Teoría cinética de los
Teoría cinética de los
gases
Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad de la variable aleatoria x.Da la probabilidad, por unidad de intervalo, de obtener la variable aleatoria x entre x y x+dx.
ρ
( )
x
dx
Da la probabilidad, de obtener la variable aleatoria entre x y x+dx.Prob de encontrar x entre x y x+dx
dx
ρ
( )
x
dx
a b
∫
Da la probabilidad, de obtener la variable aleatoria entre a y b.ρ
(x)
Prob de encontrar x entre a y b.
Teoría cinética de los gases
Teoría cinética de los gases
El gas está formado por un
El gas está formado por un
número enorme de
número enorme de
moléculas puntuales.
moléculas puntuales.
Las moléculas se mueven
Las moléculas se mueven
en todas las direcciones y
en todas las direcciones y
con todas las velocidades.
con todas las velocidades.
Las moléculas no
Las moléculas no
interaccionan entre sí
interaccionan entre sí
excepto durante colisiones
excepto durante colisiones
elásticas instantáneas.
elásticas instantáneas.
Las moléculas sufren
Las moléculas sufren
colisiones elásticas con las
colisiones elásticas con las
paredes del recipiente.
Interpretación molecular de la
Interpretación molecular de la
presión
presión
Vi Vf Vxi Vxf Vyi Vyfv
yf=
v
yi⇒ ∆
p
y=
0
v
xf= −
v
xi⇒ ∆
p
x= −
2
m v
(
xf−
v
xi)
= −
2
mv
xiCambio en la cantidad de mov de la partícula.
Pared El cambio de p sobre la pared
tiene igual magnitud y signo contrario.
Cambio de p de la pared debido a la colisión con la molécula i con velocidad
vx
Fuerza total sobre un objeto que sufre un cambio de p=∆ptot en un intervalo de tiempo ∆t
Cuántas moléculas con velocidad
v
xchocan contra la pared en
un intervalo de tiempo
∆
t
?
∆
p
i=
2
mv
x iF
tot= ∆
p
tot∆
t
=
∆
p
i∑
∆
t
Sumamos a todas las que chocan en el intervalo ∆t.
vx∆t
A
Contra una superficie de área A chocan todas las moléculas que están en un volumen
vx∆tA.
El número total de moléculas en ese volumen es
dN
=
N
V
v
xA
∆
t
Por tanto el número de moléculas en ese volumen con velocidad e/vx y vx+dvx son
dN
vx
=
ρ
( )
v
xdv
xN
V
v
xA
∆
t
Prob de encontrar una molécula con velocidad vx
Cambio total en la cantidad de movimiento, observado en el intervalo ∆t, debido a las colisiones con moléculas que tienen velocidades entre vx y
vx+dvx
∆
p
vx=
ρ
( )
v
xdv
xN
V
v
xA
∆
t
×
2
mv
x=
2
m
N
V
A
∆
t
ρ
( )
v
xv
x 2dv
xNúmero de moléculas con esa v que chocan en ese intervalo
Cambio en la cantidad de movimiento de cada choque.
∆
p
tot=
2
m
N
V
A
∆
t
ρ
( )
v
xv
x 2dv
x 0 ∞∫
=
m
N
V
A
∆
t
ρ
( )
v
xv
x 2dv
x −∞ ∞∫
∆
p
tot=
m
N
V
A
∆
t v
x 2F
= ∆
p
tot∆
t
=
m
N
V
A v
x 2P
=
F
A
=
m
N
V
v
x 2⇒
v
x 2=
v
23
P
=
1
3
m
N
V
v
2ε
=
1
2
m v
2PV
=
2
3
N
ε
PV
=
2
3
E
kinEnergía cinética promedio de las moléculas de gas
Comparando con la ecuación de
Comparando con la ecuación de
estado del gas ideal
estado del gas ideal
PV
=
2
3
E
kinPV
=
nRT
E
kin=
3
2
nRT
E
kin=
3
2
RT
ε
=
3
2
kT
La temperatura absoluta de un gas ideal es una medida de la energía media de sus partículasDistribución de velocidades
Distribución de velocidades
Maxwell: todas las direcciones son igualmente probables,
=> las distribuciones de velocidad en
x
,
y
y
z
son iguales.
dN
vxvyvzN
=
ρ
( )
v
xρ
( )
v
yρ
( )
v
zdv
xdv
ydv
zρ
( )
v
xρ
( )
v
yρ
( )
v
z= Φ
( )
v
Φ
( )
v
d
ρ
( )
v
xdv
xρ
( )
v
yρ
( )
v
z=
d
Φ
( )
v
dv
∂
v
∂
v
xv
2=
v
x 2+
v
y 2+
v
z 2∂
v
∂
v
x=
v
xv
d
ρ
( )
v
xdv
xρ
( )
v
yρ
( )
v
z=
d
Φ
( )
v
dv
∂
v
∂
v
xd
ρ
( )
v
xdv
xρ
( )
v
yρ
( )
v
z=
d
Φ
( )
v
dv
v
xv
1
ρ
( )
v
xd
ρ
( )
v
xdv
x=
1
Φ
( )
v
d
Φ
( )
v
dv
v
xv
1
v
xρ
( )
v
xd
ρ
( )
v
xdv
x=
1
v
Φ
( )
v
d
Φ
( )
v
dv
1
v
xρ
( )
v
xd
ρ
( )
v
xdv
x=
b
d
ρ
( )
v
xρ
( )
v
x=
bv
xdv
xln
(
ρ
( )
v
x)
=
b
2
v
x 2+
C
ρ
( )
v
x=
Ae
1 2bvx 2Φ
( )
v
=
A
3e
1 2bv 2Ahora necesitamos encontrar los valores de las constantes A y b. Para eso recurrimos a la condición de normalidad de la distribución de velocidades y a la expresión obtenida para la energía cinética molecular promedio.
Determinación de A y b
Determinación de A y b
1
=
ρ
( )
v
xdv
x=
A
−∞ ∞∫
e
1 2bvx 2dv
x=
A
−∞ ∞∫
2
−
π
b
÷
1 2A
= −
b
2
π
÷
1 2ρ
( )
v
x= −
b
2
π
÷
1 2e
1 2bvx 2ε
=
3
2
kT
=
1
2
m v
2v
2=
3
kT
m
=
3
v
x 2v
x2=
kT
m
v
x2=
ρ
v
x( )
−∞ ∞∫
v
x2dv
x=
kT
m
−
1
b
=
kT
m
⇒
b
= −
m
kT
ρ
( )
v
x=
m
2
π
kT
÷
1 2e
− mvx2 2kTEn una dimensión, la velocidad más probable es cero.
La probabilidad de tener una cierta velocidad vx es igual a la probabilidad de –vx.
ρ
( )
v
xρ
( )
v
yρ
( )
v
zdv
xdv
ydv
z=
m
2
π
kT
÷
3 2e
− mv2 2kTdv
xdv
ydv
zEspacio de las velocidades
v
x,
v
y,
v
z{
}
⇒
{
v
,
θ
,
φ
}
v θ φ vz vx vy Probabilidad de hallar una molécula con velocidad vx en x, vy en y y vzen z
dv
xdv
ydv
z=
v
2sen
( )
θ
d
θ
d
φ
dv
Para hallar la probabilidad de encontrar una molécula con velocidad v, debemos integrar la distribución sobre todas las direcciones (θ y φ)
=
m
2
π
kT
÷
3 2e
− mv2 2kTv
2sen
( )
θ
dvd
θ
d
φ
Probabilidad de hallar una molécula con velocidad v apuntando en la dirección definida por los ángulos θ y φ:
Probabilidad de hallar una molécula con velocidad v con cualquier dirección:
ρ
v( )
v
dv
=
m
2
π
kT
÷
3 2e
− mv2 2kTv
2dv
d
φ
sen
( )
θ
d
θ
0 π∫
0 2π∫
ρ
v( )
v
dv
=
m
2
π
kT
÷
3 24
π
v
2e
− mv2 2kTdv
Distribución de las velocidades
Distribución de las velocidades
de Maxwell
de Maxwell
A mayor temperatura, mayor es la probabilidad de hallar moléculas con grandes velocidades
A igual temperatura, las moléculas más pesadas se mueven más lentamente.
Velocidad más probable y
Velocidad más probable y
velocidades medias
velocidades medias
d
ρ
v( )
v
dv
=
d
dv
m
2
π
kT
÷
3 24
π
v
2e
−mv 2 2kT
=
0
Velocidad más probablev
MP=
2
kT
m
÷
1 2 Velocidad mediav
=
v
ρ
v( )
v
0 ∞∫
dv
=
8
kT
π
m
÷
1 2Velocidad cuadrática media
v
2=
v
2ρ
v( )
v
0 ∞∫
dv
=
3
kT
m
÷
1 2vMP <v>
<v2>
Por qué la velocidad más probable es distinta de cero si en una dimensión la velocidad más probable es cero?
