Slide 2 / 246 Geometría Puntos, Rectas, Planos, y Ángulos

(1)

Este material está disponible gratuitamente en www.njctl.org y está pensado para el uso no comercial de estudiantes y profesores. No puede ser utilizado para cualquier propósito comercial sin el consentimiento por escrito de sus propietarios. NJCTL mantiene su sitio web por la convicción de profesores que desean hacer disponible su trabajo para otros profesores, participar en una comunidad de aprendizaje profesional virtual , y /o permitir a padres, estudiantes y otros personas el acceso a los materiales de los cursos.

Click para ir al sitio web: www.njctl.org

New Jersey Center for Teaching and Learning Iniciativa de Matemática Progresiva

Slide 1 / 246

Geometría

Puntos, Rectas, Planos,

y

Ángulos

www.njctl.org 2013-08-15

Slide 2 / 246

Tabla de contenidos

Puntos, rectas y planos Segmentos

Distancia entre puntos

Locus y construcciones Ángulos y postulado de la suma de ángulos

Bisectriz y construcciones Teorema de Pitágoras

click sobre el tema para ir a la sección

Área de figuras en el plano cartesiano Fórmula del punto medio

Relaciones entre pares de ángulos

Slide 3 / 246

(2)

Tabla de contenidos para vídeos de

demostración de construcciones

Segmentos congruentes Mediopunto Triángulo equilátero Círculo Bisectriz Ángulos congruentes

click sobre el tema para ir a ese vídeo

Puntos, rectas y planos

Volver a la tabla de contenidos

Slide 5 / 246

Definiciones

Un "término indefinido" es una palabra o término que no requiere mayor explicación.

En geometría existen tres términos indefinidos:

Puntos - Un punto no tiene dimensiones (largo, ancho y alto), generalmente se representa en una hoja con una letra mayúscula y un punto . Muestra sólo la posición

Rectas - compuesta de un ilimitado número de puntos a lo largo de una trayectoria recta. Una recta no tiene ancho ni alto y se extiende indefinidamente en las direcciones opuestas.

Planos - una superficie plana que se extiende indefinidamente en dos dimensiones. Un plano no tiene espesor.

Slide 6 / 246

(3)

Puntos y rectas

Una imagen de televisión está compuesta de muchos puntos ubicados muy cerca uno del otro. Pero si miras muy de cerca, verás los espacios.

...

A B

Siempre puedes encontrar un punto entre entre cualquiera otros dos. La recta de arriba sería llamada recta o recta

Sin embargo, en geometría, una línea se compone de un (infinito) número ilimitado de puntos. No hay espacios entre los puntos que conforman una línea.

Slide 7 / 246

Las rectas , , ó todas se refieren a la misma recta Recta a Los puntos son

nombrados con letras.

Las líneas son nombradas usando cualquier dos puntos o usando sólo una letra minúscula. Las puntas de flechas muestran que la recta continua sin fin en direcciones opuestas.

Puntos y rectas

Puntos

Slide 8 / 246

Postulado: cualesquiera dos puntos son siempre colineales Los puntos D, E, y F son llamados puntos colineales, esto

quiere decir que están en la misma línea. Los puntos A, B, y C son puntos NO colineales ya que no están en la misma (única) línea.

Puntos colineales

Las rectas , , ó todas se refieren a la misma recta Recta a Puntos

Slide 9 / 246

(4)

Ejemplo:

Da seis diferentes nombres para la recta que contiene los puntos U, V, y W. R es pu es ta

Ejemplo:

Da seis diferentes nombres para la recta que contiene los puntos U, V, y W.

[This object is a pull tab]

R es pu es ta

Slide 10 (Answer) / 246

Postulado: dos rectas se intersecan en exactamente un punto Si dos rectas no paralelas se intersecan en un plano, lo hacen sólo en un punto. y intersectan a K.

