Facultad de Ingenier´ıa - IMERL
Curso 2007
1.
Pr´
actico 1
1.1.
Problemas de conteo
Ejercicio 1.1
En cierta ciudad las matr´ıculas de los autos se forman con 2 vocales diferentes seguidas de 5 d´ıgitos todos diferentes. Determinar la cantidad de matr´ıculas que pueden hacerse y determinar cu´antas de ellas comienzan con A y terminan con 89.
Ejercicio 1.2
Entre 3 ingenieros, 5 economistas y 4 arquitectos deben seleccionarse 4 para formar una comisi´on. 1. Calcular cu´antas comisiones diferentes podr´ıan formarse.
2. Calcular cu´antas de esas comisiones estar´ıan integradas por un ingeniero, dos economistas y un arquitecto.
3. Calcular en cu´antas comisiones habr´ıa por lo menos dos arquitectos.
Ejercicio 1.3
En una f´abrica los productos se codifican con 3 letras distintas que indican 3 operaciones que sufren cada uno de los productos y 3 cifras distintas y en ese orden: primero las letras y despu´es los n´umeros. Las letras utilizadas son A, B, C y D.
1. ¿Cu´antos productos pueden codificarse?
2. ¿Cu´antos c´odigos empiezan con A y terminan con 9?
3. ¿En cu´antos los n´umeros 0 y 2 aparecen juntos y en ese orden? 4. ¿En cu´antos los n´umeros 0 y 2 aparecen juntos?
5. ¿En cu´antos productos aparecen dos n´umeros pares juntos y el otro es impar?
Ejercicio 1.4
Una caja fuerte se abre mediante una cierta clave de 5 d´ıgitos (pueden ser repetidos). Ud. es lo suficientemente audaz como para intentar abrirla, y lo hace probando n´umeros al azar. ¿Cu´antas claves posibles hay? ¿Cu´antas claves posibles hay si se usan s´olo los d´ıgitos de 1 a 6 en vez de usar los 10?
Ejercicio 1.5
Se juega a un juego del tipo 5 de Oro: hay que acertar 5 n´umeros, elegidos dentro de 36 posibili-dades.
1. ¿Cu´antas jugadas posibles hay?
2. Si se eligen 5 n´umeros a priori, ¿cu´antas jugadas posibles hay que contengan exactamente uno de los n´umeros elegidos?
3. Si se eligen 5 n´umeros a priori, ¿cu´antas jugadas posibles hay que contengan por lo menos 2 de los n´umeros elegidos?
Ejercicio 1.6 *
Usted va a la panader´ıa a comprar una docena de bizcochos. En la panader´ıa s´olo quedan croissants, margaritas y galletas en cantidades suficientes.
1. ¿Cu´antas elecciones distintas puede hacer?
2. Usted llega a la facultad conαcroissants,β margaritas yγgalletas (α+β+γ= 12) y los reparte entre usted y 11 amigos. ¿Cu´antos repartos puede hacer? (Calcular en funci´on de
α,β yγ). ¿Cu´anto deben valerα,β yγpara que dicha cantidad sea m´axima? (Sugerencia: ver como var´ıa dicha cantidad al variar en una unidad alguno de los par´ametros)
1.2.
Propiedades de la Probabilidad
Ejercicio 1.7
Sea (Ω,A,P) un espacio de probabilidad. SeanA,ByCsucesos. Expresar mediante operaciones con conjuntos los sucesos que corresponden a:
1. OcurrenAyB.
2. Ocurren los tres sucesos. 3. OcurreAu ocurreB.
4. Ocurre por lo menos uno de los tres sucesos.
5. OcurreAu ocurreB pero no los dos simult´aneamente. 6. No ocurreB.
7. No ocurre niAni B.
8. No ocurre ninguno de los tres sucesos. 9. OcurreAy no ocurreB.
10. Ocurre exactamente uno de los tres sucesos. 11. Ocurren por lo menos dos de los tres sucesos.
Ejercicio 1.8
Sea (Ω,A,P) un espacio de probabilidad. Demostrar que: 1. SiAyB son sucesos tales queA⊂B entonces:
P(B\A) =P(B)−P(A)
Sugerencia.Considerar queB\A=B∩Ac yB= (B∩A)∪(B∩Ac)
Deducir queP(A)≤P(B).
2. SiAyBson sucesos entoncesP(A∪B)>m´ax{P(A),P(B)}yP(A∩B)6m´ın{P(A),P(B)} Ejercicio 1.9
Sea (Ω,A,P) un espacio de probabilidad. Se consideran dos sucesosAyBtales queP(A) = 1/3 yP(B) = 1/2. Determinar el valor deP¡AC∩B¢en los siguientes casos:
1. AyB incompatibles (mutuamente excluyentes). 2. A⊂B.
Ejercicio 1.10
Sea (Ω,A,P) un espacio de probabilidad. Se consideran los sucesos A y B con:P(A) = 0,375,
P(B) = 0,5,P(A∩B) = 0,25. Calcular: 1. P¡AC¢yP¡BC¢. 2. P(A∪B). 3. P¡AC∩BC¢. 4. P¡AC∩B¢yP¡A∩BC¢. Ejercicio 1.11
Sea (Ω,A,P) un espacio de probabilidad. Demostrar que: 1. * SiA,B yC son sucesos entonces se cumple que:
P(A∪B∪C) =P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C) 2. * SiA1, . . . , An son sucesos probar que:
P Ã n [ i=1 Ai ! = X 16i6n P(Ai)− X 16i<j6n P(Ai∩Aj) +. . .+ (−1)n−1P(A1∩. . .∩An) Ejercicio 1.12 II III IV I Y Z
Un sistema de canalizaci´on de agua tiene 4 compuertas, dispuestas como en la figura. Cada compuerta se abre y cierra al azar, dejando pasa agua (si est´a abierta) o impidi´endolo. Supongamos las probabilidades siguientes:
P(I abierta) =P(II abierta) =P(IV abierta) = 0,55,P(III abierta) = 0,36.
P(I cerrada, II abierta) =P(I abierta, IV cerrada) =P(I cerrada, III abierta) = 0,2.
P(II abierta, IV abierta) = 0,35,P(III abierta, IV cerrada) = 0,26.
P(II abierta, III abierta) = 0
P(I o II o IV abierta) = 0,85,P(I o III o IV abierta) = 0,87.
Calcular la probabilidad de que un torrente de agua lanzado en el punto Y llegue a Z. Se sugiere utilizar el ejercicio anterior.
Ejercicio 1.13
1. Mostrar que siAyB son sucesos entonces:
P(A∪B)≤P(A) +P(B) 2. * Deducir que siA1, A2, . . . , Am son sucesos entonces:
P Ã m [ n=1 An ! ≤ m X n=1 P(An)
3. ** Demostrar que si{An}n∈Nes una colecci´on de sucesos se cumplen:
P Ã∞ [ n=1 An ! = l´ım N P à N [ n=1 An ! P Ã∞ \ n=1 An ! = l´ım N P à N \ n=1 An !
Sugerencia: aplicar el teorema de continuidad de la probabilidad. 4. ** Deducir que si{An}n∈Nes una colecci´on de sucesos entonces:
P Ã∞ [ n=1 An ! ≤ ∞ X n=1 P(An)
5. ** Deducir por ´ultimo que siP(An) = 0,∀n∈Nentonces P µ∞ S n=1 An ¶ = 0. Ejercicio 1.14 **
Si Ω es un conjunto arbitrario no vac´ıo, una colecci´on A de subconjuntos de Ω se dice unaσ−
´algebra en Ω si: Ω∈ A. A∈ A ⇒Ac∈ A. {An}n∈N⊂ A ⇒ S n∈N An∈ A.
