Proyecciones ortogonales (métricas) en espacios de funciones continuas

(1)

Proyecciones ortogonales (m´

etricas) en

espacios de funciones continuas

Rafa Esp´ınola

Universidad de Sevilla

III Encuentro de An´alisis Funcional Miraflores de la Sierra, Madrid

(2)

1 _{Nonexpansive retractions in hyperconvex spaces, Journal of}

Mathematical Analisis and Applications, 251, 557-570, 2000. (E., W. A. Kirk, G. L´opez)

2 On selections of the metric projetion and best proximity pairs

in hyperconvex spaces, Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, LIX, 9-17, 2005. (E.)

3 _{Nonexpansive selection of metric projection in spaces of}

continuous functions, Journal of Approximation Theory, 137, 187-200, 2005. (Y. Benyamini, E., G. L´opez)

(3)

Outline

1 Introducci´on

La proyección ortogonal y sus propiedades Extensiones de la noción de proyección ortogonal

Relación entre las proyecciones de norma 1 y la proyección métrica

2 Proyecciones m´etrica no expansivas

Proyecciones m´etrica no expansivas. Espacios de Hilbert. Retractos proximinales no expansivos en espacios

hiperconvexos

3 Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Planteamiento del problema

Subespacios que admiten proyecciones ortogonales Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales Subconjuntos de `n∞ que admiten proyecciones ortogonales

(4)

Definición (Proyección ortogonal/Proyección métrica)

SeaH un espacio de Hilbert yM un subconjunto convexo, cerrado y no vac´ıo deH. Se llama proyecci´on ortogonal deH enM a la aplicaci´onPM :H→M definida como

PM(x) ={z ∈M : kx−zk= inf{kx−yk: y ∈M}.

Propiedades

Algunas propiedades de la proyecci´on ortogonal son: Si M es un subespacio de H, entonces PM eslineal.

En el caso anterior, PM tienenorma1. Es decir, es no expansiva en el sentido de que

kPMx−PMyk ≤ kx−yk.

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Definición (Proyección ortogonal/Proyección métrica)

SeaH un espacio de Hilbert yM un subconjunto convexo, cerrado y no vac´ıo deH. Se llama proyecci´on ortogonal deH enM a la aplicaci´onPM :H→M definida como

PM(x) ={z ∈M : kx−zk= inf{kx−yk: y ∈M}.

Propiedades

Algunas propiedades de la proyecci´on ortogonal son: Si M es un subespacio de H, entonces PM eslineal. En el caso anterior, PM tienenorma1. Es decir, es no expansiva en el sentido de que

kP_Mx−PMyk ≤ kx−yk.

(6)

Extensiones de la noci´

on de proyecci´

on ortogonal

Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tres siguientes:

Noci´on 1

Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma 1.

Noci´on 2

Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones no necesariamente lineales pero que seanno expansivas. Noci´on 3

Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirla comoproyecci´on m´etrica.

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Extensiones de la noci´

on de proyecci´

on ortogonal

Noci´on 1

Noci´on 2

Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones no necesariamente lineales pero que seanno expansivas.

Noci´on 3

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Extensiones de la noci´

on de proyecci´

on ortogonal

Noci´on 1

Noci´on 2

Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones no necesariamente lineales pero que seanno expansivas.

Noci´on 3

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Muchas propiedades se conservan

Proposici´on

Sea M un subespacio1-complementado del espacio normado X . Entonces, si T :M →Z es una aplicaci´on lineal y acotada, existe tildeT :X →Z extensi´on de T y tal quekT˜k=kTk.

Prueba

Basta definirT˜ =T ◦P, donde P es la proyecci´on de norma 1de X sobre M.

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Muchas propiedades se conservan

Proposici´on

Sea M un subespacio1-complementado del espacio normado X . Entonces, si T :M →Z es una aplicaci´on lineal y acotada, existe tildeT :X →Z extensi´on de T y tal quekT˜k=kTk.

Prueba

Basta definirT˜ =T ◦P, donde P es la proyecci´on de norma 1de X sobre M.

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Sobre subespacios 1-complementados

La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, por supuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados de los espacios normados.

