una relación; sólo se da en música, no en el habla normal. Éste es el sentido de

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Cf. Nicom. Ar. I 17.2 ss., y el tratamiento filosófico de la noción de rela-ción en Arist. Cat. 6a36 y Metaph.1020b25; vid. además Theo Sm. 80.15 ss. Proba-blemente Ptolomeo tenía in mente la consideración matemática de la misma noción, por ejemplo Euc. Elementa VII 11 (o(/loj pro\j o(/lon), que según Szabó (op.cit., p.139) es equivalente a los términos de Aristóteles.

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Los términos (o(/roi) de la relación se establecen, según Theo Sm. 80.16, e)n e)laxi/stoij kai\ prw/toij a)llh/louj a)riJmoi=j, lo que en otras fuentes es llamado puJme/nej (Plat. R. 546c). Cf. Porph. in Harm. 113.3.

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Emmelh/j es la cualidad de aquello que guarda las leyes propias del me/loj (cf. S. Michaelides, The Music of Ancient Greece. An Encyclopaedia, London 1978, p.96): cf. Aristox. Harm. 14.4-6, (...) pro\j to\ xwri/sai th\n e)mmelh= ki/nhsin th=j fwnh=j a)po\ tw=n a)/llwn kinh/sewn (“...para distinguir el movimiento melódico de la voz de sus otros movimientos”). Esta ki/nhsij e)mmelh/j está relacionada con la ki/nhsij diasthmatikh/, en la que los tonos están bien definidos; es decir, guardan una relación; sólo se da en música, no en el habla normal. Éste es el sentido de e)mmelh/j en Aristóxeno. De ahí que lo e)mmele/j sea precisamente lo que caracteriza al me/loj, el movimiento interválico de los sonidos (como en Ptolomeo) o de la voz (como en Aristóxeno). En las fuentes hay variaciones, pero la dirección es la mis-ma: Ti. Locr. 220, 9, a( de\ a)/taktoj te kai\ a)/logoj [fwnh\] e)kmelh/j te kai\ a)na/rmostoj; los pasajes citados de Trasilo (ap. Theo Sm. 47.18-24), con el equiva-lente e)narmo/nioj; Arist. Mu. 399a17, a(rmoni/an e)mmelh=; Nicom. Exc. 274.15-18, e))kmelh/j, a)na/rmostoj; Porph. in Harm.32.23 ss., etc. Esta concepción, según Dü-ring (op.cit., p.174) es acústica y diferente de la de I, 7 a pesar de Schönberger (op.cit., p.67): para Düring, e)mmelh/j se refiere a todos los sonidos que son utiliza-bles en la melodía. El problema que se intentó resolver desde C. Stumpf (Geschich-te des Consonanzbegriffes, I: die Definition der Consonanz im Al(Geschich-tertum, München 1897, p.61 ss.) es la diferencia de uso del término e)mmele/j (así como de su/mfwnoj) en este capítulo y en I 7. Allí, un intervalo e)mmele/j designa a todo el situado bajo la consonancia de cuarta. Hay un uso especializado (y propio de Ptolomeo) de e)mmelh/j, pero participa del significado anterior en que esos intervalos también son “utilizables” y por tanto “melódicos”. La distinción de Düring

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harmonisch se apoya en el uso ptolemaico de e)mmele/steroi (19.10), comparativo que designa la propiedad de aquellas relaciones más cercanas a la igualdad, sobre todo en el lo/goj e)pimo/rioj: Ptol. Harm. 15.8, de/on de\ e)n lo/goij e)pimori/oij eiÅnai ta\ e)mmelh=; pero entre los dos matices de Düring hay algo en común, que es en realidad una cuestión de grado: lo e)mmele/j acústicamente es lo “interválico” en general, lo “utilizable” dentro del me/loj (diasthmatiko/n; cf. Aristox. Harm. 33.4). Pero estos intervalos utilizables son diferentes (lo/goi superparticulares, múltiples o superpar-tientes) y su disposición es un hecho “armónico”, de modo que para Ptolomeo lo más “melódico” es la relación superparticular (15.8), pero dentro de esa gradación, que distingue o(mofwni(ai y sumfwni/ai, hay intervalos “utilizables” más allá de la consonancia primigenia (hacia abajo), los intervalos bajo la consonancia de cuarta. De ahí que el par e)kmele/j-e)mmele/j no tenga un doble significado en la Harmónica de Ptolomeo, sino que este uso específico de I 7, al quedarse las sumfwni/ai en el intervalo de cuarta, engloba con intención clasificatoria todos aquellos intervalos que ya eran “melódicos” pero que no alcanzan el grado de su/mfwnoi; de ahí que este uso de e)mmelh/j parezca diferente o más técnico que el primero de I 4, pero en esencia es el mismo: según Porph. in Harm. 89.6-8, no todos los sonidos e)mmelei=j son su/mfwnoi, pero sí al contrario (Porph. ib.113.19-21). La clave está en que Pto-lomeo no habla de “intervalos”, sino de “sonidos”; esta sutil distinción hace que no haya que ver lo consonante como vertical y lo e)mmelh/j como horizontal, sino sim-plemente una gradación en la que los últimos grados no reciben un nombre especí-fico, más bien el término en su acepción no marcada; ahora bien, aquí entra la no-ción de “consonacia” de dos sonidos como fusión de sonidos, y es esto lo que para Ptolomeo reordena los intervalos en homofonías, consonancias e intervalos melódi-cos (aquellos superparticulares que no pertenecen a ninguna de las dos clases pre-cedentes: así en I 7); esta interpretación se basa en la similitud del pasaje ptolemai-co ptolemai-con la doctrina de Adrasto (ap.Theo Sm. 50), para quien los sonidos a)/logoi kai\ e)kmelei=j serán notas propiamente dichas si se expresan en razones múltiples, su-perparticulares o de “número a número”, pero dentro de los sonidos, son sólo su/mfwnoi los múltiples y superparticulares; por lo que se puede pensar que esta categoría está dentro de los e)mmelei=j.

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El sentido general de e)mmelh/j (como englobador, entonces, de la triple distinción, cf. Porph.in Harm.113.12) lo vemos también en Gaud. Harm. 337.5, quien divide los sonidos e)mmelei=j en homófonos, disonantes, consonantes y paráfonos, pero todos bajo la expresión común: tw=n de\ e)mmelw=n fJo/ggwn oi( me/n e)stin o(mo/fwnoi, oi( de\ su/mfwnoi, ktl., “de entre las notas melódicas, unas son homófonas, otras consonantes, etc...”. En el tercer rango ptolemaico de los sonidos a)niso/tonoi, los e)mmelei=j de I 7, caerían reunidos “los tonos y restantes de tal clase” (Harm.18.3-4 y 19.7). Éstos serían, según algunos autores (F. A. Gevaert, Histoire et théorie de la musique de l’Antiquité, Gand 1875-1881, vol. I, p.100; Michaelides, op.cit., p.56), los dos tipos de tonos, mayor (9:8) y menor (10:9), el semitono (16:15), la tercera mayor (5:4, producto de 9:8.10:9, que ya tiene cabida en el sis-tema), y la tercera menor (6:5); no hay que pensar que Ptolomeo salve consciente-mente las terceras como “les plus douces parmi les diaphonies” al decir de Gevaert, sino en cuanto que su relación sigue siendo superparticular (cf. Stumpf, op.cit., p.57, n.1). Sin embargo, Porfirio (in Harm. 118.1-2 y 28-30) hace un recuento de las razones superparticulares que son “melódicas”, en tanto que por debajo de la sesquitercia 4:3; razones que se podrían llevar e)p’ a)/peiron, pero que son las que aparecerán más adelante en las divisiones del tetracordio. Estas superparticulares serían las e)pite/tartoi (5:4), las e)pi/pemptoi (6:5), las e)pi/ektoi (7:6), las e)pie/bdomoi (8:7), las e)po/gdooi (9:8) y demás (kai\ a)/lloi plei/ouj), como 10:9, 11:10…(vid. I 16). El comentario de Porfirio es más exacto dentro de la perspectiva adoptada por Ptolomeo, con la ventaja de incorporar razones como 12:11 ó 28:27 (cf. Harm. II, 14) que no tienen fácil parangón en el sistema actual; lo que ocurre es que para no-sotros una razón e)pi/pemptoi es una tercera menor. Bajo los e)kmelei=j, por su parte, caerían la sexta mayor (5:3) y la menor (8:5), la séptima mayor (15:8) y la menor (9:5), así como el tritono y la quinta disminuida (64:45 y 45:32, respectivamente). Porfirio, además (op.cit., 113.25-26), apunta que todos los e)kmelei=j son dia/fwnoi, pero no al contrario.

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Antes de referirnos a las consideraciones de Ptolomeo sobre las consona-cias, es pertinente dibujar un breve panorama de la noción de sumfwni/a en la trata-dística musical. Si nos retrotraemos hasta Aristóxeno, éste no definió qué es una consonacia, porque no debió de sentir esta necesidad; tan sólo le interesaría cuál es

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el mayor y el menor intervalo consonante (Harm. 25.11 ss.), con criterios pertinen-tes como las posibilidades de emisión y percepción. En 21.15, la nómina de las consonancias (según su magnitud) tiene un límite por abajo en la cuarta (“la propia naturaleza de la melodía define la cuarta como el menor intervalo consonante”); ahora bien, si vamos hacia arriba, “el máximo se halla limitado, en cierto modo, por nuestra capacidad”. Éstas son la cuarta –consonancia mínima–, la quinta, la octava, la octava más cuarta, la octava más quinta, la doble octava, doble octava más cuarta y doble octava más quinta. Más allá de éstas, dependerá de la edad y las posibilida-des de la voz (27.4-5), posibilida-descubriéndose así la triple octava e incluso la cuádruple octava. Una ley para Aristóxeno es que si un intervalo consonante se suma a la oc-tava, el total resultante es también consonante (25.19-20 y sobre todo 56.11-12); por ello no hay límite hacia el agudo, como se ha visto, aunque cualquier intervalo menor que la cuarta es disonante. Este criterio de la magnitud (me/geJoj) en combi-nación con las posibilidades de la voz es lo que determina la nómina de las conso-nancias (Harm. 25.11-13, “parece que el menor intervalo consonante es determina-do por la propia naturaleza de la melodía, pues se usan en la melodía muchos inter-valos menores que la cuarta, pero todos son disonantes”). En 56.1 ss. dice: “sean ocho los tamaños de las consonancias. La menor es la de cuarta”, a la que siguen la quinta y (como suma de las dos primeras) la octava. En conformidad con esto, Anon. Bellerm. 74 distingue entre consonancias simples (a)su/nJetoi) y compuestas (su/nJetoi): simples son las que no están formadas por ninguna otra, como la cuarta y la quinta; compuestas, todas las demás a partir de la octava.

