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CAPITULO
Diseño analógico de controladores
digitales.
Aquel que no ha fracasado
es porque nunca ha intentado
algo nuevo
Albert Einstein.
Contenido:
Tema 4.1: Controladores PID digitales
Tema 4.2: Rediseño utilizando la retroalimentación de estado.
Tema 4.3: Métodos de diseño utilizando la respuesta en
frecuencia.
Tema 4.1 Controladores PID digitales.
Introducción
El controlador PID es por mucho el algoritmo de control más común. La mayoría de los lazos de retroalimentación son controlados por este algoritmo o por algunas variaciones menores de él. Es implementado de muchas formas diferentes, como un controlador autosuficiente o como parte de un sistema de Control Digital Directo (DDC) o de un sistema de control de procesos distribuido jerárquicamente.
Algoritmo Básico
La mayor parte de los reguladores industriales contienen dispositivos llamados controladores que, en el caso de los sistemas de una entrada y una salida pueden ser esquematizados como se muestra en la figura 4.1.
E(s) R(s)
+
C(s)
G
1(s)
G
2(s)
H(s)
Y(s) P(s)-
+
-
U(s)Figura 4. 1 Inserción de un controlador dentro de un regulador industrial
En estos casos dichos controladores poseen dos entradas: la referencia R(s) y la retroalimentación de la salida Y(s).
Su función es doble a saber: a) Calcular la señal de error E.
b) Corregir el comportamiento del sistema por medio de una adecuada modificación de la transmitancia H(s)G(s).
En el caso de los controladores disponibles comercialmente, dentro de la transmitancia C(s) se tienen parámetros fácilmente ajustables. El usuario está en posibilidad de corregir su sistema optimizando los valores de los parámetros del controlador tanto teórica como empíricamente, si bien una combinación de ambos procedimientos, como veremos más adelante, es lo más usual. De esta manera se puede lograr que los errores sean pequeños tanto en régimen estacionario como transitorio y con el mínimo de oscilaciones.
s
s
K
s
C
(
)
=
+
α
+
β
4. 1 Así se tiene un términos de proporcionalidad (K) un término de integración (α/s) y un término de derivación (βs), de donde este controlador toma su nombre.Si buscamos una definición más técnica, la versión básica del algoritmo PID, tiene la siguiente forma:
+
+
=
T
s
s
T
K
s
C
d i p1
1
)
(
4. 2 donde: Kp = Ganancia proporcional.Ti = Tiempo integral.
Td = Tiempo derivativo.
Si la entrada al controlador es e(t) , la salida u(t) del controlador está dada por:
+
+
=
∫
dt
t
de
T
dt
t
e
T
t
e
K
t
u
d i p)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
4. 3 donde u(t) es la variable de control (salida del controlador) y e(t) es el error de control, el cual es la diferencia entre el punto de referencia r(t) y la salida del sistema (valor medido) y(t) . La variable de control es entonces la suma de tres términos: el término P (el cual es proporcional al error), el término I (el cual es proporcional a la integral del error) y el término D (el cual es proporcional a la derivada del error). Las constantes Kp, el tiempo integralT
y el tiempoderivativo
T
son los parámetros del controlador.i d
La ecuación 4.2 también podemos escribirla como
s
K
s
K
K
s
C
i d p+
+
=
)
(
4. 4 donde: Kp = Ganancia proporcional.Ki = Ganancia integral. Kd = Ganancia derivativa.
Acción proporcional
En el caso de control proporcional puro, la ecuación 4.2 se reduce a:
p
K
s
E
s
U
s
C
=
=
)
(
)
(
)
(
y de aquí:)
(
)
(
t
K
e
t
u
=
p 4. 5 La acción de control es simplemente proporcional al error de control. Esta es la forma más simple de retroalimentación. Varias propiedades del control proporcional pueden ser comprendidas por los siguientes argumentos, los cuales están basados en consideraciones puramente estáticas. Considerando el lazo simple de retroalimentación, mostrado en la figura 4.2, compuesta de una planta y un controlador. Asumimos que el controlador tiene acción proporcional y que la planta está modelada por el modelo estáticoKu
x
=
4. 6 Regulador Planta-1
r ε u l x n yFigura 4. 2 Diagrama a bloques de un lazo simple de retroalimentación. Las siguientes ecuaciones se obtuvieron del diagrama de bloques de la figura 4.2.
)
(
)
(
y
r
K
u
l
u
K
x
n
x
y
p−
=
+
=
+
=
Al eliminar las variables intermedias, obtenemos la siguiente relación entre la variable de la planta x, punto de referencia r, ruido de carga l y ruido de medición n:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
r
n
)
Kl
KK
KK
x
Kl
n
KK
r
KK
x
KK
x
Kl
n
KK
x
KK
r
KK
x
l
n
x
r
K
K
x
l
y
r
K
K
x
p p p p p p p p p p+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
−
=
+
+
−
=
+
−
=
)
1
(
l
KK
K
n
r
KK
KK
x
p p p+
+
−
+
=
1
)
(
1
4. 7 El producto KKp es un número adimensional llamado ganancia de lazo. Algunaspropiedades interesantes del sistema de lazo cerrado pueden observarse en la ecuación 4.7. La ganancia de lazo debe ser alta para asegurar que la salida de la planta x sea cercana al punto de referencia r. Un alto valor de la ganancia de lazo hará también insensible el sistema al ruido de carga l. Como podemos ver en la ecuación 4.7 el ruido de medición n influye en la salida de la planta de la misma manera que el punto de referencia r. Una alta ganancia de lazo hace entonces sensible el sistema al ruido de medición.