Si en lugar de esta ´ultima propiedad se verifica en cambio la propiedad m´as d´ebil de que si
A, B ∈ A ⇒A∪B∈ Ase dice queAes un´algebra (de Boole) en Ω. Se define unaprobabilidad como una funci´onP:A →[0,1] tal que
P(Ω) = 1
∀(An)n∈N⊂ Asucesi´on de sucesos incompatibles (Ai∩Aj =∅,i6=j) la serie
∞ X n=1 P(An) converge aP Ã∞ [ n=1 An !
Sean Ω cualquiera Ω6=∅,Aσ-´algebra en Ω yP:A →[0,1] tales que
P(Ω) = 1
∀(An)n∈N⊂ Acreciente (An⊂An+1∀n∈N) vale P Ã∞ [ n=1 An ! = l´ım n P(An).
Probar quePes una probabilidad.
Ejercicio 1.15 **
1. Demuestre que cualquiera sea Ω, las familiasA1={∅,Ω}yA2=P(Ω) ={A:A⊂Ω}son
σ−´algebras en Ω y cualquier otraσ−´algebraAcumple que A1⊂ A ⊂A2.
2. Sea Ω = R y A = {A⊂R:Ao Ac numerable}. Mostrar que A es una σ−´algebra pero
[0,1]∈ A/ .
3. Sea Ω = R y A = {A⊂R:AoAc finito}. Mostrar que A es una ´algebra pero no una
σ−´algebra en Ω.
4. Mostrar que si{Aα}α∈I es una familia de σ−´algebras⇒ A= T α∈I
Aα es tambi´en una σ−
´algebra en Ω.
5. SeaEuna colecci´on arbitraria de subconjuntos de Ω. Utilice lo anterior para demostrar que existe unaσ−´algebra que denominaremosσ(E) (σ−´algebra generada porE) con la siguiente propiedad: siE ⊂ A y Aσ−´algebra en Ω entonces σ(E)⊂ A (σ(E) es la σ−´algebra m´as peque˜na que contiene los conjuntos deE).
6. Si Ω ={1,2,3,4,5,6} yE={{0},{0,1}}, hallarσ(E).
7. Si Ω =RyE={A⊂R:AoAc finito},hallarσ(E). Haga lo mismo paraE={{x}:x∈R}.
8. Si Ω =Ry E1 = {(a, b] :a < b} E2 = {[a, b] :a < b} E3 = {(a, b) :a < b} E4 = {(a, b) :a < b, a∈Q, b∈Q} E5 = {(−∞, b] :b∈R} E6 = {A⊂R:Aabierto} Demuestre que: σ(E1) =σ(E2) =σ(E3) =σ(E4) =σ(E5) =σ(E6)def= B
Dichaσ−´algebraB se denominaσ−´algebra de Borel y a sus elementosborelianos.
Sugerencia: probar queEi⊂σ(Ej)∀i, jy deducir queσ(Ei)⊂σ(Ej). Para trabajar conE6 puede usarse el resultado de que siAes abierto enRentonces existen intervalos{(an, bn)}n∈N
tales queA= S
n∈N
2.
Pr´
actico 2
2.1.
C´
alculo de probabilidades
Ejercicio 2.1
Determinar el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, y en el caso que sea finito, indicar su cardinal.1
1. Lanzar al aire una moneda tres veces
2. Extraer dos fichas sucesivamente y sin reposici´on de una bolsa que contiene fichas numeradas con los 5 d´ıgitos pares.
3. Lanzar una moneda finalizando el experimento si sale n´umero; si sale cara, tirar adem´as un dado.
4. Seleccionar al azar dos alumnos de una clase de 30. 5. Valor de la tasa de inflaci´on para este a˜no.
Ejercicio 2.2 *
Este ejercicio pretende formalizar el concepto de equiprobabilidad. Sea Ω un conjunto finito y
p: Ω→Runa funci´on tal que:
p(ω)>0∀ω∈Ω
P ω∈Ω
p(ω) = 1 Demuestre entonces que:
1. La funci´onP:P(Ω)→Rdefinida como:
P(A) =X
ω∈A
p(ω)∀A⊂Ω es una probabilidad en (Ω,P(Ω)).
2. Si se supone adem´asp(ω) =p0 >0 constante∀ω∈Ω entonces en ese casop0= |Ω1| y por lo tanto la funci´on anterior se convierte en:
P(A) =|A|
|Ω|
que es la interpretaci´on cl´asica de equiprobabilidad como casos favorables sobre casos posi-bles.
Ejercicio 2.3
1. Se juega a un juego del tipo 5 de Oro: hay que acertar 5 n´umeros, elegidos dentro de 36 posibilidades.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de ganar?
b) ¿Cu´al es la probabilidad de acertar en al menos 3 n´umeros (es decir, acertar exacta-mente 3, exactaexacta-mente 4, o exactaexacta-mente 5 n´umeros)?
c) Construir un espacio muestral para este experimento.
d) Y si en lugar de 36, se elige sobre 20 n´umeros, ¿cu´anto dan las probabilidades anteri-ores?
2. Se juega a la baraja con 40 cartas, 10 de cada palo. Si uno toma 3 cartas, ¿cu´al es la probabilidad de elegirlas todas del mismo palo?
Ejercicio 2.4
Si a un ´omnibus con n asientos subeni personas con i6n(o sea que no debe ser un ´omnibus montevideano, claramente).
1. ¿De cu´antas maneras posibles pueden elegirse los asientos en los que se sentar´a la gente? 2. ¿De cu´antas maneras distintas puede disponerse la gente en el ´omnibus?
3. * Asumamos ahora que la gente se dispone al azar y que cada disposici´on particular tiene la misma probabilidad (equiprobabilidad). Supongamos quen= 4my que el ´omnibus tiene un pasillo en el medio; y que a cada costado del pasillo hay m filas de 2 asientos. Para darle un toque rom´antico, suponga ahora que sube al ´omnibus Keanu Reeves o Angelina Jolie (seg´un la opci´on de cada uno), ¿qu´e probabilidad tiene Ud. de quedar sentado al lado del personaje en cuesti´on?
Ejercicio 2.5
1. Calcular la probabilidad de obtener una suma de puntos menor que 18 al tirar 3 dados. 2. * Se elige un grupo de n personas al azar. Descartando los a˜nos bisiestos y suponiendo por
lo tanto a˜nos de 365 d´ıas, ¿cu´al es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan el mismo dia? ¿Cu´anto tiene que ser n para que dicha probabilidad supere a 0.5?
Ejercicio 2.6
Si un dado est´a cargado de modo tal que P({i}) =αi,∀i= 1,2, . . . ,6. 1. Determinar el valor deα
2. ¿Cu´al es la probabilidad de sacar 5? 3. ¿Cu´al es la probabilidad de sacar par?
Ejercicio 2.7 *
Un secretario o secretaria vuelve a su oficina el 31 de diciembre luego de haber despedido el a˜no en el Mercado del Puerto. Su ´unico trabajo consiste en enviarncartas. Antes de la despedida ya hab´ıa escrito el nombre del destinatario en cada una de las ncartas y cada uno de losn sobres dispuestos para el env´ıo, de modo que lo ´unico que debe hacer es acertar cada carta en el sobre que le corresponde. Obviamente coloca las cartas en los sobres de manera totalmente aleatoria (puede suponerse equiprobabilidad).
