FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

CORRESPONDENCIA.

Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B.

Se denota por f : A → B

A es el conjunto inicial de la correspondencia. B es el conjunto final de la correspondencia.

Los elementos de A que se transforman mediante la correspondencia forman el

CONJUNTO ORIGINAL: Or(f)

Los elementos de B que son transformados de los de A forman el CONJUNTO

IMAGEN: Im( )f

Se llama GRAFO de una correspondencia a un subconjunto G del producto cartesiano A × B formado por los pares (a, b) tal que b = f(a).

APLICACION.

Se llama APLICACION entre dos conjuntos A y B a toda correspondencia que verifica las siguientes condiciones:

‚ Todos los elementos del conjunto A se transforman en elementos del conjunto B: )

Or(f A≡

‚ La imagen de cada elemento es única.

Tipos de aplicaciones.

Si a la aplicación le exigimos algunas cosas más, tendremos distintos tipos de aplicaciones:

• INYECTIVA: cada imagen lo es de un sólo original, es decir, si ' ) ' ( ) (x f x x x f = ⇒ =

• SOBREYECTIVA, SOBRE o EXHAUSTIVA: todo elemento del conjunto final tiene un original: B≡Im(f) esdecir, ∀y∈B ∃x∈A / f(x)= y.

• BIYECTIVA: cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, es decir, es una aplicación uno a uno, por lo que los conjuntos inicial y final tienen el mismo número de elementos.

FUNCIONES.

Se llamaFUNCION a toda aplicación entre conjuntos numéricos.

Nuestro objetivo es estudiar funciones reales de variable real, es decir, funciones donde el conjunto final es el conjunto de números reales (funciones reales) y el conjunto inicial también es o un subconjunto D de (variable real).

Se representan por: f : D / x D y = f x → ∈ → ( )∈

“x” representa la variable independiente y toma valores en el conjunto original D “y” representa la variable dependiente y toma valores en el conjunto imagen

Una función se puede definir de varias maneras:

• Por medio de un cuadro de valores: FUNCIONES TABULADAS. • Por medio de una expresión o fórmula matemática.

• Por medio de su gráfica. En toda función debemos distinguir:

• DOMINIO: Se llama dominio o campo de existencia de una función al conjunto de valores x para los cuales está definida la ecuación y = f(x), es decir, al conjunto de valores que tienen imagen; se representa por D=Dom f( ).

( ) _f { / ( ) }

Dom f =D = x∈ f x = ∈y

• RECORRIDO: Se llama “recorrido” de una función al conjunto de valores reales que son imagen de algún original, es decir, al conjunto de valores de la variable y.

Se representa por Im( )f .

Im( )f ={y∈ /y= f x( ) siendo x∈D_f }

Ejemplos:

„ La función f : → definida de la forma f x( )=x2 (función cuadrática) tiene por dominio puesto que cualquier número real tiene cuadrado y su recorrido es ₊ ya que el cuadrado de cualquier número real es positivo.

„ La función f D: → definida de la forma ( ) ₂ 1 x f x

x =

− tiene sentido para todos los valores que no anulan el denominador, es decir, todos los valores x tales que 2 1 0 . Como los únicos valores que anulan el denominador son

1

x= − y 1

x − ≠

x= , el dominio máximo de la función será D= − −

{

}

„ La función f D: → definida de la forma f x( ) 1−x2 tiene sentido para todos los valores que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero, es decir,

= +

2 2

1−x ≥0 ⇔ 1≥x de donde | | 1x ≤ . En consecuencia, el dominio máximo de nuestra función será D= −[ 1, 1 ].

Puesto que una función es una aplicación f de D en , podemos decir que una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, cuando lo sea la aplicación que la define.

„ La función lineal ( )f x =ax b+ es una función biyectiva ya que es Inyectiva: Si ( )f x = f x( ') ⇔ ax b+ =ax'+b ⇔ x=x'

Sobreyectiva ya que para cualquier valor real y podemos encontrar el original correspondiente que tenga a y por imagen: y ax b x y b

a −

= + ⇒ =

En consecuencia, puesto que es inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva. „ La función f x( )=x2 no es inyectiva ya que si

2 2 ' ( ) ( ') ( ') ' x x f x f x x x x x = ⎧ = ⇔ = _{⇔ ⎨} = − ⎩

„ La correspondencia f D: → definida por f x( )= x no es una función para ningún dominio D ya que cualquier valor real positivo de x tendrá dos imágenes, una positiva y otra negativa. Si x la entendemos como + x , entonces si es función.

