Si elegimos muestras de 100 bombillas y calculamos su duración media... TIPIFICANDO

Texto completo

(1)

Contraste bilateral (1)

En los folletos de propaganda, una empresa asegura que las bombillas que fabrica tienen una duracón

media de 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se toma una muestra aleatoria de 100 bombillas,

obteniéndose una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas ( se considera

que ésta es también la desviación típica de la producción total ). Con estos datos, ¿puede aceptarse la

información de los folletos con un nivel de confianza del 95%?

PLANTEAMIENTO - ESTABLECIMIENTO DE LA HIPÓTESIS

Hipótesis nula H0 : La información es cierta / : = 1600 h Hipótesis alternativa H1 : La información es falsa / :… 1600 h Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población. En este caso, con el estudio de la muestra de 100 bombillas, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que : = 1600 horas.

ZONA DE ACEPTACIÓN

Recordemos que el TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que dada una población de media : y desviación típica F , si elegimos muestras de tamaño n, las medias aritméticas de los elementos de dichas muestras:

Tienen la misma media, : , que la población.

Su desviación típica es Cuando el tamaño de la muestra es n$30, se aproxima mucho a una normal. Así, en nuestro ejemplo : : = 1600 h / F= 120 h.

• Población :

• Todas las bombillas producidas.

• Duración media : = 1600 h

• Desviación típica F = 120 h

Si elegimos muestras de 100 bombillas y calculamos su duración media...

• La duración media en las muestras: 0

• Media aritmética : = 1600 h

• Desviación típica F = 12 h

• Como n = 100 $ 30 N( 1600 ; 12 )

TIPIFICANDO

. p( Z # Z"/2 ) = 0,975 ( mirando en la tabla ) > Z"/2 = 1,96

En el 95% de las muestras, la duración media de las bombillas, 0 , estará comprendida entre los valores A y B, es decir : p ( 1576,48 h #0 # 1623,52 h ) = 0,95 > zona de aceptación ( 1576,48 , 1623,52 ) horas

VERIFICACIÓN / DECISIÓN

Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 100 bombillas, hemos comprobado que su duración media es de 1570 horas. Como este valor no está en la zona de aceptación.

(2)

Contraste de hipótesis para la media. Contraste unilateral (2)

Según la normativa sobre contaminación atmosférica, los motores de los automóviles no deben emitir

más de 5 ppm ( partes por millón ) de CO

2

. Un fabricante, dentro de sus procesos de control de calidad,

ha medido la emisión de CO

2

de 36 motores obteniendo una media de 5,5 ppm y una desviación típica

de 0,6 ppm. Contrasta, con un nivel de significación de 0,05 ( un nivel de confianza del 95% ) , la hipótesis

de que los motores que fabrica cumplen la normativa sobre contaminación.

PLANTEAMIENTO - ESTABLECIMIENTO DE LA HIPÓTESIS

Hipótesis nula H0 : Los motores cumplen la normativa / :# 5 ppm Hipótesis alternativa H1 : No la cumplen / : > 5 ppm Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población. En este caso, con el estudio de la muestra de los 36 motores, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que :# 5 ppm.

ZONA DE ACEPTACIÓN

Recordemos que el TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que dada una población de media : y desviación típica F , si elegimos muestras de tamaño n, las medias aritméticas de los elementos de dichas muestras:

Tienen la misma media, : , que la población.

Su desviación típica es Cuando el tamaño de la muestra es n$30, se aproxima mucho a una normal. Así, en nuestro ejemplo : : = 5 ppm / F = 0,6 ppm

• Población :

• Todos los motores que fabrica.

• Emisión media de CO2 : = 5 ppm

• Desviación típica F = 0,6 ppm

Si elegimos muestras de 36 motores y calculamos la emisión media de CO2

• La emisión media en las muestras: 0

• Media aritmética : = 5 ppm

• Desviación típica F = 0,1 ppm

• Como n = 36 $ 30 N( 5 ; 0,1 )

TIPIFICANDO

. p( Z # Z" ) = 0,95 > ( 0,9495 > 1,64 ; 0,9505 > 1,65 ) > Z" = 1,645

En el 95% de las muestras, la emisión media de CO2 , 0 , de los motores será inferior a B, es decir :

p ( 0 # 5,1645 ) = 0,95 > zona de aceptación ( - 4 , 5,1645 ) ppm de CO2

VERIFICACIÓN / DECISIÓN

Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 36 motores. Hemos calculado la emisión media de CO2 en esos 36

motores: 5,5 ppm. Como este valor está fuera de la zona de aceptación.