También podemos ver en la ecuación 4.7 que siempre existirá un error de estado estacionario con el control proporcional. Esto puede ser deducido intuitivamente desde la observación de la ecuación 4.5 en la que el error de control es necesario para no tener una señal de control de orden cero. Los controladores proporcionales por consiguiente son provistos algunas veces de un término de “offset” I para obtener una salida correcta en estado estacionario. La ecuación 4.5 queda entonces:
I
t
Ke
t
u
(
)
=
(
)
+
4. 8 donde I es el término de “offset”. Los argumentos anteriores, los cuales están basados en la asunción de que la planta puede ser descrita por un modelo estático, nos muestran algunas propiedades importantes de la dinámica de los sistemas de lazo cerrado. La más importante es que un sistema de lazo cerrado sería normalmente inestable para altas ganancias de lazo si se considerara la dinámica de la planta. En la práctica la máxima ganancia de lazo es determinada por la dinámica de la planta. Una manera de incluir la dinámica de la planta en la ecuación 4.7, sería hacer la ganancia de la planta dependiente de la frecuencia.Pero sin importar el mecanismo en sí y la potencia que lo alimenta, el controlador proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable.
Acción integral.
La principal función de la acción integral es hacer estable la salida del proceso de acuerdo al punto de referencia en estado estable. Como vimos anteriormente con el controlador proporcional es necesario que exista un error para tener una señal de control no nula. Con la acción integral, un pequeño error positivo siempre conduciría a un incremento en la señal de control y un error negativo daría un decremento en la señal de control no importando qué tan pequeño sea el error.
En este caso la ecuación 4.2 se reduce de tal forma que la acción de un controlador integral está definida por la ecuación 4.9 ó 4.10.
s
K
s
C
(
)
=
ió
∫
=
K
i te
t
dt
t
u
0(
)
)
(
4. 10 Si se duplica el valor de e(t) el valor de u(t) varía a doble velocidad. Ante un error igual a cero , el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones la acción de control integral recibe el nombre de control de reposición o reestablecimiento.De acuerdo a la ecuación 4.2, la acción de un controlador proporcional – integral queda definida por la ecuación 4.11.
+
=
s
T
K
s
C
i p1
1
)
(
4. 11 Donde Kp es la ganancia proporcional y Ti es el tiempo integral. Ambos valores Kp y Tison ajustables. El tiempo integral regula la acción de control integral, mientras que una modificación en Kp afecta tanto a la parte integral como a la proporcional de la acción de
control. El recíproco del tiempo integral Ti recibe el nombre de frecuencia de reposición. La
frecuencia de reposición es la cantidad de veces por minuto que se repite la acción proporcional y se mide en términos de repeticiones por minuto.
Los siguientes argumentos nos muestran que el error en estado estacionario deberá ser siempre cero.
Si asumimos que el sistema en estado estacionario tiene una señal de control u(t) y un error constante e(t). Partiendo de la ecuación 4.11, tenemos
+
=
=
s
T
K
s
E
s
U
s
C
i p1
1
)
(
)
(
)
(
+
=
∫
t i pe
t
dt
T
t
e
K
t
u
0(
)
1
)
(
)
(
4. 12 Si resolvemos la ecuación 4.12 la señal de control está dada por
+
=
t
T
t
e
t
e
K
t
u
i)
(
)
(
)
(
4. 13 tal que e(t) ≠ 0; esto claramente contradice la asunción de que u(t) es constante. Un controlador con acción integral deberá entonces dar un error igual a cero en estado estacionario.La acción integral puede ser utilizada entonces como un dispositivo que reestablece automáticamente al controlador proporcional. Esto se ilustra en el diagrama de bloques de la figura 4.3, el cual nos muestra un controlador proporcional con restablecimiento que es
ajustado automáticamente. El ajuste es hecho por retroalimentación de la señal, la cual es filtrada de la salida, hacia el punto de suma del controlador. Esto es una de las primeras aplicaciones de la acción integral o control de reestablecimiento automático como también es llamada.
La implementación mostrada en la figura 4.3 es todavía usada por muchas compañías manufactureras. Ya que un simple cálculo nos proporciona los resultados deseados. Si definimos
p
=
ddt como el operador diferencial. Podemos obtener las siguientes ecuaciones deldiagrama de bloques.
I
Ke
u
=
+
4. 14u
pT
I
i+
=
1
1
4. 15 la ecuación 4.15 implica queI
dt
dI
T
u
=
i+
4. 16 Si igualamos con la ecuación 4.13, tenemosI
Ke
I
dt
dI
T
u
=
i+
=
+
4. 17 y de ésta últimaKe
dt
dI
T
i=
4. 18 la cual podríamos escribir igual a la ecuación 4.9, lo cual nos muestra que el controlador que se muestra en la figura 4.2 es, en efecto, un controlador PI.K
e
I
u
ipT
+
1
1
Acción derivativa.
El propósito de la acción derivativa es proveer al lazo cerrado de estabilidad. El mecanismo de estabilidad, hablando ligeramente, puede ser descrito como sigue. Dado que la dinámica de la planta conducirá a un cambio en la variable de control que es notable en la salida de la planta. La acción de un controlador con acción proporcional y derivativa puede ser interpretada como si la salida del control predijera la salida de la planta donde la predicción es hecha por la extrapolación del error mediante la tangente de la curva del error, (ver figura 4.4)
El tiempo de predicción es Td.
Tiempo
Error de salida
Error actual
t
t+Td
Error predicho
e
+
T
dde
dt
Figura 4. 4 Predicción de la acción derivativa como una predicción de control.
Modificación de los términos derivativos. El algoritmo del término derivativo es:
−
=
=
dt
t
dy
dt
t
dr
KT
dt
t
de
T
K
t
C
(
)
p d(
)
d(
)
(
)
4. 19 donde el punto de referencia r es normalmente constante con algunos cambios abruptos. Esto normalmente no contribuye con el término derivativo. Sin embargo, el término dedt
t
dr )
(
cambiará drásticamente cuando el punto de referencia cambie. Por esta razón es común en la práctica aplicar la acción derivativa únicamente a la salida del proceso. El término derivativo es entonces implementado como
dt
t
dy
T
K
t
c
(
)
=
−
p d(
)
4. 20Limitantes de la ganancia derivativa.
