Lógica de Primer Orden

(1)

Cap´ıtulo 2

L´ogica de Primer Orden

Resumen Aunque en términos generales, la Programación Lógica concierne el uso de la lógica para representar y resolver problemas, normalmente este término se refiere al uso de una lógica de primer orden, restringida a cláusulas de Horn y re-solución [10]. Este cap´ıtulo introduce los conceptos de la lógica de primer orden necesarios para abordar los aspectos formales de la Programación Lógica. Para ello, se adopta un enfoque basado en sistemas formales, que nos permita describir el len-guaje, la teor´ıa del modelo y la teor´ıa de prueba de la lógica de primer orden. Con este aparato, se introducen los conceptos de unificación y resolución como regla de inferencia.

2.1. Introducci´on

Cuando describimos situaciones de nuestro interés, solemos hacer uso de enun-ciados declarativos. Decimos que estos enunenun-ciados son declarativos en el sentido lingü´ıstico del término, esto es, se trata de expresiones del lenguaje natural que son o bien verdaderas, o bien falsas; en contraposición a los enunciados imperativos e interrogativos. La lógica proposicional es declarativa en este sentido. Las propo-siciones representanhechos que se dan o no en la realidad. La lógica de primer orden tienen un compromiso ontólogico más fuerte [14], donde la realidad impli-ca además,objetos y relaciones. Consideren los siguientes ejemplos de enunciado declarativo:

1. Julia es madre y Luis es hijo de Julia. 2. Toda madre ama a sus hijos.

el enunciado (1) se refiere a los objetos de discurso Julia y Luis usando propie-dades de estos objetos, como ser madre; as´ı como relaciones entre objetos, como hi jo. El enunciado (2) se refiere a relaciones que aplican a todas las madres obje-to de discurso. Esobje-tos dos punobje-tos conciernen a la representación de problemas en la Programación Lógica.

(2)

Al aplicar ciertasreglas de razonamiento a tales descripciones, es posible ob-tener nuevasconclusiones. Esto concierne a la resolución de problemas en Progra-mación Lógica. Por ejemplo, conociendo (1) y (2) es posibleinferir que:

3. Julia ama a Luis.

La idea central de la programación lógica es describir los objetos que conforman un universo de discurso, personas en el ejemplo; as´ı como las relaciones entre ellos, siguiendo con el ejemplo hi jo y madre; y computar tales descripciones para obtener conclusiones como (3). Al describir el problema que queremos resolver, también podemos hacer uso defunciones, relaciones en las cuales sólo hay un valor dada una entrada. Por ejemplo, “madre de” puede representarse como una función (todo hijo tiene una sola madre), pero “hijo de” no.

Como en todo sistema formal, es necesario especificar cuidadosamente la sin-taxis de tales enunciados declarativos, es decir, que expresiones pertenecen al len-guaje de la lógica de primer orden, y cuales no; lasemántica de estas expresiones, es decir qué hace que una expresión sea verdadera o falsa; as´ı como las reglas de razonamiento que permiten concluir (3) a partir de (1) y (2). Tales cuestiones son el tema de estudio de la lógica matemática.

Esta sesión del curso introduce los elementos de la lógica de primer orden, nece-sarios para abordar laresolución como regla de inferencia en lógica de primer orden y su uso en el lenguaje de programación Prolog. El material aqu´ı presentado está ba-sado principalmente en los textos de Michael R. Genesereth y Nils J. Nilsson [5], cap´ıtulo 2; y el de Ulf Nilsson y Jan Maluszyński [11], cap´ıtulo 1. Una lectura com-plementaria a estos textos son los cap´ıtulos 8 y 9 del texto de Stuart Russell y Peter Norvig [14].