Caracterizarexactamente qué subespacios de un espacio normado dado son 1-complementados yqué tipo de propiedades son heredadaspor esta condición.

Aunque se han hecho inmensos avances en esta teor´ıa, son muchas las preguntas que aún no se han podido resolver. Por ejemplo, sólo se conoce una caracterización completa de tales subespacios para los espaciosLp.

(12)

Sobre subespacios 1-complementados

(13)

Sobre subespacios 1-complementados

(14)

Proyecci´

on m´

etrica

Tambi´en conocida comobest approximation operator, nearest point map, Chebyshev map, proximity mapping, normal projection, projection of minimal distance.

Definici´on

SeaM un espacio métrico y A⊂M, se llama proyección métrica deM sobre Aa la aplicación dada por:

PM(x) ={y ∈A: d(x,y) = inf{d(x,z) : z ∈A}}.

Propiedades

S´olo est´a bien definida si PM(x)6=∅ para todo x ∈M. En

este caso se dice que A es proximinal. En general, es una aplicaci´on multivaluada. En general, es una aplicaci´on no lineal.

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Proyecci´

on m´

etrica

Tambi´en conocida comobest approximation operator, nearest point map, Chebyshev map, proximity mapping, normal projection, projection of minimal distance.

Definici´on

SeaM un espacio métrico y A⊂M, se llama proyección métrica deM sobre Aa la aplicación dada por:

PM(x) ={y ∈A: d(x,y) = inf{d(x,z) : z ∈A}}.

Propiedades

S´olo est´a bien definida si PM(x)6=∅ para todo x ∈M. En este caso se dice que A es proximinal.

En general, es una aplicaci´on multivaluada. En general, es una aplicaci´on no lineal.

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Proyecciones de norma 1 y la proyecci´

on m´

etrica

Proposici´on

Sea X un espacio normado y sea P una proyección lineal definida en X . Se cumple quekPk= 1 si, y sólo si, I −P es una selección de la de la proyección métrica sobre KerP.

Prueba

Sea P como en el enunciado. Para cada x∈X e y ∈KerP

kx−(I−P)xk=kPxk=kP(x−y)k ≤ kx−yk.

Por tanto, I−P es una selección lineal de la proyección métrica sobre KerP.

Si I−P es una selección de la proyección métrica sobre KerP, entonces para cada x∈X se tiene

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Proyecciones de norma 1 y la proyecci´

on m´

etrica

Proposici´on

Prueba

Sea P como en el enunciado. Para cada x∈X e y ∈KerP kx−(I−P)xk=kPxk=kP(x−y)k ≤ kx−yk.

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Proyecciones de norma 1 y la proyecci´

on m´

etrica

Proposici´on

Prueba

Sea P como en el enunciado. Para cada x∈X e y ∈KerP kx−(I−P)xk=kPxk=kP(x−y)k ≤ kx−yk.

(19)

Proyecciones m´

etrica no expansivas

¿Qu´e pasa si unimos las nociones 2 y 3 anteriores?

Definici´on

SeaM un espacio métrico y A⊆M no vac´ıo. Una proyección P :M →Ase diráproximinal no expansiva (u ortogonal en sentido ampliado) si

P(x)∈PM(x) para todo x∈M.

P es no expansiva.

AAle llamaremos retracto proximinal no expansivoo, sencillamente, RPN.

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Proyecciones m´

etrica no expansivas

¿Qu´e pasa si unimos las nociones 2 y 3 anteriores?

Definici´on

SeaM un espacio métrico y A⊆M no vac´ıo. Una proyección P :M →Ase diráproximinal no expansiva (u ortogonal en sentido ampliado) si

P(x)∈PM(x) para todo x∈M. P es no expansiva.

AAle llamaremos retracto proximinal no expansivoo, sencillamente, RPN.

(21)

¿D´

onde podemos encontrar los retractos proximinales no

expansivos?

De un modo muy natural aparecen en los siguientes espacios:

En los espacios de Hilbert hay muchos: la proyecci´on

ortogonal sobre conjuntos convexos y cerrados es proximinal y no expansiva.

