f) sen 5π 6 = a) sen 5π ) b) cos 32π f) 8π 6 c) tg 7π 3 = e) cos 7π = f) sen 11π

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Texto completo

(1)

Trigonometr´ıa

1. Expresar en radianes: a) 135o = b) 300o = c) 225o = d) 120o = e) 330o = f) 240o = a) 3π 4 b) 5π 3 c) 5π 4 d) 4π 3 e) 11π 6 f) 8π 6 ◭ 2. Expresar en grados sexagesimales:

a) 3π/2 = b) 3π/4 = c) 5π/3 = d) 7π/6 = e) 11π/6 = f) 7π/3 = a) 270o b) 135o c) 300o d) 210o e) 330o f) 420o ◭ 3. Calcula las razones de:

a) sen 135o = b) cos 300o= c) tan 120o = d) sec 225o= e) cos 330o= f) sen 120o = a) √ 2 2 b) 1 2 c) − √ 3 d) −√2 2 e) √ 3 2 f) √ 3 2 ◭

4. Calcula las razones de: a) sen3π 2 = b) cos3π 4 = c) tg5π 3 = d) sec11π 6 = e) cos5π 4 = f) sen5π 6 = a) −1 b) − √ 2 2 c) − √ 3 d)√2 3 e) − √ 2 2 f) − 1 2 ◭ 5. Calcula las razones de:

a) sen −5π 2 = b) cos32π 4 = c) tg7π 3 = d) sec11π 6 = e) cos−7π 4 = f) sen11π 4 = a) −1 b) 1 c)√3 d) 2/√3 e)√2/2 f)√2/2 ◭ 6. Demuestra las siguientes identidades:

F´ormulas fundamentales

sen2x+ cos2x= 1 tan2α+ 1 = sec2α

7. Calcula las razones trigonom´etricas de un ´

angulo del cuarto cuadrante si cosα = 3 5. 8. Calcula las razones trigonom´etricas de un

´

angulo del segundo cuadrante si cotα =3 4 9. Completar el siguiente cuadro

sen α cos α tg α 0< α < π 2 2 π 2 < α < π − 1 5 π < α < 3π 2 − √ 3 2 3π 2 < α <2π -0.5

(2)

0 I J sen(α) cos(α) −cos(α) tan(α) −tan(α) α π−α 0 I J sen(x) −sen(x) cos(x) −cos(x) tan(x) x π+x 0 I J sen(x) −sen(x) cos(x) tan(x) −tan(x) x −x π 2 −α 0 I J senα cosα tanα α Reducci´on de razones al 1o cuadrante

(3)

Tri´angulos rect´angulos.

10. Hallar los datos que faltan en los tri´angulos: a) Halla y. C B A D y 40 50o 60o b) Halla x ey. C B A D x 10 y 30o 42o c) Halla x A B C D x 8 10 o 40o

d) Hallar la altura de la torre siendo el ´ anguloα= 76,14o: A 74 m a B a)y= 40 sen 60o tan 50o b)x= 10 sen 30;y=10 sen 30 tan 42o c)x= 4,322 d) ≈300 ◭

Identidades trigonom´etricas 11. Demostrar las siguientes identidades

a) sec 2α cotα(1−sen 2α) cosec2α= cosecα cosα b) cos 4αsen4α senα cosα = 1tan2α tanα c) cot4α cos2αcot2α=cos2α d) (1+tanα) (1+cotα) = (senα+ cosα)

2 senα cosα e) tanα+ cotα= cosecα

cosα f) secα

cotα+ tanα = senα g) senα 1 + cosα = 1cosα senα h) cosα 1 + senα = 1senα cosα

i) cos4αsen4α= 12 sen2α j) 1−2 sen

2α

cosαsenα = senα+ cosα 12. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) senx= 0 b) senx= 1 c) cosx= 1 2 d) senx= √ 3 2 e) tgx=1 f) senx= √ 2 2 a)x=kπ b)x=π 2 + 2kπ c)x=π 3 + 2kπ; 5π 3 + 2kπ; d)x= 4π 3 + 2kπ; 5π 3 + 2kπ; e)x=3π 4 +kπ; f)x= π 4+ 2kπ; 3π 4 + 2kπ; ◭