La acción derivativa puede provocar dificultades si están a altas frecuencias las mediciones de ruido. Una señal sinusoidal de ruido
wt
a
t
n
(
)
=
sin
tendrá la siguiente contribución en la señal de control:
wt
w
aKT
dt
t
dn
KT
t
u
(
)
=
d(
)
=
dcos
4. 21 La amplitud de la señal de control puede ser arbitrariamente grande si el ruido tiene frecuencia suficientemente alta (w). La ganancia de frecuencia alta del término derivativo es por eso empleada para evitar esta dificultad. Esto puede ser llevado a cabo implementando el término derivativo comodt
dy
KT
D
dt
dD
N
T
d d+
=
−
4. 22 Continuando, la ecuación 4.22 que se modificó con el término derivativo puede ser representada por la ecuación 4.23:y
N
pT
pKT
D
d d/
1
+
−
=
4. 23 La modificación puede así ser interpretada como un filtro ideal derivativo para un sistema de primer orden con una constante de tiempo Td/N. La aproximación actuará como underivador para componentes de señales a bajas frecuencias. La ganancia es, algunas veces, limitada a N. Esto indica que en las mediciones a altas frecuencias el ruido es amplificado más por un factor N.
Criterios de selección del PID
¿Cuándo puede ser utilizado un controlador PID?
Los requerimientos de un sistema de control puede incluir muchos factores como respuesta a señales de mando, insensibilidad al ruido y variaciones del proceso y rechazo a
disturbios en la carga. El diseño de un sistema de control envuelve también procesos dinámicos, saturación de actuadores y disturbios característicos. Se puede, por consiguiente, sorprenderse ante el buen trabajo que puede realizar un controlador PID. La observación empírica general es que la mayoría de los procesos industriales pueden ser controlados razonablemente bien con un controlador PID cuando las demandas en el desempeño del control no son muy altas. Los siguientes párrafos ahondan más allá dentro de este problema primero considerando los casos cuando un controlador PID es suficiente y después discutiendo algunos problemas genéricos donde controladores más sofisticados son aconsejables.
¿Cuándo es suficiente un controlador PI?
Frecuentemente la acción derivativa no es usada. Esta es una observación interesante ya que muchos controladores industriales únicamente tienen acciones PI y en otros la acción derivativa puede ser ( y frecuentemente es) cancelada de los lazos de control. Se puede observar que los controladores PI son adecuados para los procesos donde las dinámicas son esencialmente de primer orden (controladores de nivel en tanques, agitadores en tanques de reacción para un perfecto mezclado, etc.), es bastante fácil encontrar en este caso por medición, la respuesta al escalón o la respuesta en frecuencia de estos procesos.
Si en la respuesta se observa que el sistema es de primer orden o, si la gráfica de Nyquist está en el primer y cuarto cuadrante únicamente entonces, el controlador PI es suficiente.
Otra razón es que el proceso haya sido diseñado para no requerir un nivel de control fino. En este caso el proceso puede tener una dinámica de alto orden, en la que es necesaria la acción integral para proporcionar un error de estado estacionario nulo, y una adecuada respuesta transitoria debida a la acción proporcional.
¿Cuándo es suficiente un controlador PID?
Similarmente, un controlador PID es suficiente para procesos donde las dinámicas dominantes son de segundo orden, lo cual implica más dificultad para estabilizarlos. Una medida a su respuesta en frecuencia es una posibilidad. Si la respuesta en frecuencia es monótona con un retraso de fase menor a 180° , entonces el sistema es de segundo orden.
Un caso típico en que la acción derivativa mejora la respuesta es cuando la dinámica está caracterizada por constantes de tiempo de diferente magnitud. La acción derivativa puede entonces ser aprovechada para mejorar la velocidad de respuesta. Un controlador de temperatura es el caso típico. El control derivativo es también benéfico cuando se requiere un control alto para un sistema de orden alto. El alto orden de la dinámica limita el valor de la ganancia para un buen control. Con la acción derivativa se mejora el amortiguamiento y puede ser usado un alto valor en la ganancia proporcional para elevar la velocidad de la respuesta transitoria.
¿Cuándo es necesario un controlador más complejo?
Los sistemas de control con un tiempo de retardo dominante son notoriamente dificultosos. Este es un tema en el cual hay muchas y diferentes opiniones acerca del mérito del controlador PID. Estamos generalmente de acuerdo en que la acción derivativa no ayuda mucho en procesos con retardos de tiempo dominantes. Para procesos estables en lazo abierto,
la respuesta a señales de control pueden mejorarse sustancialmente introduciendo tiempos muertos de compensación. El rechazo a los disturbios en la carga puede ser mejorado con algunos grados debido a que el compensador de tiempo muerto permite una ganancia de lazo más alta que el controlador PID. Los sistemas con retardos dominantes de tiempo son entonces candidatos para controladores más sofisticados.
Para algunos sistemas con variaciones de parámetros grandes es posible diseñar controladores lineales que permiten la operación sobre un ancho de banda del rango de los parámetros . Estos controladores, sin embargo, son de un orden muy alto. El control de las variables del proceso esta estrechamente relacionado a la cuestión económica Por lo que en los lazos de control es frecuentemente necesario seleccionar el controlador con respecto a las características de los disturbios. Esto nos lleva a estrategias de control que no son del tipo PID. Estos problemas con frecuencia están asociados con retardos de tiempo. Un controlador general debe proteger al modelo de disturbios originados dentro del sistema. Como un controlador PID tiene una complejidad limitada, no puede proteger de disturbios complejos en particular de los disturbios periódicos.