1. Calcular la probabilidadpn de que al menos una carta vaya a parar al sobre que le toca.
2. Calcular l´ımnpn
Sugerencia: Considere la siguiente generalizaci´on de la f´ormula de la probabilidad de la uni´on:
P Ã n [ i=1 Ai ! = X 1≤i≤n P(Ai) − X 1≤i<j≤n P(Ai∩Aj) +. . .+ (−1)n−1P(A1∩. . .∩An)
3.
Pr´
actico 3
3.1.
Probabilidad Condicional e Independencia
Ejercicio 3.1
Se consideran los sucesos A y B tales que P(A) = 1
4 y P(A∪B) = 13. Calcular P(B) en los siguientes casos:
1. SiAyB son independientes
2. SiAyB son disjuntos (o excluyentes) 3. SiAes un subconjunto de B
Ejercicio 3.2
SiAyBson sucesos independientes yByCtambi´en son sucesos independientes. ¿Puede afirmarse queAyC son independientes? En caso afirmativo demostrar, si no dar un contraejemplo.
Ejercicio 3.3
Demostrar queAes independiente deAsi y s´olo siP(A) = 0 ´oP(A) = 1.
Ejercicio 3.4
Se consideran los eventos AyB tales que 1. P(A) = 1 2,P(B) =13 yP(A∩B) =14 . Calcular a) P(A|B) b) P(B|A) c) P¡AC|B¢ d) P¡BC|A¢ e) P¡AC|BC¢ f) P¡BC|AC¢ 2. P(A) = 3 8,P(B) =58 yP(A∪B) =34. Calcular a) P(A|B) b) P(B|A) 3. B⊆A. CalcularP(A|B)
4. A y B son disjuntos (o excluyentes), esto es A∩B = ∅. Suponiendo P(B) 6= 0, calcular
P(A|B). ¿Qu´e se puede decir de la independencia siP(B)6= 0? ¿Y siP(B) = 0
Ejercicio 3.5
1. Una caja contiene 12 l´amparas de las cuales 4 son defectuosas. Se toman al azar tres l´amparas del lote una tras otra. Hallar la probabilidad de que las tres l´amparas no sean defectuosas. 2. Se consideran ahora tres cajas con l´amparas:
La caja 1 contiene 10 l´amparas de las cuales 4 son defectuosas La caja 2 contiene 6 l´amparas de las cuales 1 es defectuosa La caja 3 contiene 8 l´amparas de las cuales 3 son defectuosas
Escogemos al azar una caja y luego sacamos una l´ampara al azar ¿Cu´al es la probabilidad de que la l´ampara sea defectuosa?
Ejercicio 3.6
1. Se considera una caja que contiene 6 bolillas rojas, 4 blancas y 5 azules. Se extraen tres bolillas en forma sucesiva (sin reposici´on). Calcular la probabilidad que la primera sea roja, la segunda blanca y la tercera azul
2. Se consideran dos cajas con bolas. La caja 1 contiene 3 bolas rojas y 2 azules, la caja 2 contiene 2 bolas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda, si se obtiene cara se saca una bola de la caja 1, y si se obtiene cruz se saca una bola de la caja 2.
a) Hallar la probabilidad que la bola extra´ıda sea roja.
b) Si se sabe que la bola extra´ıda es roja, ¿cu´al es la probabilidad que provenga de la caja 1?
Ejercicio 3.7
1. La probabilidad de que el jugador 1 de en el blanco es 1
6, la probabilidad de que el jugador 2 de en el blanco es 1
4 y la probabilidad de que el jugador 3 de en el blanco es 13. Cada uno dispara una vez al blanco.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado solamente una vez? b) Si s´olo uno da en el blanco, ¿cu´al es la probabilidad que haya sido el jugador 1? 2. La probabilidad de que el jugador 1 de en el blanco es1
4 y la probabilidad de que el jugador 2 de en el blanco es 1
3.
a) Si cada uno dispara dos veces, ¿cu´al es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado por lo menos una vez?
b) Supongamos ahora que cada uno dispara una vez. Dado que el blanco fue alcanzado solamente una vez, ¿cu´al es la probabilidad que haya sido el jugador 1?
Ejercicio 3.8
Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en cierta circunstancia; el 70 % de las mujeres reaccionan positivamente en dicha circunstancia, mientras que el porcentaje de los hombres es solamente el 40 %. Se someti´o a una prueba a un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres para descubrir sus reacciones. Una prueba escogida al azar de las 20 result´o negativa. ¿Cu´al es la probabilidad de que haya sido realizada por un hombre?
Ejercicio 3.9
Este ejercicio consiste en demostrar y aplicar unageneralizaci´on de la F´ormula de Bayes.
1. SeaB1, B2, . . . , Bnuna partici´on de Ω (es decirB1, B2, . . . , Bnincompatibles y n S i=1
Bi= Ω)
y seaAotro suceso cualquiera, probar que
P(Bj|A) = PnP(A|Bj)P(Bj) i=1
P(A|Bi)P(Bi)
2. En un pa´ıs hay cuatro partidos pol´ıticos que se dividen la opini´on p´ublica. Se sabe que: El 35 % de la poblaci´on adhiere al partido I
El 31 % adhiere al partido II El 28 % adhiere al partido III El 6 % adhiere al partido IV
Entre los adherentes al partido I, un 36 % corresponde a personas con ingresos inferiores a dos salarios m´ınimos
Entre los adherentes al partido II, esa proporci´on es del 52 % Para el partido III, es un 42 %
Para el partido IV, 11 %
Si se elige una persona al azar y resulta tener ingresos inferiores a dos salarios m´ınimos. Calcular la probabilidad de que sea un adherente al partido I; al partido II; al partido III y al partido IV.
3. Tres m´aquinas A, B y C producen respectivamente 50 %, 30 % y 20 % del n´umero total de art´ıculos de una f´abrica. Los porcentajes de producci´on de defectuosos de cada m´aquina son 3 %, 4 % y 5 % respectivamente. Se toma al azar un art´ıculo de la producci´on total. Si el art´ıculo seleccionado es defectuoso, hallar la probabilidad de que halla sido producido por la m´aquina A.
Ejercicio 3.10 Primer parcial, mayo de 1999
Supongamos que en un pa´ıs un 40 % de los ciudadanos habilitados para votar es adherente al partido A, un 35 % al partido B y un 25 % al partido C.
Se realiza de manera simult´anea una elecci´on interna en los tres partidos, pero como no se requiere acreditar la adhesi´on a cada partido, el voto “extrapartidario” es posible: un votante de un partido puede, si quiere, participar en la interna de otro partido.
Supongamos que Ud. sabe que:
Entre los adherentes de A, un 10 % vot´o en la elecci´on interna de otro partido Entre los adherentes de B, un 15 % vot´o en la interna de A
Entre los adherentes de C, un 5 % vot´o en la interna de A
1. ¿Cu´al fue el porcentaje de votos obtenidos por el partido A en las internas? 2. Si se elige al azar una persona dentro de todas las que en las votaron a A,
a) ¿cu´al es la probabilidad que sea un adherente de B? b) ¿y cu´al es la probabilidad que sea un adherente de C? 3. Si 400.000 personas votaron en la interna de A,
a) ¿en cu´anto estimar´ıa la cantidad de votantes de A que son adherentes de B? b) ¿y la cantidad de votantes de A que son adherentes de C?
Ejercicio 3.11 Examen, marzo de 2003
Se admite que entre los jugadores profesionales de ping pong un 5 % consume anfetaminas antes de cada partido. Durante un campeonato se les toma una muestra de orina a todos los jugadores. La muestra de cada jugador se divide en dos submuestras iguales a las que se les aplica un test cl´ınico: si el resultado de aplicar el test a las dos submuestras da positivo entonces el jugador es sancionado; en cualquier otro caso el jugador no es sancionado.
A1={el resultado de la primera submuestra da positivo}
A2={el resultado de la segunda submuestra da positivo}
B={el jugador es sancionado}
D={el jugador consumi´o anfetaminas}
Se asume que los eventosA1y A2 condicionadosa los eventosD y aDc son independientes, esto es: P(A1∩A2|D) =P(A1|D)P(A2|D) yP(A1∩A2|Dc) =P(A1|Dc)P(A2|Dc).
Se sabe adem´as queP(Ai|D) = 0,90 yP(Ai|Dc) = 0,02 parai= 1,2.
1. CalculeP(D|A1), esto es, la probabilidad de que un jugador haya consumido anfetaminas dado que el resultado de la primera submuestra es positivo.
2. Calcule P(B), esto es, la probabilidad de que un jugador sea sancionado. ¿Son A1 y A2 eventos independientes?
3. Calcule P(D|B), esto es, la probabilidad de que un jugador sancionado haya consumido anfetaminas.
Ejercicio 3.12 Examen, febrero 2004
De una caja que contiene 3 bolas rojas y 2 azules se extrae una bola al azar y se la coloca en una segunda caja que contiene 4 bolas azules y 2 rojas. A continuaci´onse extrae una bola al azar de la segunda caja.
1. ¿Cu´al es la probabilidad de que se extraiga la misma bola que se extrajo de la primera caja? 2. ¿Cu´al es la probabilidad de que la bola extra´ıda de la segunda caja sea roja?
3. Si la bola extra´ıda de la segunda caja es roja, ¿cu´al es la probabilidad de que sea la misma bola que se extrajo de la primera caja?
4.
Pr´
actico 4
4.1.
Variable aleatoria y funci´
on de distribuci´
on
Ejercicio 4.1
Sea X una variable aleatoria (v.a.) que toma los valores {−2,−1,1,1,5,5} con probabilidades 1
6, 16, 16, 14 y 14 respectivamente. Graficar su funci´on de distribuci´on.
Ejercicio 4.2
Se consideran las funcionesF :R→Rtales que: 1. F(x) = βex six <0 β six= 0 1/4 si 0< x <1 α x 1+x si 16x
Hallarαyβ para queF sea una funci´on de distribuci´on. 2. F(x) = α+ex six6−1 βx+γ si −1< x61 δ+εx si 1< x
Hallarα,β,γ,δ,εpara queF sea una funci´on de distribuci´on.
Ejercicio 4.3
Se considera las funci´on de distribuci´on FX :R→Rde la variable aleatoriaX. Probar que:
1. P(a < X6b) =FX(b)−FX(a) 2. P(X =a) =FX(a)− l´ım x→a−FX(x) 3. P(a6X6b) =FX(b)− l´ım x→a−FX(x) 4. P(a < X < b) = l´ım x→b−FX(x)−FX(a) 5. P(a6X < b) = l´ım x→b−FX(x)−xl´ım→a−FX(x) 6. P(X > a) = 1−FX(a) 7. P(X >a) = 1− l´ım x→a−FX(x)
Ejercicio 4.4
De las gr´aficas de la figura, indicar cu´ales son funci´on de distribuci´on (f.d.) y cu´ales no lo son.
1 1 1 1 1 1 1/2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ejercicio 4.5
Se considera una variable aleatoria X cuya funci´on de distribuci´on es:
1. FX(x) = 0 six <−3 1/4 si −36x <1 3/4 si 16x <2 1 si 26x Calcular: a) P(−36X61) b) P(−3< X61) c) P(−36X <1) d) P(−3< X <1) e) P(−2< X <2) f) P(−1< X <0) 2. FX(x) = 0 six <0 1/4 si 06x <1 1/3 si 16x <2 x/6 si 26x <4 x/8 + 1/4 si 46x <6 1 si 66x Calcular: a) P(16X 65) b) P(2< X 64) c) P(0< X <1) d) P(46X <6)
Ejercicio 4.6
De un grupo de 16 estudiantes de los cuales 5 estudian econom´ıa, 4 contador y 7 administraci´on se eligen 3 al azar para formar una comisi´on.
1. Hallar la probabilidad de que los 3 sean economistas. 2. Hallar la probabilidad de que al menos 2 sean economistas.
3. SeaX la variable aleatoria que cuenta la cantidad de economistas que integran la comisi´on. Hallar y graficar la funci´on de distribuci´onFX.
Ejercicio 4.7
Se presentan para un cargo de gerente 5 personas de las cuales 3 son contadores. Luego de estudiar los correspondientes antecedentes, se determina que los m´eritos son similares y por lo tanto la elecci´on se har´a teniendo en cuenta solamente el car´acter de contador. El jefe de personal comienza a llamar al azar a los 5 involucrados. Si la primer persona cumple el requisito lo elige, de lo contrario llama al siguiente. De esa manera procede hasta conseguir el candidato contador.
SeaX la variable aleatoria que cuenta la cantidad de entrevistas efectuadas. 1. Hallar y graficar la funci´on de distribuci´onFX.
2. Hallar la probabilidad que se efect´uen al menos 2 entrevistas.
Ejercicio 4.8 **
Dada una v.a. X se dice queθ es una mediana deX siP(X>θ)>1
2 yP(X6θ)>12. 1. Mostrar que siFX es estrictamente creciente y continua existe una ´unica mediana.
2. Mostrar que siempre existe al menos una mediana, pero dar un ejemplo en que haya infinitas. 3. Sea X = θ +ε, siendo ε una v.a. con distribuci´on estrictamente creciente, continua y
sim´etrica respecto al 0. (ε∼ −ε). Mostrar queθes la ´unica mediana deX.
Ejercicio 4.9 **
Una funci´on X : Ω → R se dice variable aleatoria (v.a.) respecto a la σ-´algebra A en Ω si
{X 6t} ∈ A ∀t∈R.
DadoB ⊂R, seaX−1(B)def
={ω∈Ω :X(ω)∈B}, que tambi´en escribiremos [X ∈B]. 1. Probar queX es una v.a. respecto deAsi y s´olo si∀B boreliano [X∈B]∈A.
Sugerencia: observar que
½
X−1(A∪B) =X−1(A)∪X−1(B)
X−1¡AC¢=¡X−1(A)¢C
Deducir queζ={C⊂R:X−1(C)∈ A}es unaσ-´algebra enR.
Mostrar que (−∞, t]⊂ξ∀ty usar las caracterizaciones de σ- ´algebra de Borel del pr´actico 2 (Propiedades de la probabilidad).
2. Seaf :R→Rcontinua. Mostrar que es una v.a. respecto de B.
Sugerencia:ζ ={C ⊂R:f−1(C)∈ B}es una σ-´algebra, ζ contiene a los abiertos y usar Pr´actico 1, ejercicio opcional 2) h), teniendo presente que sif es continua∀U abierto deR,
f−1(U) tambi´en es abierto.
Deducir que sif :R→Rcontinua yX : Ω→Rv.a. respecto deA, entoncesf(X) : Ω→R
3. Si Xn : Ω → R v.a. respecto de A, entonces: A = ½ ω: sup n Xn(ω) = +∞ ¾ y B = ½ ω: ´ınf n Xn(ω) =−∞ ¾ ∈A
Se dir´a queY : Ω→R=R∪ {+∞}es una v.a. respecto deA, si [Y ∈B]∈ A ∀B boreliano deRy si{Y = +∞},{Y =−∞} ∈ A.
Con esta convenci´on mostrar que sup
n Xn, ´ınfn Xn, l´ımn Xn, son v.a. respecto deA
4.2.
Distribuciones Discretas
Ejercicio 4.10
La distribuci´on introducida en este ejercicio se denomina distribuci´on binomial.
1. Se considera el natural n ≥ 1, 0 < p < 1 y el conjunto A = {0,1, ..., n}. Probar que la funci´onp:A →Rtal que p(k) =Cn
kpk(1−p)n−k con k ∈A define una probabilidad en
A. Sugerencia: utilizar el binomio de Newton.
2. La probabilidad de que una cierta clase de componente pase con ´exito una determinada prueba de impacto es 3/4. Hallar la probabilidad de que exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueban pasen la prueba.
3. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contra´ıdo esta enfermedad, ¿cu´al es la probabilidad de que:
a) sobrevivan exactamente 5 personas. b) al menos 10 sobrevivan.
c) sobrevivan entre 3 y 8 personas.
4. El sistema electr´onico de direcci´on de un cohete funciona correctamente con una probabili-dadpcuando se pone a funcionar. Se quiere instalarnsistemas de respaldo independientes, pero id´enticas, en el cohete de modo que la probabilidad de que al menos un sistema trabaje en forma correcta no sea menor que 0,99. Hallar la cantidadn de sistemas electr´onicos de direcci´on que se necesitan para satisfacer los requerimientos sip= 0,9 y sip= 0,8.
Ejercicio 4.11
La distribuci´on introducida en este ejercicio se denomina distribuci´on hipergeom´etrica.
1. Se consideran los n´umeros naturales N, D y n tales que N ≥ D. Sea tambi´en A =
{0,1, . . . , n}. Parar >0, se define Cr s = 0 sis <0 o sis > r. a) Probar que n X k=0 CN−D n−k CkD=CnN
Sugerencia: observe que (1 +x)N = (1 +x)N−D(1 +x)D y utilice el desarrollo de Newton ((1 +x)N =
∞
X n=0
CN
n xn) para hallar el coeficiente dexn a ambos lados de la
igualdad.
b) Probar que la funci´on p : A → R tal que p(k) = CnN−−kDCkD CN
n con k ∈ A define una
2. Una empresa quiere comprar cajas que contienen 40 herramientas cada una. El proced-imiento de control de calidad de cada caja consiste en tomar una muestra de 5 herramientas al azar de dicha caja y rechazarla si se encuentra una herramienta defectuosa. Si la caja a inspeccionar tiene 3 defectuosas, ¿cu´al es la probabilidad de rechazar la caja?
3. Ahora de un lote de 10 herramientas se seleccionan 4 al azar. Si el lote contiene 3 herramien-tas con defectos de fabricaci´on, calcular la probabilidad de que:
a) las 4 funcionen.
b) al menos 2 no funcionen. c) s´olo una funciona.
d) por lo menos una funciona.
Ejercicio 4.12
Graficar la funci´on de distribuci´on y la funci´on de probabilidad de una variable aleatoria con distribuci´on Bin (6,0,25).
Ejercicio 4.13 *
Diremos queθ es unamoda de la variable aleatoria discretaX si y s´olo si se cumple que:
P(X =θ) =pX(θ)≥pX(x) =P(X =x) ∀x∈RX SeaX ∼Bin (n, p) 1. Probar que: pX(k) pX(k−1) = 1 + (n+ 1)p−k (1−p)k k= 1, . . . , n
2. Calcular la(s) moda(s) deX discutiendo seg´unp.
Sugerencia: estudiar el cociente de la parte anterior y compararlo con 1.
Ejercicio 4.14
En los siguientes ejercicios se asume que los fen´omenos se comportan seg´un la distribuci´on de Poisson, dada por:
X ∼ P(λ)⇔pX(k) =e−λλ k
k! k= 0,1, . . .
1. El n´umero promedio de part´ıculas radiactivas que pasan a trav´es de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. ¿Cu´al es la probabilidad de que entren 6 part´ıculas al contador en un milisegundo determinado?
2. Se sabe que 10 es el n´umero promedio de camiones-tanque de aceite que llegan por d´ıa a una cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender cuando mucho a 15 camiones-tanque en un d´ıa. ¿Cu´al es la probabilidad de que en un determinado d´ıa se tengan que regresar algunos de los camiones-tanque?
3. Se certifica la calidad de discos de computadora pas´andolos por un certificador que cuenta el n´umero de sectores defectuosos. Una determinada marca de discos tiene un promedio de 0,1 sectores defectuosos por disco. Calcular la probabilidad de que::
a) un disco que se inspeccione no tenga sectores defectuosos. b) un disco que se inspeccione tenga m´as de un sector defectuoso. c) dos discos que se inspeccionen no tengan sectores defectuosos.
Ejercicio 4.15
Se considera 0< p <1 yRX={1,2,3, . . .} los enteros positivos.
1. Probar quepX :RX →[0,1] dada porpX(k) = (1−p)k−1pes una funci´on de probabilidad.
Si una variable aleatoria discreta X tiene por funci´on de probabilidad pX como antes se
dice queX tienedistribuci´on Geom´etrica de par´ametro py se denota X∼Geo (p). 2. Consideramos un experimento aleatorio donde nos interesa estudiar la ocurrencia o no de
un suceso A con probabilidad p (0 < p < 1). Cada vez que ocurre A diremos que hay ´exito y cada vez que ocurre Ac diremos que hay fracaso. Repetimos el experimento en
forma independiente (es decir lo que ocurre en una repetici´on no influye en las otras) hasta obtener ´exito (ocurreA). SeaXuna variable aleatoria que cuenta la cantidad de repeticiones. Calcular P(X = n) con n ∈N (la probabilidad de tener que realizar n repeticiones para obtener un ´exito) y deducir queX ∼Geo (p).
3. Usted va a jugar a la ruleta y tiene la obsesi´on de jugarle al 18. Tan obsesivo es, que si no gana sigue y sigue jugando. Puede suponerse que el casino es serio y que todos los resultados son igualmente probables, siendo los resultados de distintas tiradas independientes. Experiencias previas indican que tras nueve jugadas sucesivas sin que salga el 18, Ud. comienza a ponerse francamente hist´erico y que si sigue perdiendo hasta la jugada 12 (inclusive), Ud. se vuelve un tanto violento e intenta destruir la banca, la ruleta, las fichas y todo lo que se le cruce en el camino. ¿Cu´al es la probabilidad de llegar a ponerse hist´erico sin terminar la velada en la comisar´ıa m´as cercana?
Sugerencia: no se olvide del 0.
4. El tablero de un conmutador telef´onico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una l´ınea desocupada para sus llamadas.
Puede ser de inter´es saber el n´umero de intentos necesarios que se requieren para tener una l´ınea disponible. Suponga quep= 0,05 es la probabilidad de tener l´ınea durante la mayor congesti´on de llamadas. Se tiene el inter´es particular de saber la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para lograr una comunicaci´on.
Ejercicio 4.16
Sea X el n´umero de experiencias independientes que hay que realizar para observar por k-´esima vez (k≥1) el suceso A, conP(A) =p.
1. Hallar la distribuci´on deX. Esta distribuci´on se llamaBinomial Negativa de par´ametrosk
ypy se escribeX ∼BN (k, p)
2. En una poblaci´on con 100000 personas donde 1800 son portadores de una enfermedad, se realiza un muestreo con reposici´on donde se puede suponer equiprobabilidad. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener una muestra con 4 enfermos sin tener que seleccionar m´as de 8 personas?
3. Hallar la probabilidad de que una persona que lanza al aire tres monedas obtenga ya sea s´olo caras o s´olo cruces por segunda ocasi´on en el quinto lanzamiento.
5.
Pr´
actico 5
5.1.
Distribuciones continuas y absolutamente continuas
Ejercicio 5.1
Sea X una variable aleatoria real continua y a < breales. 1. Demostrar que:
P(a < X6b) =P(a6X 6b) =P(a < X < b) =FX(b)−FX(a)
2. Si adem´asX es absolutamente continua con densidadfX deducir que: P(a < X 6b) =P(a6X6b) =P(a < X < b) =
Z b a
fX(x)dx
Ejercicio 5.2
¿Cu´ales de las gr´aficas de la figura corresponden a una densidad y cu´ales no?
10 10 2 1 1 1 1. 2. 3. 4. Ejercicio 5.3
Se considera la variable aleatoriaX absolutamente continua con densidad:
fX(x) = 0 six <0 bx six∈(0,1] ae−x six >1
Hallar ayb sabiendo queP(X ∈[0,2]) = 2P(X ∈[2,4]).
Ejercicio 5.4
Se consideran las siguientes funciones reales:
f1(x) = ½ c1 √ x six∈(0,1) 0 six /∈(0,1) f2(x) = 0 six <1 c2x2 six∈[1,2] c2x six∈(2,3) 0 six≥3 1. En cada caso, hallarci para quefi sea una densidad.
2. Se considera ahora una variable aleatoriaX con densidadfi (con elci hallado).
a) CalcularP(0,3< X <0,6),P(X >2) yP¡1
2 < X < 32
¢
.
Ejercicio 5.5
En pruebas de medici´on de distancia de frenado de autom´oviles, los veh´ıculos que viajan a deter-minada velocidad tienden a recorrer distancias de frenado que est´an distribuidas uniformemente entre dos puntos ayb. Calcular la probabilidad de que uno de estos autom´oviles:
1. se detenga m´as cerca deaque deb.
2. se detenga de tal modo que la distancia aasea por lo menos 3 veces mayor que la distancia ab.
Ejercicio 5.6
Suponga que la concentraci´on de cierto contaminante se encuentra distribuida uniformemente en el intervalo de 4 a 20 ppm (partes por mill´on). Si se considera t´oxica una concentraci´on de 15 ppm o m´as, ¿cu´al es la probabilidad de que al tomar una muestra la concentraci´on sea t´oxica?
Ejercicio 5.7
1. En la densidad normal est´andar, encuentre el ´area bajo la curva que est´a: a) a la derecha dez= 1,84.
b) entrez=−1,97 yz= 0,86.
2. SiZ ∼N(0,1), encuentre los valores de kde tal forma que: a) P(Z > k) = 0,3015
b) P(k < Z <−0,18) = 0,4197
3. En una distribuci´on normal conµ= 40 yσ= 6, encuentre el valor dexque tiene: a) 45 % del ´area a la izquierda.
b) 14 % del ´area a la derecha.
Ejercicio 5.8
En un proceso industrial el di´ametro de un balero es parte importante de un componente. El comprador establece en sus especificaciones que el di´ametro debe ser 3,0±0,01cm. Por lo tanto, no se acepta ning´un balero que se salga de esa especificaci´on. Se sabe que en el proceso de producci´on, el di´ametro de un balero tiene una distribuci´on normal con mediaµ= 3,0cmy desviaci´on est´andar
σ= 0,005cm. En promedio, ¿qu´e porcentaje de baleros fabricados se descartar´an?
Ejercicio 5.9
Una cierta m´aquina produce resistencias el´ectricas que tienen un valor medio de 40Ω y una desviaci´on est´andar de 2Ω. Suponga que los valores de las resistencias siguen una distribuci´on normal.
1. ¿Qu´e porcentaje de las resistencias tendr´an un valor que exceda de 43Ω?
2. Si al medir el valor de las resistencias, el medidor redondea la medida al valor entero m´as cercano (en Ω), ¿qu´e porcentaje de las resistencias ser´a considerada como mayores de 43Ω?
Ejercicio 5.10
Considere la siguiente funci´on f :R→R:
f(x) =
½
0 six <0
1. Demuestre quef es una funci´on de densidad para cualquier valor deλ >0. Si una variable aleatoria X absolutamente continua tiene una densidad de esta forma se dice queX tiene distribuci´on exponencial de par´ametro λ(X∼exp (λ)).
2. SiX ∼exp (λ) hallar y graficar la funci´on de distribuci´onFX.
3. SeaX una variable aleatoria que mide el tiempo de vida (en a˜nos) de un cierto aparato electr´onico. El fabricante desea garantizar que la duraci´on de estos aparatos supera los x0 a˜nos con una probabilidad de 0,90. Si se sabe que X ∼ exp (0,01), determinar x0. Halle tambi´en la menor cantidad de a˜nos enteros que cumple con la condici´on.
4. Un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de vida en a˜nos est´a dado por la variable aleatoriaT ∼exp¡1
8
¢
. Si 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cu´al es la probabilidad de que al menos 2 contin´uen funcionando despu´es de 8 a˜nos?
Ejercicio 5.11 Examen, febrero de 2000
El consumo m´aximo de agua potable de una ciudad en un d´ıa cualquiera es una variable aleatoria
X (en miles dem3) con densidad:
f(x) =
½
0 six≤0
kxe−x
3 six >0
1. Determine el valor dek para quef sea una densidad (de ahora en m´as se trabaja con ese valor).
2. Si la capacidad m´axima de suministro de agua es de 27,000 m3, hallar la probabilidad de que en un d´ıa determinado no se pueda satisfacer la demanda de agua potable (y por lo tanto haya corte de suministro).
3. Hallar la probabilidad de que en dos d´ıas cualesquiera de la pr´oxima semana haya corte de suministro.
4. Hallar la probabilidad de que por lo menos en un d´ıa de la pr´oxima semana haya corte de suministro.
Ejercicio 5.12 Primer parcial 2001
1. Sea X una variable aleatoria real absolutamente continua con densidad f, siendo f una funci´on par (es decir,f(x) =f(−x) ∀x∈R). Sea FX su funci´on de distribuci´on. Probar
queFX(−x) = 1−FX(x)∀x∈R.
2. La intensidad relativa de una se˜nal de sonido se puede modelar como una variable aleatoria
X absolutamente continua con densidadf(x) =1
2e−|x|∀x∈R(conocida como distribuci´on de Laplace). Se sabe adem´as que una cierta se˜nal de sonido es claramente perceptible para el o´ıdo humano medio si la intensidad relativa medida porX est´a entre −2,1 y 2,1 ¿Cu´al es la probabilidad de que al enviar una se˜nal, esta no sea percibida claramente por los destinatarios, suponiendo que los mismos son personas con capacidad auditiva media? 3. Se emiten se˜nales de sonido en forma independiente hasta que se reciben 2 se˜nales con
6.
Pr´
actico 6
6.1.
Distribuci´
on conjunta. Variables independientes.
Ejercicio 6.1
Sea FXY la distribuci´on conjunta de las variables aleatoriasX eY.
Probar que l´ım
y→+∞FXY(x, y) =FX(x) y que l´ımx→+∞FXY (x, y) =FY (y)
Ejercicio 6.2
1. SeanX eY dos variables aleatorias cuya distribuci´on conjunta es
FXY(x, y) = 1 six≥1, y≥1 y siy∈[0,1), x≥y x six∈[0,1), y≥x
0 en los otros casos Hallar la distribuciones marginalesFX yFY.
2. SeanX eY dos variables aleatorias cuya distribuci´on conjunta es
FXY(x, y) = 1 six≥1, y≥1 y six≥1, y∈[0,1) x six∈[0,1), y≥1 xy six∈[0,1), y∈[0,1) 0 en los otros casos
Hallar la distribuci´on (marginal)FX y la distribuci´on (marginal)FY.
3. SiX e Y son variables aleatorias, ¿las distribuciones marginalesFX y FY determinan la
distribuci´on conjuntaFXY? ¿En qu´e casoFX yFY determinan la distribuci´on conjunta? Ejercicio 6.3
Se considera la siguiente funci´onpXY :R2→R
pXY (x, y) = ½
k(2x+y) six∈ {0,1,2,3}, y∈RY ={1,2,3}
0 en los otros casos
1. Hallarkpara quepXY sea funci´on de probabilidad puntual conjunta.
2. SeanXeY variables aleatorias discretas conRX={0,1,2,3}yRY ={1,2,3}, cuya funci´on
de probabilidad puntual conjunta es pXY. Hallar las funciones de probabilidad puntuales
(marginales)pX ypY.
3. ¿X eY son independientes? Justifique la respuesta. 4. Calcular P(1≤X <3,2< Y ≤3) y P(X+Y <3).
Ejercicio 6.4
Se considera la siguiente funci´onfXY :R2→R
fXY(x, y) = ½
kxy six∈(0,4) y∈(1,5) 0 en los otros casos
1. Hallar kpara que fXY sea la funci´on de densidad conjunta de dos variables aleatoriasX,
2. Hallar las densidades (marginales)fX yfY.
3. Hallar la distribuci´on conjuntaFXY y la distribuciones (marginales)FX yFY.
4. ¿X eY son independientes? Justifique la respuesta. 5. CalcularP(X ≥3, Y ≤2) yP(X+Y >4).
Ejercicio 6.5
SeanX1, X2, . . . , Xn iidcon distribuci´onF.
1. Calcular la funci´on de distribuci´on deX∗
n = m´ax{X1, X2, . . . , Xn}.
2. Calcular la funci´on de distribuci´on deX∗
1 = m´ın{X1, X2, . . . , Xn}.
Ejercicio 6.6 Gumbel: una distribuci´on max-estable
1. a) Probar que la funci´onf :R→Rtal que
f(x) =1 β exp µ − µ x−α β ¶¶ exp µ −exp µ − µ x−α β ¶¶¶
es una funci´on de densidad.
Diremos que una variable aleatoria X tiene distribuci´on Gumbel si X es absolu-tamente continua y la densidad de X es la dada en la parte anterior. Notaci´on:
X∼Gumbel (α, β).
b) SiX ∼Gumbel (α, β) hallar la funci´on de distribuci´onFX.
c) Probar que X∼Gumbel (α, β)⇔Z = X−α
β ∼Gumbel (0,1).
2. SeaX1, X2, ..., Xn, ....una sucesi´on de variables aleatorias independientes e igualmente
dis-tribuidas con distribuci´on exp(1). Para cadan≥1 definimos las variables
Mn = m´ax{X1, X2, ..., Xn}
a) Hallar la distribuci´on de Mn.
b) Probar
l´ım
n→+∞P(Mn−log(n)≤x) =FZ(x) donde Z ∼Gumbel (0,1)
Ejercicio 6.7
Hallar la distribuci´on FY y la densidadfY de la variable aleatoria
1. Y = log(X) dondeXes una variable aleatoria con densidadfX(x) = ( 1
x2 x∈(1,+∞) 0 en los otros casos 2. Y =X2 dondeX es una variable aleatoria con densidad
fX(x) = ½
2xe−x2
x∈(0,+∞) 0 en los otros casos 3. Y = 3X+ 1 dondeX ∼U[0,1]
Ejercicio 6.8
Sean X, Y v.a. independientes tales que X ∼ Bin(n, p), Y ∼ Bin(m, p). Hallar la funci´on de distribuci´on de X+Y.
Ejercicio 6.9
1. Sean X, Y v.a. independientes tales que X ∼ P(λ1), Y ∼ P(λ2). Hallar la funci´on de distribuci´on deX+Y.
2. En las mismas condiciones que en 1. calcularP(X =k|X+Y =n) ∀k= 0, . . . , n.
3. Se tienen dos centrales digitales A y B. El n´umero de llamadas que llegan en 15 minutos a las centrales se puede modelar con dos variables aleatorias independientes,X para la central A eY para la central B tales que X∼ P(λ1), Y ∼ P(λ2). Supongamos adem´as que en 15 minutos
La probabilidad de que no llegue ninguna llamada a A es dos veces la probabilidad de que no llegue ninguna llamada a B
La probabilidad de que llegue exactamente una llamada a A y la probabilidad de que llegue exactamente una llamada a B son iguales
Se sabe que en en 15 minutos llegaron 10 llamadas (entre A y B). ¿Cu´al es la probabilidad de qu´e A haya recibido m´as llamadas que B?
Ejercicio 6.10
SeanX, Y v.a. independientes tales queX, Y ∼ U[0,1]. Hallar la funci´on de distribuci´on deX+Y
y deXY.
Ejercicio 6.11 *
SeanX eY variables aleatorias independientes tales queX ∼exp(1) eY ∼exp(1). Se consideran las variables aleatoriasZ =X+Y yW = X
Y.
1. Probar queP(X >0, Y >0) = 1 y probar que la densidad conjuntafXY es
fXY(x, y) = ½
e−(x+y) si x >0y >0 0 en los otros casos 2. Se consideran los conjuntosA=©(x, y)∈IR2:x >0, y >0ªyBzw=
n
(x, y)∈/R2:x+y≤z,x y ≤w
o
conz >0 ew >0. DibujarA∩Bzw.
3. Probar que la distribuci´on conjuntaFZW esFZW(z, w) = ( ³
w
1+w ´
(1−e−z−ze−z) si z >0w >0
0 en los otros casos
Sugerencia: considerarA∩Bzw.
4. Probar queZ yW son independientes, y deducir las distribuciones deZ y deW
Ejercicio 6.12 **
SeanX1, X2, X3, X4iid∼ U[0,1].
1. Halle la densidad conjuntaf(x1, x2, x3, x4) del vector (X1, X2, X3, X4).
2. Integre en una regi´on adecuada la densidad anterior para hallar la probabilidad del suceso
A={X1< X3< X2< X4}. Interprete el resultado.
3. Se sortean ahora cuatro puntos A, B, C, D de una circunferencia de longitud 1 de forma independiente y con distribuci´on uniforme. Calcule la probabilidad de que las cuerdas AB
yCDse corten. Sugerencia: descomponga el suceso en sucesos de la forma vista en la parte anterior.
7.
Pr´
actico 7
7.1.
Esperanza, covarianza y varianza
Ejercicio 7.1
Al invertir en la bolsa de valores, una persona puede lograr una ganancia de 4000 d´olares en un a˜no con una probabilidad de 0.3 o bien tener una p´erdida de 1000 d´olares con probabilidad 0.7. ¿Cu´al ser´ıa la ganancia esperada de esta persona?
Ejercicio 7.2
Un comerciante de joyas antiguas est´a interesado en comprar un collar de oro para el cual las probabilidades de venderlo ganando 250 d´olares, 100 d´olares, nada o perdiendo 100 d´olares, son respectivamente, 0.22, 0.36, 0.28, 0.14 . ¿Cu´al es la ganancia esperada del comerciante?
Ejercicio 7.3
La funci´on de probabilidad de una variable aleatoria discretaX est´a dada por:
pX(x) =KCx3 µ 1 4 ¶xµ 3 4 ¶3−x conx= 1,2,3. Hallar Ky la esperanza deX. Ejercicio 7.4
La funci´on de densidad de la variable aleatoria X que mide los di´ametros de paso de los hilos de la rosca de una pieza est´a dada por:f(x) =
4
π(1 +x2) six∈[0,1] 0 en cualquier otro caso 1. ¿Cu´al es el valor esperado deX?
2. Si ahora definimos una variable aleatoriaY tal queY = 3X+ 1, ¿cu´al es el valor esperado deY?
Ejercicio 7.5
Una variable aleatoria continuaX tiene densidad dada por:f(x) =
½
e−xsi x >0
0 en cualquier otro caso Obtenga el valor esperado de g(X) =e2X3 .
Ejercicio 7.6
Sea U ∼ U[0,1]. Hallar la funci´on de distribuci´on de la variable aleatoriaX = √1
U, su densidad
y su esperanza. Verificar que la esperanza coincide con el valor hallado mediante la f´ormula
E(g(U)) =Rg(t)fU(t)dt. Ejercicio 7.7
Consideremos dos juegos de azar.
1. Se eligen 5 n´umeros entre 1 y 20 y se sortea mediante bolilleros 5 n´umeros entre 1 y 20 (suponemos equiprobabilidad). Si salen los 5 n´umeros elegidos por nosotros (aunque sea en otro orden), ganamos 20 veces lo apostado; si salen 4 de los 5, ganamos 4 veces lo apostado; si salen 3 de los 5, ganamos el doble de lo apostado, y en cualquier otro caso perdemos lo apostado. (Atenci´on: cuando decimos ‘ganar’ nos referimos a cu´anto se nos paga, y no a la ganancia neta. En realidad, la ganancia neta se obtiene luego de restar lo apostado, por ej.: si acertamos los 5 n´umeros, la ganancia neta es 19 veces lo apostado.)
2. Se eligen 5 cartas de un mazo de 32, si las 5 son del mismo color y en escalera (supongamos las cartas numeradas del 1 al 8; las escaleras son cuatro: 1 a 5, 2 a 6, 3 a 7, 4 a 8) ganamos 8 veces lo apostado, si obtenemos 5 cartas del mismo color pero no en escalera, ganamos 2 veces lo apostado; si obtenemos cartas en escalera pero no del mismo color, recuperamos lo apostado; en cualquier otro caso se pierde lo apostado. (Vale la misma precisi´on que en el juego anterior respecto de la ganancia y tambi´en suponemos equiprobabilidad.)
Queremos jugar una vez por semana uno de estos juegos, con las siguientes reglas: Jugaremos siempre una suma fija S,
Jugaremos siempre el mismo juego,
Las distintas jugadas son totalmente independientes, no hay influencia de una jugada en la otra
Jugaremos por un tiempo indefinido, muy largo.
¿Cu´al de los juegos elegir´ıa ud.? Al cabo de 1000 semanas, ¿cu´anto estimar´ıa usted que es la ganancia neta que se obtendr´ıa jugando siempre al primer juego? ¿Y al segundo?.
Ejercicio 7.8
Si a ud. le dicen que el 12 % de la poblaci´on est´a desempleada, el 48 % tiene un solo empleo, el 35 % tiene dos empleos y el 5 % tiene tres, y por otra parte en una muestra tomada al azar, de manera independiente, de 1400 personas resulta que el promedio de empleos por persona es 2.04. ¿Usted qu´e dir´ıa? ¿Le parece que alg´un dato puede estar mal, o no? Si alg´un dato puede estar mal, ¿de cu´ales sospechar´ıa? ¿Qu´e tipos de errores podr´ıa contener la informaci´on? Si adem´as, entre esas 1400 personas hay 312 desempleados, ¿qu´e responder´ıa a las preguntas anteriores?
Ejercicio 7.9
Calcular la esperanza y la varianza de las siguientes distribuciones: 1. U{1, ..., n} (uniforme discreta) 2. U[a, b] (uniforme continua) 3. P(λ) (Poisson) 4. exp(λ) (exponencial) 5. Geo(p) (geom´etrica) Ejercicio 7.10
Calcular esperanza y varianza de la distribuci´on BN(k, p) (binomial negativa).
Sugerencia: Utilizar que siX1, . . . , Xkiid∼Geo(p) entoncesX1+· · ·+Xk∼BN(k, p). Ejercicio 7.11
Calcular esperanza y varianza de la distribuci´onH(n;N;D) (hipergeom´etrica).
Ejercicio 7.12
En este ejercicio se demostrar´an laDesigualdad de Markov y laDesigualdad de Tchebycheff. 1. Demostrar la Desigualdad de Markov. Seang : R→R, con recorrido de g el conjunto de
los reales mayores o iguales a 0;X v.a. real ya >0, entonces
P(g(X)>a)6E(g(X))
a .
2. Demostrar la Desigualdad de Tchebycheff. SiX v.a. real tal queE¡X2¢<∞, entonces
P(|X−E(X)|>ε)6 Var(X)
ε2 ∀ε >0.
3. La producci´on diaria de motores el´ectricos en una f´abrica es (en promedio)µ= 120 con una desviaci´on est´andar deσ= 10. Hallar un intervalo que contenga por lo menos el 90 % de la cantidad diaria de motores producidos.
4. El costo diario por conectarse a un servidor de internet tiene una mediaµ= 13U$ con una desviaci´on est´andar deσ= 6,4U$. Acotar la probabilidad de que el costo sea mayor que 30 U$.
5. Una empresa de electr´onica se encarga de suministrar tarjetas de impresoras a una f´abrica de montaje de microcomputadoras.
Se estudi´o la demanda mensual de tarjetas durante algunos meses y se vio que el promedio eraµ= 280 con una desviaci´on est´andar deσ= 4.
¿Cu´al es el stock de tarjetas que debe tener la empresa de electr´onica al principio de cada mes para que la demanda sea mayor que la oferta cuando mucho con una probabilidad de 0.10?
Ejercicio 7.13 Primer parcial, Mayo de 1999
Se ponen a funcionar en un mismo momento (que tomamos como tiempo 0) dos lamparitas de dos marcas distintas, A y B, que se dejan prendidas hasta que se rompan. LlamemosX al tiempo de duraci´on de la lamparita A eY al tiempo de duraci´on de la lamparita B. Admitamos queX
eY son independientes, queX sigue una distribuci´on exponencial de par´ametroλ1>0 y queY sigue una distribuci´on exponencial de par´ametro λ2>0.
LlamemosS al tiempo en que ocurre la primera rotura de alguna de las dos lamparitas yT
al tiempo en que se rompe la restante lamparita. 1. Calcular las funciones de distribuci´on deS yT. 2. CalcularE(S),E(T).
3. CalcularE(ST). ¿SonS yT independientes? Justifique la respuesta. 4. CalcularP(S=T).