Rectas intersecantes

Slide 11 / 246

(5)

Ejemplo

a. Nombra tres puntos que sean colineales b. Nombra tres conjuntos de puntos que sean no colineales

c. ¿Cuál es la intersección de estas dos rectas?

R es pu es ta

Slide 12 / 246

Ejemplo

a. Nombra tres puntos que sean colineales b. Nombra tres conjuntos de puntos que sean no colineales

c. ¿Cuál es la intersección de estas dos rectas?

R

es

pu

es

ta _{a. A, D, C}

b. A,B,D / A,C,B / C,D,B (otros) c. Punto D

Slide 12 (Answer) / 246

o

Una semirrecta es una porción de una recta.

se lee "semirrecta AB" Una semirrecta comienza en un punto inicial, aquí el extremo A, y continúa. se lee "semirrecta AB en una dirección.

Semirrectas

Slide 13 / 246

(6)

o

Las semirrectas y no son iguales. Tienen diferentes puntos de inicio y se extienden en diferentes direcciones.

Nombrando semirrectas

Supón que el punto C están entre los puntos A y B

Las semirrectas y son semirrectas opuestas . Semirrectas opuestas son dos semirrectas con un extremo común que apunta en direcciones opuestas y forman una línea recta.

Semirrectas opuestas

Slide 15 / 246

Recuerda: Ya que A, B, y C están sobre la misma línea, sabemos que son puntos colineales.

Similarmente, los segmentos y las semirrectas son llamados colineales, si están sobre la misma línea. Segmentos, semirrectas y rectas son también llamadas coplanares si están sobre el mismo plano .

Semirrectas colineales

Slide 16 / 246

(7)

Ejemplo

Nombra un punto que sea colinear con los puntos dados. a. R y P b. M y Q c. S y N d. O y P

Slide 17 / 246

Ejemplo

Nombra dos semirrectas opuestas sobre la recta dada. e. f. g. h.

Slide 18 / 246

Pista

Lee la notación cuidadosamente. ¿Se te está pidiendo rectas, segmentos o semirrectas?

1 es igual que .

click R es pu es ta Verdadero Falso

Slide 19 / 246

(8)

Pista

Lee la notación cuidadosamente. ¿Se te está pidiendo rectas, segmentos o semirrectas?

1 es igual que .

click

Verdadero Falso

R es pu es ta

Falso

2 es igual que .

R es pu es ta Verdadero Falso

Slide 20 / 246

2 es igual que .

Verdadero Falso

R es pu es ta

Verdadero

Slide 20 (Answer) / 246

(9)

3 La recta p contiene justo tres puntos.

Recuerda que aunque sólo estén marcados 3 puntos, una recta está compuesta de un infinito número de puntos. Puedes encontrar siempre otro punto entre otros dos puntos.

Pista R es pu es ta Verdadero Falso

click para revelar

Slide 21 / 246

3 La recta p contiene justo tres puntos.

Recuerda que aunque sólo estén marcados 3 puntos, una recta está compuesta de un infinito número de puntos. Puedes encontrar siempre otro punto entre otros dos puntos.

Pista Verdadero

Falso

R es pu es ta

Falso

Slide 21 (Answer) / 246

4 Los puntos D, H, y E son colineales.

Slide 22 / 246

(10)

4 Los puntos D, H, y E son colineales.

Verdadero

Falso

R es pu es ta

Falso

5 Los puntos G, D, y H son colineales.

Slide 23 / 246

5 Los puntos G, D, y H son colineales.

Verdadero

Falso

R es pu es ta

Verdadero

Slide 23 (Answer) / 246

(11)

Explica tu respuesta.

6 La semirrecta LJ y la semirrecta JL son

semirrectas opuestas

R es pu es ta Si No

Slide 24 / 246

Explica tu respuesta.

6 La semirrecta LJ y la semirrecta JL son

semirrectas opuestas

Si

No

R

es

pu

es

ta No, las semirrectas opuestas tienen el mismo extremo pero apuntan en direcciones opuestas.

