Circunferencia y círculo
Semana 3
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Semana 3
Circunferencia y círculo
Apreciados participantes, ¡bienvenidos a un nuevo encuentro! Comencemos con buen ánimo y muchísima disposición.
Tanto en la naturaleza como en las
obras de arte, hay diversidad de formas más o menos redondas, como las secciones de los troncos, las ondas que se forman cuando dejamos caer una piedra en un estanque de agua, el perfil del sol o de la luna llena, etc. De igual manera, las grandes catedrales se encuentran decoradas con grandes ventanales, conocidos como rosetones, cuya forma es circular, considerados obras de arte por sus bellos motivos y la armonía en sus diseños.
Esta semana conoceremos los elementos de la circunferencia y el círculo; veremos cómo se pueden obtener las fórmulas para calcular la longitud y el área de objetos cir-culares. Y aprovecharemos el tema central “Sentidos y arte” que se inicia esta semana, para estudiar las figuras circulares que se aprecian en algunas obras arquitectónicas.
Observa las imágenes y clasifícalas según te den la “idea” de círculo o de circunferencia.
Empecemos con una breve lectura…
Los rosetones
Un rosetón es una ventana circular calada, dota-da de vidrieras, cuya tracería se dispone general-mente de forma radial.
El rosetón se utilizó en la arquitectura románica y con mayor profusión en la gótica: son ornamen-tos arquitectónicos que se encuentran en algunas catedrales y templos; las vidrieras se decoraban normalmente con escenas bíblicas en vivos colo-res. Su misión es doble: la más simple es iluminar el interior de los templos; y a su vez conseguir un ambiente misterioso al incidir en el altar los rayos
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179 Como uno de los ejemplos más representativos de la sublimidad artística que puede encerrar un rosetón se suele citar la pareja que adorna el transepto de Notre Dame de Paris. La primera imagen de la sección Conocimientos previos muestra un tipo de rosetón.
1. Circunferencia y círculo
Dibuja un punto en tu cuaderno y llámale O; con una regla dibuja 10 puntos que es-tén situados a 3cm de dicho punto. Une con una línea todos los puntos que has dibu-jado, menos el punto O. ¿Qué figura obtienes? Si marcas muchos puntos alrededor de O, a una distancia de 3cm, al unir los puntos ¿qué has obtenido? Teniendo en cuenta esta actividad podemos decir que:
Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a una misma distancia de un punto dado que se llama centro (O). La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
Al sombrear el interior de la región que encierra la circunferencia, tendrás que, El conjunto formado por una circunferencia y todos sus
pun-tos interiores determinan un círculo.
Ten en cuenta que círculo y circunferencia son cosas distintas, pues, el primero es una superficie o plano y la segunda una línea o borde.
2. Elementos de la circunferencia
Figura 5
El radio es el segmento que va desde el centro a cualquier punto de la circunferen-cia. Todos los radios de una circunferencia tienen la misma medida (considerando la rueda de la bicicleta, los “rayos” son ejemplos de radios).
Arco Radio Diámetro Cuerda A B
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El arco es una porción cualquiera de la circunferencia. Un arco de extremos A y B se denota por “arco” AB.
La cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Una cuerda divide a la circunferencia en dos arcos.
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y divide a ésta en dos arcos iguales que se llaman semicircunferencias. Asimismo, podemos observar que el diámetro mide el doble del radio (ver figura 5). Además, el diámetro es la mayor de las cuerdas que pueden trazarse.
3. Longitud de una circunferencia. El número pi
En la semana 3 del 3er semestre realizamos la actividad denominada “Descubriendo el valor de π” , de donde obtuvimos la siguiente relación:
π = = , podemos escribir π =
o , L = π · d, dado que d = 2r; sustituyendo obtenemos: Longitud de la circun-ferencia: L = 2 π r
Para determinar la longitud de objetos que tengan forma circular, sólo debes medir su radio (o diámetro) y aplicar la fórmula anterior.
Ilustremos con un ejemplo: el tronco de un árbol tiene 4m de diámetro. ¿Cuántas personas se necesitan para abrazarlo, suponiendo que cada persona –en promedio– puede abrazar 1,6m?
Con los datos del problema, utilicemos la fórmula L = π · d = 3,14 · 4m = 12,56m. Dividiendo la longitud de la circunferencia entre el promedio de abrazo, obtenemos la cantidad de personas. Esto da 7,85 ¿Podemos tener ese número de personas?, ¿tiene sentido en este ejemplo trabajar con cifras decimales?, ¿por qué?
4. Elementos de un círculo
Figura 6
Sector circular: región del círculo comprendida entre dos radios y el arco
correspondiente.
Segmento circular: región del círculo comprendida entre un arco y su cuerda. Semicírculo: región limitada por un diámetro y su arco. Mitad del círculo.
Corona circular: región del plano encerrada por dos circunferencias con el mismo
Longitud de la circunferencia Diámetro L d L d Sector Circular Segmen to Circular r R
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5. Área del círculo
Al trazar dos diámetros perpendiculares en un círculo, éste queda dividido en cua-tros partes iguales (sectores circulares). Dibuja un círculo, recorta esos sectores y pé-galos, como se muestra en la figura 7.