El dominio D puede ser un subconjunto no vacío cualquiera del conjunto de números reales .

„ Si D= la funciones reciben el nombre de sucesiones de números reales. „ Si D= las funciones se llaman funciones reales de variable entera. „ Si D= las funciones se llaman funciones reales de variable racional.

IGUALDAD DE FUNCIONES.

Sean f D: ₁→ y g D: ₂ → dos funciones. Se dice que f es igual a g , y se escribe f =g, cuando se verifican las dos condiciones siguientes:

a) Tienen el mismo dominio: D1 =D2

b) f x( )=g x( ) para cualquier x del dominio D1 =D2. Ejemplos:

„ Las funciones f x( )=(x−1)2 y g x( )=x2−2x+1 son iguales ya que tienen el mismo dominio máximo y además se verifica que ( )f x =g x( ) ∀ ∈x .

„ Las funciones ( )f x = −x 1 y 2 1 ( ) 1 x g x x − =

+ no son iguales ya que no tienen el mismo dominio máximo: la función f tiene por dominio y la función g tiene por dominio máximo − −

{ }

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

La representación gráfica de una función pretende visualizar la correspondencia entre las variables x e y de forma que se vean fácilmente sus propiedades. De aquí la gran importancia de la gráfica de una función: da una información rápida y amplia de la función.

GRAFO DE UNA FUNCIÓN

Sea f D: → una función real de variable real. A cada x∈D le hace corresponder un valor numérico y= f x( ) que es la imagen de x por f.

Se llama GRAFO de la función a un subconjunto Gf del producto cartesiano D× formado por los pares ( , )x y tal que y= f x( ).

{

}

f

G = x f x x∈D

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN:

Si consideramos un sistema de referencia afín, p.e. R=

{

}

La figura del plano afín determinada por los puntos correspondientes a los elementos del grafo, recibe el nombre de GRÁFICA de la función. Es decir, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas verifican la ecuación y= f(x).

„ Si el dominio de la función f es finito podemos representar todos los pares del grafo y obtener la gráfica completa.

„ Si el dominio de la función f es infinito es imposible representar todos los pares del grafo. En la práctica, se representan los puntos necesarios de forma que al unirlos por un trazo continuo, se obtenga una gráfica que se aproxime a la real. Para comprobar si un punto pertenece o no a la gráfica de la función f, basta comprobar si se verifica la igualdad

) , (a b P ). (a f

b= Si se verifica pertenece y si no se verifica, no pertenece.

Dada la abscisa x = a de un punto de la gráfica de una función, para hallar la ordenada correspondiente, sólo tendremos que sustituir x por a en la definición de la función y así obtener y = f(a). La solución es única y existe, por tanto, un único punto de la gráfica con esa abscisa.

El problema inverso sería: Dada la ordenada y = b de un punto de la gráfica, obtener la abscisa correspondiente.

Para ello, se resuelve la ecuación b = f(x) que puede tener una, varias o infinitas soluciones que corresponderán con uno, varios o infinitos puntos de la gráfica de la función.

Para representar una función utilizamos unos ejes cartesianos que no son más que dos rectas que se cortan perpendicularmente en un punto que llamaremos ORIGEN de coordenadas y sus coordenadas serán . La recta horizontal recibe el nombre de EJE

DE ABSCISAS y la vertical, EJE DE ORDENADAS. (0, 0)

En el eje de abscisas representaremos los originales (variable independiente): desde el origen hacia la derecha, los positivos y hacia la izquierda, los negativos.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

En el eje de ordenadas representaremos las imágenes (variable dependiente): desde el origen hacia arriba, las positivas y hacia abajo, las negativas.

Los cortes de la gráfica de la función con el eje OX de abscisas reciben el nombre de

CEROS DE UNA FUNCION. Son los originales que tienen por imagen el cero.

{

}

( ) ( ) ( ) 0

C f = x Dom f / f x = ∈

Para calcular los ceros de una función no tendremos más que tomar la propia definición de la función y después de igualar a cero, resolver la ecuación que nos resulta.