Slide 24 (Answer) / 246

7 ¿Cuáles de las siguientes son semirrectas

7 ¿Cuáles de las siguientes son semirrectas

Slide 27 / 246

9 Nombra el punto de inicio de

A

J

B

K

C

L

R es pu es ta

B

Slide 27 (Answer) / 246

Ejemplo

¿Son colineales estos tres puntos? Si lo son, nombra la recta que los contiene.

a. L, K, J b. N, I, M c. M, N, K d. P, M, I

Slide 28 / 246

(14)

Los puntos K, M, y L son coplanares.

Los puntos O, K, y L son no-coplanares en el diagrama de arriba.

Sin embargo, podrías dibujar un plano para contener cualesquiera tres puntos.

Planos

El plano KMN, el plano LKM, o el plano KNL o, por una única letra tal como Plano R.

(Estos son todos nombres para el mismo plano)

Puntos coplanares son aquellos que están ubicados en el mismo plano:

Los planos pueden ser nombrados a partir de tres puntos no colineales:

Puntos colineales son aquellos que están sobre la misma línea.

J,G, y K son tres puntos colineales. F,G, y H son tres puntos colineales. J,G, y H son tres puntos no colineales.

Puntos coplanares son aquellos que se ubican en el mismo plano. Cualesquiera tres puntos no colineales pueden nombrar un plano.

F, G, H, e I son coplanares.

F, G, H, y J son también coplanares, pero el plano no está dibujado.

F,G, y H son coplanares y también son colineales. G, I, y K son no coplanares y nocolineales.

Slide 30 / 246

A B

Como en el otro ejemplo, imagina la intersección de cuatro paredes en una habitación con el techo o el piso. Se puede imaginar una línea que contiene a todas las intersecciones a

lo largo de esos planos.

Si dos planos se intersecan, lo hacen exactamente a lo largo de una línea.

La intersección de estos dos planos se muestra por la recta

Planos intersecantes

Slide 31 / 246

(15)

Cualesquiera tres puntos no colineales determinan un plano.

Slide 32 / 246

Nombra los siguientes puntos: Un punto que no esté en el plano HIE Un punto que no esté en el plano GIE Dos puntos en ambos planos Dos puntos que no estén sobre

Ejemplo

Slide 33 / 246

10 La recta BC no contiene al punto R. ¿Son

colineales los puntos R, B, y C colineales?

R es pu es ta Si No

Slide 34 / 246

(16)

10 La recta BC no contiene al punto R. ¿Son

colineales los puntos R, B, y C colineales?

Si No

R es pu es ta

No

11 El plano LMN no contiene al punto P. ¿Son

coplanares los puntos P, M, y N?

Pista:

¿Qué sabemos sobre cualesquiera tres puntos? Res

pu es ta Si No

Slide 35 / 246

11 El plano LMN no contiene al punto P. ¿Son

coplanares los puntos P, M, y N?

Pista:

¿Qué sabemos sobre cualesquiera tres puntos? Si

No

R es pu es ta

Si, sobre el

plano MNP

Slide 35 (Answer) / 246

(17)

12 El plano QRS contiene a . ¿Son coplaneres los

puntos Q, R, S y V? Dibuja un esquema.

R es pu es ta Si No

Slide 36 / 246

12 El plano QRS contiene a . ¿Son coplaneres los

puntos Q, R, S y V? Dibuja un esquema.

Si No

R es pu es ta

Si

Slide 36 (Answer) / 246

13 El plano JKL no contiene a . ¿Son coplanares

los puntos J, K, L y N?

R es pu es ta Si No

Slide 37 / 246

(18)

13 El plano JKL no contiene a . ¿Son coplanares

los puntos J, K, L y N?

Si No

R es pu es ta

No

14 y intersecan a A Punto A B Punto B C Punto C D Punto D R es pu es ta

Slide 38 / 246

14 y intersecan a A Punto A B Punto B C Punto C D Punto D R es pu es ta

B

Slide 38 (Answer) / 246

(19)

15 ¿Qué grupo de puntos son no coplanares con los

16 ¿Son coplanares las rectas y en el cubo

de abajo?