(3)

Contraste unilateral (3)

La dirección de un Instituto ha establecido que la media de horas semanales dedicadas por el alumnado

al estudio es superior a 15, con una desviación típica de 1 h. Durante el presente curso, el Dpto.de

Matemática quiere demostrar que esta media ha disminuido. Para ello, elige una muestra aleatoria de

150 alumn@s, obteniendo un tiempo medio de estudio de 12,7 h/semana. ¿Puede afirmarse, con un

nivel de confianza del 90%, que ha disminuido el tiempo medio de l@s alumn@s?

PLANTEAMIENTO - ESTABLECIMIENTO DE LA HIPÓTESIS

Hipótesis nula H0 : Estudian más de 15h / :$ 15h/sem. Hipótesis alternativa H1 : La media ha disminuido / : < 15 h/sem. Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población. En este caso, con el estudio de la muestra de los 150 alumn@s, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que :$ 15 horas/semana.

ZONA DE ACEPTACIÓN

Recordemos que el TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que dada una población de media : y desviación típica F , si elegimos muestras de tamaño n, las medias aritméticas de los elementos de dichas muestras:

Tienen la misma media, : , que la población.

Su desviación típica es Cuando el tamaño de la muestra es n$30, se aproxima mucho a una normal. Así, en nuestro ejemplo : : = 15 horas/semana / F = 1 hora/semana .

• Población :

• Todos l@s alumn@s del instituto.

• Tiempo medio de estudio : = 15 h/sem.

• Desviación típica F= 1 h/sem.

Si elegimos muestras de 150 alumn@s y calculamos la media de horas semanales de estudio...

• El tiempo medio en las muestras: 0

• Media aritmética : = 15 h/sem.

• Desviación típica F = 0,082 ppm

• Como n = 150 $ 30 N( 15 ; 0,082 )

TIPIFICANDO

. p( Z $ -k) = p( Z # Z" ) = 0,9 > Z" = 1,28 > k = 1,28

En el 90% de las muestras, el tiempo medio semanal de estudio , 0 , será superior a A, es decir : p ( 0 $ 14,895 ) = 0,9 > zona de aceptación ( 14,895 , + 4 ) horas de estudio a la semana.

VERIFICACIÓN / DECISIÓN

Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 150 alumn@s. Hemos calculado la media del tiempo semanal que dedican a estudiar : 12,7 horas. Como este valor está fuera de la zona de aceptación.

(4)

Contraste de hipótesis para la media. Contraste bilateral / unilateral (4)

En una ciudad hay una empresa. Una encuesta, realizada a 64 empleados, concluyó que el tiempo

medio que dura un empleo en la fábrica es de 6,5 años, con una desviación típica de 4 años.

¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de

empleo en esa fábrica es menor o igual que 6 años?

PLANTEAMIENTO - ESTABLECIMIENTO DE LA HIPÓTESIS

Hipótesis nula H0 : Hipótesis alternativa H1 : Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población. En este caso, con el estudio de la muestra compuesta por 60 emplead@s, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis nula :

ZONA DE ACEPTACIÓN

Recordemos que el TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que dada una población de media : y desviación típica F , si elegimos muestras de tamaño n, las medias aritméticas de los elementos de dichas muestras:

Tienen la misma media, : , que la población.

Su desviación típica es Cuando el tamaño de la muestra es n$30, se aproxima mucho a una normal. Así, en nuestro ejemplo : : = / F =

• Población : •

• Duración media : =

• Desviación típica F =

Si elegimos muestras de... • La duración media en las muestras: 0

• Media aritmética : = • Desviación típica F = • Como TIPIFICANDO .

VERIFICACIÓN / DECISIÓN

(5)

Contraste bilateral / unilateral (3)

Hace diez años, el 25% de los partos fueron de madre de más de 33 años. Actualmente se ha tomado

una muestra de 120 partos de los cuales 34 fueron de madres de más de 33 años. Con una

significación del 10%, ¿se puede aceptar que la proporción de partos de madres de más de 33 años

sigue siendo como mucho del 25%?

PLANTEAMIENTO - ESTABLECIMIENTO DE LA HIPÓTESIS

Hipótesis nula H0 : Hipótesis alternativa H1 : Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población. Con el estudio de los 120 partos, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que, el porcentaje de mujeres de más de 33 años se mantiene p # 0,25.

ZONA DE ACEPTACIÓN

El TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que si en una población, la proporción en la que se presenta un determinado suceso es igual a PR , si elegimos muestras de tamaño n, las proporciones obtenidas en las muestras cumplen:

Su media aritmética es igual a PR Su desviación típica es Si n $30, se aproxima mucho a una

normal. Así, en nuestro ejemplo : p= / q =

• Población

• PR =

Si elegimos muestras de • Las proporciones muestrales : pr

• Media aritmética : = • Desviación típica F = • Como TIPIFICANDO .

VERIFICACIÓN / DECISIÓN

(6)

Contraste de hipótesis para una proporción. Contraste unilateral (2)

En una determinada ciudad se afirma que, al menos el 30% de las familias tiene un ordenador. Se toma

una muestra aleatoria y significativa compuesta por 200 familias de la ciudad y se observa que 50 de

ellas tienen un ordenador en la casa. A un nivel de significación del 0,05, ¿hay suficiente evidencia para

refutar la afirmación?

PLANTEAMIENTO - ESTABLECIMIENTO DE LA HIPÓTESIS

Hipótesis nula H0 : Al menos el 30% de los hogares de la ciudad tienen ordenador / p $ 0,3 Hipótesis alternativa H1 : p < 0,3 Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población. En este caso, con el estudio de los 200 hogares de la ciudad, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que, al menos, el 30% tiene ordenador: p $ 0,3.

ZONA DE ACEPTACIÓN

El TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que si en una población, la proporción en la que se presenta un determinado suceso es igual a PR , si elegimos muestras de tamaño n, las proporciones obtenidas en las muestras cumplen:

Su media aritmética es igual a PR Su desviación típica es Si n $30, se aproxima mucho a una

normal. Así, en nuestro ejemplo : p=0,3 / q=0,7

• Población

Todos los hogares de la ciudad.

• Porcentaje con ordenador PR = 0,3

Si elegimos muestras de 200 familias y les preguntamos si tienen ordenador en casa...

• Las proporciones muestrales : pr

• Media aritmética : = 0,3

• Desviación típica F = 0,032

• Como n = 200 $ 30 N( 0,3 ; 0,032 ) TIPIFICANDO

. p( Z $ -k) = p( Z # Z" ) = 0,95 ( mirando en la tabla ) > Z" = 1,645 > k=1,645

En el 95% de las muestras, la proporción de familias que tienen un ordenador en la casa, pr , es superior a A : p ( pr $ 0,247 ) = 0,95 > zona de aceptación ( 0,247 , + 4 ) > ( 24,7% , + 4 ) tienen ordenador.

VERIFICACIÓN / DECISIÓN

Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 200 de las familias de la ciudad. De ellas, sólo 50 dijeron tener ordenador en la casa : el porcentaje de la muestra es 50/200 = 0,25 : está dentro de la zona de aceptación.

(7)

Contraste bilateral (1)

Una empresa farmacéutica afirma en su publicidad que uno de sus medicamentos reduce

considerablemente los síntomas de la alergia primaveral en el 90% de la población. Una asociación de

consumidores ha experimentado el fármaco con una muestra de 200 de sus socios, obteniendo el

resultado indicado en 170 personas. Con esos datos, ¿es estadísticamente correcta la afirmación de

la empresa al nivel de significación de 0,05?

PLANTEAMIENTO - ESTABLECIMIENTO DE LA HIPÓTESIS

Hipótesis nula H0 : El fármaco reduce la alergia en el 90% de la población / p = 0,9 Hipótesis alternativa H1 : p … 0,9 Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa población. En este caso, con el estudio de los efectos del fármaco en una muestra de 200 personas, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que p = 0,9.

ZONA DE ACEPTACIÓN

El TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que si en una población, la proporción en la que se presenta un determinado suceso es igual a PR , si elegimos muestras de tamaño n, las proporciones obtenidas en las muestras cumplen:

Su media aritmética es igual a PR Su desviación típica es Si n $30, se aproxima mucho a una

normal. Así, en nuestro ejemplo : p=0,9 / q=0,1

• Población

Todas las personas que toman el fármaco.

• Efectividad del fármaco PR = 0,9

Si elegimos muestras de 200 personas y les preguntamos si la medicina les ha reducido los síntomas de la alergia...

• Las proporciones muestrales : pr

• Media aritmética : = 0,9

• Desviación típica F = 0,021

• Como n = 200 $ 30 N( 0,9 ; 0,021 ) TIPIFICANDO

. p( Z # Z"/2 ) = 0,975 ( mirando en la tabla ) > Z"/2 = 1,96

En el 95% de las muestras, la proporción de efectividad de la medicina, pr , estará comprendida entre los valores A y B, es decir : p ( 0,858 # pr # 0,942 ) = 0,95 > zona de aceptación ( 0,858 , 0,942 ) > ( 85,8% , 94,2% ) de efectividad

VERIFICACIÓN / DECISIÓN

Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 200 enfermos que toman la medicina. Como de los 200, 170 dijeron que sí notaron un alivio en la alergia, la proporción de efectividad en la muestra fue de 170/200 = 0,85 : fuera de la zona de aceptación.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :