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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA MATEMATICA INTERMEDIA 3 “N” TERCER EXAMEN PARCIAL

Nombre.:__________________________________ Carné.:_____________________ Correo Electrónico.:_________________________________________________________

Tema 1.:

Un cuerpo de masa igual a 4 kg está unido a un resorte de constante k = 16 N/m. Se alarga el resorte una distancia de 0.3 m y se suelta desde el reposo. Si sobre el sistema se aplica una fuerza F(t) = 1.5 Cos 4t, determine la posición y velocidad del cuerpo en todo tiempo.

Tema 2.:

Un circuito RLC en serie, está formado por un resistor R = 12 Ω, un capacitor C = 0.1 F y un inductor L = 2 H. Se le conecta una fuente de voltaje que suministra 20 Cos 5t Voltios. Si inicialmente el capacitor está descargado y no circula corriente alguna por el circuito, encuentre una expresión para la carga y la corriente en todo tiempo t.

Tema 3.:

Explique la relación entre el coeficiente de amortiguamiento y la constante del resorte, en un sistema masa-resorte en un movimiento libre amortiguado, cuando el discriminante de las raíces de la ecuación característica toma los siguientes valores:

a). λ^2 – ω^2 > 0 b). λ^2 – ω^2 = 0

RESOLUCIÓN DEL TERCER EXAMEN PARCIAL TEMA 1. APLICACIÓN: SISTEMA MASA-RESORTE

Un cuerpo de masa igual a 4 kg está unido a un resorte de constante k = 16 N/m. Se alarga el resorte una distancia de 0.3 m y se suelta desde el reposo. Si sobre el sistema se aplica una fuerza F(t) = 1.5 Cos 4t, determine la posición y velocidad del cuerpo en todo tiempo.

SOLUCION

Datos:

4 16 / 0

Condiciones iniciales:

0 0.3 0 0

Ecuación diferencial a resolver, para determinar la posición:

4 16 1.5 cos 4

4 3_{8 cos 4}

Resolver la ecuación diferencial de la homogénea relacionada:

4 0 Ecuación característica: 4 0 2 Solución complementaria: !" "# $%& '( "' &)* '(

Resolver la ecuación diferencial

4 3_{8 cos 4}

Por el método de coeficientes constantes indeterminados, suponemos una solucion:

+ , cos 4 - sin 4 0+ 14, sin 4 4- cos 4 00+ 116, cos 4 1 16- sin 4

Sustituyendo:

116, cos 4 1 16- sin 4 4, cos 4 4- sin 4 3_{8 cos 4} 4, 1 16, cos 4 4- 1 16- sin 4 3_{8 cos 4}

112, cos 4 112- sin 4 3_{8 cos 4}

Igualando términos semejantes, se obtiene el sistema de ecuaciones:

112, 3₈ 112- 0

, 1₃₂1 - 0

Solución particular:

!2 _{3' $%& 4(}#

La solución total de la ecuación diferencial

! ( "# $%& '( "' &)* '( _{3' $%& 4(}#

Aplicar condiciones iniciales:

0 0.3

56 cos 0 5 sin 0 _{32 cos 0 0.3}1 56 _{32 0.3}1

56 0.3 1₃₂1 ₁₆₀43 43

160 cos 2 5 sin 2 32 cos 41 1_{160 sin 2}43 5 cos 2 1_{32 sin 4}1

0 0

1_{160 sin 0 5 cos 0 1}43 _{32 sin 0 0}1 5 0

Entonces la solución de la ecuación diferencial, y función posición:

! (

_{#78 $%& '(}

43

_{3' $%& 4(}

#

La función de la velocidad:

TEMA 2. APLICACIÓN: CIRCUITO RLC

Un circuito RLC en serie, está formado por un resistor R = 12 Ω, un capacitor C = 0.1 F y un inductor L = 2 H. Se le conecta una fuente de voltaje que suministra 20 Cos 5t Voltios. Si inicialmente el capacitor está descargado y no circula corriente alguna por el circuito, encuentre una expresión para la carga y la corriente en todo tiempo t.