R es pu es ta Si No

Slide 40 / 246

(20)

C

el punto A

D

la recta

R es pu es ta

Slide 42 / 246

18 Los planos ABC, GCD, y EGC intersectan a _____?

A

la recta

B

el punto C

C

el punto A

D

la recta

R es pu es ta

B

Slide 42 (Answer) / 246

19

_{Nombra otro punto que esté en el mismo plano}

que los puntos E, G, y H

A B B C C D D F R es pu es ta

Slide 43 / 246

(22)

19

_{Nombra otro punto que esté en el mismo plano}

que los puntos E, G, y H

A B B C C D

D F

R es pu es ta

D

20 _{Nombra un punto que sea coplanar con los puntos E,}

F, y C A H B B C D D A R es pu es ta C

Slide 44 / 246

20 _{Nombra un punto que sea coplanar con los puntos E,}

F, y C A H B B C D D A C R es pu es ta

C

Slide 44 (Answer) / 246

(23)

21 Las rectas intersecantes son __________

coplanares.

A

Siempre

B

Algunas veces

C

Nunca

R es pu es ta

(25)

24 Un plano que contiene dos puntos de una recta

A Siempre B Algunas veces C Nunca

MIra que sucede si se ubica la recta y directamente arriba de la recta x

R es pu es ta

Slide 50 / 246

26 Dos rectas ________________ se encuentran en más de un punto.

A Siempre B Algunas veces C Nunca

MIra que sucede si se ubica la recta y directamente arriba de la

recta x [This object is a pull tab]

R es pu es ta

B

Slide 50 (Answer) / 246

(27)

Segmentos

Slide 51 / 246

Segmentos

Los segmentos son porciones de una recta. or

extremo extremo

se lee " segmento AB"

Segmentos o son diferentes nombres para el mismo segmento, que consiste de dos extremos A y B y todos los puntos de la recta que están entre ellos.

o

Slide 52 / 246

Sobre una recta numérica, cada punto puede estar apareado con un número y cada número puede estar apareado con un punto.

Las coordenadas indican la posición de los puntos sobre la recta numérica.

El símbolo AF establece la longitud de . Esta distancia desde A hasta F puede calcularse restando las dos coordenadas y tomando el valor absoluto.

coordenada 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 coordenada AF = |-8 - 6| = 14Distancia A F A B C D E F

Postulado

Slide 53 / 246

(28)

¿Por qué tomamos el valor absoluto

al calcular la distancia?

Cuando tomas el valor absoluto entre dos números, el orden en el cual restas los dos números no importa. En la diapositiva anterior, buscábamos la distancia entre dos puntos. La distancia es una cantidad física que pude ser medida. La distancia no puede ser negativa.

coordenada 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 coordenada AF = |-8 - 6| = 14Distancia A F

Igual en tamaño y forma. Dos objetos son congruetnes si tienen las mismas dimensiones y forma.

A grandes rasgos, 'congruente' significa 'igual', pero esta palabra tiene un significado más preciso que deberías entender completamente cuando consideres formas complejas.

Definición: congruencia

Slide 55 / 246

Los segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Pueden estar en cualquier ángulo u orientación en el plano, no necesitan ser paralelos.

Se lee como:

"El segmento DE es congruente al segmento HI."

Segmentos congruentes

Slide 56 / 246

(29)

Construcción de segmentos congruentes

Dato:

1. Dibuja una recta de referencia con una regla. Ubica un punto de referencia para indicar donde comenzar el nuevo segmento en la recta.

2. Coloca el compás sobre el punto A.

3. Abre el compás de manera que la punta del lápiz esté en el punto B.

Dato: AB

Slide 57 / 246

Construcción de segmentos congruentes

(continuación)

4. Cuidando de que no se abra más el compás, ubícalo apuntando sobre el punto de referencia y mueve el lápiz de manera que cruce la recta de referencia.

Slide 58 / 246

5. Marca un punto donde el lápiz cruzó la recta. Coloca el nombre a tu nuevo segmento.

Construcción de segmentos congruentes

(continuación)

Slide 59 / 246

(30)

Construcción de segmentos congruentes

Intenta ésto!

Construye un nuevo segmento sobre la recta horizontal 1) N ot as d el p ro fe so r

Construcción de segmentos congruentes

Intenta ésto!

Construye un nuevo segmento sobre la recta horizontal 1)

N ot as d el p ro fe so

r Los estudiantes usan las hojas de construcción de puntos, rectas, planos y ángulos para hacer las construcciones

nombradas como "Intenta ésto" que están dentro de la presentación.

Slide 60 (Answer) / 246

Construcción de segmentos congruentes

Intenta ésto!

Construye un segmento congruente sobre la recta inclinada. 2)

Slide 61 / 246

(31)

Vídeo demostrativo de Construcción de Segmentos Congruentes usando el

software Geometría Dinámica.

Click aquí para ver el vídeo

Slide 62 / 246

Definición: rectas paralelas

Las rectas son paralelas si están ubicadas en el mismo plano, y están a igual distancia punto a punto en su entera longitud.

Esto significa que no se cortan.

Slide 63 / 246

cm

Calcula la medida de cada segmento en centímetros.

a. b. = =

Ejemplo

8 - 2 = 6 cm 1.5 cm click click

Slide 64 / 246

(32)

Slide 68 (Answer) / 246

Slide 69 / 246

(35)

31 Encuentra un segmento que sea de 5.5 cm de longitud. A B C D cm

R es pu es ta

D

Slide 69 (Answer) / 246

32 Si el punto F fuera ubicado a 3.5 cm sobre la regla, ¿cuán lejos del punto E estaría? A 5 cm B 4 cm C 3.5 cm D 4.5 cm cm R es pu es ta

Slide 70 / 246

32 Si el punto F fuera ubicado a 3.5 cm sobre la regla, ¿cuán lejos del punto E estaría? A 5 cm

B 4 cm C 3.5 cm D 4.5 cm

cm

R es pu es ta

D

Slide 70 (Answer) / 246

(36)

Postulado de suma de segmentos

AC

AB BC

Para decirlo simplemente, si tomas una parte de un segmento (AB), y lo sumas a otra parte de un segmento (BC), obtienes el

segmento entero.

El entero es igual a la suma de sus partes. Si B está entre A y C, entonces AB + BC = AC. O, si AB + BC = AC, entonces B está entre A y C.

Ejemplo

El postulado de la suma de segmentos funciona par tres o más segmentos siempre y cuando todos estén contenidos en la misma línea ( por ej. que todos los puntos sean colineales.

En el diagrama, = 27, = , = 5 y = 6 Calcula y

Slide 72 / 246

AE AB BC CD DE

Comienza completando la información dada.

En el diagrama, = 27, = , = 5, y = 6 27

5 6

|| ||

¿Puedes terminar la resta? 2x+11 = 27 2x = 16 x = 8 = CD = 19 click click click click

Slide 73 / 246

(37)

2) El postulado de la adición de segmentos da 3x+13 + 2x+11 + 3x+16 = 3x+140

3) Combina términos iguales y aisla/resuelve x.

R es pu es ta

Slide 75 / 246

(38)

Ejemplo

P, B, L, y M son colineales y están en el siguiente orden: a) P está entre B y M

b) L está entre M y P

Dibuja un diagrama y resuelve para x:

ML = 3x +16, PL = 2x +11, BM = 3x +140, y PB = 3x + 13 1) Primero, ordena los puntos y dibuja un diagrama a) BPM

b) BPLM

2) El postulado de la adición de segmentos da 3x+13 + 2x+11 + 3x+16 = 3x+140

3) Combina términos iguales y aisla/resuelve x.