Ejemplos:

1. Representar la función f D: → donde D= − −

[

] [ ]

( ) f x

x = .

Calculamos la tabla de valores correspondientes:

y su gráfica nos quedaría de la forma:

2. Representar la función f : → definida por ( ) si 2

3 si 2 x x f x x < ⎧ = ⎨ _≥ ⎩

La gráfica de esta función se compone de dos semirrectas: una para valores menores que 2, donde representaremos la función ( )f x =x que corresponde a la bisectriz del tercer cuadrante y del primero hasta el 2; otra, la ( )f x =3, función constante, que son los puntos de la forma ( , 3)x . Con ello, la gráfica nos quedaría de la forma:

x y = f(x) P x f x( , ( )) –6 –1 ( 6, 1)− − –3 –2 ( 3, 2)− − –2 –3 ( 2, 3)− − –1 –6 ( 1, 6)− − - - - 1 6 (1, 6) 2 3 (2, 3) 3 2 (3, 2) 6 1 (6, 1)

FUNCIONES CONOCIDAS.  FUNCIONES LINEALES.

Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su expresión en forma explícita es y= f(x)= ax+ b.

En sentido más estricto, se llaman funciones lineales sólo a las funciones que se representan mediante rectas que pasan por el origen de coordenadas y su forma explícita será y= ax. Las de la forma y= ax+ b recibirían el nombre de funciones afines.

Nosotros seguiremos llamando funciones lineales a las primeras, dejando para las del tipo

ax

y= _{el nombre de funciones de proporcionalidad ya que} a,

x y

= es decir, la relación entre la imagen y el original es constante.

El dominio y el recorrido de cualquier función lineal es el conjunto de números reales: ( )

Dom f = ¡ Im( )f = ¡

La gran importancia de las funciones lineales nos viene dada por la gran cantidad de aplicaciones de ella:

 El alargamiento de un muelle es proporcional al peso que colguemos: A= k.p

 La relación entre la dilatación y la temperatura de un cuerpo.

 Dosis de un medicamento-peso del enfermo.

 FUNCIONES CUADRÁTICAS (PARÁBOLAS).

Son funciones en las que la imagen nos viene dada mediante un polinomio de segundo grado:

c bx ax x f

y= _{( )}= 2 + + _{y su gráfica es una parábola.}

El dominio de la función cuadrática es el conjunto de números reales.

Partiendo de la gráfica de la función cuadrática más elemental

(

)

de los coeficientes es el siguiente:

 El coeficiente “a” de x2 _{determina que la curva sea más o menos estirada y su signo, que}

la parábola tenga las ramas hacia arriba (a positivo) o hacia abajo (a negativo). Si a > 1, las ramas se cierran respecto de _{y= x}2.

Si 0 < a < 1, las ramas se abren respecto de _{y= x}2.  El coeficiente c hace que la curva suba o baje.

 El coeficiente b” desplaza la gráfica hacia la derecha (b negativo) o hacia la izquierda (b positivo).

 El vértice de la parábola lo podemos calcular fácilmente mediante derivación, resolviendo la ecuación a b x b ax y 2 0 2 0 '= ⇒ + = → = − .

 FUNCIONES POLINÓMICAS (de grado superior a dos).

Están definidas de la forma: n nx a x a x a x a a x f y = = + + + 3 + + 3 2 2 1 0 ) (

Todas ellas tienen en común las siguientes características:

 Su dominio es el conjunto de números reales y son continuas en él.

 No tienen asíntotas, es decir: _xlím_{→± ∞} f(x)= ± ∞ según sea el coeficiente del término de mayor grado y la paridad de éste.

 Los puntos de corte con el eje OX (ceros de la función) los obtenemos resolviendo la ecuación f(x) = 0.

 Los puntos críticos los obtenemos de la siguiente manera:

* f'(x)= 0 ⇒ máximos y mínimos relativos. * f ''(x)= 0 ⇒ puntos de inflexión.

Una vez que hayamos obtenido las abscisas de los puntos críticos, sustituimos en la función para calcular las ordenadas correspondientes y poder representarlos.

 FUNCIONES RACIONALES.

