Estudio de las funciones polinómicas de grado superior a dos

Estudio de las funciones

polinómicas de grado

superior a dos

2

o

BACH_CCSS

Cuaderno de ejercicios

MATEMÁTICAS JRM

Nombre y apellidos………..………...

RESUMEN DE OBJETIVOS

1. Cálculo de las raíces y la tabla de signos.

OBJETIVO 1. A partir de la expresión analítica ( ) deuna función polinómicacalcular sus raíces, utilizando la extracción de factor común, el método de Ruffini y la ecuación cuadrática y construir su tabla de signos utilizando el criterio de la multiplicidad de raíces.

2. Estudio de la monotonía y los puntos extremos de una función polinómica.

OBJETIVO 2. Estudiar la monotonía y los puntos extremos de una función polinómica ( ), utilizando la tabla de signos de su función derivada ( ) y su relación con el crecimiento y el decrecimiento de la función ( )

3. Estudio de la curvatura y los puntos de inflexión de una función polinómica.

OBJETIVO 3. Estudiar la curvatura y los puntos de inflexión de una función polinómica ( ), utilizando la tabla de signos de su segunda derivada ( ) y su relación con la curvatura y la inflexión de la función ( )

4. Recta tangente en un punto a una función polinómica.

OBJETIVO 4. A partir de la expresión analítica ( ) deuna función polinómica, calcular la ecuación de su recta tangente en un punto dado :

(

) (

)(

)

5. Problemas de representación y optimización de funciones polinómicas.

OBJETIVO 5. Calcular los elementos básicos para la representación de funciones polinómicas de cualquier grado, incluyendo el estudio de sus raíces, su monotonía, sus extremos, su curvatura, su inflexión y sus rectas tangentes.

1. Cálculo de las raíces y la tabla de signos.

OBJETIVO 1. A partir de la expresión analítica ( ) de una función polinómica

calcular sus raíces, utilizando la extracción de factor común, el método de Ruffini y la ecuación cuadrática y construir su tabla de signos utilizando el criterio de la multiplicidad de raíces.

Raíces y signo de una función polinómica.

Dada una función polinómica ( ) buscamos sus raíces utilizando:

1. La extracción del factor común x, elevado al mayor grado posible.

( )

( )

2. El método de Ruffini, hasta el grado 2, utilizando los divisores del término independiente.

3. La ecuación cuadrática. √

Una vez conocidas las raíces,construimos su tabla de signos teniendo en cuenta que:

 Las raíces son los valores de x en los que la función se anula(su gráfica alcanza el eje OX)

 En los intervalos separados por una raíz de multiplicidad impar (simple, triple, quíntuple…) toma distinto signo y la

gráfica cruza el eje OX.

 En los intervalos separados por una raíz de multiplicidad par (doble, cuádruple…) toma el mismo signo y la gráfica no cruza el eje OX, simplemente lo alcanza de forma tangencial.

La raíz es simple

La gráfica cruza el eje OX

f(x) cambia de negativa a positiva

La raíz es simple

La gráfica cruza el eje OX

f(x) cambia de positiva a negativa

La raíz es doble

La gráfica no cruza el eje OX

f(x) es positiva en ambos intervalos

La raíz es doble

La gráfica no cruza el eje OX

EJEMPLO.

Calcula las raíces, construye la tabla de signos y representa la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces

( )

( )

1.

Factor común x

: No tiene. (el cero no es raíz)

2.

Método de Ruffini

. (divisores del 18)

3.

Ecuación cuadrática.

√

√

2. Tabla de signos

3. Gráfica.

Calcula las raíces, construye la tabla de signos y representa la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces.

3. Gráfica.

EJERCICIO 1.2.

Calcula las raíces, construye la tabla de signos y representa la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces.

3. Gráfica.

2. Tabla de signos.

EJERCICIO 1.3.

Calcula las raíces, construye la tabla de signos y representa la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces.

3. Gráfica.

EJERCICIO 1.4.

Calcula las raíces, construye la tabla de signos y representa la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces.

3. Gráfica.

2. Tabla de signos.

EJERCICIO 1.5.

Calcula las raíces, construye la tabla de signos y representa la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces.

3. Gráfica.

EJERCICIO 1.6.

Calcula las raíces, construye la tabla de signos y representa la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces.

3. Gráfica.

2. Tabla de signos.

EJERCICIO 1.7.

Calcula las raíces, construye la tabla de signos y representa la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces.

3. Gráfica.

2. Estudio de la monotonía y los puntos extremos de una función polinómica.

OBJETIVO 2. Estudiar la monotonía y los puntos extremos de una función polinómica ( ), utilizando la tabla de signos de su función derivada ( ) y su relación con el crecimiento y el decrecimiento de la función ( )

Monotonía y puntos extremos de una función polinómica.

Dada una función polinómica ( ) estudiamos su monotonía y su puntos extremos utilizando las raíces y el signo de su primera derivada ( ):

 Si ( ) es negativa entonces ( ) es decreciente.

 Si ( ) es positiva entonces ( ) es creciente.

 Si ( ) entonces ( ) tiene un punto extremo (máximo o mínimo)

( )

( )

( )

La pendiente de la recta tangente es positiva, por tanto la función está creciendo

La pendiente de la recta tangente es negativa, por tanto la función está decreciendo

La pendiente de la recta tangente es cero, por tanto la función alcanza un punto extremo.

Criterio del signo de la segunda derivada para la clasificación de puntos extremos:

Si ( ) entonces en hay un punto extremo que será:

 Máximo si _{( )}

 Mínimo si _{( )}

 Si la segunda derivada es NEGATIVA en una raíz de la primera derivada entonces ese punto es MÁXIMO.

EJERCICIO 2.1.

Estudia la monotonía y los puntos extremos de la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces y signo de la primera derivada.

2. Gráfica.

EJERCICIO 2.2.

Estudia la monotonía y los puntos extremos de la siguiente función polinómica:

( )

EJERCICIO 2.3.

Estudia la monotonía y los puntos extremos de la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces y signo de la primera derivada.

2. Gráfica.

EJERCICIO 2.4.

Estudia la monotonía y los puntos extremos de la siguiente función polinómica:

( )

EJERCICIO 2.5.

Estudia la monotonía y los puntos extremos de la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces y signo de la primera derivada.

2. Gráfica.

EJERCICIO 2.6.

Estudia la monotonía y los puntos extremos de la siguiente función polinómica:

( )

3. Estudio de la curvatura y los puntos de inflexión de una función polinómica.

OBJETIVO 3. Estudiar la curvatura y los puntos de inflexión de una función polinómica ( ), utilizando la tabla de signos de su segunda derivada ( ) y su

relación con la curvatura y la inflexión de la función ( )

Curvatura y puntos de inflexión de una función polinómica.

Dada una función polinómica ( ) estudiamos su curvatura y sus puntos de inflexión, utilizando las raíces y el signo de su segunda derivada ( ):

 Si ( ) es negativa entonces ( ) es convexa.

 Si _{( ) es positiva entonces ( ) es cóncava.}

 Si _{( ) entonces ( ) tiene un punto de inflexión (cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa)}

_{( )}

_{( )}

_{( )}

La pendiente de la recta tangente es decreciente, por tanto la función esconvexa

La pendiente de la recta tangente es creciente, por tanto la función escóncava

La pendiente de la recta tangente cambia el crecimiento, por tanto la función alcanza un punto

EJERCICIO 3.1.

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces y signo de la segunda derivada.

2. Gráfica.

Sol: Punto de inflexión en

EJERCICIO 3.2.

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces y signo de la segunda derivada.

2. Gráfica.

EJERCICIO 3.3.

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces y signo de la segunda derivada.

2. Gráfica.

Sol: Punto de inflexión en

EJERCICIO 3.4.

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces y signo de la segunda derivada.

2. Gráfica.

EJERCICIO 3.5.

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la siguiente función polinómica:

( )

1. Raíces y signo de la segunda derivada.

2. Gráfica.

Sol: Puntos de inflexión en

EJERCICIO 3.6.

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la siguiente función polinómica:

( )

4. Recta tangente en un punto a una función polinómica.

OBJETIVO 4. A partir de la expresión analítica ( ) de una función polinómica,

calcular la ecuación de su recta tangente en un punto dado :

(

) (

)(

)

Recta tangente en un punto a una función polinómica.

Dada una función polinómica ( ) y un punto podemos calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( )

en el punto de coordenadas ( ( ) ) sin más que tener en cuenta que la pendiente de esa recta es precisamente

( ), por tanto, la ecuación de dicha recta será:

(

) (

)(

)

EJEMPLO. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) en el punto

1. Ecuación de la tangente en ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ( ))

( )

Solución:

Ejercicio 4.1.

1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( ) en el punto 2. Represente la gráfica de esa recta tangente.

1. Ecuación de la tangente en 2. Gráfica.

Solución:

1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( ) en el punto 2. Represente la gráfica de esa recta tangente

1. Ecuación de la tangente en 2. Gráfica.

Ejercicio 4.3.

1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) en el punto

2. Represente la gráfica de esa recta tangente.

1. Ecuación de la tangente en 2. Gráfica.

Solución:

1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) ( ) ( ) en el punto 2. Represente la gráfica de esa recta tangente.

1. Ecuación de la tangente en 2. Gráfica.

5. Problemas de representación y optimización de funciones polinómicas.

OBJETIVO 5. Calcular los elementos básicos para la representación de funciones polinómicas, incluyendo el estudio de sus raíces, su monotonía, sus extremos, su curvatura, su inflexión y sus rectas tangentes.

EJEMPLO.

Consideramos la función

( )

1. Determinamos sus raíces y su tabla de signos.

2. Determinamos su monotonía y sus extremos relativos.

3. Determinamos su curvatura y su punto de inflexión.

4. Construimos una tabla de valores con los pares más significativos de ( ) y representa su gráfica.

5. Calculamos y representamos la recta tangente a ( ) en su punto de inflexión.

1. Raíces y signo de

( )

( )

1.

Factor común x

: No tiene. (el cero no es raíz)

2.

Método de Ruffini

. (divisores del 18)

3.

Ecuación cuadrática.

√

√

ª

2. Monotonía y extremos de

( )

2.1. Calculamos las raíces y signo de ( )

( )

2.2. Estudiamos el carácter de los puntos críticos:

_{( )}

_{( )}

_{( )}

( ) ( )

( ) ( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

2.1. Calculamos las raíces y signo de _{( )}

_{( )}

3.2. Estudiamos el carácter del punto de inflexión

_{( )}

_{( )}

3.3. Calculamos la imagen del punto de inflexión:

( ) ( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

x 0 1 1.26 2 3 4 4,73 5

f(x) 18 2 0 -2 0 2 0 -2



Corte con eje Y: x=0



Raíces: x=1,26 x= 3 x=4,73



Mínimo: x=2



Máximo: x=4



Valores enteros intermedios: x=1 x=5

5. Tangente a f(x) en su punto de inflexión: x=3

( )

( )( )

( )



( )



( )



( )



( )

Nota:

EJERCICIO 5.1.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

EJERCICIO 5.2.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

EJERCICIO 5.3.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

EJERCICIO 5.4.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

EJERCICIO 5.5.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

EJERCICIO 5.6.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

EJERCICIO 5.9.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto………..

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

EJERCICIO 5.10.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto………..

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

EJERCICIO 5.11.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto………..

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

EJERCICIO 5.12.

Considera la función

( )

1.

Determina sus raíces y su tabla de signos.

2.

Determina su monotonía y sus extremos relativos.

3.

Determina su curvatura y su punto de inflexión.

4.

Construye una tabla de valores fundamentales y representa su gráfica.

5.

Calcula y representa la recta tangente a f(x) en el punto………..

1. Raíces y signo de

( )

3. Curvatura e inflexión de

( )

4. Tabla de valores y representación gráfica de

( )

Ejercicio 1. PAU (ANDALUCÍA 2013)

Sea

( )

una función cuya primera derivada,

( )

, tiene por gráfica una parábola que corta al eje OX en los puntos

(-1, 0) y (5,0) y con vértice en (2, -4).

1.

(1 punto) Estudie razonadamente la monotonía de

( )

2.

(0,5 puntos) Determine las abcisas de los extremos relativos de la función

( )

.

3.

(1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

( )

en el punto de abcisa x=2, sabiendo que

Ejercicio 2.

PAU (ARAGÓN 2013)

Disponemos de 15000 euros para la campaña de publicidad de un producto y los tenemos que invertir entre televisión

y radio. Si llamamos x al dinero (en miles de euros) invertido en televisión e y al dinero (en miles de euros) invertidos

en radio, se estima que las ventas (en miles de unidades del producto) que haremos vendrán dadas por la expresión:

(2 puntos) Determinar cuánto dinero tendremos que invertir en televisión y cuánto en radio para maximizar las ventas

y cuál será el valor máximo de ventas.

Ejercicio 3.

PAU (CASTILLA LA MANCHA 2013)

(1,5 puntos) Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función

( )

tenga un máximo en el

punto (2, 1)

Ejercicio 4.

PAU (CASTILLA LA MANCHA 2013)

En un tramo de una montaña rusa, la altura alcanzada por el vagón, medida en metros, se ajusta a la función

( )

, siendo t el tiempo medido en segundos,

1.

(1 punto) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura mínima en ese tramo y cuál es esa altura mínima?

2.

(0,5 puntos) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura mínima en ese tramo y cuál es esa altura mínima?

Ejercicio 5.

PAU (CATALUÑA 2013)

En un huerto hay plantados 50 manzanos. Cada árbol produce 50 manzanas. Por cada árbol adicional que plantamos, la

producción de cada árbol se reduce en 10 manzanas.

Ejercicio 6.

PAU (CATALUÑA 2013)

Los beneficios de una compañía de trasporte de viajeros se describen por la función B

( )

, donde x es

el precio que la compañía cobra por cada viaje. Sabemos que si cobran 40€ por viaje, los beneficios son de 19.000€.

Además, si aumentamos el precio un 25%, el beneficio que se obtiene es el máximo, de 20.000€.

Ejercicio 7.

PAU (CATALUÑA 2013)

(2 puntos) Determine los valores de los parámetros a, b y c que hacen que las curvas de ecuación

( )

y

( )

tengan la misma recta tangente en el punto (1,1)

Ejercicio 8.

PAU (EXTREMADURA 2013)

En una etapa contrarreloj de 40km en el último Tour de Francia, la velocidad, en Km/h, de un determinado ciclista, en

función de la distancia recorrida, viene dada por la expresión siguiente:

( )

, siendo x

la distancia recorrida en kilómetros.

1.

(1 punto) ¿Qué distancia ha recorrido el ciclista cuando alcanza la velocidad máxima?

2.

(0,5 puntos) ¿Cuál es el valor de dicha velocidad máxima?

Ejercicio 9.

PAU (CANARIAS 2013)

Dos fuentes de energía producen electricidad a la vez durante 10 horas, según las siguientes funciones:



( )



( )

1.

¿En qué momentos están produciendo la misma cantidad de energía las dos funciones?

2.

¿En qué intervalo es decreciente la producción de la 1ª fuente?

Ejercicio 10.

PAU (LA RIOJA 2013)

Sea

( )

una cierta función definida en el intervalo (-2, 2). Si su función derivada

( )

tiene la representación gráfica

que aparece en la figura, determinar, razonadamente, los extremos relativos de esa función

( )

, en el intervalo