R es pu es ta 8x + 40 = 3x + 140_{5x + 40 = 140} 5x = 100 x = 20

Para las siguientes seis preguntas damos la siguiente información sobre los puntos colineales :

Pista: comienza siempre estos problemas ubicando la información que tienes dentro del diagrama .

Slide 76 / 246

33 Te estamos dando la siguiente información sobre los puntos colineales: ¿Cuánto miden , , y ? R es pu es ta

Slide 77 / 246

(39)

33 Te estamos dando la siguiente información sobre los puntos colineales: ¿Cuánto miden , , y ? R es pu es ta

3 Slide 77 (Answer) / 246

34 Te estamos dando la siguiente información sobre los puntos colineales: ¿Cuánto mide ? R es pu es ta

Slide 78 / 246

34 Te estamos dando la siguiente información sobre los puntos colineales:

¿Cuánto mide ?

R es pu es ta

11 Slide 78 (Answer) / 246

(40)

₆

Slide 79 (Answer) / 246

Slide 80 / 246

(41)

R es pu es ta

14 Slide 80 (Answer) / 246

Slide 81 / 246

9 Slide 81 (Answer) / 246

(42)

R es pu es ta 17

17 Slide 82 (Answer) / 246

39 X, B, e Y son puntos colineales con Y entre B y X. Dibuja un diagrama y resueve para x:

BX = 6x + 151 XY = 15x - 7 BY = x - 12 R es pu es ta

Slide 83 / 246

(43)

39 X, B, e Y son puntos colineales con Y entre B y X. Dibuja un diagrama y resueve para x:

BX = 6x + 151 XY = 15x - 7 BY = x - 12

R es pu es ta x - 12 + 15x -7 = 6x + 151 16x - 19 = 6x + 151 10x = 170 x = 17 x - 12 15x - 7 6x + 151 Y B X

Slide 83 (Answer) / 246

40 Q, X, y R son puntos colineales, con X entre R y Q. Dibuja un diagrama y resuelve para x:

XQ = 15x + 10 RQ = 2x + 131 XR = 7x +1 R es pu es ta

Slide 84 / 246

40 Q, X, y R son puntos colineales, con X entre R y Q. Dibuja un diagrama y resuelve para x:

XQ = 15x + 10 RQ = 2x + 131 XR = 7x +1

R es pu es ta X R Q 15x + 10 2x + 131 7x + 1 7x + 1 + 15x + 10 = 2x + 131 22x + 11 = 2x + 131 20x = 120 x = 6

Slide 84 (Answer) / 246

(44)

41 B, K, y V son puntos colineales, con K entre V y B. Dibuja un diagrama y resuelve para x:

KB = 5x BV = 15x + 125 KV = 4x +149 R es pu es ta

41 B, K, y V son puntos colineales, con K entre V y B. Dibuja un diagrama y resuelve para x:

KB = 5x BV = 15x + 125 KV = 4x +149

R es pu es ta K V B 5x 15x + 125 4x + 149 4x + 149 + 5x = 15x + 125 9x + 149 = 15x + 125 6x = 24 x = 4

Slide 85 (Answer) / 246

El Teorema de Pitágoras

Slide 86 / 246

(45)

Pitágoras fue un filósofo, teólogo, científico y matemático nacido en la Isla de Samos en la Grecia antigua y vivió desde 570 a 495 AC. El teorema dice que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados.

c2 _{= a}2_{+ b}2 a b c

Teorema de Pitágoras

Slide 87 / 246

Pitágoras- Prueba teórica visual 1

Slide 88 / 246

Pitágoras- Prueba teórica visual 2

Slide 89 / 246

(46)

Uso del Teorema de Pitágoras

c2_{= a}2_{+ b}2

5

3 a = ?

_{16 =}-9 -9 =a 25 = a2 _{+ 9} a2 a =

4

En el teorema de Pitágoras, c siempre se establece para el lado más largo. En un triángulo rectángulo, el lado más largo es llamdo hipotenusa.