Son funciones definidas mediante el cociente de dos funciones polinómicas:

) ( ) ( ) ( x Q x P x f = ,

donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas. El dominio de una función racional del tipo

) ( ) ( ) ( x Q x P x

f = donde P(x) y Q(x) son dos polinomios, es  menos los puntos que anulan el denominador, ya que tanto P(x) como Q(x) tienen existencia para cualquier valor real pero al dividirlos encontramos el inconveniente de no poder dividir por cero. En consecuencia, los valores de x que anulen el denominador no tendrán imagen y no pertenecerán al dominio de la función.

( ) { / ( ) 0 } { / ( ) 0 }

Dom f = x∈ ¡ Q x ≠ = ¡− x∈ ¡ Q x =

 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Hay multitud de fenómenos que ligan dos variables cuya relación es de proporcionalidad inversa (una es inversa de la otra) como sucede con la presión y el volumen a temperatura constante, con la frecuencia de un sonido y su longitud de onda.

Veamos como está definida la función de proporcionalidad inversa y cual es su gráfica. Se llama función de proporcionalidad inversa a la función definida de la forma:

x k x k x f y= ( )= = ⋅1

Si tratamos de calcular su gráfica, podemos observar que la función

x 1 no está definida en el punto x= 0 y además − ∞ = − → x x 1 lim 0 x→ + x= + ∞ 1 lim 0

− − ∞ → = 0 1 lim x x + + ∞ → = 0 1 lim x x

En consecuencia, la gráfica será tangente a la recta y= 0 (eje OX) en el infinito (+ o –). Este tipo de rectas reciben el nombre de asíntotas (las estudiaremos posteriormente) y como es paralela al eje OX se denominan horizontales. Con ello la gráfica de la función

x x f( )= 1

será de la forma:

Esta gráfica recibe el nombre de HIPÉRBOLA.

Si queremos representar

x k x

f( )= , las características que hemos estudiado son las mismas; únicamente debemos tener en cuenta lo siguiente:

Si k> 0 podemos establecer:

 k > 1 ⇒ la gráfica se aleja del origen de coordenadas. Por ejemplo, si k= 2, la función nos queda

x x f( )= 2 y su gráfica sería x x f( )= 1 x x f( )= 1 x x f( )= 2

 0< k< 1 ⇒ la gráfica se aproxima al origen de coordenadas. Por ejemplo, si

2 / 1

=

k , la función nos queda

x x f 2 1 ) ( = y su gráfica sería

Si k< 0, los límites cambian de signo y obtenemos la función opuesta de la anterior:

Podemos observar que las funciones de proporcionalidad inversa son funciones impares o simétricas respecto del origen.

Otras funciones relacionadas con la función de proporcionalidad inversa son:

 ⇒ ± = r x k x

f( ) el ± r desplaza la gráfica de la función

x k

hacia la izquierda (

r

+ ) o hacia la derecha (− r). Por ejemplo, las gráficas de las funciones 1 1 ) ( + = x x f y 1 1 ) ( − = x x g serían: x x f( )= 1 x x f 2 1 ) ( = x x f( )= − 1

 ⇒ + + = d cx b ax x

f( ) las funciones de este tipo se pueden convertir, efectuando la división, en r x q p x f ± + = ) ( : r x q

± es del tipo anterior y

“p” sube o baja la gráfica de la función según sea positivo o negativo.  Ejemplo: La función 2 3 5 4 ) ( − + = x x x

f se puede expresar de la forma :

3 2 3 2 9 23 3 23 ₁ 9 23 3 4 3 4 2 3 3 4 2 3 5 4 ) ( − ⋅ + = − + = − + = − + = x x x x x x f

Entonces, la gráfica de f partiendo de

x

1 :

Las gráficas de estas funciones también son HIPÉRBOLAS.

 FUNCIONES RADICALES.

Son funciones donde la variable se encuentra bajo el signo radical (dentro de una raíz). El dominio de estas funciones dependerá del índice de dicha raíz:

• Si el índice es par, el dominio es el conjunto de puntos que hace el radicando positivo.

• Si el índice es impar, el dominio de nuestra función será el mismo de la función que tengamos en el radicando.

 FUNCIÓN EXPONENCIAL.

Definimos la función exponencial en base a> 0 y a≠ 0 como una función real de variable real tal que a cada x∈ ¡ le hacemos corresponder otro número real dado por _ax_{, es}

decir: expa * +   → ¡ ¡ x∈ ¡  → _{y= a}x Propiedades:

 El dominio de la función exponencial es ¡ y su recorrido es ¡*+ x / 1 32 1 − x 3 2 1 9 23 − ⋅_x 3 2 1 9 23 3 4 − ⋅ + x

 Es continua en todo su dominio.

 Se verifica que f(0) = 1 y f(1) = a para cualquier a > 0.  Si a > 1, f es estrictamente creciente.

Si a < 1, f es estrictamente decreciente.

Esto nos indica que la función exponencial es inyectiva, cualquiera que sea la base.  Si a > 1, se verifica que: + ∞ = + ∞ → x xlíma + − ∞ → = 0 lím x x a  Si a < 1, se verifica que: + + ∞ → = 0 lím x x a →− ∞ = + ∞ x xlím a

 Si a = 1, tenemos f(x)= 1x = 1 : nos queda la función unidad (constante).

 Su gráfica nos quedaría de la forma:

Si a> 1 Si 0< a< 1

 Las gráficas de f(x)= ax y f(x)=

( )

Si dibujáramos las gráficas de dos funciones exponenciales cuyas bases sean inversas obtendríamos x y= 2 x y= 3 x y= (3/2) x y= (1/3) x y= (1/2) x y= (2/3) x e y= x e y = −

 FUNCIONES CIRCULARES.

Son funciones que están definidas mediante las razones trigonométricas de los ángulos:

⇒ = x x

f( ) sen función seno

⇒ = x x

f( ) cos función coseno

⇒ = x x

f( ) tg función tangente

Son funciones periódicas de período T = 2π salvo las funciones tangente y cotangente que tienen de período π. Son continuas y derivables en todo su dominio.

Las gráficas de estas funciones ya se estudiaron en el curso anterior:

Podríamos generalizar estas funciones a

) ( cos ) ( ) ( sen ) ( b ax x f b ax x f + = + = x x f( )= sen x x f( )= cos x x f( )= tg

teniendo ellas las siguientes características:  Están definidas y son continuas en ¡.

 Su recorrido es el intervalo cerrado [−1,1], por lo que están acotadas.  Su período es

a

T = 2π : el efecto que produce el coeficiente a es el de comprimir o estirar la gráfica de dichas funciones.

 El coeficiente b desplaza la gráfica a izquierda o derecha.

 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.

Son funciones en las que en cada tramo (intervalo) están definidas mediante una función cualquiera.

Para definir este tipo de funciones es imprescindible indicar el tramo o intervalo que corresponde a cada función.

Para representar gráficamente las funciones definidas a trozos, tendremos que representar en cada trozo la función mediante la que esté definida.

Ejemplos: a) 2 1 si 2 1 ( ) si 1 3 3 2 si 3 5 x x f x x x x x + − ≤ <   = _ ≤ <  − ≤ ≤ 

Su dominio será el intervalo cerrado

[

]

b)    ≥ < = 0 si sen 0 si ) ( 2 x x x x x f ⇒ Dom( )f = ¡ y su gráfica:

Veamos algunas funciones conocidas definidas a trozos:

 Función PARTE ENTERA de un número.

Es una función entera de variable real definida de la siguiente forma:

[ ]

parte entera de un número real x es el mayor entero menor o igual que x. Su gráfica, teniendo en cuenta la definición, es la siguiente:

• Función PARTE DECIMAL o MANTISA.

Está definida por y= f(x)= Dec(x)= Mant(x)= x−

[ ]

Su gráfica nos viene dada por:

Como podemos observar en la gráfica, se trata de una función periódica, de período T=1. Esta función parte decimal nos da la distancia de un número al entero más próximo.

 Función VALOR ABSOLUTO.

El valor absoluto de un número real se define como el máximo entre dicho número y su opuesto: } , { máx | |x = x − x

De esta manera el valor absoluto de un número siempre será positivo: si el número es negativo, su valor absoluto es igual a su opuesto y si es positivo, el valor absoluto coincide con el propio número.

La función valor absoluto es una función real de variable real en la que a cada número le hacemos corresponder su valor absoluto. Nos queda definida de la siguiente forma:

   ≥ < − = = = 0 0 | | ) ( x si x x si x x x f y 1 −

Su gráfica será:

La gráfica de una función y= | f(x)| es fácil de construir si conocemos la gráfica de la función y = f(x), pues bastaría considerar la función opuesta donde f(x) fuese negativa.