En los espacios de curvatura acotada CAT(0) también hay muchos: Estos espacios son el equivalente métrico a espacios de Hilbert por el gran número de propiedades que comparten, en particular, el hecho de que la proyección métrica sobre subconjuntos “convexos” y cerrados es univaluada y no expansiva.

(22)

¿D´

onde m´

as?

En espacios de funcione continuas tambi´en hay retractos proximinales no expansivos:

Proposici´on

Sea B la bola unidad cerrada en el espacio C([0,1]), entonces B es un retracto proximinal no expansivo de C([0,1]).

Prueba Dada f ∈C([0,1]) sea (Rf)(x) =    1, f(x)>1 f(x), |f(x)| ≤1 −1, f(x)<−1.

La misma idea se aplica a cualquier conjunto que seaintersecci´on de bolas cerradas.

(23)

¿D´

onde m´

as?

En espacios de funcione continuas tambi´en hay retractos proximinales no expansivos:

Proposici´on

Sea B la bola unidad cerrada en el espacio C([0,1]), entonces B es un retracto proximinal no expansivo de C([0,1]).

Prueba Dada f ∈C([0,1]) sea (Rf)(x) =    1, f(x)>1 f(x), |f(x)| ≤1 −1, f(x)<−1.

La misma idea se aplica a cualquier conjunto que seaintersecci´on de bolas cerradas.

(24)

¿D´

onde m´

as?

En los espacios m´etricos hiperconvexos (tambi´en llamados P1-espacios o espacios inyectivos.)

Definici´on

Un espacio m´etrico M se dice hiperconvexo si siempre que M ⊆X existe una proyecci´on no expansiva deX enM, es decir, si son inyectivos.

Ejemplo: espacioL∞ y algunos espacios de funciones continuas,

las bolas cerradas de tales espacios, sus conjuntos admisibles, R-trees y alg´un que otro m´as.

Definici´on

Un subconjuntoAde un espacio m´etricoM se dice admisiblesi es intersecci´on de bolas cerradas.

(25)

¿D´

onde m´

as?

En los espacios m´etricos hiperconvexos (tambi´en llamados P1-espacios o espacios inyectivos.)

Definici´on

Un espacio m´etrico M se dice hiperconvexo si siempre que M ⊆X existe una proyecci´on no expansiva deX enM, es decir, si son inyectivos.

Ejemplo: espacioL∞ y algunos espacios de funciones continuas, las bolas cerradas de tales espacios, sus conjuntos admisibles, R-trees y alg´un que otro m´as.

Definici´on

Un subconjuntoAde un espacio m´etricoM se dice admisiblesi es intersecci´on de bolas cerradas.

(26)

Teorema (R. Sine’89)

Si A es un subconjunto admisible de un espacio hiperconvexo entonces es un retracto proximinal no expansivo.

Ejemplo

El segmento de extremos (0,0) y (1,1) es un retracto proximinal no expansivo en`2∞pero no es admisible.

¿Se pueden caracterizar mediante alguna propiedad geom´etrica los retractos proximinales no expansivos de los espacios hiperconvexos y de los espacios de funciones continuas?

(27)

Teorema (R. Sine’89)

Si A es un subconjunto admisible de un espacio hiperconvexo entonces es un retracto proximinal no expansivo.

Ejemplo

El segmento de extremos (0,0) y (1,1) es un retracto proximinal no expansivo en`2∞pero no es admisible.

¿Se pueden caracterizar mediante alguna propiedad geom´etrica los retractos proximinales no expansivos de los espacios hiperconvexos y de los espacios de funciones continuas?

(28)

Retractos proximinales no expansivos en espacios

hiperconvexos

(Un subconjunto de un espacio métrico se dice débilmente externamente hiperconvexosi verifica una cierta propiedad de intersección de bolas.)

Teorema (E., Kirk, L´opez’00)

Dado A un subconjunto no vac´ıo de un espacio hiperconvexo M se tiene que A es d´ebilmente externamente hiperconvexo si, y s´olo si, es un “casi” retracto proximinal no expansivo.