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

Usarás a menudo el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo

R es pu es ta

Slide 91 / 246

Ejemplo

R es pu es ta

Slide 91 (Answer) / 246

(47)

42 ¿Cuál es la longitud del lado c?

El lado más largo de un triángulo se llama ___________

R es pu es ta

Slide 92 / 246

42 ¿Cuál es la longitud del lado c?

El lado más largo de un triángulo se llama ___________ [This object is a pull tab]

R es pu es ta c2= a2 + b2

Slide 92 (Answer) / 246

43 ¿Cuál es la longitud del lado a?

Pista:

Primero, determina qué lado es la hipotenusa

R

es

pu

es

ta

Slide 93 / 246

(48)

43 ¿Cuál es la longitud del lado a?

Pista:

Primero, determina qué lado es la hipotenusa click para revelar

R es pu es ta c₁₃2 = a2_{= a}2 + b2_{+ 5}22 169 = a2_{+ 25} = a = 12

44 ¿Cuál es la longitud de c? B R es pu es ta

Slide 94 / 246

44 ¿Cuál es la longitud de c? B

R es pu es ta c 2_{= a}2_{+ b}2 c2_{= 8}2_{+ 15}2 c2_{= 64 + 225} = c = 17

Slide 94 (Answer) / 246

(49)

45 ¿Cuál es la longitud del lado que falta? R es pu es ta

Slide 95 / 246

45 ¿Cuál es la longitud del lado que falta?

R es pu es ta c 2_{= a}2_{+ b}2 152_{= a}2_{+ 12}2 225 = a2_{+ 144} = a = 9

Slide 95 (Answer) / 246

46 ¿Cuál es la longitud del lado b?

R es pu es ta

Slide 96 / 246

(50)

46 ¿Cuál es la longitud del lado b?

R es pu es ta c2_{= a}2_{+ b}2 ( )2_{= 7}2_{+ b}2 58 = 49 + b2 = b = 3

47 ¿Cuál es la medida de x? 8 17 x R es pu es ta

Slide 97 / 246

47 ¿Cuál es la medida de x? 8 17 x

R es pu es ta c2_{= a}2_{+ b}2 172_{= 8}2_{+ b}2 289 = 64 + b2 = b = 15

Slide 97 (Answer) / 246

(51)

Son tres enteros positivos para la longitud de los lados que sarisfacen a2_{+ b}2 _{= c}2

( 3 , 4 , 5 ) ( 5, 12, 13) (6, 8, 10) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17) ( 9, 40, 41) (10, 24, 26) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) etc.

Hay muchos más.

Recordando algunas de esas combinaciones puedes ahorrar algo de tiempo.

Terna pitagórica

Slide 98 / 246

48 Un triángulo que tiene lados de 30, 40 , y 50, es un triángulo rectángulo? R es pu es ta Si No

Slide 99 / 246

48 Un triángulo que tiene lados de 30, 40 , y 50, es un triángulo rectángulo?

Si No

R es pu es ta

Si

Slide 99 (Answer) / 246

(52)

49 Un triángulo que tiene lados de 9, 12 , y 15, es un triángulo rectángulo? R es pu es ta Si No

49 Un triángulo que tiene lados de 9, 12 , y 15, es un triángulo rectángulo?

Si No

R es pu es ta

Si

Slide 100 (Answer) / 246

50 Un triángulo tiene lados de √3, 2 , y √5, es un triángulo rectángulo? R es pu es ta Si No

Slide 101 / 246

(53)

50 Un triángulo tiene lados de √3, 2 , y √5, es un triángulo rectángulo?

Si No

R es pu es ta

No

Slide 101 (Answer) / 246

Distancia entre puntos

Slide 102 / 246

Una aplicación del Teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos es el cálculo de la distancia entre dos puntos.

El cálculo de la distancia entre puntos en el plano es equivalente a calcular la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Cálculo de distancia

El Teorema de Pitágoras es verdadero para todos los triángulos rectángulos. Si conocemos la longitud de dos lados de un triángulo rectángulo, entonces conocemos la longitud del tercer lado.