Digitalización de un PID
Introducción
Algunos aspectos importantes de la implementación de controladores PID en computadoras digitales, serán mostrados en esta sección, problemas tales como: el prefiltrado, aliasing, aproximaciones digitales, diferentes ruidos de filtrado y códigos de computadoras para buenas implementaciones. Algunos aspectos en el uso y desuso de los controladores PID, son presentados en ejemplos de sistemas donde el controlador PID puede trabajar bien o no, debido a que los esquemas de discretización de estos controladores son aproximaciones.
Aliasing
Como sabemos las acciones del controlador están basadas en los valores de la salida del proceso únicamente en tiempos discretos. Este procedimiento es llamado muestreo , en el caso normal se muestrea periódicamente con un periodo h, pero el mecanismo de muestreo introduce un fenómeno inesperado, el cual debe ser tomado en cuenta para obtener una buena implementación digital de un controlador PID.
Para explicar esto consideremos las siguientes ecuaciones
(
n
t
t
)
t
s
(
)
= cos
ω ±
sω
4. 24)
cos(
)
(
t
t
s
a=
ω
4. 25 Dondeω =
s2π
h
[
rad
/
s
, k
kh
]
]
es la frecuencia de muestreo. Según las fórmulas de la función coseno podemos deducir que los valores de las señales representadas por las ecuaciones anteriores en los instantes
[
=
0
,
1
,
2
,
L
tienen la propiedad)
(
)
cos(
)
cos(
)
(
kh
nkh
kh
kh
s
kh
s
=
ω
s±
ω
=
ω
=
aω
4. 26 Por lo que las señales s y sa tienen el mismo valor en ese instante de muestreo. Y siúnicamente conocemos los valores en estos instantes de muestreo no hay manera de separar ambas señales. La señal sa es entonces llamada “alias” de la señal s. Este efecto lo vemos
ilustrado en la figura 4.5.
Figura 4. 5 Ejemplo de "Aliasing" en el dominio del tiempo.
Una consecuencia del efecto “aliasing” es que puede aparecer una frecuencia de ruido después de muestrear como una componente de baja frecuencia. Por ejemplo, si el periodo de muestreo de una señal es 18mS. Para una señal sinusoidal de frecuencia de 50Hz, después de muestrear aparecerá como una señal sinusoidal con frecuencia
Hz
f
a5
.
6
018
.
1
50
−
=
=
El efecto “aliasing” puede crear serias dificultades si no se toman las precauciones debidas. Para altas frecuencias es efectivamente eliminado con un filtro pasabajas (prefiltrado).3
Transformación Bilineal
Antes de aplicar con ventaja los métodos de diseño ya desarrollados, a los controladores de tiempo discreto, son necesarias ciertas modificaciones. Supongamos que se dispone de un controlador en tiempo continuo Kc(s), y deseamos convertirlo para propósitos de
implementación en un controlador digital, donde el periodo de muestreo es T segundos por lo que la frecuencia de muestreo es
T
f
s=
1
4. 27T
w
s=
2
π
4. 28Una manera común de convertir una función de transferencia continua a una discreta es la Transformación Bilineal (BLT) o Aproximación de Tustin. Como nosotros sabemos, la relación entre la transformada de Laplace (variable s) y la transformada z (variable z) está dada por
z
=
e
sT (Oppenheim y Schafer 1975). De aquí, por expansión de series podemos ver2
1
2
1
T
s
T
s
e
z
sT−
+
≈
=
4. 29 Nosotros podemos invertir esta transformación y definir1
1
2
'
+
−
=
z
z
T
s
4. 30 La transformación bilineal corresponde a una integral aproximada usando la regla trapezoidal, donde si 1 11
1
2
1
1
2
)
(
)
(
− −+
−
=
+
−
=
z
z
T
z
z
T
z
U
z
Y
4. 31 Entonces (recordemos que z-1 es un retardo unitario en el dominio del tiempo tal que) 1 1 − −
=
k ku
u
z
(
1)
12
− −+
+
=
k k k ky
y
T
u
u
4. 32Método MPZ (Matched Pole-Zero)
Una segunda técnica de aproximación para convertir una función de transferencia continua a discreta es el método MPZ (Matched Pole – Zero). En este método, los polos y ceros de la función de transferencia son mapeados a el plano Z usando la transformación , como se muestra a continuación:
sT
e
1. Si
K
tiene un polo (o un cero finito) ens
, entonces K(z) tendrá un polo (o cero finito) en)
(s
c=
s
i T s ie
iz
=
2. Si el grado relativo de es r, tal que tiene r ceros en el infinito, entonces r ceros de K(z) se encuentran en z = -1 multiplicados por el factor .
