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EJERCICIOS DE PROPAGACIÓN DE ONDAS

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Academic year: 2021

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(1)

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN

DEPARTAMENTO DE TEORÍA DE LA SEÑAL Y COMUNICACIONES

EJERCICIOS DE PROPAGACIÓN DE ONDAS

(2)

I. EJERCICIOS Y CUESTIONES CON SOLUCIÓN

E1.- Dadas una antena con la siguiente densidad de potencia radiada, calcule la intensidad de radiación, la directividad y la potencia total radiada.

) m / W ( rˆ sen r A ) , ( 2 2 0 θ = φ θ Ρr

E2.- El vector de Poynting medio de un dipolo lineal de l<<λ viene dado por:

) m / W ( sen r A ) , ( 2 2 2 0

θ

φ

θ

Ρ

r = ⋅ Calcule la directividad

E3.- Dada la expresión del potencial vector para un punto del espacio, obtener la expresión de la intensidad del campo eléctrico y del magnético. Indique el tipo de polarización del campo eléctrico.

ϕ

θ

ˆ

ˆ

ˆ

5

.

0

+

=

r

j

A

r

E4.- Una onda plana viaja según el eje z. Encuentre la polarización (lineal, circular o elíptica), sentido de rotación (CW, CCW) y relación axial (AR).

a)

E

x

=

E

y

;

δ

=

δ

y

δ

x

=

0

b)

E

x

=

E

y

;

δ

=

π

/

2

c)

E

x

=

E

y

;

δ

=

π

/

4

d)

E

x

=

1

/

2

E

y

;

δ

=

π

/

4

e)

E

x

E

y

;

δ

=

0

f)

E

x

=

E

y

;

δ

=

π

/

2

E5.- Determine el tipo de polarización y, en su caso el sentido de circulación a partir de la intensidad del campo eléctrico

E r

r

(

r

,

t

)

a) Er =ej(wt−kz) b)

E

r

=

(

+

j

)

e

j(wt−kz) c)

E

r

=

(

+

0

'

5

)

e

j(wt−kz) d)

E

r

=

[

+

(

1

+

j

)

]

e

j(wt−kz) e)

E

r

=

2

e

j(wt−kz) f)

E

r

=

(

j

)

e

j(wt−kz) g)

E

r

=

(

+

j

0

'

5

)

e

j(wt−kz)

E6.- La intensidad de radiación del lóbulo principal de la mayoría de las antenas puede expresarse adecuadamente mediante:

θ

=

B

cos

(3)

donde B0, es la máxima intensidad de radiación. La intensidad de radiación sólo está definida en la semiesfera superior

(0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ 2π).

Determine la directividad en primer lugar, de forma aproxima, a través del ancho de haz equivalente,

A (producto de la anchura del lóbulo principal entre puntos de

potencia mitad en los planos principales) y posteriormente de forma exacta empleando su definición. Compare los resultados y razone cuando podrá ser la aproximación válida.

E7.- La intensidad de radiación de una antena viene dada por:

( )

=

θ

θ

φ

φ

θ

π

φ

π

φ

θ

,

de

resto

;

0

0

,

0

;

sen

sen

B

,

K

0 2

Determine la potencia radiada y la directividad.

E8.- Una onda polarizada elípticamente se propaga a través del aire en la dirección

+z tiene las componentes x e y:

m / V ) kz wt sen( 3 Ex = −

m

/

V

)

º

75

kz

wt

sen(

6

E

y

=

+

Determine la densidad de potencia radiada.

E9.- Determine la ganancia directiva y la directividad de una antena cuya intensidad de radiación viene dada por la expresión:

K=K

máx

cos

2

θ

Dibuje el diagrama de radiación e indique la dirección de máxima radiación.