Después de Aristóxeno, lo normal es, fuera del ámbito pitagórico, una defi-nición de consonancia basada en la sensación de mezcla de dos sonidos, con un efecto estético determinado: kra=sij, mi=cij, i)so/thj o e(no/thj, ya desde Arist. Me-taph.1043a10: o)ce/oj kai\ bare/oj mi=cij toia/de. Esta “mezcla” de sonidos, para que constituya una consonancia, debe conseguir una unión total de las notas –que por sí son diferentes–, y serán tanto más consonantes éstos cuantas menos pulsaciones haya y menos destaquen entre sí: es un criterio basado en la ai)/sJhsij y por ello esta idea de consonancia basada en la noción de “mezcla” no deja de ser subjetiva. De tal manera se expresa, por ejemplo, Ps.Arist.Pro. XIX 38 (99.10-11) sumfwni/a? de\ xai/romen o(/ti kra=sij e)sti lo/gon e)xo/ntwn e)nanti/wn pro\j a)/llhla “nos gusta la

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consonancia porque es una mezcla de opuestos que tienen una relación entre sí”, siendo la octava la consonancia más hermosa (kalli/sth sumfwni/a, Pro. XIX.35 [95.14]). Esos sonidos que se mezclan expresan su relación mediante una diferencia de altura, lo que es igual, de tensión, como dice Cleónides (187.19 ss.): e)/sti de\ sumfwni/a me\n kra=sij du/o fJo/ggwn o)cute/rou kai\ barute/rou, “la consonancia es una mezcla entre dos notas, una aguda y otra grave” (lo mismo dice Porfirio citando a Eliano [in Harm. 96.11-12]). De otra forma se expresa Nicómaco (Harm. 262.1-5): su/mfwna me\n e)peidh\ oi( perie/xontej fJo/ggoi dia/foroi t%= mege/Jei o)/ntej, a(/ma krousJe/ntej h)\ o(/mwj pote\ h)xh/santej e)gkraJw=sin a)llh/loij ou(/twj, w(/ste e(noeidh= th\n e)c au)tw=n fwnh\n gene/sJai kai\ oiÂon mi/an, “son consonantes cuando las notas que lo contienen (sc. un intervalo) son diferentes en magnitud, pero al ser golpeadas o sonar simultáneamente, se mezclan entre sí de tal modo que el sonido resultante tiene el aspecto de unidad y como si fuera uno” (cf. e((no/thj en Gaudencio [Harm. 337.12] como cualidad de la consonancia, y Ptol. Harm. 18.13-14; según Porfirio (op.cit., 104) fueron los seguidores de Arquitas los que afirmaron que todas las consonancias (y no sólo la octava) daban la sensación de un único sonido). Esta idea de la “mezcla” la recoge Ptolomeo en este su primer acercamiento a la conso-nancia, en 12.13-15, sumfw/nouj (...) o(/soi th\n o(moi/an a)nti/lhyin e)mpoiou=si tai=j a)koai=j, “son consonantes (...) cuantas proporcionan una percepción uniforme a los oídos”. Por otra parte, hay definiciones diferentes, que no estudian la consonancia como “mezcla” sino como producto de una cierta “afinidad” que además produce placer: así, Adrasto (ap. Theo Sm. 50.22-51.4) afirma que sumfwnou=si de\ fJo/ggoi pro\j a)llh/louj, wÂn Jate/rou krousJe/ntoj e)pi/ tinoj o)rga/nou tw=n e)ntatw=n kai\ o( loipo\j kata/ tina oi)keio/thta kai\ sumpa/Jeian sunhxei=.

En general, los autores no varían este concepto de consonancia como mez-cla, pero en época tardía se establecen distinciones. Por ejemplo, Trasilo (ap. Theo Sm. 48.17-25) hace una diferenciación propia en consonancias kat’ a)nti/fwnon (la octava y doble octava), kata\ para/fwnon (cuarta y quinta), junto a los intervalos “no consonantes” y kata\ sune/xeian (tono, diesis), que adelanta la triple partición ptolemaica en homofonías, consonancias e intervalos melódicos de I 7; la segunda aparición del término “consonancia” en Ptolomeo, en I 7, ofrecerá una distinción diferente entre intervalos su/mfwnoi, quedándose como especícamente

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tes”, en virtud de haber excluido la octava (y razones múltiples compuestas por ella) como o(mofwni/a, entre los sonidos a)niso/tonoi los intervalos de cuarta y de quinta, más los compuestos de ellos (esto es, octava más cuarta y octava más quin-ta). En 17.24-25 la definición clásica de consonancia como “mezcla” pasa a ser la de la o(mofwni/a, oi( me\n kata\ th\n su/myausin e(no\j a)nti/lhyin. Ello ha hecho pensar que la definición de intervalo su/mfwnon de 12.13 ss. sea provisional, en tanto que es explicado como más adelante la homofonía.

Otros autores tardíos también establecen distinciones similares; así, Arísti-des Quintiliano (10.1), que reconoce unos sonidos “mutuamente consonantes, otros disonantes y otros homófonos”. Consonantes son aquéllos cuya mezcla es perfecta, disonantes cuando en la unión se reconoce cada sonido, y homófonos “cualquiera de los sonidos que presentan una potencia distinta de la voz, pero la misma altura tonal”. La última división de los intervalos consonantes la hace Gaudencio (Harm. 337.5 ss.). Él distingue sonidos su/mfwnoi, aquéllos que al sonar a la vez producen una mezcla perfecta; sonidos dia/fwnoi, cuando esta identidad no llega a producirse, como sucedía también en Arístides Quintiliano; sonidos o(mo/fwnoi, cuando no se diferencian ni en gravedad ni en agudeza (como “unísono”, cf. N.Tr. 135); y soni-dos para/fwnoi, cuando son intermedios (me/soi) entre los consonantes y los diso-nantes, pero que al vibrar parecen consodiso-nantes, como el dítono y el tritono.

La versión pitagórica de la consonancia pasa por el cálculo matemático del intervalo y su expresión en una razón, lo/goj. Son consonantes aquellos sonidos cuyas velocidades sean cercanamente conmensurables, expresables mediante razo-nes lo más simple posibles (con los cuatro primeros números de la tetraktu/j) y en razones múltiples ([mn]:n) o superparticulares ([n+1]:n): así, la octava (razón 2:1), la quinta (3:2), la cuarta (4:3), octava más quinta (3:1) y la doble octava (4:1). La octava más cuarta representa una aporía en el sistema, pues sus términos se salen de la tetraktu/j (8:3, pero sí la acepta Ptolomeo, cf. infra, Harm. 17.1 ss.). Serán más consonantes cuanto menores sean sus términos: de este modo, la consonancia pri-mera no es la cuarta, como lo era para Aristóxeno, sino la octava, pues sus números son los más bajos (cf. Euc. Sect. Can.148-149). El procedimiento típico pitagórico para hallar el orden de consonancia en los intervalos construidos mediante la

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traktu/j, es el llamado de “los similares y disimilares” (Porph. in Harm. 107.15 ss; Ptolomeo los comenta refutándolos infra en I 7). El modus operandi ptolemaico es, por supuesto, pitagórico, pero nuestro autor maneja, de acuerdo con su doctrina de los krith/ria th=j a(rmoni/aj, una noción de consonancia basada en la percepción, como se ha visto, que luego se traduce en expresión numérica, aunque sin llegar a conclusiones encontradas por haber aceptado postulados rígidos como hacen los pitagóricos, según Ptolomeo en I 7-8. Precisamente la posición de Ptolomeo es ecléctica porque intenta superar ambas ideas sobre la consonancia, en una teoría que dé cuenta de hechos físicos (acústicos) y de percepción, expresables mediante un lenguaje matematizado.

La diafwni/a es en general una discordancia, un desacuerdo; en la termino-logía gramatical es sinónimo de a)nwmali/a, “desigualdad”, además de tener el sen-tido de falta de relación entre lenguaje y pensamiento (cf. Bécares Botas, op.cit., pp. 59-60). Esta falta de consonancia o de correspondencia tiene el sentido, en música, de disonancia entre dos sonidos: el sentido primitivo de diafwni/a pudo ser, según Lohmann (op.cit., p.21) el opuesto de o((mo/tonon, con el significado de “diferente sonido”. La idea moderna de disonancia se forma, según Düring (op.cit., p.174) a partir de Boecio.

Ahora bien, tal disonancia, como opuesta al término su/mfwnoj, tiene más de una acepción. Para Aristóxeno (Harm. 21.21) la distinción entre consonancia y di-sonancia es uno de los rasgos que definen los intervalos así como los sistemas. El tarentino no ofrece una definición cierta de estas cualidades, pero Cleónides (Harm. 188.1) la define como el rechazo de dos notas a combinarse, y equivalente es la definición de Gaudencio (Harm. 337.13 ss). Arístides Quintiliano (10.1), que dis-tingue sonidos consonantes, disonantes y homófonos, llama disonantes a aquéllos que “al ser tocados a la vez se produce el me/loj específico de cada uno de los dos sonidos”, mientras que en los consonantes son aquéllos en los que hay una mezcla total. Los intervalos homófonos son los que, teniendo una misma altura tonal, tie-nen una du/namij distinta de la voz. En Gaudencio (loc.cit.), los intervalos dia/fwna no llegan a producir una mezcla (mhdemi/an kra/sin).