Teorema (E’05)

(29)

Retractos proximinales no expansivos en espacios

hiperconvexos

(Un subconjunto de un espacio métrico se dice débilmente externamente hiperconvexosi verifica una cierta propiedad de intersección de bolas.)

Teorema (E., Kirk, L´opez’00)

Dado A un subconjunto no vac´ıo de un espacio hiperconvexo M se tiene que A es d´ebilmente externamente hiperconvexo si, y s´olo si, es un “casi” retracto proximinal no expansivo.

Teorema (E’05)

(30)

NPR en espacios de funciones continuas

Problema 1

¿Cuáles son los subespacios de los espacios de funciones continuas que admiten una proyección ortogonal (métrica)?, ¿es posible caracterizarlos?

Problema 2

¿Cuáles son los subconjuntos de los espacios de funciones continuas que admiten una proyección ortogonal (métrica)?, ¿es posible caracterizarlos?

(31)

NPR en espacios de funciones continuas

Problema 1

¿Cuáles son los subespacios de los espacios de funciones continuas que admiten una proyección ortogonal (métrica)?, ¿es posible caracterizarlos?

Problema 2

¿Cuáles son los subconjuntos de los espacios de funciones continuas que admiten una proyección ortogonal (métrica)?, ¿es posible caracterizarlos?

(32)

Subespacios can´

onicos

Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientes subespacios deC(K) que llamaremos can´onicos y que s´ı son retractos proximinales no expansivos.

Tipo I: Dado Z ⊆K clopen,

E_Z0 ={f ∈C(K) : f|Z ≡0}.

Tipo II: Dado S ⊆K clopen,

ES ={f ∈C(K) : f|S es constante}.

Tipo III: DadosS1,S2 ⊆dos clopen disjuntos,

(33)

Subespacios can´

onicos

E_Z0 ={f ∈C(K) : f|Z ≡0}.

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Subespacios can´

onicos

E_Z0 ={f ∈C(K) : f|Z ≡0}.

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Subespacios can´

onicos

E_Z0 ={f ∈C(K) : f|Z ≡0}.

(36)

Algunos hechos f´aciles de probar:

Todos los subespacios can´onicos y sus trasladados son retractos proximinales no expansivos.

Si un subespacios de codimensi´on 1 es RPN, tambi´en lo son los semiespacios que determina.

Si Z,{Si}n

i=1 y{Sj1,Sj2}nj=1 son clopen y disjuntos, entonces el subespacio E =E_Z0 ∩(∩E_Si)∩(∩E_S1 j,S 2 j) (1) es un RPN. Definici´on

Un subespacioE deC(K) se diráestándarsi es de la forma (1), es decir, si es intersección de hiperplanos canónicos.

(37)

Algunos hechos f´aciles de probar:

Todos los subespacios can´onicos y sus trasladados son retractos proximinales no expansivos.

Si un subespacios de codimensi´on 1 es RPN, tambi´en lo son los semiespacios que determina.

Si Z,{Si}n

i=1 y{Sj1,Sj2}nj=1 son clopen y disjuntos, entonces el subespacio E =E_Z0 ∩(∩E_Si)∩(∩E_S1 j,S 2 j) (1) es un RPN. Definici´on

Un subespacioE deC(K) se diráestándarsi es de la forma (1), es decir, si es intersección de hiperplanos canónicos.

(38)

Teorema (Benyamini, E., L´opez’05)

Si E es un subespacio RPN de codimensi´on finita de C(K), entonces est´andar.

Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es est´andar. Conjetura

(39)

(40)

(41)

Otros hechos:

Una intersecci´on infinita de hiperplanos RPN no tiene por qu´e ser RPN.

Si K es conexo, entonces C(K) no admite ningún subespacio RPN de codimensión finita ni de dimensión finita, excepto los de dimensión 1 de tipo II.

(42)

Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales

Algunos ejemplos f´aciles de obtener:

Semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Intersecciones finitas de semiespacios definidos por hiperplanos RPN.

Sin embargo,

No todos los subconjuntos RPN se pueden expresar como intersecci´on de semiespacios que, a su vez, sean RPN. Por ejemplo, la bola unidad deC([0,1]).