2.2. Sistemas formales

Definiremos la lógica de primer orden en términos de unsistema formal. De igual manera, un sistema de programación lógica puede definirse como sistema for-mal. Para ello, es necesario considerar tres aspectos:

Languaje. Este elemento está asociado a la sintaxis de la lógica de primer orden y de los programas lógicos. El lenguaje de un sistema formal está dado por un conjunto de s´ımbolos conocido como alfabeto y una serie de reglas de cons-trucción o sintácticas. Una expresión es cualquier secuencia de s´ımbolos perte-necientes al alfabeto (primarios). Cualquier expresión es, o no es, unafórmula bien formada (fbf). Las fórmulas bien formadas son las expresiones que pueden formarse con los s´ımbolos del alfabeto a partir de las reglas de construcción. Teor´ıa de modelo. Este elemento está asociado a la semántica de la lógica de primer orden y de los programas lógicos. La teor´ıa del modelo establece la in-terpretación de las fbf en un sistema formal. Su función es relacionar las fbf con alguna representación simplificada de la realidad que nos interesa, para es-tablecer cuando una fbf es falsa y cuando verdadera. Esta versión de realidad

(3)

2.3 El lenguaje de la l´ogica de primer orden 23

corresponde a lo que informalmente llamamos “modelo”. Sin embargo, en lógi-ca el signifilógi-cado de “modelo” está ´ıntimamente relacionado con el lenguaje del sistema formal: si la interpretación M hace que la expresiónα sea verdadera, se dice que M es unmodelo de α o que M satisface α, y se escribe M |= α. Una fbf esválida si toda interpretación del lenguaje es un modelo para ella. El s´ımbolo α se usa aqu´ı como una variablemeta-lógica, es decir, una variable que tiene como referente el lenguaje del sistema formal mismo, y por lo tanto, no forma parte del lenguaje del sistema en si. Se usaran letras griegas como variables metalógicas. Teor´ıa de prueba. Este elemento está asociado al razonamiento deductivo propio de la programación lógica. La teor´ıa de la prueba tiene como objetivo hacer de cada enunciado matemático una formula demostrable y rigurosamente deducible. Para ello, la actividad matemática deber´ıa quedar reducida a la manipulación de s´ımbolos y sucesiones de s´ımbolos regulada por un conjunto de instrucciones dados al respecto. La construcción de tal teor´ıa implica, además del lenguaje del sistema formal, un subconjunto de fbf que tendrán el papelaxiomas en el sistema, y un conjunto dereglas de inferencia que regulen diversas operaciones sobre los axiomas. Las fbf obtenidas mediante la aplicación sucesiva de las reglas de inferencia a partir de los axiomas, o de teoremas obtenidos con anterioridad, se conocen comoteoremas del sistema.

2.3. El lenguaje de la l´ogica de primer orden

Básicamente, la lógica de primer orden, también conocida comocálculo de pre-dicados, introduce un conjunto de s´ımbolos que nos permiten expresarnos acerca de los objetos en un dominio de discurso dado. El conjunto de todos estos objetos se conoce comouniverso de discurso. Los miembros del universo de discurso pueden ser objetos concretos, ej., un libro, un robot, etc; abstractos, ej., números; e incluso, ficticios, ej., unicornios, etc. Un objeto es algo sobre lo cual queremos expresarnos. Como ejemplo, consideren el multi citado mundo de los bloques [5] que se muestra en la figura 2.1. El universo de discurso para tal escenario es el conjunto que incluye los cinco bloques, la el brazo robótico y la mesa: {a,b,c,d,e,brazo,mesa}.

Una función es un tipo especial de relación entre los objetos del dominio de discurso. Este tipo de relaciones mapea un conjunto de objetos de entrada a un objeto único de salida. Por ejemplo, es posible definir la función parcial sombrero que mapea un bloque al bloque que se encuentra encima de él, si tal bloque existe. Las parejas correspondientes a esta función parcial, dado el escenario mostrado en la figura 2.1 son: {(b,a),(c,d),(d,e)}. El conjunto de todas las funciones consideradas en la conceptualización del mundo se conoce comobase funcional.

Un segundo tipo de relación sobre los objetos del dominio de discurso son los predicados. Diferentes predicados pueden definirse en el mundo de los bloques, ej., el predicado sobre que se cumple para dos bloques, si y sólo si el primero está inme-diatamente encima del segundo. Para la escena mostrada en la figura 2.1, sobre/2 se define por los pares {(a,b),(d,c),(e,d)}. Otro predicado puede ser libre/1, que se

(4)

Mesa B A C D E Brazo robótico

Figura 2.1 El mundo de los bloques, usado para ejemplificar el c´alculo de predicados.

cumple para un bloque si y sólo si éste no tiene ningún bloque encima. Este predica-do tiene los siguientes elementos {a,e}. El conjunto de topredica-dos los predicapredica-dos usapredica-dos en la conceptuación se conoce comobase relacional.

Para universos de discurso finitos, existe un l´ımite superior en el n´umero posible de predicados n-arios que pueden ser definidos. Para un universo de discurso de cardinalidad b (cardinalidad es el n´umero de elementos de un conjunto), existen bn

distintas n-tuplas. Cualquier predicado n-ario es un subconjunto de estas bn_tuplas.

Por lo tanto, un predicado n-ario debe corresponder a uno de m´aximo 2(bn₎

conjuntos posibles.

Además de las funciones y predicados, la flexibilidad de la lógica de primer orden resulta del uso de variables y cuantificadores. Lasvariables, cuyos valores son objetos del universo de discurso, se suelen representar por cualquier secuencia de caracteres que inicie con una mayúscula. El_{cuantificador “para todo” (∀) nos} permite expresar hechos acerca de todos los objetos en el universo del discurso, sin necesidad de enumerarlos. Por ejemplo, toda madre ... Elcuantificador “existe” (∃) nos permite expresar la existencia de un objeto en el universo de discurso con cierta propiedad en part´ıcular, por ejemplo, ∃X libre(X) ∧ enLaMesa(X) expresa que hay al menos un objeto que no tiene bloques sobre él y aue se encuentra sobre la mesa.

2.3.1. Sintaxis de la l´ogica de primer orden

Los s´ımbolos primarios de la lógica de primer orden se obtienen al considerar un conjunto numerable de variables, s´ımbolos de predicado y s´ımbolos de funciones. Se asume que los miembros del conjunto Var toman valores en el universo de dis-curso. Asociado a cada predicado y función, hay un número natural conocido como suaridad, que expresa su número de argumentos. Los predicados de aridad 0 se asumen como variables proposicionales. Las funciones de aridad 0 se asumen co-mo constantes. Considerando los operadores lógicos y los cuantificadores, teneco-mos

(5)

2.3 El lenguaje de la l´ogica de primer orden 25

que los s´ımbolos primarios oalfabeto del lenguaje de la l´ogica de primer orden se muestran en la tabla 2.1

Conjunto de constantes: Const Conjunto de variables: Var Conjunto de predicados: Pred Conjunto de funciones: Func Operadores monarios: ¬ (negaci´on)

Operadores binarios: ∨ (disyunci´on)

Cuantificadores: ∀ (cuantificador universal)

Par´entesis: (, )

Cuadro 2.1 Alfabeto del lenguaje de la l´ogica de primer orden.

El lenguaje del c´alculo de predicados LFOLse especifica como sigue: Primero

definimos un conjunto de términos del lenguaje Term, como la unión de constantes y variables Const ∪ Var; as´ı como la aplicación de las funciones en Func a una secuencia de términos cuyo tamaño queda determinado por la aridad de la función. Las siguientes reglas sintácticas expresan que los términos son fbf en el lenguaje: Sintaxis 1 Si α ∈ Const, entonces α ∈ Term

Sintaxis 2 Si α ∈ Var, entonces α ∈ Term

Sintaxis 3 Si α/n ∈ Func, entonces α(φ1, . . . ,φn) ∈ Term si y s´olo si φi=1,...,n∈

Term.