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Para Aristóxeno es disonante (dia/fwna) cualquier intervalo menor que la cuarta (cf. Harm. 25.13-14). Eso implica que el dítono del género enarmónico es disonante, aunque más tarde la teoría armónica lo retome entre las consonancias (al pasarse durante el Renacimiento de la afinación pitagórica a la entonación justa). Esta consideración particular de consonancia / disonancia tiene que ver, pues, con la magnitud, el me/geJoj de un intervalo (Aristox. Harm. 25.9 ss.): el criterio para el menor intervalo que no sea disonante es la voz. Cleónides (Harm.187.14), dentro de la tradición aristoxénica, enumera entre los intervalos disonantes “todos los meno-res que la cuarta y todos aquéllos comprendidos entre los intervalos consonantes por su magnitud”; menores que la cuarta son la diesis, el semitono, el tono y el dí-tono, mientras que los que se encuentran metacu\ tw=n sumfw/nwn son el tridí-tono, el tetratono, el pentatono y similares. De nuevo aquí el criterio es el me/geJoj del in-tervalo.

Para la escuela pitagórica, la disonancia tiene que ver, naturalmente, con la expresión matemática de los intervalos. Según Euclides (Sect. Can.148-149), una razón será más disonante cuanto mayores sean sus números (se alejen más de la tetraktu/j) y no estén expresados mediante proporciones múltiples o superparticu-lares. De ahí que la octava sea el intervalo más consonante (2:1) seguido de la quin-ta (3:2) y la cuarquin-ta (4:3): cf. por ejemplo Adrasto ap. Theo Sm. 58.11-59 o S. E. M. VII 94-5.

Centrándonos ahora en el pasaje de Ptolomeo que nos ocupa, el problema de la conexión entre el par e)kmele/j-e)mmele/j y su/mfwnoj-dia/fwnoj fue revisado por Schönberger (op.cit., p.69), quien criticó la interpretación de Stumpf (op.cit., p.60) de los pasajes que aluden a las consonancias en Harm. I 4 y I 7:

Anisotone

Ekmelische Emmelische

Symphone Diaphone

Ptol.Harm.I 4, según Stumpf (op.cit., p.60).

Schönberger aduce que el esquema de Stumpf, que engloba consonan-cia/disonancia bajo la etiqueta de e)mmelh/j, permitiría la inclusión del tritono de-ntro de lo melódico, a pesar de que en Grecia era considerado un intervalo e)kmele/j. Y está en lo cierto al definir los dos pares mencionados de opuestos como

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dientes entre sí; pero mientras que el primero (e)kmele/j-e)mmele/j) se referiría a un orden horizontal, el segundo (su/mfwnoj-dia/fwnoj) lo sería vertical. A nosotros, por nuestra parte, nos parece que del texto de Ptolomeo no se desprende en absoluto la relación de inclusión que propuso Stumpf, además de que ya hemos supuesto que no hay un uso diferente (como piensa el autor germano) de e)mmelh/j en el tratado. Por supuesto que la presente noción de su/mfwnoj-dia/fwnoj no se corresponde a la de I 7, siendo ésta de I 4 la más cercana a la clásica de las fuentes; a esas fuentes, es decir, a los demás teóricos, se refiere el verbo fasi\n del texto, que deslinda esta definición de la posterior más integrada en el sistema total ptolemaico. Esta o(moi/an a)nti/lhyin, en este contexto, remite a las definiciones clásicas de consonancia como “mezcla” ya vistas, y mientras que aquí, como en la tratadística, define sumfwni/a, en 17.24 encontramos la definición que Ptolomeo da a los intervalos o(mo/fwnoi (y sólo a ellos), los más bellos, pues son oi( kata\ th\n su/myausin e(no\j a)nti/lhyin e)mpoiou=ntej tai=j a)koai=j; es decir, el atributo de la sumfwni/a de I 4 pasa a serlo de la o(mofwni/a de I 7. De modo que podemos decir que la “percepción de un solo so-nido”, la “mezcla”, es para Ptolomeo el resultado de la mayor cercanía a la i)sotoni/a en la relación entre los sonidos, cosa que es particular de la razón doble (2:1), y por tanto de la octava. Si ésta es la definición de los o(mo/fwnoi, en 18.1 ss. Ptolomeo define los intervalos consonantes (su/mfwnoi) como los más cercanos a los homófo-nos, es decir, quinta y cuarta y sus compuestos (octava más quinta, octava más cuarta), en tanto que también son los que dividen la octava de modo más cercano a la igualdad (cf. Sect. Can. prop.6). Esta restricción terminológica de sumfwni/a a los intervalos de cuarta y quinta es común en los autores que establecen distinciones más complejas, como Trasilo (ap. Theo Sm., loc.cit.) quienes llama a estos interva-los su/mfwna kat’ para/fwnon, o las diferencias de Baquio (Harm. 305.7 ss.) en diafwni/a, o(mofwni/a y parafwni/a, y de Gaudencio (Harm. 337.5 ss.), en o(mofwni/a, sumfwni/a, diafwni/a y parafwni/a. Tenemos aquí, entonces, no una clasificación provisional, como quiere Stumpf (ib., p.63), sino un testimonio, de lo que “dicen” otros (y por nuestra revisión de las fuentes en la primera parte de esta nota, Ptolo-meo no se equivoca), pues parece que la aparición de los términos e)kmele/j-e)mmele/j lleva casi indefectiblemente a la sumfwni/a y la diafwni/a, de alguna mane-ra asociados pamane-ra Ptolomeo con aquéllos como una tipología. Aunque la noción de

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su/mfwnoi yo/foi ofrecida aquí no sea extraña a la que más tarde desarrollará Ptolo-meo, en puridad el párrafo de 12.13-15 no es sino una cita, y ni siquiera es un ade-lanto de su doctrina de I 7; para él, la clasificación tradicional entre melódicos / no melódicos o consonantes / no consonantes es pertinente aquí en tanto se ha dejado establecido ya el carácter de relación (pro/j ti) de las notas en el sistema. Sólo en el desarrollo lógico posterior del discurso ptolemaico, la clasificación de los intervalos sólo puede ser posible una vez refutadas las doctrinas aristoxénica y pitagórica.

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En la inclusión en el tratado de las diferentes escuelas musicales para su crítica, los capítulos 5-8 se ocupan de la doctrina pitagórica, y forman una unidad de discurso independiente. En primer lugar, el capítulo 5 presenta la doctrina pita-górica que se puede leer en Sect. Can., en Nicómaco o en Arquitas, entre otros (consonancia y lo/goi matemáticos). A partir de ahí, el capítulo 6 muestra sus inco-herencias, que aparecen cuando sólo se aceptan lo/goi múltiples o superparticulares, o cuando se especula con los términos de la relación matemática (los a)no/moia). A la vista de estas incongruencias (es decir, enfrentamiento entre los datos de los senti-dos y su lenguaje matemático), Ptolomeo presentará en I, 7 una clasificación propia en gradación de los intervalos (o(mo/fwnoi, su/mfwnoi y e))mmelei=j), bajo el criterio de la mayor cercanía a la i)sotoni/a. Por último, el capítulo 8 es la corroboración empí-rica mediante un instrumento de la conveniencia de las correcciones establecidas. De esta manera, queda salvado el lenguaje armónico básico de los pitagóricos, al ser corregido en sus deficiencias.

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Aquí aparece por primera vez en Ptolomeo to/noj aplicado al intervalo sesquioctavo (9:8). El intervalo de tono se definía genéricamente como la diferen-cia entre la consonandiferen-cia de quinta y la consonandiferen-cia de cuarta ([3:2]:[4:3]=[9:8]; cf. Porph.in Harm.116.17-18): en esto, Ptolomeo sigue la tradición y acepta tal defini-ción. Así lo define Aristóxeno (Harm. 27.15, [y 57.1]: Esti dh\ to/noj h( tw=n prw/twn sumfw/nwn kata\ me/geJoj diafora/; cf. Ptol. Harm. 23.11, diafora\ du/o fJo/ggwn e)po/gdoon periexo/ntwn lo/gon, que recuerda a Filolao [vid. infra] y 41.15-17, o( e)pi\ h’ eu(/rhtai kaJ’ au(to\n perie/xwn to\n to/non e)k th=j u(peroxh=j tw=n du/o prw/twn sumfwniw=n, más cerca de Aristóxeno). Esta versión del tono es válida no sólo para los aristoxénicos: la misma aparece en el conocido fragmento de Filolao

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(DK 44B6), quien llama a la cuarta su/llaba y a la quinta di’ o)cei=an: to\ de\ di’ o)cei=an mei=zon ta=j sullaba=j e)pogdo/wi. Otro texto pitagórico que presenta el mis-mo tratamiento es la euclidiana Sectio Canonis, que en su proposición 13 define este intervalo como el resto producto de sustraer un intervalo sesquitercio (la cuar-ta) a uno sesquiáltero (la quincuar-ta). Este tono, pues, diferencia de las dos primeras consonancias (9:8 o 204 cents), puede ofrecer problemas de afinación si se sigue a Aristóxeno en su visión de la cuarta como el conjunto exacto de dos tonos y medio (Harm. 70.3 ss.; ver la crítica ptolemaica en I 10). Lo que establece Aristóxeno es, si lo expresamos mediante un sistema moderno, un tono temperado de 200 cents y una cuarta también temperada de 500 cents, en su idea de operar mediante el oído y no las matemáticas. Éstas demuestran (según queda expuesto en la Sectio Canonis y en Filolao, DK 44B6) que un tono de razón 9:8 no se puede dividir en dos partes iguales –pues una razón superparticular no es divisible en dos-, con lo que la cuarta está formada, para los cálculos pitagóricos, por dos tonos y un “residuo” o lei=mma cuya razón es 256:243. Esta es la prueba de que los “intervalos menores que un semitono” de los que habla Aristóxeno (Harm. 57.1-12) no se han de ver como sec-ciones matemáticas sino como “aproximasec-ciones del oído” (vid. M. L. West, Ancient Greek Music, Oxford 1992, p.167). De cualquier forma, este tono sesquioctavo es el normal en la teoría griega; no obstante, posteriormente Ptolomeo trabaja con el “tono menor” en sus cálculos de los ge/nh (II 15), de razón 10:9, que se diferenciaba del tono sesquioctavo por la llamada “coma sintónica” de razón 81:80.

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Adrasto, al que cita Teón de Esmirna (63.25 ss.) nos informa de que en la tratadística podemos encontrarnos hasta un espacio de triple octava más tono (en Platón, Ti. 35b-36b, cuádruple octava más quinta y tono) para las necesidades de representación tonal (cf. Aristox. Harm. 26.5-6 con el límite humano de doble octa-va más quinta). Pero el pasaje más cercano a éste de Ptolomeo es Gaud. Harm. 338.8 ss.: sumfwni/ai de/ ei)sin e)n t%= telei/% susth/mati to\n a)riJmo\n e(/c (cuarta, quinta, octava, octava más cuarta, octava más quinta, doble octava, igual que Bacch. Harm. 293.11-14); podría haber más combinaciones de consonancias, pero hay que quedarse en los límites de la extensión de los instrumentos y de la voz humana (cf. Gaud. Harm. 339.4-7; aunque ya hemos visto que los instrumentos pueden ser capaces de una extensión mayor). El caso de Ptolomeo es un posición

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sistemática y no práctica, pues su modelo no requiere más de dos octavas, como señala Barker (op.cit., p.284, n.45).

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Barker (SPH, pp.60-67) ha dividido el capítulo 5 en tres partes, corres-pondiendo a tres argumentaciones diferentes que proceden, según Ptolomeo, de la tradición pitagórica en torno a los intervalos y sus razones matemáticas. El primero de esos argumentos es el que se inicia aquí (13.1-14.3) y tiene como punto de parti-da (a)rxh/) la teoría cuantitativa que quedó estableciparti-da en I 3, y que es a partir de ahora manejada en forma de números, esto es, las diferencias entre sonidos diferen-tes son expresables en forma de números diferendiferen-tes; esto es un eco de las discusio-nes habidas entre los teóricos acerca de las nociodiscusio-nes de lo/goj, dia/sthma y u(peroxh/, en las que, además de la confusión entre tales términos, para algunos autores como Eratóstenes estaba claro que el intervalo, dia/sthma, se estableció entre dos térmi-nos (o(/roi) desiguales, mientras que el lo/goj era lo contrario, cf. Theo Sm. 81.17 e)peidh\ lo/goj me/n e)sti du/o megeJw=n h( pro\j a)/llhla poia\ sxh=sij: gi/netai d’ au(/th kai\ e)n <a)>diafo/roij (...) dia/sthma de\ e)n diafe/rousi mo/non, cf. igualmente Euc. Elementa, def.3.

Una vez asignados los diferentes números a aquéllas (cf. la distinción de 11.14 ss. entre sonidos i)so/tonoi y a)niso/tonoi), el postulado entonces es que la natu-raleza de las distintas relaciones matemáticas (i.e., racionales) entre tales números reflejan totalmente la naturaleza de las distintas relaciones sonoras, de modo que si las relaciones entre sonidos “consonantes” son las más hermosas perceptiblemente, esto ha de tener su contrapartida “racional” en sus respectivas razones matemáticas, en este caso los lo/goi e)pimo/rioi y pollapla/sioi (13.4-9). A pesar de que Barker (op.cit., p.61) señala que este modo de proceder parece tener su origen en una ela-boración del propio Ptolomeo, es posible ver en Sect. Can.149.8-16 un antecedente claro. Allí, el autor establece que todo “lo compuesto de partes” (ta\ e)k mori/wn sugkei/mena) ha de expresarse en relaciones numéricas; por tanto éste es también el caso de las notas, expresadas en lo/goi. Inmediatamente pasa a enumerar los tipos de lo/goi musicales, pollapla/sioi, e)pimo/rioi y e)pimerei=j (simplificando el número de relaciones, simplificación que también recoge Ptolomeo), cuyas relaciones es posible decirlas “con una palabra”, e(ni\ o)no/mati (149.15), es decir, lo/goi capaces de

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ser nombrados sin tener que recurrir a expresar los dos números (vid. Zanoncelli, op.cit., p. 63, n.5). Esta capacidad no explica, sin embargo, por qué las razones múltiples y superparticulares son las mejores, como ya aceptaba Sect. Can., y vuel-ve a repetir Ptolomeo (y reajustará en 18.7 ss.). El alejandrino declara en 13.8 que la excelencia de un lo/goj se establece por la “simplicidad de la comparación”, ka-ta\ th\n a(plo/thta th=j parabolh=j, sobre todo entre las múltiples y las superparticu-lares, pues es más simple la comparación –el exceso– en aquéllas que en éstas. Ésta es la interpretación de 13.8, au(/th, como lo/goj pollapla/sioj, 13.8 th=j e)kei/nwn como lo/goi e)pimo/rioi, y que es como lo han entendido todos los comentaristas. Nosotros seguimos tal interpretación basándonos en el siguiente argumento: si su-pusiésemos au(/th (13.8) como la diafora\ tw=n e)pimoriw=n te kai\ pollapla/siwn y th=j e)kei/nwn como la diafora\ tw=n legome/nwn e)pimerw=n kai\ w(j a)riJmo\j pro\j a)riJmo/n (13.6-7; el plural está justificado pues hemos interpretado h( tw=n lego-me/nwn e)pimerw=n kai\ w(j a)riJmo\j pro/j a)riJmo/n como “la de las llamadas superpar-tientes y de número a número”, y no como una sola categoría), estaríamos, cierta-mente, ante tal a(plo/thj th=j parabolh=j de 13.9 como la verdadera causa de discri-minación entre razones matemáticas, pues tal a(plo/thj abarcaría tanto a me/roj a(plou=n de la razón superparticular como to\ e)/latton me/roj (13.9-10) de la multiple. Pero entonces el alejandrino no compararía acto seguido (ib.) las múltiples con las superparticulares, sino el grupo formado por este par de tipos con el grupo formado por las superpartientes y número a número. Ptolomeo vuelve a repetir por qué la razón doble es la mejor (13.15, a)/ristoj) más adelante, en correspondencia a las ya conocidas virtudes perceptibles de la octava: se debe a que “produce un excedente igual a lo excedido” (13.16, th\n u(peroxh\n i)/shn poiei=n t%= u(peroxome/n%). Aunque en opinión de Barker (SPH, p.62) la analogía entre las excelencias de la octava perceptiblemente y las características de la razón doble sean “vague and elusive”, representa el esfuerzo que hace Ptolomeo en hallar la debida homogeneidad entre los datos fenoménicos y su modelo matemático, consecuentemente con su teoría de los krith/ria. En cuanto a la ordenanción jerárquica de los lo/goi matemáticos, Pto-lomeo postuló como explicación racional al intervalo consonante tan sólo la des-cripción de los lo/goi matemáticos que les correspondía, e hizo de esas característi-cas –explicitadas en 13.8-10– una virtud matemática, siendo como eran un rasgo

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neutro, como se ve en 13.16 (cf. la clasificación de Tetr. I 14, 2-3). Pero la crítica ha señalado el valor apriorístico de tal jerarquía (cf. SPH, pp.60-61), y sólo queda ser conscientes del procedimiento ptolemaico de equiparación de los datos fenomé-nicos con el modelo matemático que ha de proponerse: la redefinición de los lo/goi múltiples y superparticulares dando preeminencia al tipo de “exceso”, u(peroxh/, entre sus términos, frente a descripciones como las de Teón de Esmirna (70.8, 76.21, etc.) o Nicómaco (Ar. I 17.7 ss.), descripciones éstas de Ptolomeo que con-tribuirán al principio de “cercanía a la igualdad” de I 7 (18.11 ss.) para la gradación de intervalos homófonos y consonantes.

Compárese el tratamiento del alejandrino con el de Arístides Quintiliano, para quien la excelencia de las razones de la cuarta y quinta se debe a que sus rela-ciones geométrica y aritmética dan 12 y 35 respectivamente, números de importante significado en la especulación neoplatónica, cf. Aristid. Quint. 103.10 y Plut. an. procr. in Ti. 1018B.

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Gr. e)pimerh/j, razón matemática “superpartiente” entre dos sonidos, del tipo (n+m):n, siendo m>1. En métrica esta razón es la de los po/dej llamados do/xmioi, y están fuera de los r(uJmoi\ o)rJoi/ (vid. Luque Moreno, op.cit., p.20). Para la tradición pitagórica (cf., por ejemplo, Sect. Can.149.13 ss.) no entra en las razo-nes que expresan una consonancia; el principio ptolemaico busca la mitad más aproximada en una razón, lo cual es posible sobre todo en múltiples y superparticu-lares, pero no lo adopta como axioma, lo que posibilitará la clasificación de I 7 donde tiene cabida una razón superpartiente como 8:3. Por su parte, el axioma de Sectio Canonis (149.15) es la posibilidad de nombrar la razón con “un solo nom-bre” (e(ni\ o)no/mati), cf. Ptol. Harm. 16.9 e(no\j ei)/douj o)/ntoj. La doctrina matemática (Theo Sm. 78.6) la describe como aquel lo/goj, o(/tan o( mei/zwn o(/roj a(/pac e)/xv to\n e)la/ttona kai\ e(/ti plei/w me/rh au)tou= [tou= e)la/ttonoj], ei)/te tau)ta\ kai\ o(/moia ei)/te e(/tera kai\ dia/fora.

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A veces se suele identificar las razones e)pimerei=j con las de a)riJmo\j pro\j a)riJmo/n, (cf. Plat. Ti. 36b y Porph. in Harm. 117.14) pero Teón las explica como diferentes (78.6-23 y 80.7-14 respectivamente), siendo la de “número a nú-mero” aquella en que no se cumple ninguna de las circunstancias que se dan en las

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demás razones. De ahí nuestra traducción de kai\ w(j como “y”, en vez de la disyun-ción de todas las traducciones.