No toda intersecci´on de semiespacios RPN define un conjunto RPN.

(43)

Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales

Algunos ejemplos f´aciles de obtener:

Semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Intersecciones finitas de semiespacios definidos por hiperplanos RPN.

Sin embargo,

No todos los subconjuntos RPN se pueden expresar como intersecci´on de semiespacios que, a su vez, sean RPN. Por ejemplo, la bola unidad deC([0,1]).

No toda intersecci´on de semiespacios RPN define un conjunto RPN.

(44)

RPN y convexidad

¿Se puede garantizar, al menos, que los subconjuntos RPN de un espacio de funciones continuas debe ser convexo?

En general, no lo sabemos.

En particular, s´ı para los espacios `n_∞.

El plano dotado con bolas hexagonales regulares admite RPN que no son convexos.

(45)

Lema

Si A⊆`n∞es un RPN de `n∞, entonces A es convexo.

Prueba (Detalles de la prueba)

1 Se observa que si v = (v₁,· · · ,v_n)`n

∞ alcanza su norma en todas sus coordenadas, entonces existe un ´unico segmento m´etrico uniendo v y−v que coincide con el segmento lineal.

2 _{Si el conjunto de puntos y de A tales que y} ∈_{A y} −y ∈_{A es}

no vac´ıo, entonces existe x en A con la misma propiedad y tal que alcanza su norma en todas sus coordenadas.

3 Dados x,y∈A, por traslaci´on, se puede forzar a que sean de

la forma v y −v . Utilizando lo anterior,0 (punto medio entre v y −v ) est´a en el trasladado de A y, por tanto, el punto medio de x e y est´a en A.

(46)

Subconjuntos de

`

n_∞

que admiten proyecciones ortogonales

Un subconjunto A⊆`n∞es un RPN si, y s´olo si, es intersecci´on de semiespacios RPN.

(47)

Cuestiones abiertas

Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cu´ales son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las m´as destacadas son las siguientes:

1 ¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones

continuas intersecci´on de subespacios can´onicos?

2 _{¿Bajo qu´}_{e condiciones se tiene que si}_A_{es RPN de} _B _y_B _lo

es deC, tambi´en se tiene queAlo es de B?

3 _{¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de}

funciones continuas?

(48)

Cuestiones abiertas

(49)

Cuestiones abiertas

(50)

Cuestiones abiertas

(51)

Cuestiones abiertas

(52)

Nuestra mayor frustraci´

on

Otra de las muy buenas propiedades de la proyecci´on ortogonal en los espacios de Hilbert es que es sunny.

Definici´on

SeaX un espacio normado y A⊆X. Una proyecci´onP :X →A se dice sunny si

P(P(x) +λ(x−P(x))) =P(x)

para todoλ≥0.

SiAes un RPN de `n∞, ¿se puede garantizar que existe una

proyección sobre Aque sea selección no expansiva de la proyección métrica y, además, sunny?

(53)

Nuestra mayor frustraci´

on

Otra de las muy buenas propiedades de la proyecci´on ortogonal en los espacios de Hilbert es que es sunny.

Definici´on

SeaX un espacio normado y A⊆X. Una proyecci´onP :X →A se dice sunny si

P(P(x) +λ(x−P(x))) =P(x)

para todoλ≥0.

SiAes un RPN de `n∞, ¿se puede garantizar que existe una proyección sobre Aque sea selección no expansiva de la proyección métrica y, además, sunny?

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Referencias

1 Nonexpansive retractions in hyperconvex spaces, Journal of

Mathematical Analisis and Applications, 251, 557-570, 2000. (E., W. A. Kirk, G. L´opez)

2 Norm one projections in Banach spaces, Taiwaneese J. Math.

5 (2001), pp.35-95 (B. Randrianantoanina)

3 _{On selections of the metric projetion and best proximity pairs}

in hyperconvex spaces, Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, LIX, 9-17, 2005. (E.)

4 Nonexpansive selection of metric projection in spaces of

continuous functions, Journal of Approximation Theory, 137, 187-200, 2005. (Y. Benyamini, E., G. L´opez)