Sintaxis 4 Si α ∈ Term, entonces α ∈ LFOL

La sintaxis de la negaci´on y la disyunci´on se definen como: Sintaxis 5 Si α ∈ LFOL, entonces ¬α ∈ LFOL

Sintaxis 6 Si α ∈ LFOLyβ ∈ LFOL, entonces (α ∨β) ∈ LFOL

Al igual que en el caso de las funciones, la sintaxis de los predicados involucra la aridad del predicado y que sus argumentos sean a su t´erminos a su vez. Recuerden que los predicados de aridad 0 se interpretan como variables proposicionales: Sintaxis 7 Si α/n ∈ Pred, entonces α(φ1, . . . ,φ_n) ∈ L_FOLsi y s´olo si φi=1,...,n∈

Term.

La sintaxis del cuantificador universal es como sigue:

Sintaxis 8 Si α ∈ LFOL y X ∈ Vars es una variable que ocurre en α, entonces

∀X α ∈ LFOL

Las definiciones de la conjunción, la implicación material, la equivalencia mate-rial, verdadero y falso, son como en la lógica proposicional:

(6)

Definici´on 2 (implicaci´on material) (α ⇒ β) =de f (¬α ∨ β);

Definici´on 3 (equivalencia material) (α ≡ β) =de f ((α ⇒ β)∧(β ⇒ α));

Definici´on 4 (falso) f =de f ¬α ∧ α;

Definici´on 5 (verdadero) t =de f ¬f

La definici´on del cuantificador existencial es la siguiente: Definici´on 6 (cuantificador existencial) ∃X α =de f¬(∀X ¬α)

Siendo estrictos, el cuantificador propiamente dicho, es el s´ımbolo de cuantifica-dor seguido de una variable, puesto que ∀X y ∀Y tienen significados diferentes. En una fbf de la forma ∀X α, se dice que la fbf α está en el alcance del cuantificador ∀X. En tal caso, se dice que la ocurrencia de X en α está acotada, en caso contrario se dice que la ocurrencia de la variable es_{libre. Por ejemplo, en ∃X sobre(X,Y)} la variable X está acotada, mientras que Y está libre. Un término sin variables se conoce comotérmino de base.

2.4. La sem´antica de la l´ogica de primer orden

Antes de introducir las definiciones formales de la semántica de la lógica de pri-mer orden, consideremos algunas expresiones posibles en está lógica, usando como ejemplo el mundo de los bloques (Figura 2.1). Si queremos expresar que al menos algún bloque no tiene nada encima, podemos usar los predicados bloque/1 y libre/1 en la siguiente expresión: ∃X bloque(X) ∧ libre(X). Esta fbf expresa que existe un X tal que X es un bloque y X está libre (no tiene otro bloque encima). Observen que cuando usamos cuantificadores, siempre tenemos en mente el universo de discurso en cuestión odominio. El dominio puede especificarse en término de conjuntos. Luego, si el dominio D es el conjunto de constantes {a,b,c,d,e,brazo,mesa}, po-demos decir que B ⊂ D = {a,b,c,d,e} es el conjunto de bloques en D. Entonces, es posible plantear una expresión equivalente a ∃X bloque(X)∧libre(X), usando la fbf ∀X libre(x), si especificamos que libre/1 tiene como dominio B.

Unainterpretación del predicado libre/1 es un subconjunto de B tal que si un bloque está libre, pertenece a este subconjunto. Para un predicado de aridad dos, como sobre/2 cuyo dominio son los bloques B × B, podemos decir que su interpre-tación es un subconjunto de B × B. En general, para un predicado de aridad n, su interpretación es un subconjunto en Dn_.