(4)

Tri´

angulos

Teoremas que relaciona los lados y los ´angulos de un tri´angulo:

Teorema del seno

senAb a = senBb b = senCb c

Teorema del coseno

c2 =a2+b22abcosCb

16. En los siguientes ejercicios se dan tres ele-mentos de un tri´angulo. Se piden los elemen-tos que faltan.

a) a= 10, b= 9,Cˆ = 70o b) a= 12,Aˆ= 30o,Bˆ = 100o. c) a= 4, b= 8,Bˆ = 40o d) a= 6, b= 7, c= 8. e) a= 8, b= 12, c= 20 f) b= 10, c= 6,Cˆ = 45o g) a= 10,Aˆ= 45o,Cˆ = 75o h) a= 1, c=√3,Bˆ = 30o. a)a= 10;b= 9;c= 10,93; ˆA= 59,3o; ˆB= 50,7o; ˆC= 70o b)a= 12;b= 23,63;c= 18,38; ˆA= 30o; ˆB= 10o; ˆC= 50o c)a= 4;b= 8;c= 10,64; ˆA= 18,74o; ˆB= 40o; ˆC= 121,25o d)a= 6;b= 7;c= 8; ˆA= 46,56o; ˆB= 57,9o; ˆC= 75,5o e) no tiene soluci´on f) no tiene soluci´on g)a= 8,16;b= 10;c= 11,15; ˆA= 45o; ˆB= 60o; ˆC= 75o h)a= 1;b= 1;c=√3; ˆA= 30o; ˆB= 30o; ˆC= 120o ◭

17. Hallar los elementos del tri´angulo que fal-tan:

A

B

C

8

10

c

47

o

18. Hallar los elementos del tri´angulo que fal-tan: A B C 72 100 c 71 o

19. Hallar los elementos del tri´angulo que fal-tan: A B C 5 b 9 110o

20. Hallar los elementos del tri´angulo que fal-tan:

A

B

C

a

12

7

96

o

(5)

21. Hallarx yh en el tri´angulo: A B D C 72o 42o h x 18

22. Para calcular la altura de la torre Eiffel, nos situamos en dos puntos A y B separados una distancia AB = 180 m y medimos los ´

angulosDAB= 85◦,ABD= 70◦yDBC = 40,6◦.¿C´ual es la altura CD de la torre?.

23. Desde tierra queremos hallar la distancia en-tre dos veleros. Para ello medimos la distan-ciaAB= 300 m y los ´angulos que se mues-tran en el gr´afico. Halla:

a) La distancia AY. b) La distancia AX.

c) Por ´ultimo determina la distancia pe-didaXY. 46º 32º 40º 25º B C Y A X

Trigonometr´ıa II

Razones de la suma de ´

angulos

sen(α+β) = senα cosβ+ cosα senβ cos(α+β) = cosβ cosαsenβ senα tan(α+β) = tanα+ tanβ

1tanα tanβ

(1.1)

Razones de la diferencia de ´

angu-los

sen(αβ) = senα cosβcosα senβ cos(αβ) = cosβ cosα+ senβ senα tan(αβ) = tanα−tanβ

1 + tanα tanβ

(1.2)

Razones del ´

angulo doble

sen(2α) = 2 senα cosα cos(2α) = cos2αsen2α tan(2α) = 2 tanα

1tan2α

(1.3)

Razones del ´

angulo mitad

Demostrar las expresiones: sen2α= 1−cos 2α 2 cos2α= 1 + cos 2α 2 tan2α= 1−cos 2α 1 + cos 2α (1.4)

(6)

22. Simplificar las expresiones a una sola raz´on trigonom´etrica: a) 1−cos 2α 1 + cos 2α b) sen 2α 2 senα c) 1 + cotα cotβ cosecα cosecβ d) senα−sen 2α cos4α+ cos2αsen2α 23. Demostrar que: a) sen 2α senα − cos 2α cosα = secα b) 2 senx

tan 2x = cosx−senxtanx

c) 1 1senα + 1 1 + senα = 2 sec 2α d) tanπ 4 +α −tanπ 4 −α = 2 tan 2α e) sen 2α cosα + 2 senα tan 2α = cosα f) tan22α+π 4 = 1 + sen 4α 1sen 4α

24. A partir de las razones trigonom´etricas de 30o y 45o halla las del ´angulo de 15◦.

a) sen 15o b) cos 15o c) tan 15o a) √ 6−√2 4 ; b) √ 6 +√2 4 c) 4−√12 2 ◭

25. A partir de las razones trigonom´etricas de 30o y 45o halla las del ´angulo de 75◦.

a) sen 75o b) cos 75o c) tan 75o a) √ 6 +√2 4 ; b) √ 6−√2 4 c) 4 +√12 2 ◭ 26. A partir de senα = 3 5 con π 2 < α < π, hallar: a) sen 2x b) senα+π 6 c) cosαπ 3 d) tanα+π 4 a) −24 25; b) 3√3−4 10 c) 4 +√12 2 d) 1 7 ◭ 27. A partir de cosα = 1 4 con π 2 < α < π, hallar: a) sen 2α b) cos(π+α) c) cosα 2 d) senπ 6 −α a) − √ 15 8 ; b) 1 4 c) r 3 8 d) − 1 + 3√5 8 ◭

28. Calcula la altura deQR, cuyo pie es inacce-sible y m´as alto que el punto donde se en-cuentra el observador, con los datos de la

figura. ◮74,97

29. Para medir la altura de una capa de nubes, un estudiante de meterolog´ıa dirige la luz de un faro verticalmente hacia arriba desde el suelo. Desde un punto P situado a 1000 m del faro, se mide el ´angulo de elevaci´on de la imagen de la luz en las nubes, siendo esta de 59o. Hallar la altura de la capa de nubes. ◮1664,28

(7)

30. Hallar la distancia al horizonte dependiendo de la altura en qu´e est´e situado el observa-dor.

Completar la tabla siguiente, siendo el radio terrestreR= 6371 km. Altura Horizonte 2 m 20 m 500 m 2 km 31. Conociendo cos 36◦ = 1 + √ 5 4 , utiliza el ´ angu-lo doble para hallar el vaangu-lor de

sen272◦ sen2 72 =5 + √ 5 8 ◭ 32. Sabemos que senx=a. Demuestra que:

sen 3x= 3a4a3

33. (⋆) Resuelve la ecuaci´on

2sen2x+ 2cos2x = 2√2

Ecuaciones trigonom´

etricas

34. Halla las soluciones de las siguientes ecua-ciones: a) sen2x+ cosx+ 1 = 0 π+ 2kπ; ◭ b) tanx+ senx= 0 kπ; ◭ c) senx+ cosx= 1 π 2+ 2kπ; 0 + 2kπ ◭ d) senx+ cosx=√2 π 4 + 2kπ; ◭ e) sen 2x2 sen 4x= 0 kπ 2 ; π 6 +kπ; 5π 6 +kπ; ◭ f) 2 sen(α30o) =1 240o + 2kπ; 330o + 2kπ; ◭ g) sen 2x cosecx= tanx+ secx

π 6 + 2kπ; 5π 6 + 2kπ; 3π 2 + 2kπ; ◭ h) 4 cos 2x + 3 cosx = 1 51o + 2kπ; 309o + 2kπ; 180o + 2kπ; ◭ i) tan 2x + 2 cosx= 0 π 2 +kπ; 7π 6 + 2kπ; 11π 6 + 2kπ; ◭ j) 1

cosx+ senx + 2 senx= 2 cosx

π

6 + 2kπ; 5π

Figure

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