)
(s
K
c(
)
rz
+
1
3. La ganancia de K(z) es seleccionada tal que la ganancia DC de y K(z) sean la misma:
)
(s
K
c Tal que)
0
(
)
1
(
K
cK
=
Una alternativa al paso 2 es mapear únicamente de los ceros infinitos en el plano s dentro de . Esto permite que el grado relativo de K(z) sea igual a uno, el cual permite un
1
−
r
1
−
=
z
periodo de muestreo para el tiempo de control computacional, llamaremos a esta variación método modificado MPZ.4
Algoritmo de control para el PID discreto
La ley de control para el controlador PID, en el caso continuo, se puede escribir como:
+
+
=
∫
dt
t
de
T
dt
t
e
T
t
e
K
t
u
d t i)
(
)
(
1
)
(
)
(
0 4. 33 donde es el error entre la variable de referencia r(t) y la variable controlada y(t). u(t) es la variable de control. En términos de datos muestreados para un periodo de muestreo T se tiene:)
(
)
(
)
(
t
r
t
y
t
e
=
−
)
(
)
(
);
(
);
(
kT
u
u
kT
r
r
kT
y
y
y
kT
e
e
k=
k=
k=
k=
donde k es un entero k = 1,2,3,...La ecuación 4.33 en el dominio del tiempo discreto es:
−
+
+
+
+
+
+
=
− −T
e
e
T
T
e
e
e
e
T
e
k
u
k k d k k i k k 1 1 1 02
2
1
L
4. 34 En la ecuación 4.34 la integración del error fue reemplazada por una operación de suma del área de trapecios y la diferenciación mediante una aproximación por diferencias.El algoritmo de Control Digital Directo normalmente aceptado en la práctica tiene la diferencia como la salida del controlador (algoritmo de velocidad). De modo que la ecuación 4.34 en el algoritmo de velocidad se transforma como sigue:
1 −
−
=
∆
U
ku
ku
k(
)
−
+
+
+
+
−
=
∆
+ − − −T
e
e
e
T
T
e
e
T
e
e
K
U
k k k d k k i k k k 2 1 1 12
2
1
4. 35 Si se sustituye en la ecuación 4.35 y suponiendo que , se tiene k k kr
y
e
=
−
r
k=
r
k−1=
r
k−2(
)
(
)
−
−
+
+
−
+
−
=
∆
− − − − d k k k i k k k k k ky
y
y
T
T
T
T
y
y
r
y
y
K
U
1 1 2 12
2
4. 36 Si reemplazamos los parámetros de controlK,
T
iy
T
d por:T
KT
k
T
T
K
k
k
K
k
d d i i i p=
−
=
=
2
1
4. 37)
Y se obtiene entonces la expresión.5
(
k k)
i(
k k)
d(
k k k p kk
y
y
k
r
y
k
y
y
y
U
=
−
+
−
+
−
−
∆
−12
−1 −2 4. 38Función de transferencia pulso de un controlador PID discreto
Para obtener la función de transferencia pulso del controlador PID discreto, se utiliza la ecuación discretizada. Al aproximar el término integral mediante la sumatoria trapezoidal y el término derivativo mediante la diferencia de dos puntos, se obtiene la ecuación 4.39 que ahora expresaremos de la siguiente manera
[
]
−
−
+
+
−
+
=
∑
=)
)
1
((
)
(
2
)
(
)
)
1
((
)
(
)
(
1T
k
e
kT
e
T
T
hT
e
T
h
e
T
T
kT
e
K
kT
u
k h d i 4. 39 se define0
)
0
(
),
(
2
)
(
)
)
1
((
=
=
+
−
f
hT
f
hT
e
T
h
e
4. 40 entonces∑
∑
= ==
+
−
k h k hhT
f
hT
e
T
h
e
1 1)
(
2
)
(
)
)
1
((
4. 41 al tomar la transformada Z de esta última ecuación, se obtiene[
]
(
)
1
1
)
0
(
)
(
1
1
)
(
2
)
(
)
)
1
((
1 1 1 1z
F
z
f
z
F
z
hT
f
z
hT
e
T
h
e
Z
k h k h= = −−
−=
−
−
=
=
−
+
∑
∑
Nótese que[
]
(
)
2
1
)
(
)
(
1z
E
z
hT
f
Z
z
F
−+
=
=
Por lo tanto,5 Control Digital; Álvarez Gallegos, Joaquín; Álvarez Gallegos, Jaime; Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN; Departamento de Ingeniería Eléctrica. P.p. 168, 169
)
(
)
1
(
2
1
2
)
(
)
)
1
((
1 1 1z
E
z
z
hT
e
T
h
e
Z
k h − − =−
+
=
−
+
∑
4. 42 Entonces la transformada Z de la ecuación da como resultado(
1
)
(
)
1
1
2
1
)
(
1 1 1z
E
z
T
T
z
z
T
T
K
z
U
d i
−
+
−
+
+
=
− − − 4. 43 Esta última ecuación se puede rescribir como sigue:(
)
(
1
)
(
)
1
)
(
)
(
1
1
1
2
1
)
(
1 1 1 1z
E
z
k
z
K
k
z
U
z
E
z
T
T
z
T
T
T
T
K
z
U
d i p d i i
+
−
−
+
=
−
+
−
+
−
=
− − − − 4. 44 dondeal
proporcion
Ganancia
K
K
T
KT
K
k
i i p=
−
=
−
=
2
2
Derivativa
Ganancia
T
KT
k
d d=
=
Integral
Ganancia
T
KT
k
i=
=
1Nótese que la ganancia proporcional kp para el controlador PID digital es más pequeña
que la ganancia K para el controlador PID analógico por un factor de ki / 2.
La función de transferencia pulso para el controlador PID digital se convierte en
(
1)
11
1
)
(
)
(
)
(
− −+
−
−
+
=
=
k
z
z
k
k
z
E
z
M
z
G
i d p D 4. 45 La función de transferencia pulso del controlador PID digital dada por la ecuación anterior se conoce como forma posicional del esquema de control PID.3Métodos de sintonización para controladores discretos
Takahashi, Chan y Auslander propusieron en 1970, un conjunto de reglas, que utilizan los dos métodos propuestos por Ziegler y Nichols para el controlador PID en continuo, a fin de determinar valores aceptables para . Las siguientes tablas muestran los valores propuestos por Takahashi y otros para el ajuste de los parámetros del controlador PID discreto.
d i p
k
y
k
k ,
3 Op. Cit. 3. p.p.
Tipo de controlador Kp Ki Kd P
1
R
(
L
+
T
)
PI(
)
k
iT
L
R
2
1
2
9
.
0
−
+
(
)
22
27
.
0
T
L
R
T
+
PID(
)
K
iT
L
R
2
1
2
.
1
−
+
(
2
)
26
.
0
T
L
R
T
+
RT
6
.