SOLUCION : ; < ; ;_{5 =} Datos: < 12 Ω 5 0.1 : 2 ? = 20 cos 5 Condiciones iniciales: ; 0 0 0 ; 0 0

Ecuación diferencial a resolver, para determinar la posición:

2 ; 12 ; _{0.1 20 cos 5}; ; ₆ ; _{5; 10 cos 5}

Resolver la ecuación diferencial de la homogénea relacionada:

; 6 ; 5; 0 Ecuación característica: 6 5 0 1 5 0 11 15 Solución complementaria: @" "# AB( "' ABC(

Resolver la ecuación diferencial

;

6 ; 5; 10 cos 5

Por el método de coeficientes constantes indeterminados, suponemos una solucion:

;+ , cos 5 - sin 5 ;0+ 15, sin 5 5- cos 5 ;00+ 125, cos 5 1 25- sin 5

Sustituyendo:

125, cos 5 1 25- sin 5 1 30, sin 5 30- cos 5 5, cos 5 5- sin 5 10 cos 5

125, 1 30- 5, cos 5 125- 1 30, 5- sin 5 10 cos 5 120, 1 30- cos 5 120- 1 30, sin 5 10 cos 5

Igualando términos semejantes, se obtiene el sistema de ecuaciones:

120, 1 30- 10 120- 1 30, 0

, 2₅ - 13₅

Solución particular:

@2 '_{C $%& C( 1}3_{C &)* C(}

La solución total de la ecuación diferencial

@ ( "# AB( "' ABC( '_{C $%& C( 1}3_{C &)* C(}

Aplicar condiciones iniciales:

; 0 0 56 DE 5 DE 2_{5 cos 0 1}3_{5 sin 0 0} 56 5 2_{5 0} 56 5 12₅ ; 0 0 ; 156 DBF 1 55 DBGF1 2 sin 5 1 3 cos 5 156 DE1 55 DE1 2 sin 0 1 3 cos 0 0 1561 55 1 3 0 56 55 13 Resolviendo el sistema: 56 1₄ 5 113₂₀

Entonces la solución de la ecuación diferencial, y función de la carga eléctrica:

@ (

#

_{4 A}

₁

#3

'8 A

'

C $%& C( 1

3

C &)* C(

La función de la corriente:

H (

@ (

1

#

_{4 A}

#3

TEMA 3. CONCEPTOS DE AMORTIGUAMIENTO

Explique la relación entre el coeficiente de amortiguamiento y la constante del resorte, en un sistema masa-resorte en un movimiento libre amortiguado, cuando el discriminante de las raíces de la ecuación característica toma los siguientes valores:

Solución:

El movimiento libre amortiguado de un sistema masa-resorte se describe por:

0

Donde:

DI JK KIK DI JK LMNI KN D D K MO PK DN M DI JK LMNI KN D DJ ODIMO D

0 Siendo: 2Q R Entonces: 2Q R 0 Ecuación característica: 2Q R 0

Cuyas raíces son:

6 1Q SQ 1 R 1Q 1T SQ 1 R

Por lo tanto:

a). λ^2 – ω^2 > 0

En este caso el sistema está sobreamortiguado, porque el coeficiente de amortiguamiento es grande comparado con la constante de resorte .

Las raíces de la ecuación característica son reales y distintas, por lo que la solución correspondiente es:

DBUF_VL

6D√UXBYXF L DB√UXBYXFZ

Esta ecuación representa un movimiento uniforme y no oscilatorio.

b). λ^2 – ω^2 = 0

En este caso el sistema está críticamente amortiguado, porque cualquier ligera disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio.

Las raíces de la ecuación característica son reales y repetidas, por lo que la solución correspondiente es:

DBUF _L

c). λ^2 – ω^2 < 0

En este caso el sistema está subamortiguado puesto que el coeficiente de amortiguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte.

Las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas, por lo que la solución correspondiente es:

DBUF_VL

6cos SR 1 Q L sin SR 1 Q Z

Esta ecuación representa un movimiento oscilatorio, pero debido al coeficienteDBUF las amplitudes de vibración disminuyen al aumentar el tiempo.