E10

.-

Determine los valores del potencial vector, de los campos E y H y del vector de Pointing de la antena formada por un dipolo corto (λ/50 < l ≤ λ/10) ubicado sobre el eje z y cuya distribución de corriente de se muestra en la siguiente figura viene dado por:       ≤ ′ ≤ −       + ≤ ′ ≤       = ′ ′ ′ 0 z 2 / l ; z l 2 1 I 2 / l z 0 ; z l 2 1 I ) z , y , x ( I 0 0 I Io z l/2 l/2

(4)

Para ello suponga que el punto de observación se encuentra a una distancia r tal que se encuentre en la zona de radiación de campo lejano. ¿Qué error de máximo, en grados, se comete al realizar la aproximación de campo lejano?

E11.- Dadas la superposición de dos ondas polarizadas linealmente, ortogonales entre si, de amplitudes 1 y 0’5. ¿Qué característica tendrá la polarización de la onda resultante?

Es posible expresar esta onda como la superposición de otras dos polarizadas circularmente del tipo:

(wt kz) j

e

2

j

B

2

j

A

E

+

+

=

r

En caso afirmativo determine ambas ondas polarizadas circularmente

E12.- Dada una antena de aplicaciones de ayudas a la navegación tiene un lóbulo principal con anchos de haz acimutal y vertical de 15 y 10º respectivamente. Determine aproximadamente su directividad en decibelios.

E13.- calcule la polarización y los vectores unitarios de los siguientes campos eléctricos:

A)

E1(

θ

,

ϕ

)=E01

[

(

1+ j

)

]

θ

ˆ +

(

1+ j

)

φ

ˆ

B)

E2(

θ

,

ϕ

)=E02 j

θ

ˆ

E14.- Calcule la potencia disponible en el receptor que proviene de una antena de hélice de radiación axial de 16 dB de ganancia y 140 Ω de impedancia de entrada, cuando incide frontalmente, en la dirección de su eje, una onda linealmente polarizada de 0.1 V/m a 1 GHz

E15.- Un dipolo del tipo λ/2, de bajas pérdidas con una impedancia de entrada de 73Ω, se conecta a una línea de transmisión de 50Ω de impedancia característica. Suponga que la intensidad de radiación responde aproximadamente a la expresión

( )

θ

3

θ

0

sen

B

K

=

Determine la ganancia en potencia de la antena

E16.- Dos antenas de bocina sin pérdidas en banda X (8.2-12.4 GHz), están separadas por una distancia de 100λ. Los coeficientes de reflexión en los terminales de las antenas transmisora y receptora son 0.1 y 0.2 respectivamente. Las directividades son de 16 y 18 dB respectivamente. Asuma que la potencia en los terminales de la antena transmisora es de 2 W, que las antenas están orientadas en la dirección de máxima radiación y que existe acoplo perfecto de polarización.

Determine la potencia entregada a la carga

E17.- Calcule la directividad para el campo eléctrico en función de q y particularizando para q=10 compare las directividades de forma aproximada y de forma exacta siguiente:

2

/

0

,

cos

r

e

E

E

jkr q 0 0

π

θ

θ

θ

=

0

E

φ

=

Genere una tabla comparativa de la directividad exacta y aproximada en función de q para 1, 2, 3, 4, 5 y 10.

(5)

E18.- Para una bocina rectangular en banda X (8.2 – 12.4 GHz) con dimensiones 3.5 y 7.5 cm. Encuentre su área o apertura máxima cuando su ganancia respecto a la antena isotrópica es:

1. 14.8 dB a 8.2 GHz 2. 16.5 dB a 10.3 GHz 3. 18.0 dB a 12.4 GHz

E19.- Dos bocinas rectangulares en banda X con dimensiones de apertura 5.5 y 7.4 cm y con una ganancia sobre la isotrópica de 16.3 dB a 10 GHz se usan como antenas transmisora y receptora. Si la potencia de entrada es 200 mW, el ROE de cada una 1.1, y hay acoplo perfecto de polarización, encontrar la máxima potencia recibida cuando las bocina estan separadas por aire por 5, 50 y 500m.