0
*Tabla 4. 1 Reglas de sintonización para el ajuste de controladores P, PI y PID discretos por el método de la respuesta transitoria.
Tipo de controlador Kp Ki Kd P
2
uk
PI i uk
k
2
1
5
.
0
−
T
T
K
u u54
.
0
PID i uk
k
2
1
6
.
0
−
T
T
K
u u2
.
1
T
T
k
u u40
3
Tabla 4. 2 Reglas de sintonización para el ajuste de controladores P, PI y PID discretos por el método de la Ganancia Límite
Para el método de la respuesta transitoria los valores de Kp y Ki para el controlador PI
son sumamente elevados cuando L/T → 0, por lo que no se recomienda su uso.
Takahashi y otros muestran que el valor de Ki para el método de la ganancia límite
dado en la tabla anterior es bastante alto cuando L = T/4 y por lo tanto, recomiendan una reducción en Ki cuando tal condición se presenta. Por otra parte, el método de la ganancia límite proporciona mejores resultados que el de la respuesta transitoria cuando L/T → 0. En el rango 0.5 ≤ L/T los dos métodos proporcionan resultados similares.
Para el controlador PID, en el caso del método de la respuesta transitoria, el valor de Kd
que se recomienda utilizar es de 0.5/RT, cuando el valor de L/T este cercano a un número entero. En el caso del método de ajuste de la ganancia límite las reglas propuestas son aceptables para el rango L/T ≥ 0.5. Aún cuando las reglas proporcionan resultados más o menos aceptables para el límite L/T → 0, no son nunca recomendables cuando L/T ≈ ¼.5
Ejemplo
Planteamiento
Si consideramos el sistema de control con el controlador PID digital . El controlador PID está en la forma posicional; Se supone que la función de transferencia de la planta es
* Si
L
T
≈
0
, se usa0
.
5
RT
5 Op. Cit. 5. p.p. 169-171)
1
(
1
)
(
+
=
s
s
s
G
pY el periodo de muestreo T se supone de 1 segundo.
Obténgase la respuesta al escalón y a la entrada rampa unitaria de este sistema, cuando el controlador digital es un controlador PID con Kp = 1, Ki = 0.2 y Kd = 0.2.
Diagramas c(s) Gp(s) Gh(s) u(kT) T=1
r(t) e(t)
Retenedor de
Planta
orden cero
Controlador PID
digital
Figura 4.6 Diagrama a bloques de un sistema de control
(
1)
11
1
− −+
−
−
+
k
z
z
k
k
i d p(
1)(
1)
2 11
3679
.
0
1
2642
.
0
3679
.
0
− − − −−
−
+
z
z
z
z
c(s) r(t)Figura 4.7Diagrama equivalente
Procedimiento
El circuito del retenedor de orden cero suaviza la señal muestreada , la cual es constante desde el último valor muestreado hasta que se puede disponer de la siguiente muestra.
La función de transferencia del retenedor de orden cero es:
s
e
s
G
s h −−
=
1
)
(
Y puesto que(
1)(
1)
2 11
3679
.
0
1
2642
.
0
3679
.
0
)
1
(
1
1
)
(
− − − − −−
−
+
=
+
−
=
z
z
z
z
s
s
s
e
Z
z
G
sSe puede redibujar el diagrama de bloques de la figura 4.6 como se muestra en la figura 4.7.3
Su sustituimos los parámetros del controlador en la función de transferencia pulso, obtenemos la función de transferencia del controlador digital GD:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 11
2
.
0
4
.
1
4
.
1
)
(
1
2
.
0
4
.
0
2
.
0
2
.
0
1
)
(
1
2
1
2
.
0
2
.
0
1
)
(
1
1
2
.
0
2
.
0
1
)
(
1
2
.
0
1
2
.
0
1
)
(
− − − − − − − − − − − − − − − −−
+
−
=
−
+
−
+
+
−
=
−
+
−
+
+
−
=
−
−
+
+
−
=
−
+
−
+
=
z
z
z
z
G
z
z
z
z
z
G
z
z
z
z
z
G
z
z
z
z
G
z
z
z
G
D D D D DEntonces la función de transferencia pulso en lazo cerrado se convierte en:
4 3 2 1 4 3 2 1
0528
.
0
6642
.
0
5906
.
1
8528
.
1
1
0528
.
0
2963
.
0
1452
.
0
515
.
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
− − − − − − − −+
−
+
−
+
−
−
=
+
=
z
z
z
z
z
z
z
z
z
R
z
C
z
G
z
G
z
G
z
G
z
R
z
C
D DPara obtener la respuesta al escalón unitario y la rampa unitaria, utilizaremos MATLAB.
Simulación en MATLAB
Se realizó la simulación con el siguiente programa, para obtener la respuesta al escalón:
% Respuesta al escalón unitario
num=[0 0.5151 -0.1452 -0.2963 0.0528]; den=[1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528]; r=ones(1,41); v=[0 40 0 2]; axis(v); k=0:40; c=filter(num,den,r); plot(k,c,'o',k,c,'-') grid
title('Respuesta al escalón unitario') xlabel('k')
El resultado a la respuesta al escalón, se puede ver en la figura 4.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Respuesta al escalón unitario
k
c(
k)
Figura 4.8 Respuesta al escalón unitario.
Se realizó el siguiente programa para obtener la respuesta a la entrada rampa unitaria:
% Respuesta a la entrada rampa unitaria
num=[0 0.5151 -0.1452 -0.2963 0.0528]; den=[1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528]; v=[0 40 0 2]; axis(v); k=0:20; r=[k]; c=filter(num,den,r); plot(k,c,'o',k,c,'-') grid
title('Respuesta a la entrada rampa unitaria') xlabel('k')
ylabel('c(k)')
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 25
Respuesta a la entrada ram pa unitaria
k
c(
k)
Figura 4.9 Respuesta a la entrada rampa unitaria
Implementación de un PID utilizando un microcontrolador PIC.
