INTRODUCCIÓN A LA REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS FÍSICOS

(1)

TEMA 2. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE

SISTEMAS

SISTEMAS FÍSICOS

FÍSICOS

CONTENIDO

y

INTRODUCCIÓN A LA REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS FÍSICOS

y

SISTEMAS MECÁNICOS

y

SISTEMAS ELÉCTRICOS

y

SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS: MOTORES Y GENERADORES

y

SISTEMAS TÉRMICOS

y

SISTEMAS ELECTRÓNICOS CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES

y

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE GANANCIA DE MASON

(2)

INTRODUCCIÓN A LA REPRESENTACIÓN DE

SISTEMAS FÍSICOS

En esta sección se derivan ecuaciones diferenciales que

describen el comportamiento dinámico de sistemas

mecánicos

eléctricos

electromecánicos

térmicos

y

mecánicos,

eléctricos,

electromecánicos,

térmicos

y

electrónicos.

Dichas ecuaciones se usan para obtener la función de

transferencia entre las variables seleccionadas.

(3)

SISTEMAS MECÁNICOS

2 2

)

(

dt

t

dy

M

K

y(t)

M

f(t)

Ky(t)

t

dy

B

(

)

2

dt

f(t)

M

dt

y

B

(

)

B

Primero obtener un diagrama de cuerpo

libre que represente la interacción de

fuerzas correctamente usando las

ecuaciones que lo gobiernan físicamente

(4)

SISTEMAS MECÁNICOS

2 2

( )

d y

dy t

M

B

Ky t

f t

d

2

+

d

+

=

2 2

( )

y

f

dt

d y

B dy t

K

f t

y t

dt

= −

M dt

−

M

+

M

Obteniendo la transformada de Laplace,

considerando las condiciones iniciales nulas

( )

B

K

F s

2 2

( )

B

K

F s

s Y s

sY s

Y s

M

F s

B

K

Y s s

s

= −

−

+

⎛

⎞

=

_⎜

+

_⎟

⎝

⎠

( )

Finalmen

Y s s

s

M

⎜

_⎝

+

M

+

M

⎟

_⎠

te

( )

1

1 Y s

M

2 2

( )

1

1 ( )

Y s

M

B

K

F s

s M

Bs K

_s

M

=

+

₊

(5)

SISTEMAS MECÁNICOS

Otro ejemplo de un sistema mecánico

( )

y

2

(t)

y

₁

(t)

f(t)

K(y

1

(t)-y

2

(t))

2 2

)

(

dt

t

dy

M

1

2

2 ( )

(

)

f t

K y

y

d y

dy

=

−

M

f(t)

dt

t

dy

B

(

)

2

1

2

2 (

)

( )

d y

dy

K y

y

M

B

dt

f t

−

=

+

1

2 ( )

f t

y

K

=

+

Regresar

(6)

SISTEMAS ELÉCTRICOS

1 R

sC

⎛

₊

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

1

o i

sC

E

R

sC

⎝

⎠

=

⎛

₊

⎞

₊

⎜

⎟

⎝

⎠

(

/

)

1

o i

E

s

E

s

τ

τ α

+

=

+

Donde

1

RC

R

τ

α

=

+

1

(7)

SISTEMAS ELÉCTRICOS

R

₁

1/sC

1

R

2

E

1/sC

1

R

2

E

1/sC

2

E

_i

E

o

⎛

⎞

( )

2 2 1

1

o i

R

sC

E

R

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

=

⎛

⎞

⎜

⎟

⎛

⎞

( )

1 1 2 2 1 1

1

1 R

sC

R

sC

R

sC

⎜

⎟

⎛

⎞

_⎝

_⎠

+

⎜

⎟

_⎛

_⎞

⎝

⎠

_{+ ⎜}

⎟

⎝

⎠

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

1

o i

R C R C s

R C

R C s

E

R C R C s

R C

R C s

+

=

+

Regresar

(8)

SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS MOTORES Y

SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS: MOTORES Y

GENERADORES

( )

T t

=

J t

θ

+

B t

θ

T s

( )

=

s Js B

(

+

)

Θ

( )

s

f

di

_E

(

_R

_L

)

_I

J = Inercia

B = Constante de amortiguamiento

f f f f f

di

e

R i

L

dt

=

+

E

f

=

(

R

f

+

L s I

f

)

f t f

T

=

K i

T

=

K I

_{t f}

K

_t

= Constante de torque del motor

( )

(

)

(

)

/

1

t f f m f

K

R B

E

s T s

T s

Θ

=

+

T

_m

= J / B = Constante de tiempo del motor

T

_f

= L

_f

/ R

_f

= Constante de tiempo del campo

(

)

(

)

(9)

SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS MOTORES Y

SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS: MOTORES Y

GENERADORES

( )

T t

( )

=

J t

θ

( )

+

B t

θ

( )

T s

( )

=

s Js B

(

+

)

Θ

( )

s

J = Inercia

a a a a a m

di

e

R i

L

e

dt

=

+

E

a

=

(

R

a

+

L s I

a

)

a

+

E

m

B = Constante de amortiguamiento

t a

T

=

K i

t a

T

=

K I

K

_t

= Constante de torque del motor

( )

m e

e

=

K

θ

t

E

m

=

K s

e

Θ

(

)

(

2

)

1/

1

e a a m m a

K

E

s T T s

T

γ

T s

γ

Θ

=

+

+ +

T

_m

= JR

_a

/ (K

_e

K

_t

) = Constante de tiempo del motor

T

_a

= L

_a

/ R

_a

= Constante de tiempo de la armadura

γ = BR / (K K

_t

) = Factor de amortiguamiento

Regresar

(10)

SISTEMAS TÉRMICOS

Un tanque de volumen V contiene un fluido incompresible de densidad de masa ρ y

calor específico c.

Se asume que el tanque está lleno, por lo que f

_i

= f

_o

y el flujo másico entrando y

li

d

f

P

l

l fl j d

l

d

f

T

l

f

T

saliendo es f

_i

ρ. Por lo que el flujo de calor a la entrada es f

_i

ρcT

_i

y el que sale es f

_i

ρcT

_,

y el flujo neto es f

_i

ρc(T

_i

–T). Este es el flujo neto de calor por segundo y debe ser

igual al cambio por segundo del calor almacenado en el tanque.

(

)

(

)

i i

V cT

ρ

=

f c T T

ρ

−

i

V

T T T

+ =

(

)

( )

1 T s =

i i

T T T

f

+

T s

_i

( )

(

V f s

/

_i

)

+

1

(11)

SISTEMAS TÉRMICOS

Sea T la diferencia con una temperatura ambiente constante.

q

i

T

C

t

q

o

La pérdida de calor q

_o

al ambiente se puede modelar por

, donde

es la

i

é

i

/

o t

q

=

T R

_R

_t

resistencia térmica.

Si q

_i

es el flujo de calor del calentador eléctrico, el flujo neto

por

segundo debe ser igual a

, el cambio por segundo o la razón de cambio del calor

almacenado, donde C

_t

es la capacitancia térmica. Por lo tanto, el comportamiento se

(

q T R

_i

−

/

_t

)

t

C T

,

_t

p

,

p

puede modelar por la ecuación diferencial

t t t i

R C T T

+ =

R q

( )

1

t i t t

R

T s

Q s

=

R C s

+

Regresar

( )

i t t

Q

(12)

SISTEMAS ELECTRÓNICOS CON

AMPLIFICADORES OPERACIONALES

Z

_f o i i

Z

E

Z

= −

( )

2 2

1 R

sC

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

2

⎠

2 2

1

o i

R

sC

E

R

⎝

⎠

+

= −

1 1

1 R

sC

+

2 1 o

E

₌

R C s

(

)

2

(

)

1 1 2 2 1 1 2 2

1

i

E

= −

R C R C s

+

R C

+

R C s

+

(13)

SISTEMAS ELECTRÓNICOS CON

AMPLIFICADORES OPERACIONALES

R

1

C

R

1

1/sC

e

i

-+

e

o

R

C

E

i

-+

E

o

R

1/sC

1

f o i i

Z

E

Z

⎛

⎞

= +

_⎜

_⎟

⎝

⎠

( )

1 R

⎛

_⎛

_⎞

⎞

⎜

⎟

⎜

( )

1

⎟

1

1 R

sC

R

sC

E

⎜

⎟

⎜

_⎝

_⎠

⎟

⎜

⎟

⎜

₊

⎟

⎜

⎟

= +

_⎜

1 _⎟

_E

_{RR Cs R R}

_{+ +}

o i

E

R

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

1 1 1 o i

E

RR Cs R R

E

RR Cs R

+ +

=

+

Regresar

⎜

⎟

⎝

⎠

(14)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Las gráficas de flujo de señal son una alternativa a los diagramas

de bloques. Para sistemas complejos, con la fórmula de ganancia de

Mason se determina la función de transferencia total sin la

necesidad de reducciones sucesivas.

H

2

G

1

G

2

+

_C

R

+

_G

3

+

--

+

H

1

(15)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Diagramas de flujo de señal:

Considere que un sistema lineal está descrito por un conjunto de N

ecuaciones algebraicas.

N

1 1, 2, ... ,

N

j

kj k

k

y

a y

j

N

=

∑

para

=

( )

1, 2, ... ,

N

j

s

=

∑

kj

s

k

s

j

=

N

Y

G

Y

para

1 ( )

( )

, ,

,

j

kj

k

j

=

∑

p

(16)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Cuando se construye un diagrama de flujo, los puntos de unión o

nodos se utilizan para representar variables. Los nodos están

conectados por segmentos llamados ramas y estos tienen

dirección y ganancia.

Ejemplo:

y

₂

=

a

₁₂

y

₁

y

₂

a

₁₂

Siendo: y

₁

la entrada, y

₂

la salida y a

₁₂

la ganancia

(17)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Ejemplo de la construcción de diagrama de flujo de señal

Considere el siguiente conjunto de ecuaciones:

3

32

1

12

2 a

y

a

y

=

+

4

43

2

23

3 a

y

a

y

=

+

4

45

2

25

5

4

44

3

34

2

24

4 y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

+

=

+

=

4

45

2

25

5 y

y

(18)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Ecuación 1:

3

32

1

12

2 a

y

a

y

=

+

a

12 a

₃₂

12 y

1 y

2 y

3 y

4 y

5

(19)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Ecuación 1 y 2:

y

a

y

a

y

=

+

4

43

2

23

3

32

1

12

2 y

a

y

a

y

a

y

a

y

+

=

+

=

a

32 a

43 a

12 a23

y1

y2

y3

y4

y5

(20)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Ecuación 1 2 y 3:

Ecuación 1, 2 y 3:

3

32

1

12

2 y

a

y

a

y

a

y

a

y

+

=

4

44

3

34

2

24

4

43

2

23

3 y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

+

=

+

=

(21)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Ecuación 1, 2, 3 y 4:

, ,

y

2

12

1

32

3

23

2

43

4 y

a y

y

a y

=

+

=

+

3

23

2

43

4

24

2

34

3

44

4

5

25

2

45

4 y

y

a y

y

a y

=

+

=

+

5

25

2

45

4 y

a y

+

a y

(22)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Propiedades de los diagramas de flujo:

• Los Diagramas de Flujo (DF) se aplican solamente a sistemas lineales.

• Las ecuaciones a partir de las cuales se dibuja un DF deben ser algebraicas

en la forma de causa-efecto.

• Los nodos se utilizan para expresar variables. Normalmente, los nodos se

Los nodos se utilizan para expresar variables. Normalmente, los nodos se

arreglan de izquierda a derecha desde la entrada a la salida siguiendo una

sucesión de relaciones de causa y efecto a través del sistema.

• La señal viaja a través de las ramas solamente en la dirección descrita por

La señal viaja a través de las ramas solamente en la dirección descrita por

las flechas.

• La dirección de la rama desde el nodo y

_k

a y

_j

, representa la dependencia de

y

_j

sobre y

_k

, pero no al contrario.

y

_j

sobre y

_k

, pero no al contrario.

• Una señal y

_k

que viaja a través de una rama entre y

_k

y y

_j

se multiplica por

la ganancia de la rama, a

_kj

, por lo que la señal a

_kj

y

_k

es entregada en y

_j

.

(23)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Terminología útil para el álgebra de diagramas de flujo de señal

N d d

t d

E d l

t

Nodo de entrada: Es un nodo que solamente

(24)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Nodo de salida: Es un nodo que solamente tiene ramas de

entrada

a

12

a

32

a

23

a

43

a

34

a

44

a

45

a

12

y

1

y

2

y

3

y

4

y

5

a

23

a

34

a

45

a

24

a

25

(25)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Opciones para hacer un nodo de salida si se desea conocer el

efecto de la entrada

y

2

y

1

_a

y

2

y

3 12

a

23

y

3

1

1 a

32

Sin nodos de salida

_{Misma ecuación pero y}

₂

_{y y}

₃

(26)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Trayectoria: Es cualquier colección de una sucesión continua de

ramas que se dirigen en la misma dirección

y

₁

_a

y

₂

y

₃

12 a

₂₃

(27)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Trayectoria directa: Es una trayectoria que empieza en un nodo de

entrada y termina en un nodo de salida a lo largo de la cual no se

atraviesa ningún nodo más de una vez

atraviesa ningún nodo más de una vez.

a32

a

43

a44

a12

y

2

y

₃

y

4

y5

a

23

a

34

a

45

y

₁

y

2

y

₃

y

4

y5

a24

_a25

(28)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Malla: Es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo

y en donde ningún nodo se encuentra más de una vez.

(29)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Malla 2

a12

a32

a23

a43

a34

a44

a45

a12

y

1 y

2 y

3 y

4 y

5 a23

34

45 a24

a25

(30)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Malla 3

a

12 a

32 a

23 a

43 a

34 a

44 a

45

12 y

1 y

2 y

3 y

4 y

5

23 a

24 a

25

(31)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

a

₃₂

a

₄₃

a

₄₄

Malla 4

a

12 a

23 a

34 a

45 y

1 y

2 y

3 y

4 y

5 a

24 a

25

(32)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Ganancia de trayectoria: Es el producto de las ganancias de

la ramas que atraviesan una trayectoria.

a

12

a

32

a

23

a

43

a

34

a

44

a

45

y

1

y

2

y

3

y

4

y

5

a

24

a

25

12 23 34

45 ganancia a a a a

=

(33)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Ganancia de la trayectoria directa: es la ganancia de cada una

y

g

de las trayectorias directas.

Ganancia de malla: Es la ganancia de cada una de las mallas

presentes en el diagrama

presentes en el diagrama.

Mallas que no se tocan: Dos mallas no se tocan si no comparten

(34)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Ál

b d di

d fl j d

ñ l

Álgebra de diagramas de flujo de señal

El valor de la variable representada por un nodo es igual a la

d t d l

i bl

t

l

d

suma de todas las variables que entran al nodo.

5

51

4

41

3

31

2

21

1 a

y

a

y

a

y

a

y

₁

=

₂₁

y

₂

+

₃₁

y

₃

+

₄₁

y

₄

+

₅₁

y

₅

y

(35)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

El valor de la variable representada por un nodo se transmite a

través de todas las ramas que dejan el nodo.

6

16

1 y

=

a y

7

17

1

8

18

1 y

a y

y

a y

=

8

18

1 y

y

(36)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Dos ramas paralelas en la misma dirección se pueden

reemplazar por una sola con ganancia igual a la suma de las

ganancias de las ramas paralelas

(37)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Una conexión en serie de ramas unidireccionales, como se

muestra en la figura, se puede reemplazar por una sola

l l

d

d l

rama con ganancia igual al producto de las ganancias de las

ramas.

(38)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Un

sistema

retroalimentado

de

una

función

de

transferencia también se puede dibujar como diagrama de

flujo de señal

(39)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Fórmula de ganancia para gráficas de flujo de señal: Dado un

diagrama de flujo de señal con N trayectorias directas y L mallas, la

ganancia entre el nodo de entrada y

y el nodo de salida y

_l

es el

ganancia entre el nodo de entrada y

_ent

y el nodo de salida y

_sal

es el

siguiente.

Siendo:

∑

N

k

Δ

k

sal

M

y

M

y

_ent

= nodo de entrada

y

_sal

= nodo de salida

M

i

∑

=

Δ

=

k

ent

sal

y

M

1 M = ganancia entre y

_ent

y y

_sal

N = Número de trayectorias directas entre la

entrada y la salida

y

M

_k

= ganancia de la k-ésima trayectoria entre y

_ent

y

(40)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Continuando...

1

2

3

1 L

_i

L

_j

L

_k

...

Δ = −

∑

_i

₁

+

∑

_j

₂

−

∑

_k

₃

+

i

j

k

∑

L

_mr

=producto de la ganancia de la combinación posible

m-ésima (m i j k

) de las mallas de no contacto

ésima (m=i,j,k,...) de las mallas de no contacto.

Δ =1 – (suma de las ganancias de las mallas individuales) +

(suma de los productos de las ganancias de todas las

combinaciones posibles de dos mallas que no se

tocan)-(suma de los productos de las ganancias de todas las posibles

combinaciones de tres mallas que no se tocan)+...

Δ

_k

= La

Δ para aquella parte del DF que no toca la k-ésima

trayectoria directa.

(41)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

Ejemplo: obtener la función de transferencia Y(s)/R(s)

1 E i t l

t

t i di

t

l di

1. Existe solamente una trayectoria directa en el diagrama

entre Y(s) y R(s).

( )

R(s)

E(s)

1 G(s)

Y(s)

1 Y(s)

-H(s)

)

(

G

M

₁

G

(

s

)

M

=

(42)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

2. Hay solamente una malla.

R(s)

E(s)

1 G(s)

Y(s)

1 Y(s)

-H(s)

)

(

)

(

11 G

s

H

s

L

=

−

(43)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

3. No hay mallas que no se tocan ya que solamente existe una

malla. Además, la trayectoria directa está en contacto con la

única malla

única malla.

1

1 Δ =

11

1 L

1 (

G s H s

( )

( ))

1 G s H s

( )

Δ = −

= − −

= +

(44)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

4. Al usar la fórmula de ganancia queda:

N

)

(

)

(

∑

=

+

=

Δ

=

N

k

G

s

H

s

G

M

s

R

s

Y

M

1

1 )

(

)

(

1 )

(

)

(

)

(

Esta expresión es la misma que se obtuvo usando

álgebra de bloques.

(45)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

(46)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

1. Obtención de la ganancia de las trayectorias directas.

a

₃₂

a

₄₃

a

₄₄

y

₁

y

₂

y

₃

y

₄

y

₅

a

₁₂

a

₂₃

a

₃₄

a

₄₅

a

₂₄

a

₂₅

M

₁

=a

₁₂

a

₂₃

a

₃₄

a

₄₅

M

₂

=a

₁₂

a

₂₅

M

₃

=a

₁₂

a

₂₄

a

₄₅

(47)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

a

₁₂

a

₃₂

a

₂₃

a

₄₃

a

₃₄

a

₄₄

a

₄₅

y

₁

y

₂

y

₃

y

₄

y

₅

a

₂₄

a

₂₅

43

34

12

32

23

11 a

a

L

a

L

=

32

43

24

13

43

34

12 a

L

a

L

a

L

=

44

14 a

L

=

(48)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

3. Ganancias de las mallas dobles.

a

₄₄

a

₄₃

a

₃₂

y

₁

y

₂

y

₃

y

₄

y

₅

a

₁₂

a

₂₃

a

₃₄

a

₄₅

a

₂₄

a

₂₅

El producto de las mallas que no se tocan es:

44

32

23

21 a

a

(49)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

4 Ganancias de las mallas que no se tocan con las

4. Ganancias de las mallas que no se tocan con las

trayectorias directas posibles.

a

₃₂

a

₄₃

a

₄₄

y

₁

y

₂

y

₃

y

₄

y

₅

a

₁₂

a

₂₃

a

₃₄

a

₄₅

a

₂₄

a

₂₅

Todas las mallas tocan con la trayectoria roja (M

₁

).

Δ

₁

=

1 Dos de las mallas no se tocan con la

1 (

)

Δ

+

Dos de las mallas no se tocan con la

trayectoria naranja (M

₂

).

Δ = −

2 1 (

a a

34

43 +

a

44 )

1

3 =

Δ

Todas las mallas tocan con la trayectoria azul (M

₃

).

(50)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

5. Obteniendo el valor de Δ.

1 (

L

)

L

Δ

₁₁

+

₁₂

+

₁₃

+

₁₄

+

₂₁

23 32

34

43

24 43 32

44 23 32

44 1 (

)

1 (

)

L

a a

a a a

a

a a a

Δ = −

+

Δ = −

+

(51)

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y LA REGLA DE

GANANCIA DE MASON

6. Finalmente la función de transferencia Y

₅

(s)/Y

₁

(s) es:

5 ( )

1

2

3

3 ( )

Y s

M

Y s

Δ +

Δ

=

Δ

1

5

12 23 34

45

12

25

34

43

44

12

24

45 ( )

( )

(

)(1

) (

)

( )

1 (

)

Y s

a a a a

a a

a

a a a

Y

Δ

+

−

+

=

1 ( )

1 (

23 32

34

43

24 43 32

44 )

23 32

44 Y s

−

a a

+

a a

+

a a a

+

a

+

a a a

Regresar