Slide 103 / 246

(54)

(x1, y1) c c b a c2_{= a}2_{+ b}2 (x2, y1) (x2, y2)

La fórmula de distancia calcula la distancia usando los puntos de las coordenadas.

Relación entre el Teorema de Pitágoras y la

fórmula de distancia

El Teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

La distancia entre dos puntos, ya sea sobre una recta o en un plano cartesiano se calcula usando la fórmula de distancia.

La fórmula de distancia

La distancia 'd' entre dos puntos cualesquiera con coordenadas y está dada por la fórmula: (x1, y1) (x2, y2)

d =

Nota: recuerda que las coordenadas son (coordenada x-, coordenada y).

Slide 105 / 246

d =

Ejemplo

Calcula la distancia entre el punto K al punto I(x1, y1)

Coloca las coordenadas dentro de la fórmula de distancia.

Coloca nombre a los puntos. No importa al cuál le pones 1 o a cuál le pones 2. La respuesta será la misma.

(x2, y2)

R es pu es ta KI = KI = KI =

Slide 106 / 246

(55)

d =

Ejemplo

Calcula la distancia entre el punto K al punto I(x1, y1)

Coloca las coordenadas dentro de la fórmula de distancia.

Coloca nombre a los puntos. No importa al cuál le pones 1 o a cuál le pones 2. La respuesta será la misma.

(x2, y2) KI = R es pu es ta KI =

Slide 106 (Answer) / 246

51 Calcula la distancia desde el punto J al punto K A B C D R es pu es ta

Slide 107 / 246

51 Calcula la distancia desde el punto J al punto K A

B C D

R es pu es ta d = JK = JK = JK = JK = 2

Slide 107 (Answer) / 246

(56)

52 Calcula la distancia desde H a K A B C D R es pu es ta D

52 Calcula la distancia desde H a K A B C D R es pu es ta d = HK = HK = HK = HK =

D

Slide 108 (Answer) / 246

53 Calcula la distancia desde el punto G al punto K A B C D R es pu es ta

Slide 109 / 246

(57)

53 Calcula la distancia desde el punto G al punto K A B C D R es pu es ta

D

Slide 109 (Answer) / 246

54 Calcula la distancia desde el punto I al punto H A B C D R es pu es ta

Slide 110 / 246

54 Calcula la distancia desde el punto I al punto H A

B C D

R es pu es ta

D

Slide 110 (Answer) / 246

(58)

55 Calcula la distancia desde el punto G al punto H A B C D R es pu es ta

55 Calcula la distancia desde el punto G al punto H A

B C D

R es pu es ta

B

Slide 111 (Answer) / 246

Área de las figuras

en el plano

cartesiano

Slide 112 / 246

(59)

Fórmula de área:

Área de un triángulo: A = bh Área de un rectángulo: A = la

1 2

Cálculo del área de las figuras en

el plano cartesiano

Pasos para el cálculo de área:

1) Calcula las distancias deseadas utilizando la fórmula de distancia

> Ej: base y altura en un triángulo > Ej: largo y ancho en un rectángulo 2) Calcula el área de la figura

Slide 113 / 246

Ejemplo: Calcula el área del rectángulo.

Pasos para el cálculo del área: 1) Calcula la distancia deseada usando fórmula de distancia > = FG y w = EF

2) Calcula el área de la figura

unidades2 = = w

Slide 114 / 246

Ejemplo: Calcula el área de un triángulo.

Pasos para el cálculo del área:

1) Calcula la distancia deseada usando la fórmula > b = AC & h = BD R es pu es ta

Slide 115 / 246

(60)

Pasos para el cálculo del área:

1) Calcula la distancia deseada usando la fórmula > b = AC & h = BD

R es pu es ta = b = h

2) Calcula el área de la figura _Respu

es ta

Slide 116 / 246

2) Calcula el área de la figura

R es pu es ta