PROPUESTA A. 3A. a) Despeja X en la ecuación matricial X A + B = X, donde A, B y X son matrices cuadradas de orden 3. (1 punto) b) Calcula X, siendo

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Pruebas de Acceso a Ense˜nanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEM ´ATICAS II

Instrucciones: El alumno deber´a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo punt´ua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. Dada la funci´on f (x) = esen x+ x2+ ax + b, a, b∈ R:

a) Determina los par´ametros a, b∈ R sabiendo que la gr´afica de f(x) pasa por el punto (0,2) y que en dicho punto tiene un extremo relativo. (1,5 puntos)

b) Para los valores de los par´ametros encontrados, estudia si dicho extremo relativo es un m´aximo o un m´ınimo. (1 punto)

2A. Dada la funci´on

g(x) =    2x + 4 si−2 ≤ x < 0 (2x− 2)2 si 0≤ x ≤ 1

a) Esboza la regi´on encerrada entre la gr´afica de g(x) y el eje de abscisas. (0,5 puntos) b) Calcula el ´area de la regi´on anterior. (2 puntos)

3A. a) Despeja X en la ecuaci´on matricial X· A + B = X, donde A, B y X son matrices cuadradas de orden 3. (1 punto) b) Calcula X, siendo A =   01 00 00 2 1 0   y B =   −1 40 3 −20 1 2 1   (1,5 puntos)

4A. a) Calcula la distacia del punto P (−1, 2, 0) a la recta

r≡

{

−x + y + 2z = 0

y + z = 1 (1,25 puntos)

b) Calcula el punto sim´etrico de P respecto de r. (1,25 puntos)

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Pruebas de Acceso a Ense˜nanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEM ´ATICAS II

PROPUESTA B

1B. Calcula el dominio y las as´ıntotas de las siguientes funciones

f (x) =

2x− x

x− 2 , g(x) =

x3

x2− 4x + 4 (1,25 puntos por cada funci´on)

2B. Dada la funci´on f (x) = (x + 1)e2x, se pide:

a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexi´on de f (x). (1,25 puntos) b) Encuentra una primitiva de la funci´on f (x) que pase por el origen de coordenadas. (1,25 puntos)

3B. He pensado un n´umero de tres cifras tal que la cifra de las decenas es la media aritm´etica de las otras dos. Adem´as, si a dicho n´umero se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198. Por ´ultimo, las tres cifras de mi n´umero suman 12.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que recoja la informaci´on anterior y clasif´ıcalo. Para ello, puede serte ´util observar que el n´umero cuya cifra de las centenas es x, la de las decenas y, y la de las unidades z, puede expresarse como 100x + 10y + z. (1,5 puntos)

b) Determina, si el problema tiene soluci´on, el n´umero de tres cifras que he pensado. (1 punto)

4B. Dados los puntos A(1, λ + 1,−1), B(2, λ, 0) y C(λ + 2, 0, 1), se pide:

a) Estudia si existe alg´un valor del par´ametro λ∈ R para el que A, B y C est´en alineados. (1,25 puntos) b) Para λ =−1, da la ecuaci´on impl´ıcita del plano π que contiene a los puntos A, B y C. (1,25 puntos)

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Pruebas de Acceso a Ense˜nanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEM ´ATICAS II

Instrucciones: El alumno deber´a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo punt´ua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. Calcula los siguientes l´ımites:

l´ım

x→0

ln(1 + 2x)

xesen x , xl´ım→0(1 + tan x)

1

x+sen x (1,25 puntos cada l´ımite)

Nota: tan x denota a la tangente de x.

2A. a) Calcula la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f (x) = x2 en el punto de abscisa x = 2.

(0,5 puntos)

b) Esboza la regi´on encerrada entre las gr´aficas de f (x), la recta calculada en el apartado a) y el eje de ordenadas. (0,5 puntos)

c) Calcula el ´area de la regi´on anterior. (1,5 puntos)

3A. a) Enuncia el Teorema de Rouch´e-Fr¨obenius. (0,5 puntos) b) Razona que el sistema de ecuaciones lineales

   x + 3y − 3z = 4 2x − y + z = 1 3x + 2y − az = 5 a∈ R

no es incompatible para ning´un valor a∈ R. (1 punto)

c) Resuelve el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (1 punto)

4A. Dada la recta

r≡

{

2x− y + z = 3

x− z = 1

a) Da la ecuaci´on impl´ıcita del plano π perpendicular a r que pasa por el punto P (2, 1, 1). (1,25 puntos) b) Halla el volumen del tetraedro cuyos v´ertices son el origen de coordenadas y los tres puntos que resultan al hacer la intersecci´on de π con los ejes coordenados. (1,25 puntos)

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Pruebas de Acceso a Ense˜nanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEM ´ATICAS II

PROPUESTA B

1B. Determina c´omo dividir un segmento de 90 cm en dos trozos, de forma que la suma del ´area del semic´ırculo cuyo di´ametro es uno de ellos y el ´area de un tri´angulo rect´angulo que tiene como base el otro trozo y cuya altura es π veces su base, sea m´ınima. (2.5 puntos)

Nota: Recuerda que el ´area de un c´ırculo de radio r es πr2.

2B. Calcula las integrales

∫ 1 x ( 4x3−√4 x) dx,

x ln x dx (1,25 puntos por integral)

3B. a) Despeja X en la ecuaci´on matricial A· X − A = 2A2, donde A y X son matrices cuadradas de orden 3. (1 punto) b) Calcula X, siendo A =   11 01 20 0 0 −1   (1 punto)

c) Calcula los determinantes de las matrices A101 y A1000. (0,5 puntos)

4B. Dados el plano π ≡ x + ay + 3z = 2, a ∈ R, y la recta

r

{

x− 2y + z = −1

2x− y = 0

a) Halla a para que π y r se corten perpendicularmente. (1,25 puntos) b) Halla a para que π y r sean paralelos. (1,25 puntos)

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