E20.- El campo eléctrico de una onda electromagnética linealmente polarizada viene dado por:

( )

jkz 0

i xˆE x,y e

Er = −

incide sobre una antena linealmente polarizada cuya polarización del campo eléctrico puede ser expresada como:

(

) (

E r,

θ

,

φ

)

Era = +

Encuentre las pérdidas por acoplo de polarización

E21.- El sistema RADAR (RAdio Detection And Rangin) es utilizado para medir la distancia o alcance de un objeto o blanco que es localizado por el haz radiado de la antena transmisora. El transmisor radia un pulso sinusoidal de corta duración. Parte de esta energía es reflejada por el blanco en dirección a la unidad de radar y es recibida por la misma antena usada en la transmisión (un conmutador acopla alternativamente la antena al transmisor o al receptor). El tiempo transcurrido entre el pulso transmitido y el recibido es 2r/c0, donde r es el alcance y c0 es la velocidad de la luz. Calculando el retardo entre los pulsos se determina el alcance.

La capacidad del blanco para reflejar la energía hacia el radar se caracteriza con el parámetro σ (m2), área efectiva de radar. El área efectiva de radar se define como el área equivalente del blanco que multiplicada por el flujo de potencia incidente en el blanco proporciona la potencia que es reflejada y radiada isotropicamente.

La frecuencia de la señal recibida, fr, una vez reflejada en el blanco, es diferente a la transmitida si el blanco está en movimiento (efecto Doppler) y este cambio en la frecuencia puede ser usado para medir la velocidad del blanco en una dirección radial. Si f es la frecuencia transmitida y v es la velocidad del blanco en la dirección radial, la frecuencia recibida viene dada por la expresión:

      = 0 r c v 2 1 f f m

donde el signo negativo indica un blanco que se aleja y el signo positivo un blanco que se aproxima.

A) Un radar utilizado por la policía para controlar el tráfico presenta las siguientes características:

• Potencia transmitida por la antena: 10 W.

• Antena transmisora: reflector parabólico de 30 cm de diámetro y 0,6 de

eficiencia.

• Frecuencia de transmisión: 10,55 Ghz.

• Antena receptora: es la misma que es usada en transmisión. • Ancho de banda: 10 KHz.

(6)

• Potencia de ruido en el receptor: 1,38 10-15 W

• Relación señal/ruido mínima para que la detección sea fiable: 20 dB.

Se pide:

Encuentre la máxima distancia en la que un pequeño vehículo con un área efectiva de radar de 0.2 m2 puede ser detectado?¿ Cuál es el retardo máximo posible entre los pulsos transmitido y recibido?¿Qué velocidad máxima en Km/h puede medir el radar? Suponga que éste puede medir tanto un vehículo aproximándose como alejándose.

B) Un motorista utiliza un pequeño receptor de microondas para detectar la presencia del radar de la policía. El receptor usa una antena con una ganancia de 15 dB y requiere una potencia mínima o sensibilidad de - 45 dBm. ¿A qué distancia puede detectarse el radar de la policía si éste tiene las mismas características del apartado A?¿Cuál de los dos sistemas realiza antes la detección? ¿Cómo puede contrarrestarlo la unidad de radar de la policía? Comente los resultados.

E22.- La distribución de corriente en un dipolo muy delgado puede ser expresada mediante una buena aproximación como:



+

=

0

z

2

/

l

;

z

2

l

k

sen

I

2

/

l

z

0

;

z

2

l

k

sen

I

)

z

,

y

,

x

(

I

0 0

Esta distribución supone que la antena esta centrada sobre el eje z y la corriente se anula en los extremos (z’=± l/2).

Determine los valores del potencial vector, de los campos E y H y del vector de Poynting de la antena formada por un dipolo sintonizado λ/2.

Para ello suponga que el punto de observación se encuentra a una distancia r tal que se encuentre en la zona de radiación de campo lejano.

NOTA: Para simplificar los cálculos colóquese la antena en el eje z y tal que sus dimensiones estén entre +l/2 y –l/2 y

[

]

+

+

+

=

+

a

sen(

c

bx

)

b

cos(

c

bx

)

b

a

e

dx

)

bx

c

sen(

e

2 2 ax ax I Io z l/2 l/2

(7)

E23.- Dos dipolos (A y B) elementales (l <<λ) de igual longitud (20 cm) se sitúan perpendicularmente y se alimentan con corrientes de igual amplitud (500 mA), pero en cuadratura de fase, tal como muestra la siguiente figura.

Si se transmite a 27 MHz, determine el campo radiado lejano y el tipo de polarización. Determine posteriormente el diagrama de radiación (en potencia) normalizado – représentelo gráficamente de forma aproximada- y el valor del campo que se mediría a 10 Km de dicha antena en condiciones de espacio libre.

NOTA: Las distribuciones de corriente responden a la expresión:

      ≤ ′ ≤ −       + ≤ ′ ≤       = ′ ′ ′ 0 z 2 / l ; z l 2 1 I 2 / l z 0 ; z l 2 1 I ) z , y , x ( I 0 0

donde representa el vector unitario correspondiente a la posición de cada dipolo. E23.- Un dipolo λ/2, con una resistencia de pérdidas de 1Ω, se conecta a un generador cuya impedancia de entrada es 50 +j25 Ω. Asumiendo que la tensión de pico del generador es 2V y la impedancia del dipolo 73 + j42.5 Ω, encontrar la potencia:

A) suministrada por la fuente B) radiada por la antena C) disipada por la antena

La antena y el generador se conectan a través de una línea de transmisión de longitud λ/2 y 50 Ω.

Encuentre, en este caso:

D) potencia entregada a la antena suministrada por la fuente A B Desfase 90º A B

l << λ

l << λ

(8)

C1.- La directividad de una antena que presenta un valor de intensidad de radiación

K(θ,φ)=K

máx

cos(θ/2

) vale:

a) 1 b) 1’5 c) 2 d) 3

C2.- Se conecta una antena, cuya impedancia se sabe que es resistiva, a un cable de 50 Ω midiéndose una relación de onda estacionaria (ROE) de 2. ¿Cuál será la impedancia de la antena en cuestión?.

a) 50 ó 200Ω b) 25 ó 100Ω c) 35 ó 125Ω d) 48 ó 52Ω C3

.-

Una antena tiene un diagrama de radiación con simetría de revolución en torno, al eje z. Sabiendo que las direcciones de potencia mitad son θ1 = 5º y θ2 = 10º Estime su directividad.

a) 17 dB b) 22 dB c) 29 dB d) 34 dB

C4.- ¿Qué directividad debe tener la antena de un satélite, en órbita geoestacionaria a 36.000 Km, para que el haz principal ( a –3dB) cubra toda la tierra? NOTA: Radio de la tierra = 6300 Km

a) 21 dB b) 28 dB c) 35 dB d) 42 dB

C5.- Una onda

E

r

(

z

=

0

,

t

)

=

cos(

wt

)

+

sen(

wt

)

que se propaga hacia +z, tiene una polarización:

a) lineal según

+

b) lineal según

+

c) circular a derechas d) circular a izquierdas

C6.- La relación axial de una onda polarizada elípticamente es 1’5 dB. La relación entre las amplitudes de las ondas circulares que la componen es:

a) 8 dB b) 11 dB c) 15 dB d) 21 dB

C7.- ¿Cuál es la directividad de una antena cuyo diagrama de radiación es

)

2

/

(

cos

P

)

,

(

P

2 0

θ

φ

θ

=

? a) 2 b) 3 c) 4 d) 6

C8.- El área efectiva de una antena es 1 m2, independientemente de la frecuencia. Al incrementar la frecuencia de 12 a 36 GHz, la directividad aumentará:

a) 9.5 dB b) 19 dB c) 4.7 dB d) 28.5 dB

C9.- Un satélite con PIRE = 10 dBW, situado en órbita geoestacionaria ( a 36000 Km), produce sobre tierra un campo incidente cuya amplitud en µV/m es:

a) 0.48 b) 1.52 c) 0.02 d) 0.15

C10.- ¿Cuál de las siguientes expresiones para el campo lejano es incorrecta? a)

E

r

= - jwA

r b)

E

θ

= jwA

θ

(9)

II. EJERCICIOS Y CUESTIONES SIN SOLUCIÓN

E1.- Una antena tiene un diagrama de radiación, en decibelios, tal como aparece en la siguiente figura con simetría de revolución en el eje x (0º) tiene una directividad máxima de 100. Determine la directividad en primer lugar, de forma aproxima, a través del ancho de haz equivalente. Compare los resultados de la estimación con el valor real y razone cuando podrá ser la aproximación válida.

E2.- Una dipolo λ/2 cuando está alimentado por una corriente I. radia un campo eléctrico de valor:

(

)

θ

θ

θ

π

π

k sen ˆ cos 2 / cos 2 e r 4 Z I K j E 0 r k j 0 00 = r

Si esta antena es utilizada como receptora.

1. Determine el campo magnético,

H

r

y el vector de Pointing,

Ρ

r

.

2. Justifique qué tipo de polarización presenta. Determine cuál es la polarización del campo eléctrico en la dirección de máxima radiación del citado dipolo.

E3.- En la figura siguiente se representa un dipolo corto de Hertz (l<<<λ) de L =1 m de longitud, que en un momento dado ha sido situado en el eje ‘y’, centrado en el eje ‘z’. El dipolo es utilizado para transmitir en 30 MHz y está alimentado por una corriente de valor I(t) =I0 ⋅coswt, donde I0 = 0’5 A. El medio material es el aire.

La intensidad del campo eléctrico, en condiciones de campo lejano, tiene el valor:

(

θ

φ

θ

+

φ

φ

)

λ

π

=

cos

sen

ˆ

cos

ˆ

r

e

L

I

60

E

r jk0 Se pide:

1. Determine el vector de Pointing,

Ρ

r

.

2. ¿Qué tipo de polarización presenta? ¿Cual es la polarización del campo eléctrico en la dirección de máxima radiación?

4 8 12 16 20 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0

(10)

3. Represente aproximadamente el diagrama de radiación normalizado en el plano ZY.

4. Calcule la intensidad de radiación K(θ,φ) y el diagrama normalizado de radiación t(θ,φ)

E4 Un medidor de campo actúa como un voltímetro sintonizado midiendo la tensión en bornas de su impedancia de entrada, que es de 60 Ω (resistiva pura). El aparato está calibrado para indicar el campo incidente cuando se emplea una antena de 6 dB de ganancia e impedancia de 60 Ω.

Para medir un determinado campo se utiliza, en vez de la antena anterior, un dipolo λ/2 (a 150 MHz) con 50 Ω de impedancia. Si la lectura del aparato es de 50 dBµV/m, calcule el valor eficaz de la intensidad de campo eléctrica incidente.

NOTA: La longitud efectiva del dipolo λ/2, lef, es de λ/π. La tensión inducida en bornas de un dipolo puede determinarse mediante el producto de su longitud efectiva y el campo incidente.

E5.- En la figura se muestra la representación polar en θ (simetría en φ) de la ganancia directiva en dB de una antena empleada en radioenlaces terrenos en UHF.

Determine:

1. La dirección de máxima radiación.

2. La pérdida de campo en la dirección de θ =0º.

3. El ancho del haz principal a 3 dB y el anchura del haz entre nulos. 4. La relación lóbulo lateral-haz principal.

5.

¿Qué pérdida de potencia se producirá si la antena se desapunta por efecto del viento 10º? 4 8 12 16 20 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0

(11)

SOLUCIONES

E1 A) K(θ) = A0 senθ B) D0 = 4/π=1.27 C) Prad = π2 A0 E2 A) K(θ) = A0sen2θ B) Prad = A0 8π/3 C) D0 = 1.5 E3

(

θ

ˆ

j

φ

ˆ

)

H

w

/

η

(

j

θ

ˆ

φ

ˆ

)

w

E

r

=

+

r

=

Polarización circular a izquierdas E4

A) Oblicua 45º, AR = ∞;

B) Circular a izquierdas, AR = 1, ε = π/4;

C) Elíptica a izquierdas, AR = 2.41, δ = π/4, ε = π/8; D) Elíptica a izquierdas, AR = 3.22, ε = 0.3 rad; E) Oblicua, AR = ∞, ε = 0; F) Circular a derechas, AR = 1, ε = -π/4. E5 A) lineal B) circular a izquierdas C) lineal D) elíptica E) lineal F) circular a derechas G) elíptica, AR = 2, τ=90º. E6

A1) Directividad aproximada: D0=2.86 (θ1r = θ2rv=2π/3) A2) Directividad aproximada: D0=4 (Prad=π B0)

E7 Prad= B0π2/4, D0=16/π=5.0929 E8 ℘ = 59’68 mW/m2 E9 D0 = 6, θ = 0

(12)

E10

- Máximo de error de fase cometido : π/10 = 18º

r 4 e l I 2 1 A jkr 0       = −

π

µ

r

θ

π

φ

sen

r

8

e

l

I

k

j

H

jkr 0

=

θ

π

η

θ

sen

r

8

e

l

I

k

j

E

jkr 0

=

(

)

sen

r

4

l

I

15

,

,

r

2 2 2 2 0

θ

λ

π

φ

θ

Ρ

r

=

E11

2

25

.

0

B

,

2

75

.

0

A

=

=

E12 D = 41253/(θº1/2P φº1/2P) → D = 275 = 24.4 dBi E13

A) Polarización circular a derechas,

( )

θ

φ

θ

φ

ˆ

2

j

1

ˆ

2

j

1

,

1

=

+

+

+

B) Polarización lineal plano

θ

ˆcircular a derechas,

1

( )

θ

,

φ

=

j

θ

ˆ

E14 φ = <P> = 13.3 µW/m2 PDR = 1.91 W E15

(

3

4

)

B

P

2 0 rad

=

π

; D0=16/3π = 1.697= 2,297 dB

(

1

)

0

.

965

187

.

0

50

73

50

73

2

=

=

+

=

Γ

Γ

= -0.155 dB G0=1.64 =2,14 dB E16 PER =6.8 dBm = 4,777 mW E17 D0=2(2q+1) q=10: D0=42 =16 dB, D0 45.8 =16.6 dB q 1 2 3 4 5 10 D0 exacta 6 10 14 18 22 42 D0 aprox. 5.09 9.61 14.13 18.66 23.19 45.89 Error (%) 15.27 3.9 0.93 3.68 5.41 9.26 E18 32.17 cm2, 30.15 cm2, 29.39 cm2 E19

(13)

PET1 = 82.59 µW, PET2 = 825.92 nW, PET3 = 8.25 nW

E20

FPP = 0.5 = - 3 dB E21

Máxima distancia en la que el pequeño puede ser detectado: r = 1265,7 m

Retardo máximo posible entre los pulsos transmitido y recibido: tretardo = 8.438 µs

Velocidad máxima en Km/h puede medir el radar: Vmáxima = 256 Km/h

Distancia a la que puede detectarse el radar de la policía : r = 1306,8m

El motorista detecta antes la presencia del radar de la policía que éste haga lo mismo con él (tiene 41,01 m de ventaja). Para aumentar el alcance del al radar de la policía, puede incrementarse la ganancia de la antena (p.ejp. Con una dimensión mayor del paraboloide) o una disminución del umbral de detección. No sería una solución deseable aumentar la potencia de transmisión para dificultar en la mayor medida posible las contramedidas del blanco a detectar.

E22

( )

θ θ θ π π η θ ˆ sen cos 2 cos r 2 e I j , r E jkr 0 ⋅       ≈ − r

(

)

φ θ θ π π φ θ ˆ sen cos 2 cos r 2 e jI , , r H jkr 0 ⋅       ≈ − r

( )

sen cos 2 cos r 8 I , r 2 2 2 0                   = ℘ θ θ π π η θ r

( )

( )

2 2 2 0 sen cos 2 cos 8 I , r , r K                   = ℘ = θ θ π π η θ θ E23

Pg = 2.5 mW, Prad = 7.31 mW, Pdisp. Ant. = 0.1 mW, PET = 0.726 mW

C1 b)

C2 b)

C3 c)

C4 a)

C5 c)

C6 d)

C7 a)

C8 a)

(14)

C9 a)

C10 a)

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