b,c respectivamente.

su producto escalar estará dado por las siguientes expresiones

N.N  a.a b.bc.c o bien N.N  |N||N|. cos (donde  representa el ángulo determinado por ellos)

igualando

|N||N|. cos  a.a b.b c.c finalmente despejandocosy reemplazando los módulos

cos  a.a b.bc.c a2 b2 c2 . a2 b2 c2

consideraciones

Si los planos son paralelos (// sus componentes serán proporcionales, N N  k

a b 

b b 

c c  k

Si los planos son perpendiculares (  )el producto escalar de sus vectores normales será nulo

a.a b.b c.c  0

ejemplo

Hallar el ángulo que forman los planos  → 2x−yz  7 y

 → xy2z−11  0

cos  2∗1−1∗11∗2 22_{−1}2 _12_{. 1}2 _12_22

cos  −1

2 luego

Ejercitación

1. Hallar y graficar la ecuación del plano :

a. Paralelo al planoXY y situado a 3 unidades debajo de él. (rta.z  −3

b. paralelo al planoYZy que corta al ejeXen el punto de abscisa 4 rta.x  4

2. Hallar y graficar la ecuación del plano paralelo al eje Z y cuya traza con el plano XY es la rectaxy−2  0 rta. xy−2  0

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P−1, 2, 4 y es paralelo al plano 2x−3y−5z6  0. ( rta. 2x−3y−5z28

4. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano 6x−6y7z−44  0 y que se encuentra a dos unidades del origen ( rta.6x−6y7z66  0)

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P3,−2, 4 y es perendicular a los planos7x−3yz−5  0 y 4x−y−z9  0.(rta. 4x11y5z−10  0

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P1, 3,−2 y Q3, 4, 3 y es perpendicular al plano 7x−3y5z−4  0 (rta.

20x25y−13z−121  0

7. Hallar la distancia del punto P7, 3, 4al plano 6x−3y2z−13  0. (rta. d4)

8. Hallar el ángulo que forman los planos x2y−z  12 y x−2y−2z−7  0. (rta. 82°10, 7′

9. Hallar la distancia entre los planos paralelos 2x−3y−6z−14  0 y 2x−3y−6z7  0 rta. 3

Ecuación de la recta en R3

Partiendo de un punto y un vector paralelo

Sabemos que P0x0,y0,z0 ∈ r y que Aax,ay,az//r y tomamosPx,y,zcomo punto genérico de la recta.

OP  OP0 P0P

no podemos obtenerOP debido a quePpuede estar en cualquier lugar a lo largo de la recta , de todos modos sabemos que

Aax,ay,az es paralelo a ella. Luego

P0P  A

finalmente

esa expresión es conocida como forma vectorial de la recta

del mismo modo que en el plano , apartir de quí podemos obtener distintas formas. x,y,z  x0,y0,z0ax,ay,az

x  x0 ax y  y0 ay z  z0az

forma paramétrica

despejandoe igualando llegamos a la forma simetrica x−x0

ax  y−ayy0  z−azz0

En este punto debemos destacar el hecho que no siempre será posible expresar la recta de esta forma debido a la la existencia de componentes nulas respecto de

alguna/s de las direcciones.

Es decir que ax ,ay oaz pueden ser 0.

en ese caso deberemos expresar dos variables en función de la tercera. x−x0

ax 

y−y0 ay z−z0

az  y−ayy0

operando adecuadamente

x  ax_ay y−y0x0 z  a_ayz y−y0z0

forma reducida de la recta

x  x0

z  a_ayz y−y0z0 o bien

x  ax_ay y−y0x0 z  z0

veamos un ejemplo

Sea el puntoQ3, 2, 5 y el vector v3, 0, 2.Hallaremos la recta que pasando por el puntoQes paralela al vector v.

es evidente que no podemos expresarla en forma simétrica dado que en el término correspondiente a la variable Y quedaría una división por 0 lo cual no es correcto.

Utilizaremos la forma reducida

x  ax_az z−z0x0 y  y0

x−3

3 

Partiendo de dos puntos

Sabemos que P0x0,y0,z0 ∈ r y P1x1,y1,z1 ∈ r. y tomamosPx,y,zcomo punto genérico de la recta.

OP  OP0 P0P

y no podemos obtenerOP debido a quePpuede estar en cualquier lugar a lo largo de la recta , asimismo sabemos que

P0P  P0P1

finalmente

OP  OP0P0P1

como anteriormente hicimos

x  x0x1 −x0 y  y0y1 −y0 z  z0z1 −z0

forma paramétrica

despejandoe igualando llegamos a la forma simetrica x−x0

x1 −x0 

y−y0

y1 −y0  z1z−−z0z0

Veamos un ejemplo

Hallar la recta que pasa por los puntosP2, 3, 4 yS4, 5, 1

aplicando la forma simétrica x−2 4−2 

y−3

5−3  1z−−44

x−2 4−2 

y−3

5−3  1z−−44

x−2

2 

y−3

2 

z−4 −3

Recta intersección de dos planos

Dadas las ecuaciones de los planos  → axbcd  0 y

axb c d  ka _xb c d

siendo K un parámetro del cual dependerá la acuación de cada plano.

ejemplo

Hallar la ecuación de la recta intersección de los planos 2x−3y3z−4  0 y x2y−z3  0.

para obtenerla eliminaremos 2 de las variables en ambas ecuaciones -) eliminamos Z (k  −3

2x−3y3z−4  −3 x2y−z3

5x3y5  01

-) eliminanos Y (k  −3 2 

(22x−3y3z−4  −3x2y−z3

7x3z1  0 2

-) Finalmente despejamos X en (1) y (2) y luego igualamos obteniendo la ecuación de la recta buscada

x  3y₋₅5  3z₋₇1

x 

y 5 3 −5

3

 z

1 3 −7

3

x 3 

y 5 3 −5 

Luego es la ecuación de una recta que pasa por el punto P0,−5 3,−

1

3 y es paralela al vector de componentes3,−5,−7

2x−3y3z−4  0

-4 -2 -4 -2 0 0 0 x y2 2

4 4 -4 z -2 2 4

Ángulo entre rectas

Del mismo modo que en el plano tomaremos los vectores ascociados a las rectas como representativos y obtendremos el ángulo que ellos determinan.

"el ángulo que determinan dos rectas coincide con el que determinan los vectores paralelos representativos de cada una de ellas "

sean a → x−_ax0 x 

y−y0

ay  z−azz0 y b →

x−x0 bx 

y−y0 by 

z−z0 bz

cos  ax.bx ay.by az.bz ax2 _ay2 _a

z

Ejercitación de recta y plano

1. Hallar la forma Simétrica, paramétrica o reducida ( de ser necesario) de la recta en los siguientes casos y graficar

a. Pasa por los puntos A2, 3, 5y B1, 6,−2

b. Pasa por el puntoP2, 3,−5y es paralela al vector v5, 2,−3

c. Pasa por los puntos A3, 3, 4y B1, 2, 4

d. Pasa por el puntoP−3, 2,−5y es paralela a la recta de ecuación x−8

2 

y2

3  z−34

2. Determinar y graficar las formas simétrica o reducida de la recta determinada por los puntosPyQ en los siguientes casos

a. P3; 4; 6,Q1; 3; 6

b. P3; 2; 2,Q3; 2; 1

c. P2; 1; 1,Q−2;−1; 0

3. El pié de la perpendicular trazada desde el origen a un plano es el puntoP1;−2; 1.Hallar la ecuación del plano.

(rta.x−2yz−6  0

4. Desde el punto P5; 4;−7 se ha trazado una recta perpendicular a un plano. Si el pié de la perpendicular es el puntoR2; 2;−1.Hallar la ecuación del plano.(rta.3x2y−6z−16  0

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P6; 4;−2y es perpendicular a la recta que pasa por los puntosM7;−2; 3 y

R1; 4;−5.(rta.−6x6y−8z−4  0

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P5, 2,−3 y es perpendicular a cada uno de los planos → 2x−y2z−9  0y

 → x3y−5z3  0.rta.−x12y7z2  0

7. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano XYy que pasa por los puntosP1, 5.−3y−5,−4, 11.rta. 3x−2y7  0

8. Dados A3,−2, 1y r → x−1

4 

y2

−1  z.hallar la ecuación del plano determinado por ambos.(rta.x2y−2z3  0

10. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta

r →

x  2t1 y  −3t2

z  2t−3

y por el puntoM21−2−1

(rta.4x6y5z1  0

11. Hallar las ecuaciones de los planos paralelos al plano2x−2y−z−3  0 que se encuentrana una distancia5de él.

(rta. → 2x−2y−z18  0y → 2x−2y−z−12  0

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta x−1

2 

y2

−3  z−22 y es perpendicular al plano → 3x2y−z−5  0. (rta.−x8y13z−9  0

13. Dadas las rectasr → 5x5  10z

5y−10  20z y s → x−1

2  y3

−5  z−1

4 . Hallar la ecuación del planotal que //s yr ⊂ .

(rta.x1

2 

y−2 4  z

14. Ecuación del plano que pasa por los siguientes puntos.

a. P1; 4;−4,Q2; 5; 3,R3; 0;−2

b. P−3; 2; 4,Q1; 5; 7,R2; 2;−1

15. Hallar la ecuación normal de los planos

a.  → 8x−4y−z18  0

b.  → 6x6y7z−22  0

16. Hallar la distancia entre los planos  → 3x6y2z  22 y

 → 3x6y2z  27.(rta.d  5 7

17. Hallar la ecuación del plano perpendicular a los planos ycuya distancia al puntoP0; 0; 0sea igual a 2

 → −2x−3y−z8  0  → 2x−2y2z7  0 (rta.−8x2y10z−2 168  0

18. Hallar en el eje OXun punto equidistante a los planos

 → 12x−16y15z1  0y  → 2x2y−1−z  0(rta.P11

43, 0, 0

x 6 

y− 1 3

−2  z−32 , x  6t,y  1

3 −2t,z  23t

20. Hallar la ecuación del plano formado por las rectas x−1

4 

y1

2 

z−2

3 y

x−1

5 

y1

4 

z−2 3

21. Hallar la acuación de la recta que pasa por el punto 1, 4.−2y es paralela a los planos6x2y2z3  0 y 3x−5y−2z−1  0

(rta.x−1

1 

y−4

3 