/************************************************************** Description: programa que ejecuta un controlador PID digital
esta relacionado con otros 2 programas uno para obtener la velocidad actual Yk y otro para obtener la referencia. *************************************************************/ #include <p18F458.h> #include <adc.h> #include <pwm.h>
// Global variables declaration
#define rkx PORTD //de referencia #define Ukx PORTB //al convertidor D/A #define control PORTEbits.RE0
//INICIA PROGRAMA PRINCIPAL void main(void)
{int Yk_1, Yk_2, Yk, Uk, Uk_1, rk; int Kp,Ki,Kd;
// configure A/D convertor
OpenADC( ADC_FOSC_8 & ADC_RIGHT_JUST & ADC_3ANA_0REF, ADC_CH0 & ADC_INT_OFF );
//configura PWM
TMR2 = 0x07; //prescaler 16 para TMR2 TRISC = 0;
OpenPWM1(255); //1875 Hz //CONFIGURA PUERTOS E/S
TRISE = 0xff; TRISD = 0xff; TRISB = 0; //inicializa variables Yk_2 = 0; Yk_1 = 0; Yk = 0; rk = 0; Uk_1 = 0; Kp = 9.6; Kd = 0.0125; Ki = 15; do //do-while principal {
if(control == 0) //rk por RA0 analogica {
SetChanADC( ADC_CH0 ); ConvertADC(); // Start conversion
while( BusyADC() ); // Wait for completion rk = ReadADC(); //lee referencia SetChanADC( ADC_CH1 ); ConvertADC(); // Start conversion
while( BusyADC() ); // Wait for completion Yk = ReadADC(); //lee retro
Yk = Yk*2; //asigna variables
Yk_2 = Yk_1; Yk_1 = Yk; Uk_1 = Uk; //ejecuta algoritmo PID
Uk = Kp*(rk - Yk); //parte proporcional Uk = Uk + Ki*(rk - Yk); //perte integrativa Uk = Uk + Kd*(2*Yk_1 - Yk_2 - Yk); //parte derivativa Uk = Uk - Uk_1; //de delta de k
if(Uk < 0)
Uk = (-1)*Uk;
//asigna salida a PWM y portb
Ukx = Uk;
}
else //rk por puerto d {
//asigna variables
SetChanADC( ADC_CH1 ); ConvertADC(); // Start conversion
while( BusyADC() ); // Wait for completion Yk = ReadADC(); //lee retro
Yk = Yk*2; Yk_2 = Yk_1; Yk_1 = Yk; Uk_1 = Uk; rk = rkx; //lee de puerto d rk = rk*3.2736;
//ejecuta algoritmo PID
Uk = Kp*(Yk_1 - Yk); //parte proporcional Uk = Uk + Ki*(rk - Yk); //perte integrativa Uk = Uk + Kd*(2*Yk_1 - Yk_2 - Yk); //parte derivativa Uk = Uk - Uk_1; //de delta de k
if(Uk < 0)
Uk = (-1)*Uk; //asigna salida a PWM y portb
Ukx = Uk;
SetDCPWM1(Uk); }
}
while(1); // fin do-while global }// fin main
Figura 4.10 Implementación del PID utilizando un microcontrolador PIC.
Tema 4.2 Rediseño utilizando la retroalimentación de estado.
Regulación por retroalimentación de estado.
Si asumimos que el sistema esta descrito por:
Bu
Ax
dt
dx
=
+
inicialmente también podemos asumir que el periodo de muestreo es tal que el sistema se puede representar como:
)
(
)
(
)
1
(
k
x
k
u
k
x
+
=
Φ
+
Γ
Los disturbios son considerados como perturbaciones en el estado inicial del sistema. El propósito es encontrar una ley de retroalimentación lineal de la forma:
)
(
)
(
k
Lx
k
de tal manera que el sistema en lazo cerrado tenga una ecuación característica especificada., lo cual garantiza que las perturbaciones decaigan de una manera especificada.
Por ejemplo:
Sea el siguiente sistema:
)
(
2
/
)
(
1
0
1
)
1
(
2k
u
h
h
k
x
h
k
x
+
=
+
Una retroalimentación lineal a podemos definir como:
2 2 1 1
x
l
x
l
u
=
−
−
Con esta retroalimentación, el sistema en lazo cerrado es:
)
(
1
2
/
2
/
1
)
1
(
2 1 2 2 2 1x
k
h
l
h
l
h
l
h
h
l
k
x
−
−
−
−
=
+
La ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:
0
1
2
2
2
2 2 1 2 2 1 2=
+
−
+
−
+
+
l
h
l
h
z
l
h
l
h
z
Asumiendo que la ecuación característica deseada es:
0
2 1
2
+
p
z
+
p
=
z
Esto conduce a las siguientes ecuaciones lineales para l1 y l2 :
2 2 2 1 1 2 2 1
1
2
2
2
p
h
l
h
l
p
h
l
h
l
=
+
−
=
−
+
Estas ecuaciones tienen la solución:
)
3
(
2
1
)
1
(
1
2 1 2 2 1 2 1p
p
h
l
p
p
h
l
−
+
=
+
+
=
En este ejemplo siempre es posible encontrar los parámetros del controlador, para la ecuación característica arbitraria dada del sistema de lazo cerrado.
El caso general
La solución del problema del lugar de los polos para sistemas con una señal de entrada será tratado como; Sea el sistema descrito por variables de estado en tiempo discreto y el polinomio característico de la matriz
Φ
sea:n n
n
a
z
a
z
+
−1+
...
