NOMBRE DEL ALUMNO: GRUPO SEMESTRE

NOMBRE DEL ALUMNO:________________________________________________

UNIDAD 1

De estos diagramas se derivan varios conceptos que deben ser definidos:

Estadística: Ciencia de recolectar, organizar, describir e interpretar datos. La estadística se divide a su vez en estadística descriptiva e inferencial. La estadística descriptiva se encarga de recoger, almacenar, ordenar, realizar tablas o gráficos y calcular parámetros básicos sobre el conjunto de datos.

La estadística inferencial se presenta cuando a partir de una muestra significativa se deducen (infieren) propiedades o características de interés de una población. La inferencia siempre se realiza en términos aproximados y declarando un cierto nivel de confianza.

Población: Es la colección, o conjunto, de individuos, objetos o eventos cuyas propiedades serán analizadas.

Muestra: Es un subconjunto de la población.

Variable: Característica de interés sobre cada elemento individual de una población o muestra.

Variable cualitativa o de atributos: Variable que clasifica o describe un elemento de una población. Las operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios no son significativas para datos que resultan de una variable cualitativa.

Variable cuantitativa o numérica: Variable que cuantifica un elemento de una población. Las operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios si son significativas para datos que resultan de una variable cuantitativa.

Dato: Valor de la variable asociada a un elemento de una población o muestra. Este valor puede ser un número, una palabra o un símbolo.

Datos: Conjunto de valores recolectados para la variable de cada uno de los elementos que pertenecen a la muestra.

Experimento: Actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos. Parámetro: Valor numérico que resume todos los datos de una población completa. Estadístico: Valor numérico que resume los datos de la muestra.

La probabilidad juega un papel muy importante en la estadística, pues proporciona las bases para realizar inferencias sobre los estadísticos y parámetros de la población a partir del análisis de una muestra (estadística descriptiva), así como para realizar inferencias sobre el comportamiento de la población en el futuro (estadística inferencial).

El término probabilidad proviene de lo probable, o sea, de aquello que es más posible que ocurra, y se entiende como el mayor o menor grado de posibilidad de que un evento aleatorio ocurra, expresado en una cifra entre 1 (posibilidad total) y 0 (imposibilidad absoluta), o bien en porcentajes entre el 100% o el 0%, respectivamente.

Para obtener la probabilidad de un suceso, generalmente se determina la frecuencia con la que ocurre (en experimentos aleatorios bajo condiciones estables), y se procede a realizar cálculos teóricos. Para ello se sigue lo establecido por la Teoría de la probabilidad, una rama de las matemáticas dedicada al estudio de la probabilidad. Esta disciplina es largamente empleada por otras ciencias naturales y sociales como disciplina auxiliar, ya que les permite manejar escenarios posibles en base a generalizaciones.

El origen de la probabilidad reside en la necesidad del ser humano de anticiparse a los hechos, y de predecir en cierta medida el futuro. Así, en su empeño por percibir patrones y conexiones en la realidad, se enfrentó constantemente al azar, o sea, a lo que carece de orden.

Ejemplo:

Un estudiante de estadística está interesado en determinar algo sobre el promedio del valor en dólares de los automóviles que pertenecen al cuerpo docente de nuestra universidad. Cada uno de los términos descritos pueden identificarse en esta situación:

1. La población es la colección de todos los automóviles que pertenecen a todos los miembros del cuerpo docente de la universidad.

2. Una muestra es cualquier subconjunto de esa población. Por ejemplo, una muestra serían los automóviles que pertenecen a los profesores del departamento de matemáticas. 3. La variable es el “valor en dólares” de cada automóvil individual.

4. Un dato podría ser el valor en dólares de un automóvil en particular. El automóvil del señor Sánchez, por ejemplo, está valuado en 9400 dólares.

5. Los datos serían el conjunto de valores que corresponden a la muestra obtenida (9400,8700, 15950, …).

6. El experimento serían los métodos aplicados para seleccionar los automóviles que integren la muestra y determinar el valor de cada automóvil de la muestra. Podría efectuarse preguntando a cada miembro del departamento de matemáticas, o de otras formas. (Es el cómo se va a llevar a cabo).

7. El parámetro sobre el que se está buscando información es el valor “promedio” de todos los automóviles de la población.

8. El estadístico que se encuentre es el valor “promedio” de todos los automóviles de la muestra.

Ejercicios:

1. Relaciona las columnas según los conceptos y proposiciones dadas:

1) Probabilidad Valor numérico que resume todos los datos de una población completa.

2) Estadística Descriptiva

Conjunto de valores recolectados para la variable de cada uno de los elementos que pertenecen a la muestra.

3) Estadística Inferencial Actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos.

4) Población

Se refiere a la posibilidad de que ocurra un suceso aleatorio, se cuantifica entre cero y uno.

5) Muestra

Son aquellas que pueden tomar solo algún valor dentro de un intervalo y se expresa en números enteros.

6) Datos

Son las que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo y se expresa con cualquier valor decimal.

7) Experimento

Disciplina que se encarga de recoger, almacenar, ordenar, realizar tablas o gráficos y calcular parámetros básicos sobre el conjunto de datos.

8) Variables Discretas Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico.

9) Variables Continuas

Estadística que busca deducir y sacar conclusiones acerca de situaciones generales más allá del conjunto de datos obtenidos.

10) Parámetro

Es un subconjunto de la población.

2. Identifica las siguientes expresiones como ejemplos de variables 1) de atributos (Cualitativas) o 2) numéricas (Cuantitativas)

• La resistencia a la rotura de un tipo de cuerda dado.

• El color del cabello de los niños que se presentan a una audición para la revista musical Annie.

• El número de señales de alto que hay en poblaciones con menos de quinientos habitantes.

• Si un grifo es o no defectuoso.

• El número de reactivos contestados correctamente en una prueba estandarizada.

• El tiempo necesario para contestar una llamada telefónica en cierta oficina de bienes raíces.

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: TABLAS Y GRÁFICAS PARA ORDENAR DATOS. PARA DATOS CUALITATIVOS: DIAGRAMAS DE PASTEL Y GRAFICAS DE BARRAS

Los diagramas de pastel muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como una parte proporcional de un círculo. El diagrama de pastel se usa para resumir datos de atributo. Se representan cantidades en porcentajes:

Las gráficas de barras muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como áreas rectangulares de tamaño proporcional.

DIAGRAMA DE PARETO: Gráfica de barras con estas dispuestas de la categoría más numerosa a la menos numerosa. Incluye una gráfica hecha a base de rectas que muestra los porcentajes acumulados y la cantidad de datos representada por cada barra. Su mayor uso es en el área de control de calidad.

El Principio de Pareto o la regla del 80/20 fue descubierto por Vilfredo Pareto, quién observó que, en Italia, el 20 por ciento de la población poseía el 80 por ciento de la propiedad.

Aunque no hay que tomar los números 80 y 20 literalmente (también puede ser 60 y 40), se puede observar el principio de Pareto en muchas situaciones. En muchas empresas, el 80% de la facturación viene de solo 20% de los clientes y los departamentos técnicos saben que un 20% de los usuarios causan el 80% de los problemas.

Por lo que reconociendo el 20% de los problemas se pueden solucionar el 80 % del total. Ejemplo: Un fabricante de accesorios plásticos desea analizar cuáles son los defectos más frecuentes que aparecen en las unidades al salir de la línea de producción. Para esto, empezó por clasificar todos los defectos posibles en sus diversos tipos:

Tipo de defecto Detalle del problema

Mal color El color no se ajusta a lo requerido por el cliente

Fuera de medida Ovalización mayor a la admitida

Mal terminación Aparición de rebabas

Rotura El accesorio se quiebra durante la instalación

Desbalanceo El accesorio requiere contrapesos adicionales

Incompleto Falta alguno de los insertos metálicos

Mal alabeo Nivel de alabeo no aceptable

Otros Otros defectos

Posteriormente, un inspector revisa cada accesorio a medida que sale de producción registrando sus defectos de acuerdo con dichos tipos. Al finalizar la jornada, se obtuvo una tabla como esta:

Tipo de defecto

Detalle del problema

Frec. Frec.% Frec. Acumul. % Aplastamiento El accesorio se aplasta durante la instalación 40 42.6 % 42.6 % Rotura El accesorio se quiebra durante la instalación 35 37.2 % 79.8 % Fuera de medida Ovalización mayor a la admitida 8 8.5 % 88.3 % Mal color El color no se ajusta a

lo requerido por el cliente

3 3.2 % 91.5 %

Mal alabeo Nivel de alabeo no aceptable

3 3.2 % 94.7% Mal

terminación

Aparición de rebabas 2 2.1 % 96.8 % Incompleto Falta alguno de los

insertos metálicos

2 2.1 % 98.9 % Desbalanceo El accesorio requiere

contrapesos adicionales

1 1.1 % 100 %

Otros Otros defectos 0 0 % 100 %

TOTAL 94 100 %

La tercera columna muestra el número de accesorios que presentaban cada tipo de defecto, es decir, la frecuencia con que se presenta cada defecto. En lugar de la frecuencia numérica podemos utilizar la frecuencia porcentual, lo cual se indica en la cuarta columna. En la última columna se escribe el porcentaje acumulado.

Para hacer más evidente los defectos que aparecen con mayor frecuencia hemos ordenado los datos de la tabla en orden decreciente de frecuencia. Vemos que la categoría “otros” siempre debe ir al final, sin importar su valor. De esta manera, si hubiese tenido un valor más alto, igual debería haberse ubicado en la última fila. Podemos ahora representar los datos en un histograma como el siguiente:

Ahora resulta evidente cuales son los tipos de defectos más frecuentes. Podemos observar que los 2 primeros tipos de defectos se presentan en el 79,8 % de los accesorios con fallas. Por el Principio de Pareto, se concluye: La mayor parte de los defectos encontrados en el lote pertenece sólo a 2 tipos de defectos (los “pocos vitales”), de manera que si se eliminan las causas que los provocan desaparecería la mayor parte de los defectos.

Otro análisis complementario y sumamente útil e interesante, es calcular los costos de cada problema, con lo cual podríamos construir un diagrama similar a partir de ordenar las causas por sus costos. Este análisis combinado de causas y costos permite obtener la mayor efectividad en la solución de problemas, aplicando recursos en aquellos temas que son relevantes y alcanzando una mejora significativa.

PARA DATOS CUANTITATIVOS

DISTRIBUCIÓN: Patrón de variabilidad mostrado por los datos de una variable. La distribución muestra la frecuencia de cada valor de la variable.

GRAFICA DE PUNTOS: Presenta los datos de una muestra mediante la representación de cada porción de datos con un punto ubicado a lo largo de una escala. Esta escala puede ser vertical u horizontal. La frecuencia de los valores está representada a lo largo de la otra escala. La grafica de puntos es una técnica que conviene utilizar al inicio del análisis de los datos. Da por resultado una imagen y una clasificación de los datos en orden numérico.

REPRESENTACIÓN DE TALLO Y HOJAS: Presenta los datos de una muestra mediante el empleo de los dígitos que constituyen los valores de los datos. Cada dato numérico se divide

en dos partes: el (los) digito(s) principal(es) se convierte(n) en el tallo, y el (los) digito(s) posterior(es) se convierte(n) en la hoja. Los tallos se escriben a lo largo del eje principal y por cada porción de datos se escribe una hoja para mostrar la distribución de los datos. Se usan para resumir datos numéricos.

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la masa de 50 estudiantes universitarios, escriba su diagrama de tallo y hoja:

ESTUDIANTE HOMBRE/ MUJER PESO (Kg) ESTUDIANTE HOMBRE/ MUJER PESO (Kg) 1 M 45 26 M 52 2 H 68 27 H 74 3 M 49 28 H 71 4 H 72 29 H ₇₀ 5 H 74 30 H ₆₄ 6 M 51 31 M 46 7 M 54 32 H ₆₅ 8 H 76 33 H ₆₆ 9 H 77 34 M ₄₉ 10 H 55 35 H ₇₀ 11 H 80 36 M ₅₀ 12 H 85 37 H ₇₀ 13 M 87 38 M ₅₃ 14 M 58 39 H 73 15 H 61 40 H ₇₅ 16 M 89 41 M ₆₅ 17 H 62 42 H ₈₄ 18 H 93 43 M ₅₅ 19 H 86 44 H ₇₇ 20 M 55 45 H ₈₉ 21 H 85 46 M ₆₀ 22 H 80 47 M 59 23 M 54 48 H ₉₈ 24 H 76 49 H ₈₀ 25 M 52 50 H ₈₃

Para elaborar un gráfico de tallo y hoja se realiza una tabla, en la primer columna se escriben las decenas y en la segunda columna la unidad, esto se realiza para cada valor encontrado en la tabla de datos original, enseguida se muestra el diagrama de tallo y hoja.

4 5 9 6 9 5 1 4 5 8 5 4 2 2 0 3 5 9 6 8 1 2 4 9 0 3 7 2 4 6 7 6 4 1 0 0 0 3 5 7 8 0 5 7 9 6 5 0 4 9 0 3 9 3 8

Ordenando el diagrama de tallo y hoja queda: 4 5 6 9 9 5 0 1 2 2 3 4 4 5 5 5 8 9 6 0 1 2 3 4 8 9 7 0 0 0 1 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 0 0 0 3 4 5 5 6 7 9 9 9 3 8

También se puede realizar un diagrama de tallo y hoja por género. Por ejemplo:

HOMBRES MUJERES 4 5 6 9 9 5 4 5 0 1 2 2 3 4 4 5 5 8 9 8 6 5 2 1 6 5 0 7 7 6 6 5 4 4 3 2 1 0 0 0 7 9 6 5 5 3 0 0 0 8 4 7 9 8 3 9

Usando los resultados obtenidos en la tabla anterior, se puede concluir que las estudiantes (mujeres) pesan menos que los estudiantes (hombres).

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA E HISTOGRAMAS

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS: Listado, a menudo expresado en forma de diagrama, que asocia cada valor de una variable con su frecuencia.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS NO AGRUPADAS: se usa para agrupar por cantidad (frecuencia) datos obtenidos de una muestra.

Ejemplo: De los siguientes datos:

3 2 2 3 2

4 4 1 2 2

4 3 2 0 2

2 1 3 3 1

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS AGRUPADAS: Se usa para agrupar en clases los valores obtenidos de la encuesta, experimento o investigación.

Ejemplo: 60 47 82 95 84 72 67 66 68 98 90 77 86 58 64 95 74 72 88 74 77 39 90 63 68 97 70 64 70 70 58 78 89 44 55 85 82 83 72 77 72 86 50 94 92 80 91 75 76 78 PROCEDIMIENTO:

1) Identifique los puntajes máximo y mínimo (Max = 98, Min = 39) y determine el rango: Rango = Máx - Min = 98 – 39 = 59

2) Elija un número de clases (m=7) y un ancho de clase (c=10) de modo que el producto (mc = 70) sea ligeramente mayor que el rango (rango = 59)

3) Elija un punto inicial, que debe ser algo menor que el puntaje más bajo, Min. Suponga que se empieza en 35; al contar a partir de ahí de diez en diez (el ancho de clase) se obtienen 35, 45, 55, …,95,105. Estos números se denominan límites de clase.

35 o más hasta menos que 45 → 35  x  45 45 o más hasta menos que 55 → 45  x  55

. → 55  x  65

. → 65  x  75

. → 75  x  85

. → 85  x  95

El ancho de clase es la diferencia entre los límites de clase superior e inferior.

Número de clase Límites de clase Frecuencia

f Marca de clase X 1 35  x  45 2 40 2 45  x  55 2 50 3 55  x  65 7 60 4 65  x  75 13 70 5 75  x  85 11 80 6 85  x  95 11 90 7 95  x  105 4 100 50

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS: Gráfica de barras que representa una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa. Un histograma está integrado por los siguientes componentes:

1. Un título, que identifica la población o la muestra de interés.

2. Una escala vertical, que identifica las frecuencias que hay en las diversas clases.

3. Una escala horizontal, que identifica la variable x. los valores de los límites de clase o de las marcas de clase deben identificarse a lo largo del eje x. el empleo de cualquier método para identificar el eje presenta mejor a la variable El histograma de frecuencia representa una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa.

Ejercicios:

1. Un policía de una ciudad, usando radar, verificó la velocidad de los automóviles (en m/s) que circulaban por una calle de la ciudad:

100 80 90 60 80 60

75 80 50 98 60 85

80 70 100 65 90 98

60 60 100 110 70 90

110 90 60 75 90 110

Elabora una gráfica de puntos para estos datos.

2. Considerando las edades de 20 personas elabora una representación de tallo y hojas: 36 25 37 24 39 20 36 45 31 31

39 24 29 23 41 40 33 24 34 40

3. A continuación se presentan los puntajes de la ronda de apertura del torneo de la Ladie’s Professional Golf Association en el Locust Hill Country Club:

69 73 72 74 77 80 75 74 72 83 68 73 75 78 76 74 73 68 71 72 75 79 74 75 74 74 68 79 75 76 75 77 74 74 75 75 72 73 73 72 72 71 71 70 82 77 76 73 72 72 72 75 75 74 74 74 76 76 74 73 74 73 72 72 74 71 72 73 72 72 74 74 67 69 71 70 72 74 76 75 75 74 73 74 74 78 77 81 73 73 74 68 71 74 78 70 68 71 72 72 75 74 76 77 74 74 73 73 70 68 69 71 77 78 68 72 73 78 77 79 a) Elabore una distribución de frecuencias no agrupadas para estos puntajes.

frecuencias del inciso a).

4. En un grupo de 40 alumnos de la materia de Matemáticas se obtuvieron las siguientes calificaciones, elaborar el histograma de frecuencias con datos agrupados.

10 9 8 10 7 8 8 8 8 7 8 8 8 6 9 8 9 8 7 6 9 9 5 9 10 8 7 8 6 8 8 7 8 8 5 7 8 10 9 10 3.TÉCNICAS DE MUESTREO.

TOMA DE DATOS: Para que la estadística pueda ser exacta y verdadera, la recopilación de datos debe ser cuidadosa y precisa, haciendo uso de los medios, recursos y procedimientos que faciliten objetivamente su recopilación.

DATOS ORIGINALES: Son aquellos datos recopilados por nosotros mismos, es decir que son comprobables en forma rigurosa.

DATOS INDIRECTOS: Son aquellos datos recopilados de enciclopedias, libros de registro, sucesos grabados en audio y video.

RECOLECCION DE DATOS: La recolección de datos para el análisis estadístico es un proceso que incluye los pasos siguientes:

1.- Definir los objetivos de la investigación o del experimento.

Ejemplo: comparar la eficacia de un nuevo medicamento con la eficacia del medicamento normal; estimar el ingreso familiar medio en algún municipio.

2.- Definir la variable y la población de interés.

Ejemplo: Duración del tiempo de recuperación de los pacientes que sufren alguna enfermedad particular; ingreso total de los hogares en algún municipio.

Esto incluye los procedimientos de muestreo, el tamaño de la muestra y el instrumento de medición (cuestionario, por teléfono, etc.) de los datos.

4.- Determinar las técnicas idóneas para realizar el análisis de datos: descriptivas e inferenciales.

Ejemplo: La oficina de inscripciones de nuestra universidad desea estimar el costo “Promedio” actual de los libros de texto por semestre, por estudiante. La oblación de interés es la “matricula estudiantil actual” y la variable es la “cantidad total gastada en libros de texto” por cada estudiante en este semestre.

Los dos métodos que se utilizan para recolectar datos son: los experimentos y las encuestas. Experimento: En esta parte el investigador controla o modifica el entorno y observa el efecto sobre la variable bajo estudio. Por ejemplo, cuando se trabaja en un laboratorio con ratas para determinar el efecto sobre algún medicamento

Encuesta: Los datos se obtienen al muestrear alguna parte de la población de interés.

Censo: Es una encuesta al 100%. Sería muy complicado elaborar un censo de cada objeto de estudio por lo que existen otras alternativas como son:

Marco muestral: Es una lista de elementos que pertenecen a la población de la cual se obtendrá la muestra.

Diseño de la muestra:

Muestreo de juicio (o de selección intencional): Las muestras son elegidas con base en el hecho de que son “típicas” o representativas de la población.

Muestreo probabilístico: Son muestras en que los elementos a seleccionar se obtienen con base en la probabilidad. Cada elemento de una población tiene cierta probabilidad de ser elegido como parte de la muestra.

Muestreo aleatorio: Una muestra es seleccionada de modo que todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. De igual manera, todas las muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Las muestras aleatorias se obtienen

por muestreo con remplazamiento en una población finita o por muestreo sin reemplazamiento en una población infinita.

Ejercicios:

1. Realiza una encuesta entre tus familiares o compañeros donde se les pregunte el peso y talla, posteriormente realizan un diagrama de tallo y hojas.

2. Realiza un cuadro comparativo de las diferentes técnicas de muestreo, indicando sus características, ventajas y desventajas.

UNIDAD 2

4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA Y PROMEDIOS.

Ejemplo: Considere la muestra 5, 7, 7, 9, 6, 8. Encuentre lo siguiente:

a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango medio a) La media es la suma de los valores divida entre el número de ellos, los cuales son N=6

∑ = 5 + 7 + 7 + 9 + 6 + 8 = 42 𝑥̅ =42

6 = 7

b) Para obtener la mediana ordenamos los valores de menor a mayor: 5, 6, 7, 7, 8, 9

Ubicamos el valor central, en este caso son dos valores (7 y 7), por lo que se obtiene su promedio:

Mediana = 14/2 = 7 c) La moda es el valor que más se repite, el cual es 7.

d) El rango medio se obtiene restando al valor máximo menos el valor mínimo y dividiendo el resultado entre dos, para el ejemplo el valor máximo es 9 y el valor mínimo es 5, su suma es 14, por lo que el rango medio es:

Ejercicios:

1. Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre lo siguiente:

a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango medio 2. Considere la muestra 6, 8, 7, 5, 3, 7. Encuentre lo siguiente

a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango medio

3. A quince estudiantes universitarios, elegidos aleatoriamente, se les solicitó mencionar el número de horas que durmieron la noche anterior. Los datos resultantes fueron 5, 6, 6, 8, 7, 7, 9, 5, 4, 8, 11, 6, 7, 8, 7. Encuentre lo siguiente:

a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango medio

4. En un artículo de una revista se enumeraron las siguientes cuotas de enseñanza por escuela y por año escolar de 14 universidades: 1554, 2291, 2084, 4443, 2884, 2478, 3087, 3708, 2510, 2055, 3000, 2052, 2550, 2013.

a. Encuentre la media por año escolar b. Encuentre la mediana por año escolar c. Encuentre la moda por año escolar

d. Encuentre el rango medio por año escolar.

5. A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar un examen que mide la capacidad que tienen para hacer ejercicio. Esta capacidad (medida en minutos) se obtuvo para cada uno de los 20 reclutas:

25 25 33 31 30 32 27

26 30 31 32 34 30 30

27 29 30 32 34 33

a) Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio.

b) Elabore una gráfica de puntos para estos datos y localice la media, la mediana, la moda y el rango medio sobre la gráfica.

c) Describa la relación que hay entre los cuatro “promedios” (semejanza) y qué propiedades muestran los datos por las que dichos promedios son semejantes.

Ejemplos:

Una muestra aleatoria de diez corredores NASCAR de la copa Nextel 2005 produjo las siguientes edades: 33, 48, 41, 29, 40, 48, 44, 42, 49, 28

a) Encuentre el rango b) Encuentre la varianza

c) Encuentra la desviación estándar

Ordenamos los datos: 28, 29, 33, 40, 41, 42, 44, 48, 48, 49 a) El rango es el valor máximo menos el valor mínimo:

R= Vmax – Vmin = 49 – 28 = 21

b) Para determinar la varianza y la desviación estándar se sugiere realizar una tabla como la que se muestra a continuación, observa que estamos utilizando una muestra aleatoria, por lo que los símbolos para representar la varianza y la desviación estándar cambian de la siguiente manera:

Varianza = s2 Desviación estándar = s

Ejercicios:

1. Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre lo siguiente: a) Rango b) Varianza c) Desviación estándar

2. Considere la muestra 6, 8, 7, 5, 3, 7. Encuentre lo siguiente a) Rango b) Varianza c) Desviación estándar

3. A 15 estudiantes universitarios, elegidos aleatoriamente, se les solicitó mencionar el número de horas que durmieron la noche anterior. Los datos resultantes fueron 5, 6, 6, 8, 7, 7, 9, 5, 4, 8, 11, 6, 7, 8, 7. Encuentre lo siguiente:

a) Rango b) Varianza c) Desviación estándar

4. Considere los siguientes conjuntos de datos:

Conjunto 1: 46 55 50 47 52 Conjunto 2: 30 55 65 47 53

Ambos conjuntos tienen la misma media, que es igual a 50. Compare la desviación estándar y el rango, comente sobre el significado de estas comparaciones.

6. MEDIDAS DE POSICIÓN (DECILES, CUARTILES Y PERCENTILES). Las medidas de posición se llaman en general cuantiles y se pueden clasificar en tres grandes grupos: Cuartiles, deciles y percentiles, las cuales dividen los datos (distribución de los datos)

en partes iguales. Para calcularlas es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

a - Los Cuartiles (Qn): son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%. Para calcular el valor de uno de los cuatro cuartiles, se utiliza la siguiente fórmula que nos da la posición del cuartil:

Qk = 𝑘(𝑛+1) 4 En donde:

Qk = Cuartil número 1, 2 o 3

n = total de datos de la distribución.

Se advierte que la posición del segundo cuartil corresponde a la ubicación de la mediana, es decir que el segundo cuartil será siempre igual a la mediana.

Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) debes seguir los siguientes pasos: 1º Se ordenan los datos de menor a mayor.

2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k(n+1)/4

El primer cuartil (Q1) es el valor de la variable que supera a lo más el 25 % de los datos y es superado por a lo más el 75 % de ellos en la distribución ordenada de menor a mayor.

Ejemplo:

Dado el siguiente conjunto de datos: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. ¿Cuál es el valor de cada cuartil? 1° ordenamos los datos de menor a mayor: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, el valor de n = 7

Primer Cuartil: Q1 = 1(7+1)

4 = 2da posición que corresponde al valor de 3.

Segundo Cuartil: Q2 = 2(7+1)

4 = 4ta posición que corresponde al valor de 5.

Tercer Cuartil: Q3 = 3(7+1)

4 = 6ta posición que corresponde al valor de 7. Observa que el cuartil dos es la mediana de los datos.

Ejercicios:

1. En una empresa que fabrica envases de vidrio se lleva a cabo un muestreo de un lote de producción para determinar si se aprueba para la venta, la variable a medir es la resistencia a la ruptura en psi, por especificación debe soportar al menos 200 psi. Si se toma una muestra de 15 botellas, determinar lo siguiente:

a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango e) La variancia f) La desviación estándar g) El cuartil 2 h) El decil 1 i) El percentil 15

j) Construye el histograma de Frecuencias con el procedimiento establecido (5 puntos) k) ¿Se aprueba el lote para la venta?

Los datos recogidos son:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 201 202 203 201 201 199 203 200 202 202 204 202 200 202 201

UNIDAD 3

7. TÉCNICAS DE CONTEO: DIAGRAMA DE ÁRBOL, PERMUTACIÓN, COMBINACIÓN.

DIAGRAMA DE ARBOL: Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplo:

Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico.

PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?

Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces: nPn = 𝑛! (𝑛 –𝑛)! = 𝑛! 0! = 𝑛! 1 = n! Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces

nPn = n! Ejemplo 1:

¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Por principio multiplicativo:

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.

Por Fórmula: n = 25 y r = 5 25P5 = 25! (25 –5)! = 25! 20! = (25 𝑥 24 𝑥 23 𝑥 22 𝑥 21 𝑥....𝑥 1)

(20 𝑥 19 𝑥 18 𝑥 ...𝑥 1) = 6,375,600 maneras de formar el comité.

Ejemplo 2:

¿Cuántos puntos de tres coordenadas (x, y, z) será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si a) No es posible repetir dígitos y b) Es posible repetir dígitos.

a) Por fórmula: n = 6 y r = 3 6P3 = 6! (6 – 3)! = 6! 3! = 6 𝑥 5 𝑥 4 𝑥 3! 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles.

b) Por el principio multiplicativo 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos. Donde se observa que:

La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.

nPr = nCr * r! Y si deseamos r = n entonces: nCn = 𝑛! (𝑛 –𝑛)!𝑛! = 𝑛! 0!𝑛! = 1

¿Qué nos indica lo anterior?

Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.

Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos? Por fórmula: n = 11 y r = 5 11C5 = 11! (11 – 5 )!5! = 11! 6!5! = 11 𝑥 10 𝑥 9 𝑥 8 𝑥 7 𝑥 6! 6!5! = 462 maneras de invitarlos

Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar.

Ejemplo 2:

a) Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos: Por fórmula: n = 14 y r = 5 14C5 = 14! (14 – 5 )!5! = 14! 9!5! = 14 𝑥 13 𝑥 12 𝑥 11 𝑥 10 𝑥 9! 9!5! = 2002 grupos

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.

b) Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?

n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5

8C3 * 6C2 = ( 8! (8 –3)!3! ) ∗ ( 6! (6 – 2)!2! ) = (8! 5!3!) ∗ ( 6! 4!2! ) = 8 𝑥7 𝑥 6 𝑥 5 2!

= 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas c) ¿Cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?

En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más. Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres

= 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6

= 126 Ejercicios:

1. Seis personas se deben formar para subir a un autobús: a) ¿De cuántas formas lo pueden hacer?

b) ¿De cuántas formas lo pueden hacer si tres insisten en seguirse? c) ¿De cuántas formas lo pueden hacer si dos rehúsan en seguirse?

2. Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar, si solo se utiliza una vez cada uno?

3. ¿Cuál es el número de formas posibles de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 graduados de una universidad si poseen las mismas cualidades?

5. ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite la repetición?

6. De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité?

7. ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si no se permite la repetición?

8. ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6 si se permite la repetición?

9. Un entrenador de baloncesto dispone de 12 jugadores. ¿Cuántos diferentes equipos de cinco jugadores se pueden formar?

10. De una clase de 20 niñas se escogerán 6 para ir a un paseo. ¿Cuántos posibles grupos de 6 se pueden formar?

8. TEORÍA DE CONJUNTOS (DIAGRAMA DE VENN). SIMBOLO SIGNIFICADO ∈ Es un elemento de… ∉ No es un elemento de . . . { } Conjunto = Es igual a | Tal que

n(a) Cardinalidad del conjunto A … Y así sucesivamente μ Conjunto universal

ø Conjunto vacío

N Conjunto de los números naturales

≠ No es igual a

< Es menor que

> Es mayor que

≤ Es menor o igual que ≥ Es mayor o igual que

∪ Unión con ∩ Intersección con ‘ Complemento de ⊆ Subconjunto de . . . ⊈ No es subconjunto de . . . ⇒ Símbolo de implicación

⇔ Doble implicación o equivalencia

CONJUNTO: Colección o agregado de ideas y objetos de cualquier especie siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto.

a) Días de la semana.

b) Alumnos del grupo de segundo semestre de la especialidad de Procesos de Gestión Administrativa.

c) Total de alumnos con promedio mayor a nueve en un Plantel determinado. d) Los autores de un libro.

e) Los actores en una película. Glosario:

Cardinalidad: El número de elementos contenidos en un conjunto. Ejemplo: Si V= {m, n, o, p, q, r}

Su cardinalidad es de 6 y se expresa n(V) = 6, que se lee cardinalidad de V igual a 6.

Elemento: Las ideas u objetos que forman un conjunto se denominan elementos conjuntos. Conjunto verdad: Los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera forman.

Variable: Es una letra usada para representar a cualquier elemento de un conjunto.

Conjunto finito: Es aquel en que es posible determinar el número de elementos que a él pertenecen.

Conjunto infinito: Es aquel en que no es posible terminar de enumerar a sus elementos. Conjunto universal: Conjunto formado por la totalidad de los elementos considerados para una determinada operación.

Conjunto vacío: Conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Subconjunto: Dados dos conjuntos A y B en que todos los elementos de A pertenecen al conjunto B, entonces decimos que el conjunto A es subconjunto de B.

OPERACIÓNES CON CONJUNTOS UNION ENTRE CONJUNTOS:

A∪B = {x | x ∈ A ó x ∈ B }

Ejemplo 1: Considera los conjuntos P = {1, 2, 3, 4, 5} y Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Diagrama de Venn:

Ejemplo 2:

Determina la unión de los conjuntos L y M que están formados por: L= {I, O, W, A, E} y M = {A, E, B, D, G, C, F}

L ∪ M = {I, O, W, A, E, B, D, G, C, F} La representación del diagrama de Venn es:

Al colorear o sombrear los dos círculos se entiende que se trata de una unión de los elementos de los dos conjuntos.

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: Sean A y B dos conjuntos, entonces:

Ejemplo: Sea L = (a, e, i, o, u} y M = {a, b, c, d, e, f, g, h} L ∩ M = {a, e} Diagrama de Venn:

Ejemplo B: CONJUNTO COMPLEMENTO:

Sea U el conjunto universal y S un subconjunto cualquiera de U. El conjunto de los elementos que falta a S para completar U, es el “complemento de S” (S’). Es decir, es el conjunto de todos los elementos del universo que no están comprendidos en el conjunto indicado.

Ejemplo:

Sea S = {azul, rojo, morado, verde}

Sea U = {amarillo, azul, verde, rojo, morado, violeta, café, negro} S’ = {amarillo, violeta, café, negro}

Diagrama de Venn:

DIAGRAMA DE VENN: El diagrama de Venn es la representación gráfica mediante círculos donde se indica los elementos pertenecientes a cada grupo y aquellos que se encuentren

repetidos se sobreponen los círculos de tal manera que quedan encerrados los números en común y se sombrea esta parte.

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A= {1, 3, 5, 7}; B = {2, 4, 6}; C= {1, 2} y D = {5, 6} Diagrama de Venn:

Ejercicios:

1. Tome el conjunto U= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 como el conjunto universal y si: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = {4, 5, 6, 7}

B= {2, 3, 4, 5} D = {7, 8, 9, 10}

Determine los conjuntos que se indican y represente la operación gráficamente sombreando el resultado. a) A ∪ C b) D∪ B c) B ∩ C d) A ∩ D e) A ∪ B’ f) B ∪ ø g) C’ ∩ D h) (A∩ B)’ i) (C ∪ D)’ j) C ∪ (A ∩ D) k) (B ∩ D) ∪ (B ∩ C)

l) (C ∩ D) ∩ (A ∪ B)

2. Escribe el conjunto que se relacione con cada diagrama, de las sugerencias realizadas a continuación: * C’ ∩ D= {8, 9, 10} * (C ∪ D)’ = {1, 2, 3} * B ∪ø = B * A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} * A ∪ B’ ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = u * A ∩ D= { } * D ∪ B = {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10} * B ∩ C = {4,5} a) b) c) d)

e)

9. PROBABILIDAD CLÁSICA Y CONDICIONAL. El cálculo de las probabilidades se lleva a cabo según la fórmula siguiente:

Probabilidad = Casos favorables / casos posibles x 100 (para llevarlo a porcentaje) Ejemplo:

Calcular la probabilidad de que una moneda salga cara en un único lanzamiento, pensando que sólo puede salir una cara (1) de las dos que hay (2), esto es, 1 / 2 x 100 = 50% de probabilidad.

En cambio, si decidimos calcular cuántas veces saldrá la misma cara en dos lanzamientos seguidos, deberemos pensar que el caso favorable (cara y cara o sello y sello) es uno entre cuatro posibilidades de resultado (cara y cara, cara y sello, sello y cara, sello y sello). Por ende, 1 / 4 x 100 = 25% de probabilidad.

PROBABILIDAD CONDICIONAL: Una probabilidad condicional es la frecuencia relativa con la cual un evento puede esperarse que ocurra, bajo la condición de que se conozca la información preexistente acerca de algún otro evento. P(A|B) se usa para simbolizar la probabilidad de que el evento A ocurra bajo la condición de que se sepa que el evento B ya existe.

Algunas formas de decir o expresar la probabilidad condicional, P(A|B) son: - La “probabilidad de A, dada B”

- La “probabilidad de A, conociendo B”

- La “probabilidad de que A ocurra, sabiendo que B ya ha ocurrido” Ejemplo:

De un sondeo de salida para elección nacional hecho a 13,660 votantes en 250 distritos electorales en todo el país, el 2 de julio de 2002, tenemos lo siguiente:

GÉNERO PORCENTAJE DE VOTANTES PORCENTAJE PARA EL CANDIDATO DEL PARTIDO ROSA PORCENTAJE PARA EL CANDIDATO DEL PARTIDO MORADO PORCENTAJE PARA OTROS Hombres 46 55 44 1 Mujeres 54 48 51 1 Edad 18 – 29 17 45 54 1 30 – 44 29 53 46 1 45 – 59 30 51 48 1 60 y más 24 54 46 0

Una persona ha de ser seleccionada al zar de la muestra de 13,600 votantes, con el uso de la tala encuentre las respuestas a las siguientes preguntas de probabilidad:

1.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre?

Revisando los datos proporcionados en la tabla se debe ubicar el porcentaje total de hombres siendo el resultado 0.46, esto debido a que la tabla habla de porcentajes y la probabilidad se expresa como máximo 1.

Expresado en forma de ecuación:

P(votante seleccionado es hombre) = 0.46

2.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada tenga de 18 a 29 años de edad? Revisando los datos proporcionados en la tabla el resultado es 0.17

Expresado en forma de ecuación:

P(Votante seleccionado tiene entre 18 y 29 años) = 0.17

3.- Sabiendo que el votante seleccionado fue mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que ella votó por el candidato del partido morado?

Revisando los datos proporcionados en la tabla el resultado es 0.51 Expresado en forma de ecuación:

4.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada votó por el candidato del partido rojo si el votante tenía 60 años o más?

Revisando los datos proporcionados en la tabla el resultado es 0.54 Expresado en forma de ecuación:

P( candidato del partido rosa | 60 años o más )

NOTA: el ejercicio 1 y 2 son probabilidades sencillas mientras que el ejercicio 3 y 4 son probabilidades condicionales.

Ejercicios:

1. Halle la probabilidad de obtener exactamente una espada en 4 extracciones de una baraja española de 40 cartas, cuando las extracciones se hacen:

a) Con reemplazo. b) Sin reemplazo.

2. En un pueblo se consumen dos tipos de bebidas alcohólicas: A y G. El 30% de las personas consume al menos la bebida A, el 60% consume al menos la bebida G y se sabe que el 5% consume ambas bebidas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar tome bebidas alcohólicas? b) ¿Qué probabilidad hay de que una persona elegida al azar no consuma bebidas alcohólicas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar tome la bebida A solamente? d) Si elegimos dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas tomen bebidas alcohólicas?

e) Se elige una persona al azar y resulta ser consumidora de bebidas alcohólicas, ¿cuál es la probabilidad de que tome A?

3. Al seleccionar aleatoriamente una letra del alfabeto inglés (26 letras), encuentre la probabilidad:

a) De que sea una vocal.

b) De que se encuentre en cualquier lugar antes de la j. c) De que se encuentre en algún lugar después de la g.

4. Dos cartas se sacan sin reemplazo de un paquete inglés completo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean mayor que 2 y menor que 8?

5. Una muestra de 200 adultos se clasifica de la siguiente manera:

HOMBRE MUJER

PRIMARIA 38 45 83

SECUNDARIA 28 50 78

BACHILLERATO 22 17 39

88 112 200

Al seleccionar aleatoriamente a una persona, encontrar la probabilidad de que sea hombre dado que tiene educación de nivel secundaria.

6. A trescientos televidentes se les preguntó si estaban satisfechos con la cobertura de un reciente desastre por TV:

GÉNERO

FEMENINO MASCULINO

SATISFECHO 80 55

NO SATISFECHO 120 45

Un televidente se ha de seleccionar al azar de entre los encuestados. a) Encuentre la probabilidad de que el televidente esté satisfecho.

b) Encuentre la probabilidad de que el cliente esté satisfecho dado que es del género femenino. c) Encuentre la probabilidad de que el cliente esté satisfecho dado que es del género masculino.

7. Determine si cada uno de los siguientes pares de eventos es independiente:

a) Lanzar un par de dados y observar un “1” en el primer dado y un “1” en el segundo dado. b) Sacar una “espada” de un “monte” regular de cartas y luego sacar otra “espada” del mismo monte sin restituir la primera carta.

c) Ser dueño de un automóvil rojo y tener cabello castaño. d) Poseer un automóvil rojo y tener hoy una llanta sin aire. e) Estudiar para un examen y reprobarlo.

f) Lanzar un par de dados y observar un “2” en uno de los dados y tener un “total de 10”. g) Llover hoy y pasar el examen hoy.

h) Llover hoy y jugar al golf hoy mismo.

i) Completar la tarea hoy y estar a tiempo para la clase.

8. A y B son eventos independientes, si la P(A) = 0.7 y la P(B) = 0.4, encuentre P(A y B). 9. A y B son eventos independientes, si la P(A) = 0.5 y la P(B) = 0.8, encuentre P(A y B). 10. Si la P(A) = 0.3 y P(B) = 0.4, siendo A y B eventos independientes, ¿cuál es la probabilidad de cada uno de los siguientes incisos?

a) P( A y B) b) P(B|A) c) P(A|B)