(7)

2.4 La sem´antica de la l´ogica de primer orden 27

2.4.1. Teor´ıa de modelo de la l´ogica de primer orden

Para obtener unmodelo para el lenguaje LFOL formamos el par M = +D,V,,

donde D es el universo de discurso, ej. cualquier colección de objetos sobre la que queremos expresarnos, y la interpretación V es una función, tal que:

Para cualquier predicadoα de aridad n V(α) regresa las n-tuplas que correspon-den a la interpretación del predicado. En el ejemplo, siguiendo nuevamente la figura 2.1, consideren el predicado sobre/2. Su interpretación es un subconjunto de D2_{= D × D. Para la escena mostrada, V(sobre) = {(a,b),(e,d),(d,c)}.} Para una constante, la función V regresa la misma constante, ej. V (a) = a. Algunas veces la expresión V (α) se abrevia αV_{. Una posible interpretación V}

para la escena del mundo de los bloques mostrada en al figura 2.1, es: aV _{= a} bV = b cV _{= c} dV = d eV = e sobreV _{= {(a,b),(e,d),(d,c)}} enLaMesaV = {b,c} libreV _{= {a,e}} porEncimaV = {(a,b),(e,d),(e,c),(d,c)}

Todo esto puede especificarse formalmente con la siguiente definici´on:

Definición 7 (Interpretación) Una interpretación V, con respecto a un dominio de discurso D, es una función que satisface las siguientes propiedades: i) Siα ∈Const, Entonces V (α) = α; ii) Si α/n ∈ Pred, Entonces V(α) ⊆ Dn_.

Observen que las variables no están incluidas en la interpretación, tal y como se definió anteriormente. Interpretar las variables de manera separada a otros s´ımbolos en el lenguaje, es una práctica aceptada.

Decimos que U es una_{asignaci´on de variables basada en el modelo M = +D,V,} si para todoα ∈ Var, U(α) ∈ D. Por ejemplo, en el mundo de los bloques XU_{= a,}

es una asignaci´on de variables. Esto a veces se abrevia como U = {X\a}.

Una interpretación V y una asignación de variables U pueden combinarse en una asignación conjunta TVU que aplica a los términos de primer orden en general. La

asignación de términos T dadas la interpretación V y la asignación de variables U, es un mapeo de términos a objetos del universo de discurso que se define como sigue:

(8)

Sem´antica 2 Si α ∈ Var, entonces TVU(α) = U(α).

Sem´antica 3 Si α ∈ Term y es de la forma α(φ1, . . . ,φn); y V (α) = g; y TVU(φi) =

xi, entonces TVU(α(φ1, . . . ,φn)) = g(x1, . . . ,xn).

El concepto de satisfacción guarda una relación importante con las interpre-taciones y las asignaciones. Por convención, el hecho de que el enunciado α sea satisfecho bajo una interpretación V y una asignación U, se escribe:

|=V α[U]

Entonces podemos escribir M |= VU(α) para expresar que α es verdadera en

el modelo M = +D,V, cuando las variables en α toman valores de acuerdo a la asignaci´on U. Por ejemplo, M |= VU(sobre(X,b)) si X\a ∈ U.

En realidad, la noción de satisfacción var´ıa dependiendo de la clase del enunciado α. As´ı tenemos que una interpretación V y una asignación de variables U satisfacen una ecuación, si y sólo si la correspondiente asignación de términos TVUmapea los

t´erminos igualados a un mismo objeto. Cuando este es el caso, los t´erminos se dicen correferenciados:

Sem´antica 4 M |=V (α = β)[U], si y s´olo si TVU(α) = TVU(β).

Para el caso de un enunciado atómico que no sea una ecuación, la satisfacción se cumple si y sólo si la tupla formada por los objetos designados por los términos en el enunciado, es un elemento de la relación designada por la relación constante: Semántica 5 M |=V α(τ1, . . . ,τn)[U], si y sólo si +TVU(τ1),...,TVU(τn), ∈ V(α) .

Consideren como ejemplo la interpretaci´on V definida para el mundo de los bo-ques. Puesto que el la constante a designa al bloque a y la constante b al bloque b, y la tupla +a,b, es miembro del conjunto que designa la relaci´on constante sobre, en-tonces es el caso que |=V sobre(a,b)[U], por lo cual podemos decir que sobre(a,b)

es verdadera en esta intepretaci´on. Evidentemente:

Sem´antica 6 M |=V ¬(α)[U], si y s´olo si M .|=V α[U].

y:

Semántica 7 M |=V (α ∨β)[U], si y sólo si, M |=Vα[U] ó M |= β[U].

Un enunciado cuantificado universalmente se satisface si y sólo si el enunciado bajo el alcance del cuantificador, se satisface para todas las asignaciones de la varia-ble cuantificada. Un enunciado cuantificado existencialmente se satisface, si y sólo si, el enunciado bajo el alcance del cuantificador es satisfecho por una asignación de variables.

Sem´antica 8 M |=V ∀X α[U], si y s´olo si para toda β en el universo de discurso,

(9)

2.5 Inferencia en la l´ogica de primer orden 29

Por la última condición en esta regla, se dice que U/ _{es una asignación}

X-alternativa a U, por lo que la regla sem´antica tambi´en puede leerse como: M |=V

∀Xα[U] si para toda asignaci´on de variables X-alternativa, M |=V α.

Si una interpretación V safisface a un enunciadoα para toda asignación de varia-bles, se dice que V es unmodelo de α. Un enunciado se dice satisfacible si existe alguna interpretación y asignación de variables que lo satisfaga. De otra forma, se dice que el enunciado esinsatisfacible. Una fbf α es válida si y sólo si se satisface en toda intepretación y asignación de variables. Las fbf válidas lo son en virtud de su estructura lógica, por lo que no proveen información acerca del dominio descrito. Por ejemplo p(X) ∨ ¬p(X) es una fbf válida.

2.5. Inferencia en la l´ogica de primer orden

Volvamos al ejemplo de la introducci´on: 1. Toda madre ama a sus hijos.

2. Julia es madre y Luis es hijo de Julia. Conociendo (1) y (2) es posible concluir que: 3. Julia ama a Luis.

Podemos formalizar este ejemplo en L´ogica de Primer Orden como sigue: 1. ∀X ∀Y madre(X) ∧ hi jo de(Y,X) ⇒ ama(X,Y)

2. madre( julia) ∧ hi jo de(luis, julia) 3. ama( julia,luis)

Con la formalización, el proceso de inferencia puede verse como un proceso de manipulación de fbf, donde a partir de formulas como (1) y (2), llamadaspremisas, se produce la nueva fbf (3) llamadaconclusión. Estas manipulaciones se pueden formalizar mediantereglas de inferencia. Entre las reglas de inferencia de la lógica de primer orden encontramos:

Modus Ponens. O regla de eliminaci´on de la implicaci´on. Esta regla dice que siempre que las fbfs de la formaα y α ⇒ β pertenezcan a las premisas o sean concluidas a partir de ellas, podemos inferirβ:

α α ⇒ β

β (⇒ E)

Eliminación de cuantificador universal. Esta regla expresa que siempre que una fbf de la forma ∀Xα pertenezca a las premisas o sea concluida a partir de ellas, una nueva fbf puede ser concluida al remplazar todas las ocurrencias libres de X enα por algún término t que es libre con respecto a X (todas las variables en t quedan libres al substituir X por t. La regla se presenta como sigue:

(10)

∀Xα(X)

α(t) (∀E)

Introducci´on de conjunci´on. Cuando las fbf α y β pertenezcan a las premisas o sean concluidas a partir de ellas, podemos inferirα ∧β:

α β α ∧β (∧I)

La correctez de estas reglas puede ser demostrada directamente a partir de la definici´on de la sem´antica de las fbf en LFOL. El uso de las reglas de inferencia

puede ilustrarse con el ejemplo formalizado. Las premisas son: 1. ∀X∀Ymadre(X) ∧ hi jo de(Y,X) ⇒ ama(X,Y)

2. madre( julia) ∧ hi jo de(luis, julia)

Al aplicar la eliminaci´on de cuantificador universal (∀E) a (1) obtenemos: 3. ∀Y(madre( julia) ∧ hi jo de(Y, julia) ⇒ ama( julia,Y)

Al aplicar nuevamente (∀E) a (3) obtenemos:

4. madre( julia) ∧ hi jo de(luis, julia) ⇒ ama( julia,luis) Finalmente, al aplicar Modus Ponens a (2) y (4): 5. ama( julia,luis)

La conclusión (5) ha sido obtenida rigurosamente, aplicando las reglas de infe-rencia. Esto ilustra el concepto dederivación. El hecho de que una formula α sea derivable a partir de una fórmulaβ se escribe β 0 α. Si las reglas de inferencia son consistentes (sound) siempre queβ 0 α entonces β |= α. Esto es, cualquier fbf que puede ser derivada de otra fbf, es tambien una consecuencia lógica de ésta última. Definición 8 (Consistencia y completitud) Un conjunto de reglas de inferencia se dice consistente si, para todo conjunto de fbf cerradas (sin ocurrencia de variables libres) P y cada fbf cerradaα, siempre que P 0 α se tiene que P |= α. Las reglas de inferencia se dicen completas si P 0 α siempre que P |= α.

2.6. Substituciones

Formalmente, una substituci´on es un mapeo de las variables del lenguaje a los t´erminos del mismo:

Definición 9 (Substitución) Una substitución es un conjunto finito de pares de la forma {X1/t1, . . . ,Xn/tn} donde cada tnes un término y cada Xnes una variable, tal

(11)

2.6 Substituciones 31

La aplicaci´on XΘ de la substituci´on Θ a la variable X se define como: XΘ = t, si X/t ∈ Θ,X en cualquier otro caso.

Dom({X1/t1, . . . ,Xn/tn}) denota al conjunto {X1, . . . ,Xn}; y Range({X1/t1, . . . ,Xn/tn})

denota al conjunto {t1, . . . ,tn}. Para variables no incluidas en Dom(Θ), Θ

apare-ce como la función identidad. Es importante extener el conapare-cepto de substitución a términos y fbf:

Definición 10 (Aplicación) Sea Θ una substitución {X1/t1, . . . ,Xn/tn} y α un término

o una fbf. La aplicaciónαΘ es el término o fbf obtenidos al remplazar simultánea-mente tipor toda ocurrencia de Xienα (1 ≤ i ≤ n). αΘ se conoce como una

ins-tancia deα. Ejemplos:

ama(X,Y ) ∧ madre(X){X/ julia,Y/luis} = ama( julia,luis) ∧ madre( julia) p( f (X,Z), f (Y,a)) {X/a,Y/Z,W/b} = p( f (a,Z), f (Z,a))

p(X,Y ) {X/ f (Y),Y/b} = p( f (Y),b)

Definici´on 11 (Composici´on) Sean Θ y Σ dos substituciones de la forma: Θ = {X1/s1, . . .Xm/sm}Σ = {Y1/t1, . . .Yn/tn}

La composici´onΘΣ se obtiene a partir del conjunto: {X1/s1Σ,...Xm/smΣ,Y1/t1, . . .Yn/tn}

De la manera siguiente: eliminar todas las Xi/siΣ para las que Xi= siΣ (1 ≤ i ≤

m) y eliminar tambi´en aquellas Yj/tjpara las cuales Yj∈ Dom(Θ) (1 ≤ j ≤ n).

Por ejemplo:

{X/ f (Z),Y /W }{X/a,Z/a,W /Y } = {X/ f (a),Z/a,W /Y }

Definición 12 (Substitución idempotente) Una substitución Θ se dice idempoten-te siΘ = ΘΘ.

Se puede probar que una substituci´onΘ es idempotente si y s´olo si Dom(Θ) ∩ Range(Θ) = /0.