+
1
Asumiendo que el sistema es alcanzable, entonces podemos transformarlo a la forma canónica alcanzable, cambiando las variables de estado a través de la transformación z=Tx , quedando de la siguiente forma:
)
(
~
)
(
~
)
1
(
k
z
k
u
k
z
+
=
Φ
+
Γ
donde:
−
−
−
−
=
Φ
−0
1
...
0
0
.
.
.
0
0
...
1
0
0
0
...
0
1
...
~
1 2 1a
a
na
na
Γ
=
0
.
0
0
1
~
Los coeficientes del polinomio característico que determinan los polos de lazo cerrado aparecen explícitamente en esta representación.
Siguiendo con la ley de retroalimentación:
(
p
a
p
a
p
a
)
z
z
L
u
=
−
~
=
−
1−
1 2−
2...
n−
nda un sistema de lazo cerrado con el polinomio característico:
n n n
p
z
p
z
z
P
(
)
=
+
−1+
...
+
1Para encontrar la solución al problema original simplificaremos la transformación a las coordenadas originales. Dando:
Lx
Tx
L
z
L
u
=
−
~
=
−
~
=
−
Solo falta determinar la matriz de transformación T . Una manera simple de determinarla es basándose en la propiedad de alcanzabilidad de las matrices
Sea:
(
Γ
ΦΓ
Φ
Γ
)
=
...
n−1c
W
Las matrices son relacionadas a través de
W
~
c=
TW
c1
~
−=
W
cW
cT
realizando los cálculos llegamos a :
=
− − −1
...
0
0
.
.
.
...
1
0
...
1
~
2 1 1 1 n n ca
a
a
W
(
)
1 2 2 1 1...
~
−−
−
−
=
p
a
p
a
p
na
nW
cW
cL
Teorema: Considerar el sistema anterior , y asumiendo que solo existe una señal de entrada. El sistema es alcanzable si existe una retroalimentación lineal que no da un sistema en lazo cerrado con el polinomio característico P(z). La retroalimentación viene dada por:
)
(
)
(
k
Lx
k
u
=
−
con(
)
(
0
...
0
1
)
(
)
~
...
1 1 2 2 1 1Φ
=
−
−
−
=
− −P
W
W
W
a
p
a
p
a
p
L
c c c n ndonde
W
~
c yW
c son las matrices de controlabilidad de ambos sistemas. Prueba.Para probar el resultado debemos observar que:
I
a
p
a
p
I
p
p
P
n n n n n n~
...
(
)
...
(
)
~
)
~
(
1 1 1 1 1Φ
+
+
=
−
Φ
+
+
−
+
Φ
=
Φ
− −La segunda igualdad se obtiene del Teorema de Cayley – Hamilton. Introduciendo ei como un vector renglón con todos su elementos igual a cero excepto el i-esimo elemento que es 1; Tenemos: 1
~
=
−Φ
i ie
e
entoncesL
~
=
e
nP
(
Φ
t
)
y obtenemosL
=
L
~
T
=
e
P
(
T
Φ
T
−1)
T
=
e
TP
(
Φ
)
=
e
W
~
W
−1P
(
Φ
)
c c n n n(
)
(
0
...
0
1
)
(
)
~
...
1 1 2 2 1 1Φ
=
−
−
−
=
− −P
W
W
W
a
p
a
p
a
p
L
c c c n nque es la formula de Ackermann.
Cabe notar que el problema del lugar de los polos puede formularse como el siguiente problema abstracto. Dadas la matrices y , encontrar la matriz L tal que la matriz tenga los eigenvalores prescritos.
Φ
Γ
Φ
−
Γ
L
También se observa que:
(
Γ
ΦΓ
+
Γ
Φ
Γ
+
Φ
+
+
Γ
)
=
− − − − 1 2 1 1 1 1...
...
n n na
a
a
T
Es fácil resolver el diseño de un problema del lugar de los polos, cabe ahacer notar que la alcanzabilidad es una condición necesaria y suficiente para resolver el problema, para aplicar este método es necesario entender las propiedades de los sistemas de lazo cerrado y como esta su influencia con respecto a los parámetros.
Tema 4.3 Métodos de diseño utilizando la respuesta en frecuencia.
Diseño de reguladores digitales por respuesta en frecuencia
En el capitulo anterior se han descrito diferentes técnicas de discretización para obtener una función de transferencia en tiempo discreto que simule aproximadamente el comportamiento de otra en tiempo continuo. Además de otras aplicaciones, estas técnicas pueden usarse para obtener un regulador en tiempo discreto a partir del diseñado para un sistema en tiempo continuo. Este procedimiento es aplicable cuando el periodo de muestreo es pequeño.
Cuando el periodo de muestreo es mayor, el enfoque anterior puede conducir a serios errores, debidos a dos causas:
1) el modelo de la planta no tiene en cuenta los efectos del muestreo;
2) la discretización del control no es exacta. Se discutirá la primera causa, la mas importante, introduciendo una aproximación del efecto del muestreo que permite también obtener ciertos criterios para la selección del periodo de muestreo Ts o, mas precisamente, para evaluar las implicaciones de distintas selecciones de Ts.
Si el modelo de la planta tiene en cuenta los efectos del muestreo, de forma exacta o suficientemente aproximada, puede diseñarse el control por procedimientos de respuesta en frecuencia idénticos a los de los sistemas en tiempo continuo. Una discretización particular (transformación bilineal con prewarping) garantiza la misma respuesta a la frecuencia de diseño.
Esquema básico y modelos de un sistema de control digital
Los sistemas de control digitales son frecuentemente sistemas mixtos en tiempo continuo (la planta, o sistema a controlar) y en tiempo discreto (el procesador digital, con un algoritmo de control). La interfaz entre ambos es bidireccional: las medidas de la planta se adquieren mediante muestreo (con periodo Ts ) y conversión A/D; la señal de mando del regulador digital se aplica a través de una conversión D/A y un retenedor de orden cero. En la Figura 4.11 se