Para obtener la expresión analítica de y= | f(x)| debemos conocer las abscisas de los puntos en donde f(x) cambia de signo, es decir, donde f(x) = 0.

Ejemplo: •    ≥ − < − = ⇒    ≥ − − < − − − = − = = 2 si 2 2 si 2 ) ( 0 2 2 0 2 ) 2 ( | 2 | ) ( x x x x x f x si x x si x x x f y •      ≥ − < < − − − ≤ − = − = = 1 si 1 1 1 si 1 1 si 1 | 1 | ) ( 2 2 2 2 x x x x x x x x f y

ya que la función _x2 ₋ 1 _{se anula en los puntos −1 y 1 siendo negativa en los valores} comprendidos entre ellos.

Gráficamente: 1 2₋ x | 1| 2 ₋ x

OPERACIONES CON FUNCIONES.

Sean f y g dos funciones reales de variable real, cuyos dominios nos vengan dados por:

. ) ( y ) (f D₁ Dom g D₂ Dom = =

„ SUMA DE FUNCIONES: ) ( ) ( La imagen mediante la función suma es igual a la suma de las imágenes )

( ) )(

(f + g x = f x + g x

El dominio de la función suma será la intersección de los dominios ya que para tener definida la función suma en un punto, éste debe pertenecer a los dominios de las dos funciones para asegurarnos de la existencia de f(x) y de g(x): 2 1 ) (f g D D Dom + = ∩

Conocidas las gráficas de las funciones f y g, para hallar la gráfica de f +g basta sumar en cada punto del dominio de definición de f +g los valores de

( )

f x y de g x( ).

Esta suma, así definida, verifica las siguientes propiedades: a. Asociativa: (f +g)+h= f +(g+h)

b. Conmutativa: f +g =g+ f

c. Elemento neutro o nulo: función cero 0( ) = 0 x ∀ ∈x \ ⇒ = 0 y ∀ ∈x \ d. Elemento simétrico u opuesto: Función opuesta (−f)(x)=− f(x)

Con todo esto, el conjunto de funciones reales de variable real con la operación suma tiene estructura de Grupo conmutativo.

La existencia de elemento opuesto respecto de la suma de funciones nos permite definir la

DIFERENCIA DE FUNCIONES: se suma a la función minuendo la opuesta de la función sustraendo ) ( ) ( ) )( (f −g x = f x −g x

„ PRODUCTO: (f ⋅g)(x)= f(x)⋅g(x) (la imagen mediante la función producto es igual al producto de las imágenes).

El dominio de la función producto será la intersección de los dominios ya que para tener definida la función producto en un punto, éste debe pertenecer a los dominios de las dos funciones para asegurarnos de la existencia de f(x) y de g(x): Dom(f ⋅g)=D₁∩D₂

Propiedades:

b. Conmutativa: f ⋅g =g⋅ f

c. Elemento neutro. Función unidad: ( )g x = x1 ∀ ∈\ y = x⇒ 1 ∀ ∈\ d. Elemento inverso. Función inversa (no existe en general)

Este elemento inverso, de existir, debe verificar que f g⋅ =1. Si esta relación fuese cierta, tendríamos: 1 ( )( ) 1( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f g x x f x g x g x x D f x ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ∀ ∈

Estas relaciones serán ciertas si f(x)≠0, cosa que no tiene por qué suceder.

• Si f(x) = 0 en algún punto del dominio, no existirá la función g.

• Si f(x)≠0 en todos los puntos del dominio, existe la función g.

En este segundo caso, la función g recibe el nombre de función inversa de f y se designa por 1 f . Función inversa: ) ( 1 ) ( 1 x f = x f ⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

En la práctica, cuando se escribe 1

f , se trata de una función definida en el conjunto de puntos donde no se anula f. Este conjunto recibe el nombre de dominio de inversión de f.

Si tenemos en cuenta esta función inversa, en el dominio de inversión del denominador, es posible definir el cociente de dos funciones de la siguiente manera:

COCIENTE: g(x) f(x) x g x f x g f = x g f = ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) (

Las operaciones suma y producto se relacionan mediante la propiedad Distributiva: h f g f h g f ⋅( + )= ