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Capítulo 3.
Modelado de la saturación.
3.1.
Modelado de la saturación en máquinas eléctricas.
Aunque por lo general, el análisis de las máquinas eléctricas se realiza asumiendo linealidad del sistema magnético, en la práctica puede comprobarse cómo esto no es real, y existe saturación y calentamiento de los materiales magnéticos. La característica de magnetización de un motor de inducción viene dada mediante la curva de magnetización (curva B-H, de la que se habló anteriormente, o lo que es lo mismo, debido a que la densidad de flujo de inducción es proporcional a los enlaces de flujo y que la intensidad del campo magnético es proporcional a la intensidad, la curva intensidad- enlaces de flujo).
Normalmente las máquinas eléctricas se diseñan de forma que, por lo general, éstas operan en la zona saturada durante su régimen normal de operación. La saturación afecta principalmente al valor de la inductancia de magnetización y en mucha menor medida a la inductancia de dispersión. Los efectos de ésta última son bastante complejos y requieren una construcción muy detallada de la máquina eléctrica que no siempre es fácil de conseguir. Por esto, en muchas simulaciones dinámicas los efectos de la saturación se reducen al flujo de magnetización, tal y como ocurre en éste proyecto.
Si consideramos la región lineal, el cociente E1/Im es un valor constante que se
Beatriz Páramo Balsa 41 magnetización éste cociente comienza a decrecer.
A continuación se presentan las distintas opciones que se han aplicado para modelar la saturación en los motores de inducción lo largo de este proyecto.
3.2.
Modelado de la saturación a partir de la curva de
magnetización lineal y saturada (enlaces de flujo como variables
de estado).
A continuación se presenta el primer método para incorporar la saturación en los motores de inducción. Este es un método muy intuitivo que lo único que requiere son las curvas de magnetización del material suponiendo linealidad y saturación del núcleo magnético.
La curva de magnetización lineal de la máquina se puede obtener de forma más o menos sencilla modelando el motor de inducción suponiendo que la inductancia de magnetización es constante. En cuanto a la curva de magnetización saturada es el objetivo a obtener, aunque bien es cierto, que se sabe qué forma tiene y se puede tomar como dato de partida aunque no se tenga más datos acerca de la saturación, ya que se pueden obtener puntos experimentales de esta que permitirán obtenerla o se puede aproximar mediante una función de terminada.
Una vez que se tienen las dos curvas de magnetización, se explica la idea fundamental del método de modelado, para ello se utilizará la siguiente idea, se calculará la curva de saturación que modele el motor de inducción como la diferencia entre la curva de magnetización lineal, y la curva de magnetización que se tome como dato de partida incorporando la saturación. Para ello se calculará una función para los enlaces de flujo y para las intensidades que incorporen estas diferencias.
Teniendo en cuenta esta idea, los enlaces de flujo saturados se pueden representar como:
Beatriz Páramo Balsa 42 Es decir, se calculan los enlaces de flujo de magnetización cómo la diferencia entre el flujo de magnetización suponiendo linealidad y una función . Esta función depende de y se obtiene como la diferencia entre una curva y otra para cada valor de intensidad:
Como es lógico existe un rango mayor de valores de intensidad para el caso saturado, que para el caso lineal. Por lo tanto a la hora de calcular ésta función hay que tenerlo en cuenta. La solución adoptada para ello es la siguiente. Teniendo en cuenta que los enlaces de flujo despreciando la saturación se calculan de forma proporcional a la intensidad, calcularemos éstos últimos para todo el rango de valores de la intensidad de magnetización saturada, es decir estamos añadiendo un tramo más a la curva lineal, de forma que así podemos obtener esta función de diferencias de enlaces de flujo de una curva a otra.
Si se representamos está función frente a los enlaces de flujo de magnetización se pueden observar curvas como la de la figura 3.1:
Beatriz Páramo Balsa 43 De igual forma se puede obtener lo mismo pero para la intensidad de magnetización . Esta vez lo que se hace es tomar un valor fijo de flujo de magnetización de forma que se tendrá para cada valor de éste uno de intensidad de magnetización lineal y otro mayor de intensidad de magnetización saturada.
Una vez calculadas las funciones de diferencias de flujo e intensidad se pueden obtener las variables saturadas sin más que añadir a las lineales su correspondiente función de diferencias. A partir de las variables obtenidas de magnetización y de las funciones de diferencias podemos obtener las variables qd saturadas de la máquina aplicando las ecuaciones de tensión que modelan el motor de inducción junto a las ecuaciones mecánicas correspondientes.
3.3.
Modelado de la saturación utilizando intensidades y enlaces de
flujo como variables de estado.
En este caso, se utilizará un procedimiento de resolución en el que se toman como variables de estado una de las intensidades de la máquina (la estatórica o la rotórica) y uno de los enlaces de flujo (el estatórico, el rotórico o el de magnetización). Por lo tanto se tienen seis combinaciones distintas a la hora de resolver.
El primer paso para el desarrollo del modelo, es seleccionar las variables de estado a modelar. Las distintas opciones son:
Beatriz Páramo Balsa 44 Donde:
, es la intensidad estatórica.
es la intensidad rotórica.
, son los enlaces de flujo estatórico.
, son los enlaces de flujo rotórico.
, son los enlaces de flujo de magnetización
Pero sólo se selecciona una de las intensidades y uno de los enlaces de flujo. El par de variables de estado se denotarán x1 y x2. A continuación se expresan las
intensidades y los enlaces de flujos en función de estas variables:
Los valores de los coeficientes c dependen de las variables de estado seleccionadas y se resumen en la tabla 3.1 que podemos ver a continuación:
Beatriz Páramo Balsa 45 Tabla 3.1. Coeficientes c. Modelo c11 c12 c21 c22 c31 c32 c41 c42 1 0 0 1 1 0 -1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 -1 1 0 1 1 0 0 1 Donde:
es la inductancia de dispersión de los devanados estatóricos.
es la inductancia de dispersión de los devanados rotóricos
Los términos y son respectivamente:
El siguiente paso es la definición de un nuevo concepto el de flujo generalizado. Este es una combinación lineal de las variables seleccionadas que puede o no existir realmente en la máquina, pero su dirección instantánea debe coincidir con la de la corriente de magnetización:
Beatriz Páramo Balsa 46 Para que el flujo generalizado este alineado con la corriente de magnetización, se impone:
Dónde representa una inductancia dependiente del nivel de magnetización. Por otro lado los coeficientes a y b anteriores tienen que ser independientes de la saturación y tomar valores constantes. Imponiendo estas restricciones los valores para el flujo generalizado y para son dependiendo de las variables de estado seleccionadas los señalados en la tabla 3.2 que se presenta a continuación:
Tabla 3.2. Flujos generalizados y
Modelo
-Una vez definido el flujo generalizado, se parte de las ecuaciones de tensión en una referencia arbitraria, cuya velocidad será denominada wa a lo
largo de todo este apartado. En primer lugar hay que expresarlas en función de las variables de estado seleccionadas para poder resolver el sistema de ecuaciones, para ello se tendrá en cuenta lo anteriormente comentado de forma que tras un desarrollo matemático las ecuaciones quedaran de la siguiente forma:
Beatriz Páramo Balsa 47 Y A y B son unas matrices con términos constantes y variables que dependen de las variables de estado seleccionadas.
A continuación se presentan los seis modelos de forma desarrollada. En primer lugar se despejan las derivadas de las variables de estado de la ecuación, para tenerlas preparadas para su resolución, de forma que así las introduciremos directamente en la rutina de integración que programemos:
Las seis opciones de modelado son las siguientes:
3.3.1. Modelado con Is, scomo variables de estado.
En este caso nuestro vector x estará formado por:
Y las matrices A y B serán:
Beatriz Páramo Balsa 48 Donde los términos que son inductancias ya se han definido anteriormente a excepción de que se presenta a continuación:
También se define el término como la diferencia entre la velocidad del sistema de referencia y la velocidad rotórica, es decir:
Los términos dependientes de la saturación son:
Estas ecuaciones son validas para los seis métodos que se derivan de esta sección. Lo único que varía son los términos y que se particularizarán en cada caso. En concreto para este apartado:
Beatriz Páramo Balsa 49 Donde L es la inductancia dinámica, y la de magnetización. Ambos valores son variables y dependen de la saturación
3.3.2. Modelado con Is, mcomo variables de estado.
En este caso nuestro vector x estará formado por:
Y las matrices A y B serán:
Las ecuaciones de los términos dependientes de la saturación quedan exactamente igual al apartado anterior, ya que el flujo generalizado es igual al flujo de magnetización, como se puede comprobar en la tabla 3.2. Los términos y se calculan de la misma forma resultando también la inductancia de magnetización y la inductancia dinámica correspondientemente.
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3.3.3. Modelado con Is, rcomo variables de estado
En este caso nuestro vector x estará formado por:
Y las matrices A y B serán:
En ése caso las ecuaciones van a cambiar un poco, ya que observando la tabla 3.2 se observa que el flujo generalizado ya no es igual al de magnetización, sino que es:
·
Por lo tanto los términos y quedan:
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3.3.4. Modelo con Ir, scomo variables de estado.
En este caso nuestro vector x estará formado por:
Y las matrices A y B serán:
Utilizando estas variables de estado se vuelve a observar el mismo problema de antes. El flujo generalizado no es igual al de magnetización por lo tanto los términos y se modifican. Teniendo en cuenta que el flujo generalizado para este caso es:
·
Beatriz Páramo Balsa 52 Y y resultan:
3.3.5. Modelo con Ir, mcomo variables de estado.
En este caso nuestro vector x estará formado por:
Y las matrices A y B serán:
Con estas variables de estado, el flujo generalizado y el flujo de magnetización resultan iguales, y por lo tanto:
Beatriz Páramo Balsa 53 Y y se calculan de la misma forma que en el primer caso, resultando la inductancia de magnetización y la inductancia dinámica respectivamente, al igual que ocurría antes.
3.3.6. Modelo con Ir, rcomo variables de estado.
En este caso nuestro vector x estará formado por:
Y las matrices A y B serán las siguientes donde se denominará Lsr al siguiente
término debido al repetido número de veces que aparece en la matriz:
En esta última opción el flujo generalizado y el de magnetización vuelven a ser iguales luego el procedimiento de cálculo de los distintos términos que ya se han comentado es el mismo.
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3.3.7. Cálculos necesarios para la realización práctica de los modelos.
Se puede observar que para resolver las ecuaciones que modelan el motor de inducción, se necesita calcular para los seis modelos las inductancias dependientes de la saturación. En todos los modelos la matriz A contiene tres inductancias denominadas Ldd, Lqq, y Ldq y para calcularlas se necesita la curva de
magnetización de la máquina que es un dato de partida.
La curva de magnetización puede obtenerse al igual que antes mediante puntos experimentales o podemos modelarla mediante una función. Finalmente, para resolver lo que se hace es que se parte de la curva saturada de la máquina de forma que se obtiene la inductancia de magnetización y la inductancia dinámica a través del flujo generalizado que se calculó previamente. Una vez que tengamos estas variables, ya se pueden obtener los valores de las inductancias dependientes de la saturación y con ellas se puede calcular las matrices A y B. Finalmente se resuelven las ecuaciones diferenciales añadiendo por supuesto las ecuaciones mecánicas que en todo momento se deben de cumplir.