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Esta razón matemática (gr. e)pimo/rioj), “superparticular” y expresable como (n+1):n es descrita por la matemática dentro de los lo/goi mei/zonej, y es el tipo de razón en que se encuentran las consonancias de quinta y de cuarta. Teón de Esmirna (76.21 ss.) dice de ella: e)pimo/rioj de/ e)sti lo/goj o(/tan o( mei/zwn o(/roj a(/pac e)/xv to\n e)la/ttona kai\ mo/rion e(/n ti tou= e)la/ttonoj, toute/stin o(/tan o( mei/zwn tou= e)la/ttonoj tau/thn e)/xv th\n u(peroxh/n, h(/tij tou= e)la/ttonoj a)riJmou= me/roj e)sti/n. Junto a las razones múltiples, es susceptible de ser nombrada mediante un solo tér-mino, y de expresar consonancias (Sect. Can.149.23-24, Theo Sm. 74.23-75.7); según Ptolomeo incluso (Harm. 15.8), en ella debería encontrarse ta\ e)mmelh=. No puede ser dividida en dos de manera análoga (Sect. Can. prop.3), por lo que, por ejemplo, un tono se divide en dos semitonos desiguales, o seis tonos son mayores que una octava. La definición de Ptolomeo es mucho más simple que la de Teón y a la vez más exacta, pues explica qué es ese mo/rion e(/n ti tou= e)la/ttonoj; esto es, se-gún Ptolomeo, “una parte simple”, me/roj a(plou=n, que no es exactamente “one unit”, la unidad, como considera Solomon (op.cit., p.17, n.87), sino, como dice Bar-ker (op.cit., p.60, n.4), “an integral factor”, de modo que podamos equiparar, por ejemplo, 4:3 con 8:6 (pues de otra manera no habría una explicación aceptable para 19.11). La definición de Ptolomeo es diferente a la de Teón y no es casual (también lo es en el caso de la múltiple, cf. Harm. 13.8), pues tiende a la explicación que el alejandrino dará de la gradación de consonancias en I 7, según el principio de la “cercanía a la igualdad” (ib. 18.11, tv= pro\j ta\j i)so/thtaj e)ggu/thti, y sobre todo 19.10 ss.).

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Razón (m.n):n, “múltiple” (gr. pollapla/sioj). Para Ptolomeo y el pita-gorismo en general, la mejor razón (cf.13.8: a)mei/nwn ... kata\ th\n a(plo/thta th=j parabolh=j); sus propiedades matemáticas las desarrolla la euclidiana Sectio Cano-nis (propp.1 y 2). Para Teón de Esmirna (76.8) existe cuando o( mei/zwn o(/roj pleo-na/kij e)/xv to\n e)la/ttona, toute/stin o(/tan o( mei/zwn o(/roj katametrh=tai u(po\ tou= e)la/ttonoj a)partizo/ntwj. La menor de las razones múltiples (ib.77.24) es la doble (dipla/sioj), 2:1, que es la razón de la octava, y por tener una u(peroxh/ menor –más

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cercana a la igualdad– es, según Ptolomeo (13.15), a)/ristoj, como la octava es ka-lli/sth. Esta razón múltiple está formada por las dos mayores sesquitercias, 3:2 y 4:3 (quinta y cuarta respectivamente). Otras múltiples son la octava más quinta (3:1, tripla/sioj o “triple”) y la doble octava (4:1, tetrapla/sioj o “cuádruple”), cf. Ptol. Harm. 13.24 ss., Sect. Can. prop.7 o Theo Sm. 77.23 ss.

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La causa de las preferencias se explica a través de la a(plo/thj th=j para-bolh=j (cf. Harm. 37.20 pari/souj y 19.9-10, di/xa e)/ggista (...) e)mmele/steroi; vid. Solomon, op.cit., p.61), principio que como hemos visto determina la definición que da Ptolomeo de las razones superparticular y múltiple, y en correspondencia con el orden estético de las consonancias, empezando por la octava (entre los pita-góricos, una a(rmoni/a, cf. Philol. DK 44B6). Este tipo de ordenación es apriorística como también lo era en Sect. Can. para desdeñar la superpartiente (149.14-16, tou/twn de\ oi( me\n pollapla/sioi kai\ e)pimo/rioi e(ni\ o)no/mati le/gontai pro\j a)llh/louj). Hay significativas proximidades con pasajes aristotélicos: cf. Arist. Sens. 439b31-440a3, ta\ me\n ga\r e)n a)riJmoi=j eu)logi/stoij xrw/mata, kaJa/per e)kei= ta\j sumfwni/aj, ta\ h(/dista tw=n xrwma/twn eiÅnai dokou=nta (...) ta\\ de\ mh\ e)n a)riJmoi=j taÅlla xrw/mata, mezclando bien proporcionado con no en números. La “simplici-dad” de la comparación entre los términos es una explicación desarrollada en I 7, donde las mejores razones son las que dividen más aproximadamente igual, y por tanto la diferencia entre las mitades es mínima. Se puede comparar la expresión de Adrasto ap. Theo Sm. 50.19-21, wÂn ou) me\n a)/lloi mo/non h(rmosme/non (aquí se encuentran las razones e)pimerei=j) oi( de\ kata\ tou\j prw/touj kai\ gnwrimwta/touj kai\ kuriwta/touj lo/gouj pollaplasi/ouj te kai\ e)pimori/ouj h)/dh kai\ su/mfwnoi. Adrasto actúa como Ptolomeo, con la asignación de los intervalos consonantes a las razones superparticulares y múltiples, aunque admite que lo e)mmele/j también se exprese en razones de “número a número” (igualmente Adrasto ap. Theo Sm. 50.18). El hecho de que lo más consonante para Ptolomeo sea lo que más se acerca a la igualdad recuerda los adjetivos que se atribuyen al número 1 de la tetraktu/j en Theo Sm. 100.2 ss., así como al método que tiene este autor para generar las consonancias múltiples en la p.108. No obstante, este concepto está muy cerca de la noción de consonancia como “mezcla” (kra=sij, e(no/thj) donde ésta está, en la doctrina ptole-maica, indisolublemente unida a los números. Dada la comparación establecida al

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principio del capítulo por Ptolomeo entre números y notas y sus relaciones entre sí, y puesto que estamos tratando con intervalos, diasth/mata, y no con unísonos (que serían la razón 1:1), la mayor cercanía a la igualdad posible es la de la octava como ejemplo de kra=sij o e(no/thj, y por ello su razón (2:1) es la que tiene, como explica-rá Ptolomeo en 18.11, la simplicidad mayor. Ptolomeo ha hallado así un precioso medio –si es que ésta es la explicación que tenía in mente– para cualificar las distin-tas razones matemáticas, ordenándolas según el criterio de la u(peroxh/, y en corres-pondencia con la gradación que en el terreno sensorial privilegiaba la octava sobre la cuarta y la quinta (cf. por ejemplo Sect. Can.149.11 ss, Panecio ap. Theo Sm. 66.30 ss., Ps.Arist. Pro. XIX 35). La “belleza” perceptiva tendría su correlato, en-tonces, en la “cercanía a la igualdad” (vid. GMW, p.285, n.49).

Fuera del ámbito matemático, la razón física es que las razones numéricas que expresan una consonancia en Grecia reflejan las longitudes de las cuerdas, y no el número de vibraciones (como señala Gevaert, op.cit., vol. I, p.305, n.2), por lo que la simplicidad de la comparación surge de la simplicidad de la sucesión geomé-trica, que en el caso de la razón doble es más pequeña. De ahí que 2:1 establezca una comparación más simple que, por ejemplo, 4:3.

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La razón de la octava, “doble”, 2:1 (= [3:2]·[4:3], quinta más cuarta), de tipo múltiple.

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Literalmente “el todo y la mitad”, gr. h(mio/lioj. En métrica es el lo/goj que mantiene el ge/noj paiwniko/n según la teoría rítmica aristoxénica (cf. Rhyth. II 26.6; vid. Luque Moreno, op.cit., p.19 ss.), con una razón de 3:2. En música, la misma razón es la que mantiene la consonancia de quinta (cf. Sect. Can. prop.6, Anon. Bellerm. 72) y por ello también su razón recibe esa denominación; Teón de Esmirna (78.2-3) la explica así: o(/ti dh\ kai\ to\ h(/misu me/roj prw=ton kai\ me/giston kai\ e)gguta/tw t%?= o(/l%. Dicha razón (compuesta de tres tonos y un leima), junto con la de la octava (2:1, doble) y la de la cuarta (4:3, sesquitercia) ya fue descubierta por los pitagóricos quizás incluso antes de Filolao, para lo que hay toda una serie de leyendas sobre experimentos con discos de bronce o vasos. La relación sesquiálte-ra, de la quinta, es producto de la sustracción a la octava de una cuarta ([2:1]:[4:3]=[3:2]), cf. Philol. DK 44B6 y Nicom. Harm. cap.8.

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Además de su aplicación en la clasificación de los lo/goi, el término será aplicado también a uno de los géneros de la melodía, el cromático (xrw=ma); éste tiene una variedad (“coloratura”, xro/a) llamada h(mio/lion (cf. Aristox. Harm. 63.9 ss. o Cleonid. Harm. 189.9). Dicha variedad se caracteriza por una sucesión de dos intervalos de tres octavos de tono (Anon. Bellerm. 53 lo expresa como “pycnón de semitono y diesis enarmónica”) más un intervalo de siete cuartos de tono (o lo que es igual, un tono más tres cuartos de tono). Más claro se ve esta microtonalidad si echamos mano de la división de la cuarta en 30 partes iguales (cf. Aristid. Quint. 18.1-3), según la cual la interválica sería de 4 ½, 4 ½, 21.