Figura 7
¿Parece un rectángulo? ¡No! Pero, si divides el círculo en muchos sectores iguales cada vez más pequeños y realizas el procedimiento anterior, comprobarás que hay un mayor parecido al rectángulo (ver figura 8). Detalla que durante el corte y pegado de la figura no haya faltado ni sobrado nada. De manera que, el área del círculo es una buena aproximación del área del rectángulo.
Figura 8
Dado que sabemos calcular el área del rectángulo, establezcamos enlaces entre las figuras 7 y 8, para hallar la fórmula que describe el área del círculo. ¿Qué relación hay entre la suma de las longitudes de los arcos de la base y la longitud de la circunferen-cia?, ¿y entre la altura del rectángulo y el radio del círculo? Verifica que efectivamente la base del rectángulo es la mitad de la longitud de la circunferencia, será entonces πr y la altura es igual al radio del círculo r, luego el área del rectángulo será A = b.a = π · r · r = π · r2 por tanto A
círculo=π · r2.Un círculo abarca un ángulo de 360º. Si divides
el círculo en sectores de un grado, el área de cada sector del círculo quedará dividida entre 360º.
Para hallar el área de un sector circular de nº (cualquier grado), aplicamos
A sector= =
Saber más
Si deseas informarte acerca de la invención de la rueda y el uso de ésta, visita las siguientes direcciones web: http://www.educar.org/inventos/rueda.asp ; http:// www.iesmarenostrum.com/departamentos/tecnologia/mecaneso/mecanica_ basica/operadores/ope_rueda.htm
En el CD multimedia encontrarás actividades interactivas donde debes iden-tificar los elementos del círculo y circunferencia; además verás un ejemplo de cómo hallar el área de un círculo.
1 2 3 4 1 1 2 3 4 A círculo nº 360º nº · π · r2 360º
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1. En la figura 9 el vértice O del triángulo OAB es el centro de la circunferencia. Responde:
a) ¿Cuántos vértices del triángulo OAB están en la circunferencia? b) ¿Qué son los segmentos OA y OB respecto de la circunferencia? c) ¿Qué es el segmento AB respecto de la circunferencia?
d) Si OA = 10m , ¿cuánto mide CD y OE ?
Figura 9
2. Las ruedas de una bicicleta tienen 30cm de radio, ¿cuánto recorre la bicicleta, si las ruedas dan vueltas 50 veces?
3. En una plaza de forma circular de radio 25m se van a poner 7 fuentes, cuyas bases son círculos de un 1m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.
Aplicaciones de las circunferencias
Unos de los descubrimientos más importantes de la historia de la humanidad, ade-más del fuego, ha sido la rueda, un invento simple y antiquísimo. Sin embargo, fue algo esencial para la evolución de maquinarias de todo tipo, facilitando el trabajo de transportar objetos y personas. Es un elemento necesario en infinidad de inventos, tanto antiguos como actuales, desde los primitivos molinos hasta la bicicleta, motos, automóvil, avión, tractor, silla de ruedas, etc.
Habrás advertido el uso de la circunferencia y círculo en nuestra vida diaria; gracias a éstas figuras se pueden fabricar objetos con gran precisión, por ejemplo, el CD, un dis-co óptidis-co circular para el almacenamiento de información de forma binaria. ¿Cuál es el valor del diámetro del CD multimedia que acompaña a este módulo?, ¿y su área?
De igual manera, en el ámbito musical tenemos las baterías, formadas por un con-junto de tambores y platillos (de forma circular); para referirnos a las medidas de éstos últimos, se recurre al diámetro. Por ejemplo: “ese platillo es de 18”, significa que el pla-tillo tiene 18 pulgadas de diámetro.
C O E D B A
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183 Asimismo, en los medios de transporte se tiene, por ejemplo, la bicicleta, cuyas rue-das están compuestas por una cubierta de caucho, una llanta y un aro (usualmente metálico, sobre el que se monta la cubierta de caucho), un buje y los radios. ¿Cuántos radios tiene una bicicleta de uso común?
Igualmente, en los campos de fútbol, canchas de básquetbol o sitios donde se prac-tican deportes, existen marcas geométricas y circunferencias que determinan situa-ciones reglamentarias.
Por otro lado, en la naturaleza, al cortar un árbol, se pueden apreciar muchos “ani-llos” que están en el tronco, y con el “tamaño” de cada anillo, se logra determinar la edad que tiene cierto árbol, usando el diámetro de éste. ¿En cuáles otras situaciones puedes apreciar estas figuras?
1. A partir de las dos regiones angulares dibujadas, reproduce el rosetón.
Figura 10
Los rosetones se obtienen al aplicar sucesivas rotaciones sobre un sector circular cuya amplitud es un divisor de 360º, manteniendo fijo el centro de rotación hasta completar totalmente la circunferencia. Para conseguir un rosetón se dibuja una región angular cuya amplitud sea un número divisor de 360º, y se repite hasta completar la circunferencia.
2. Realiza un escrito donde menciones objetos tecnológicos cuya forma sea circular; además, resalta la utilidad de la rueda en la vida y tecnologías modernas. Discute con tus compañeros en el CCA para enriquecer las ideas sobre estos aspectos.