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Es la razón de la cuarta, 4:3, “el total y un tercio” (e)pi/tritoj); es una ra-zón matemática del tipo superparticular. Hace, junto a la sesquiáltera de la quinta (3:2) la razón doble de la octava (2:1), y constituye la segunda superparticular ma-yor (cf. Theo Sm. 78.3-4, Ps.Arist. Pro. XIX 41). En métrica es esta razón conocida como ge/noj e)pi/triton (3/4), a su vez en los r(uJmoi\ e)pimo/rioi, tres largas y una bre-ve.

La correspondencia cuarta = razón sesquitercia, y quinta = razón sesquiálte-ra, y en general las demás, quedan establecidas, además de en toda la tratadística, desde la matemática (Sect. Can.158 ss., S. E. M IV 6 ss., VII 95 ss.); Ptolomeo se refirirá a lo mismo en Tetr. I 14.

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Cf. 14.4, grammikw/teron. Los dos modos de presentación de la doctrina pitagórica.

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En el fondo, ambas participan de lo mismo: la octava es la más hermosa por ser lo más próximo a la igualdad de tono (el criterio fundamental de Ptolomeo para la clasificación de las razones armónicas), que es lo mismo que decir que es un intervalo cuyos términos están, en un cierto sentido, lo más cerca numéricamente (2:1), como prueba Theo Sm. 83.16 ss., gi/netai de\ a)riJmo\j me\n e)k mona/doj, grammh\ de\ e)k stigmh=j, lo/goj de\ kai\ a)nalogi/a e)c i)so/thtoj, tro/pon de\ ou) to\n au)to\n e(/kaston tou/twn ktl., y 84.1-3, dio\ kai\ sumbai/nei th\n stigmh\n mh\ eiÅnai me/roj grammh=j mhde\ th\n i)so/thta lo/gou, th\n me/ntoi mona/da a)riJmou=; de otra manera en-tenderíamos “proximidad a la igualdad de tono” como la proximidad entre dos

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dos conjuntos de la escala. Por su parte, la razón doble produce un excedente “igual al sobrepasado” de forma que la aproximación a la igualdad siempre se podrá redu-cir a 1 (además de ser la razón múltiple menor; cf. la crítica de 16.15 ss.). El trata-miento peripatético de la cuestión lo leemos en Ps.Arist. Pro. XIX 35a y 39; se lla-ma, al igual que lo hace Ptolomeo, a la octava la consonancia kalli/sth (cf. ib. 95.14 y 100.9, h(di/sth). La hipótesis de este carácter podría residir en que sus tér-minos son o(/loi, “enteros” a diferencia de los superparticulares de la cuarta o quinta; o bien, el hecho de estar constituida por las dos superparticulares mayores y su me-dida (96.7-9): h)\ o(/ti telewta/th e)c a)mfote/rwn ouÅsa kai\ o(/ti me/tron th=j mel%di/aj ktl. Pro. XIX 39b (99.16) guarda relación con la teoría de los impactos desiguales (cf. Aud. 803b-804a) en conexión con la teoría acústica pitagórica y reflejando un hecho psicológico en las performances corales: no olvidemos el significativo texto de Ps.Arist. Pro. XIX 43, donde se explica que es más hermosa la unión de auló y voz que la de ésta con lira por su causa de su igualdad (h( me\n ouÅn %)dh\ kai\ o( au)lo\j mi/gnuntai au(toi=j di’ o(moio/thta, 105.8-9), extrayéndose de tal hecho una norma: poiw=n de\ diafora\n tv= ai)sJh/sei hÂtton h(du/nei (ib., 105.12-13); el concepto de la o(moio/thj es, pues, tanto matemático como estético.

Aristides Quintiliano (III 4) explica la excelencia de las razones 3:2 y 4:3 en el hecho de que sus respectivas relaciones geométricas y aritméticas dan las cifras 12 y 35, números muy importantes en la teoría armónica: cf., por ejemplo, Aris-tid.Quint. 103.10 y Plut. an.procr. 1018B.

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El caso de la octava más cuarta (8:3) ofrece problemas para su inclusión entre las consonancias desde el punto de vista pitagórico, pues no sólo no se expre-sa en una razón múltiple o superparticular, sino que sus términos escapan a la te-traktu/j pitagórica, 8:3 (= [2:1]·[4:3]), aunque Adrasto (ap. Theo Sm. 56) retrotrae el descubrimiento de la razón de esta consonancia –como las demás– al propio Pi-tágoras. Sin embargo para Ptolomeo está claro que es una consonancia a partir de uno de los krith/ria, el de la percepción, como afirma de manera categórica en 15.12-16. Significativo es el pasaje de Sect. Can. prop.11 (159.2 ss.): to\ a)/ra ag / dia/sthma (intervalo 16:9) di\j dia\ tessa/rwn o)/n e)sti dia/fwnon (como veremos después, Aristóxeno [Harm. 25.18-20, también otros como Adrasto ap. Theo Sm.

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52] entiende la producción de consonancias como la suma de cualquiera de ellas a la octava): dos cuartas producen una séptima y dos quintas una novena, que ya des-de el punto des-de vista estético no son consonancias, como tampoco numéricamente: cf. Pro. XIX 41 (p.102) con semejante argumento. La razón 8:3 está, pues, expresa-da en forma superpartiente conforme a Ptolomeo (cf. Porph. in Harm. 117.12-13) y por ello no debe parecer, ni siquiera a los oídos, una sumfwni/a (cf.Arist. Sens. 439b19, donde las consonancias, como los colores, han de estar e)n a)riJmoi=j eu)logi/stoij para resultar ta\ h(/dista). Desde el punto de vista aristoxénico, que opera con una noción de consonancia alejada de la matemática, no hay contradic-ción alguna, pues una consonancia sumada a una octava produce otra consonancia: cf. Harm. 56.10-12, prw=ton me\n ouÅn lekte/on o(/ti pro\j t%= dia\ pasw=n pa=n su/mfwnon prostiJe/menon dia/sthma to\ gigno/menon e)c au)tw=n me/geJoj su/mfwnon poiei=; así, la nómina de consonancias se eleva a ocho: ib. 27.12-13, o(/ti d’ o)ktw\ mege/Jh sumfw/nwn diasthma/twn sumbai/nei gi/gnesJai r(#/dion sunidei=n. Si Aristóxeno ad-mite las consonancias mediante la percepción (Harm. 42.8 ss.), la octava más cuarta debe ser una consonancia de las o)ktw\ mege/Jh: recordemos el pasaje de Dídimo (Porph. in Harm. 26.20-25).

Teón de Esmirna (79.15 ss.; también Adrasto, ib. p.56), que ofrece con más detalle una relación de lo/goi matemáticos, incluye la razón 8:3 en las razones po-llaplasiepimerei=j (“múltiple-superpartientes”, [mn]+x:n, [2.3]+2:3), o(/tan o( mei/zwn o(/roj di\j h)\ pleona/kij e)/xv to\n e)la/ttona kai\ du/o h)\ plei/w tina\ me/rh au)tou= ei)/te o(/moia ei)/te dia/fora; la llama dipla/sioj kai\ di\j e)pi/tritoj. En la tratadística musical tardía, Gaudencio (Harm.339.26-27) llama a esta razón diplasiepi-di/moiroj, de forma equivalente a la expresión de Teón (8:3, 8 = [2·3]+[(2:3)·3]). La aporía se resolverá teóricamente con Zarlino en el siglo XVI al sustituir la tetrak-tu/j por el senario, y distinguir entre consonanza propriamente detta y consonanza comunemente detta (cf. J. J. Goldáraz Gaínza, Afinación y temperamento en la mú-sica occidental, Madrid 1992, pp.33-34).

107

En contraposición a Harm. 13.1-14.3 (logikw/teron, 13.13). El método de Sectio Canonis (fasi/ se refiere a los pitagóricos en general, como dice el epígra-fe del capítulo) pero denostado por Aristox. Harm. 42.11 ss., pues si tv= me\n ga\r

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385

a)kov= kri/nomen ta\ tw=n diasthma/twn mege/qh, el geómetra hace todo lo contrario: ou) ga\r e)/stin w(/sper e)pi\ tw=n diagramma/twn ei)/JisJai le/gesJai: e)/stw tou=to eu)qei=a grammh\ ktl., aunque el mousiko/j de Aristóxeno debe cultivar su oído.

108

Cf. Ps.Arist. Pro. XIX 41. No se entiende el primer diagrama de la edi-ción de Düring, pues para que AG sean una doble quinta, la serie 9-12-16 no es vá-lida ([3:2]·[3:2] = 9:4). Barker y Solomon corrigen estos números en su traducción : 8-12-18, que mantienen entre sí razones sesquiálteras. Desde Pro. XIX.41 sabemos que la doble quinta no es consonante ([3:2]·[3:2] = 9:4; tampoco Aristóxeno la con-sideró): cf. ib. p.102.15-17, o)/ntwn de\ h(mioli/wn triw=n e(ch=j a)riqmw=n h)\ e)pitri/twn oi( a)/kroi pro\j a)llh/louj ou)de/na lo/gon e(/cousin. Por ou)de/na lo/gon hay que entender una razón múltiple o superparticular conforme a Sect. Can. 149.15. Según el texto peripatético, la razón resultante no es ni superparticular ni múltiple (9:4, doble quinta; 16:9, doble cuarta). Es lo correspondiente a Sect. Can. prop.4: e)a\n dia/sthma mh\ pollapla/sion di\j sunteqv=, to\ o(/lon ou)/te pollapla/sion e)/stai, ou)/te e)pimo/rion (ib. p.153.5-7). A continuación, según Ptolomeo, al no ser múltiple AG, tampoco lo es AB. El fundamento de la demostración se basa en Sect. Can. propp.1 y 2. En efecto, si AG hubiese sido múltiple, AB o BG lo hubiesen sido, pues cual-quier intervalo múltiple tomado dos veces hace otro múltiple, y viceversa. Por re-ducción la quinta ha de ser superparticular, razón restante para una consonancia.

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El segundo argumento (frente al de 13.1 ss.) tiene como fuente Sect. Can. propp.2, 3 y 10. Barker (BPH, p.64) advirtió de la inconsistencia de la primera parte de esta segunda argumentación, al aislar quizá Ptolomeo una sección de su fuente: no hay una conexión lógica entre el hecho de que la doble quinta no sea una consonancia y que su razón no pueda ser múltiple. El hecho, como señala Barker, es que hay razones múltiples que reflejan intervalos no consonantes para los griegos (por ejemplo, 5:1); efectivamente, en 16.6 ss., Ptolomeo señala la aporía de identi-ficar las consonancias con las razones múltiples. Esta incongruencia se debe, según Barker, al hecho de que para Ptolomeo el argumento más importante y donde centra su atención el alejandrino es el anterior (13.1-14.3); ocurre simplemente que Pto-lomeo ha transmitido la parte de la fuente (Sectio Canonis) que le interesaba sin hacer un examen crítico.

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386

Por otra parte, es el caso que la doble octava 4:1 puede ser dividida en par-tes iguales, de forma tal que su razón no puede ser superparticular en virtud de Sect. Can. prop.3; si era una consonancia, como mostraba la premisa inicial, entonces es múltiple; una razón múltiple, en virtud de Sect. Can. prop.2, obtenida de un interva-lo tomado dos veces, nos lleva a ese intervainterva-lo simple también múltiple; como AB era una octava, la razón de la octava es múltiple (Sect. Can. prop.10).

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Cf. Euc. Elementa VII 19, Sect. Can. 152.2-3, Nicom. Ar. 126, Theo Sm. 106.

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Cf. Euc. Sect. Can. prop.12 (la octava es doble porque ésta es la primera razón múltiple), y prop.6. El tono está en razón sesquioctava según Sect. Can. prop.13. Si la octava está formada por los dos intervalos superparticulares mayores (según Sect. Can. prop.6), la consecuencia es que cualquier intervalo formado por otros dos superparticulares ha de ser menor que la octava; de ahí que no aceptemos la traducción de Düring (Die Harmonielehre des Klaudius Ptolemaios, Göteborgs Högskolas Årsskrift, vol. 36, nº 1, Göteborg 1930 [= PH], p.30) para 15.4-5: “so-dass die zwei aus anderen überteiligen Verhältnissen gebildeten Verhältnisse klei-ner sein müssen als das Doppelte”, pues du/o es genitivo (cf. 13.24, 15.3). Que no hay razón múltiple menor que la doble queda demostrado en Sect. Can. prop.12.

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El término indica “un total y un octavo del total” (gr. e)po/gdooj, i.e., 1+1/8). Es la razón del tono mayor, 9:8; el adjetivo también puede significar, por extensión, “tono” (cf. Hsch., s.v.). Es el sentido de “intervalo” de Cleónides (Harm.202.6-8). En la clasificación de razones matemáticas, Teón (75.3 ss.) inserta esta proporción en aquéllas e)n sumfwni/#, junto a la del lei=mma, no siendo ni de las pollapla/sioi ni de las e)pimo/rioi, sino del grupo de las ou)de/teroi.

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El término también aparece en muchas fuentes, entre ellas los Anon. Be-llerm. 52 y 54 como h(mitoniai=on, al igual que to/noj es sinónimo de toniai=oj (cf. Ptol. Harm. 18.3-4). Hay dos consideraciones generales sobre el semitono: la aris-toxénica, que podríamos llamar “temperada” (aunque vid. las reticencias de E. A. Lippman, Musical Thought in Ancient Greece, London-New York 1964, p.151), y la pitagórica, más matemática. En Harm. 27.16-18, Aristóxeno explica que el tono

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“se puede dividir de tres maneras, puesto que su mitad, su tercio y su cuarto se con-sideran melódicos”, cf. Ptol. Harm. 33.10-11. De otra forma, el tarentino también divide la consonancia de cuarta en 30 partes iguales, o lo que es igual, el tono en 12 (puesto que una cuarta son dos tonos y medio), en Rhyth. II 23.15. Esta división del tono no establece diferencia alguna entre ambos semitonos, y como consecuencia se establece un sistema de sonidos que distan ya un tono, ya medio, pero sin implica-ciones matemáticas como las de la octava diatónica pitagórica, con un semitono menor llamado lei=mma (Sect. Can. prop.17, Philol. DK 44B6). La causa reside en los criterios de Aristóxeno, que se basan en la percepción y no en la razón (además de considerar el intervalo como un espacio), además del hecho, señalado por Ptol. Harm. 30.7-9, de que al considerar el intervalo como un espacio (cf. Porph. in Harm. 95.13) entre dos notas “incorpóreas”, el intervalo no está sujeto a leyes ma-temáticas: por ejemplo, el caso de la imposibilidad de la división en dos partes iguales de una razón superparticular (cf. Sect. Can. prop.3). Por ello se considera la aristoxénica una concepción precursora del temperamento.

Para la teoría pitagórica sobre el semitono es central el pasaje de Sect. Can. prop.16 que aquí recoge Ptolomeo, o( to/noj ou) diaireJh/setai ei)j du/o iÅsa ou)/te ei)j plei/w, con lo que se invalida la división aristoxénica. Una forma de división pita-górica del tono en dos partes es la que exhibe Arístides Quintiliano, 95.19 ss. (tam-bién Gaud. Harm. 343). Si la razón del tono es 9:8, y no hay ningún número entre ellos; entonces se duplican éstos, obteniendo así 16 y 18, hallando en medio el 17. Así pues, habrá un semitono mayor (mei=zon) de razón 17:16, y uno menor (e)/latton) de razón 18:17; Arístides Quintiliano llama al semitono menor, conforme a sus fuentes, “resto”, lei=mma. La conclusión que saca de todo esto es que la cuarta no es, como decía Aristóxeno, dos tonos y un semitono (loc.cit.; también Anon. Bellerm. 71), como demuestra en 96.20. Efectivamente, una cuarta de razón 4:3 menos dos tonos de razón 9:8 da como “resto” un residuo de razón de 256:243 (Plat. Ti. 36b), para Arístides Quintiliano símbolo de la precariedad de lo sensible, o de lo irracio-nal (cf. Sect. Can. prop.15).

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Cf. Euc. Sect. Can. propp.8 y 13; en prop.16, este tratado demuestra (co-mo aquí recoge también Ptolomeo con un matiz diferente) que el tono no puede ser

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ser dividido en dos intervalos iguales; ha de dividirse en lei=mma (256:243) y a)potomh/ (2187:2048). Barker (op.cit., pp.64-65) llama a este último pasaje “argu-mento c”, y señala la confusión que es evidente en el texto ptolemaico a la hora de transmitir la fuente euclidea: en prop.3, Sect. Can.dice que en un intervalo superparticular no hay una media proporcional (152.1, ou)dei\j me/soj...a)na/logoj), sin referirse al intervalo de tono; en prop.16, añade que el intervalo de tono no se puede dividir en dos o más iguales (161.17, o( to/noj ou) diaireJh/setai ei)j du/o iÅsa ou)/te ei)j plei/w). Lo que hace Ptolomeo es, efectivamente, combinar ambas demostraciones; esto por lo que se refiere al manejo de la fuente, pues como señala Barker, Sect. Can. no dice nada de la cualidad de lo “melódico”, y a la vez emplea intervalos como pasos melódicos que no son superparticulares como el leima (Ptolomeo se ocupará en I 7 de los intervalos “melódicos”, que para él se expresan mediante razones superparticulares, intervalos que llegan en tamaño hasta la cuarta). De ahí que este pasaje ptolemaico haya sido puesto en relación con otras fuentes: su carácter “no geométrico”, al modo de 14.4 ss., lo acerca más a las valoraciones de la primera parte de este capítulo (13.1-14.3) según Barker, proponiendo este autor a Arquitas en la idea de que es completamente achacable a este pitagórico la idea de la conexión entre superparticulares e intervalos melódicos (cf. Ptol. Harm. 19.4-13, 34.21-35.1). Barker (op.cit., p.67) se apoya, aparte de la teoría de las medias proporcionales de Arquitas, en el sugerente razonamiento de que, por una parte, Ptolomeo identifica de entre los pitagóricos, a uno sólo con su nombre, Arquitas (34.18); y por otra, Ptolomeo estaría asociando a Arquitas –o la fuente que él identifica con Arquitas– con tales u(poJh/seij racionales, las de I 5. Esto haría pensar, por último, que también el argumento de 13.1-14.4 podría tener un origen en Arquitas, puesto que ambos están evidentemente relacionados al considerar el tipo de “exceso” (u(peroxh/) entre los términos de una razón. El pasaje de 15.8 es un avance del tratamiento posterior de este tipo de intervalos en 19.5 ss. Si las sospechas de Barker son ciertas, la reestructuración ptolemaica de los intervalos en tres categorías (I 7), aún siendo relativamente original, tiene una procedencia de Arquitas clara en lo que al criterio de fondo se refiere, el carácter su/mmetron de los excesos (16.11). 115

Que lo “melódico” (e)mmele/j) se encuentre sólo en las razones superpar-ticulares no se lee en Sect. Can.; más adelante Ptolomeo lo repetirá en 37.19-20.

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Quizá esté basada en el hecho de que en las divisiones de los géneros melódicos que veremos a lo largo del tratado, son las superparticulares prácticamente las úni-cas utilizadas, pero no son en absoluto las úniúni-cas, y esto afecta, como señala Barker (“Ptolemy’s Pythagoreans, Archytas, and Plato’s conception of mathematics”, Phronesis 39 [1994], p.128) a Filolao, Sectio Canonis o Platón. Pero que esta pro-piedad sea lo expresable mediante una relación matemática, proviene del pitago-rismo y del Perípato: cf. por ejemplo Adrasto (citado por Theo Sm. 50.14 ss, para quien los sonidos son ya notas bajo las razones múltiples, superparticulares y de “número a número” (cf. Ptol. Harm. 13.8 ss.), aunque acto seguido reconozca que las únicas “consonantes” (su/mfwnoi) son las múltiples y superparticulares. Barker (op.cit., p.129) propone a Arquitas como primer origen verosímil de esta tesis, ba-sándose en la inclinación especulativa que demuestra este pitagórico; no obstante, en su cromático observamos (cf. Harm. I 13) lo/goi que no son superparticulares, aunque admiten una interpretación basada en la cualidad e)pimo/rioj (cf. N.Tr. 265). Para Barker, un apoyo importante a esta atribución es el aserto de Ptolomeo sobre el mismo Arquitas, que confirmaría que este pitagórico sólo aceptaba lo/goi e)pimo/rioi: cf. Harm. 34.21-35.1, w(j oi)kei/ou tv= fu/sei tw=n e)mmelw=n o)/ntoj tou= sum-me/trou tw=n u(peroxw=n, “en la idea de que es propio de la naturaleza de los intervalos melódicos la proporcionalidad de los excesos (cf. N.Tr. 261). Esta proporcionalidad o summetri/a indica precisamente el tipo de relación que deben mantener los térmi-nos (o(/roi) del lo/goj interválico: cf. Ptol. Harm. 13.9-10, o(/ti me/roj e)sti\n a(plou=n e)n au)tv= tw=n me\n e)pimori/wn h( u(peroxh/, tw=n de\ pollaplasi/wn to\ e)/latton tou= mei/zonoj.

No cabe duda, por lo demás, que en el contexto pitagórico en que se desa-rrolla el capítulo, Ptolomeo se está refiriendo a lo que los pitagóricos entendían como “semitono”, es decir, el lei=mma (256:243). La razón de tal intervalo es de tipo e)pimerh/j, de modo que ni siquiera puede ser dividida en dos razones superparticula-res, al modo en que 2:1 lo es en 4:3 y 3:2. Aunque esta característica matemática del lei=mma le convierta en e)kmelh/j, quizá con el sentido del término que se puede leer en Ti. Locr. 220.9 a( de\ a)/takto/j te kai\ a)/logoj e)kmelh/j te kai\ a)na/rmostoj, sin embargo en I 16 veremos a este intervalo dentro de las divisiones de los géneros

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de la melodía (en el diatónico ditonal), y en la división del pitagórico Filolao (DK 44B6) aparece con el nombre de di/esij.

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La “función” de una nota es su relación, pro/j ti, con las que la rodean. Sólo más adelante, en II 5, establecerá Ptolomeo la denominación de las notas “funcionalmente”, kata\ du/namin, frente a la denominación “física” o de acuerdo con su posición en el conjunto de cuerdas de un instrumento, y cuya posición es la típica del llamado “sistema perfecto”. En lo que a este pasaje respecta, las implica-ciones no son demasiado importantes, porque incluso sin haber establecido la dife-rente nomenclatura de II 5, se entiende lo que quiere decir aquí nuestro autor, si atendemos al importante término de 15.16 eiÅdoj. De nuevo es más adelante (II 3, especialmente 56.7) donde Ptolomeo introduce la noción de “forma”, eiÅdoj tw=n sumfwniw=n. Dice el alejandrino que la forma de una consonancia es “una determi-nada posición de sus razones particulares en sus límites apropiados y en cada géne-ro (eiÅdoj me\n toi/nun e)sti poia\ Je/sij tw=n kaJ’ e()kaston ge/noj i)diazo/ntwn e)n toi=j oi)kei/oij o(/roij lo/gwn). De modo que como las consonancias a las que se puede dis-tribuir en función de sus ei)/dh son la cuarta, quinta y octava, y ésta última está for-mada por los ei)/dh de las dos primeras (según Ptolomeo, pero cf., de otro modo, Gaud. Harm. 346.6 ss.), la nota más aguda de una octava es el fin de un eiÅdoj pero el principio de su repetición, por lo que guarda respecto a la nota más aguda que ella la misma función que la nota más grave de esa octava respecto a su siguiente nota. Aquí es ya evidente que los ei)/dh son algo circular, lo que más adelante (58.4) Ptolomeo llamará a)pokata/stasij, “circularidad” o “periodicidad” en lo que a la disposición de las escalas o “tonos” se refiere.

Para Ptolomeo, si la octava funciona como el número diez, 10 + 4 es lo mismo que octava más cuarta en tanto que el número 10 como número base no cambia la naturaleza de aquello a lo que ha sido añadido (Solomon [op.cit., p.20, n.104] compara este procedimiento con el sistema de numeración alfabético grie-go); o bien: dada la octava fa-fa’, el do a una cuarta grave bajo fa tiene la misma función respecto a fa que respecto a fa’, y lo mismo pasa con una cuarta aguda so-bre fa (si bemol; de igual modo funciona la armonía moderna). Este carácter de la octava, desarrollado así por Ptolomeo, ya fue considerado por Aristóxeno, cf.Harm.

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25.18-26.1 (panto\j ga\r prostiJeme/nou sumfw/nou diasth/matoj pro\j t%= dia\ pasw=n kai\ mei/zonoj kai\ e)la/ttonoj kai\ i)/sou to\ o(/lon gi/gnetai su/mfwnon, “pues todo inter-valo consonante añadido a la octava, tanto si es mayor, menor o igual que ésta, da como resultado una consonancia”), y 56.10-12. Esto sólo es admisible si, como de hecho afirma Ptolomeo, los dos términos de una consonancia de octava tienen la misma función; en este caso esta igualdad asegura que cualquier consonancia unida a la octava resulta una consonancia; de ahí la comparación con el número 10. Este tópico de la doctrina armónica desde Aristóxeno pero introducido aquí como ele-mento en la crítica a las consonancias de los pitagóricos, ha de ser retomado de nuevo más adelante (Ptol. Harm. 67.13-14, 21-24) como elemento fundamental en su estudio de los “tonos” o escalas. Precisamente, la naturaleza de la octava como elemento que, añadido a una consonancia, no altera las funciones de ésta, interviene en el desarrollo de la modulación que Ptolomeo (ib. 63.2-8) llama “de tono”. Efec-tivamente, si las funciones (duna/meij) no cambian, porque la octava añadida no las modifica, entonces una escala que se transporte en altura tonal a una octava por el agudo o por el grave tampoco modificará sus funciones internas, es decir, las rela-ciones entre las notas y sus intervalos; y por ello resultarán dos octavas idénticas, y su hÅJoj no variará (63.10), aunque se les denomine con nombres diferentes como hacen algunos teóricos y Ptolomeo critica en II 9-10.

Desde el criterio perceptivo de la consonancia como kra=sij (Cleonid. Harm. 187.20, Eliano ap. Porph. in Harm. 96.11-12, etc.) la octava es la primera en excelencia, cosa que no les ocurre a las razones superparticulares (cf. Ps.Arist. Pro. XIX 41); en Pro. XIX 39a, podemos observar que el hecho de mantener una misma función no significa lo mismo que un unísono: 100. 7-9, sumfwni/a de\ pa=sa h(di/wn a(plou= fJo/ggou - di' a(\ de\, ei)/rhtai, kai\ tou/twn h( dia\ pasw=n h(di/sth: to\ o(mo/fwnon de\ a(plou=n e)/xei fJo/ggon (cf. Ps.Arist. Pro. XIX 42 [103.5], donde se habla de la o(moio/thj que se puede producir entre las notas u(pa/th y nea/th). Este principio de igualdad funcional determina los párrafos siguientes del texto. La consecuencia podemos verla a través del siguiente supuesto: dada una octava AB, una nota más grave a distancia de cuarta de A, X, y otra nota más aguda que B a distancia de cuarta, Y, si la nota o extremo más cercano de la octava es A, entonces X-A es una cuarta; pero respecto al extremo más alejado, si X-A es una cuarta, entonces X-B

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será la magnitud de octava más cuarta (igual sucede con Y respecto a A, de ahí e)pi\ ta\ au)ta/, Ptol. Harm. 15.17 y Porph. in Harm. 106.1 ss.), y Ptolomeo va a dejar claro que ambos intervalos (cuarta y octava más cuarta) funcionan igual.

Un razonamiento similar podría hacerse si las distancias X-A e Y-B fueran quintas, con el resultado de octava más quinta. Esta identidad de funciones se ve tanto predeterminada como corroborada por la percepción, lo cual es una herencia de la doctrina aristoxénica de la adición de consonancias a la octava. El punto de partida para la refutación de la exclusión pitagórica de la octava más cuarta de la nómina de las consonancias no es una reducción al absurdo de la teoría numérica pitagórica, sino una asunción de postulados aristoxénicos (cf. la definición que dio Ptolomeo en 4.3 de a(rmonikh/), y el hecho de partir absolutamente de la percepción, de acuerdo con el sistema establecido antes por el propio Ptolomeo: la octava más cuarta es “sin duda” una consonancia para los sentidos (15.12, panta/pasin e)nargh/j). En este caso Ptolomeo se propone una explicación racional a un hecho estético indiscutible, como señala Barker (op.cit., p.70) de acuerdo con su sistema epistemológico, en el que lo perceptible es una forma de expresión de la racionali-dad (cf. Harm. 6.19-21), a diferencia de los pitagóricos.

Por último, es interesante notar que lo más verosímil en el caso de 15.17 ka)\n lhfJv= tij, es suponer tij (sumfwni/a), de acuerdo con Porfirio (in Harm. 106.3) y con el razonamiento del resto del capítulo y de la tratadística musical. Bar-ker (GMW, p.287), sin embargo, traduce “note”, sin duda influido por 15.14-15 kata\ th\n du/namin e(no/j y el escolio ad locum (prosupakou/ein dei= tou= fJo/ggou), cf. Porph. op.cit.104.27.

Porfirio (op.cit. 106.5-25) entiende e)pi\ ta\ au)ta\ toi=j a)/kroij como una adi-ción de un intervalo consonante (por ejemplo, una cuarta) en la misma direcadi-ción que las notas que bordean la octava central (u(pa/th me/swn, nh/th diezeugme/nwn), es decir, en ambas direcciones desde ambos extremos. En ese caso, se añadiría una cuarta hacia el agudo desde u(pa/th me/swn (llegando hasta la me/sh) y desde nh/th diezeugme/nwn (llegando hasta la nh/th u(perbolai/wn), y viceversa, hacia el grave

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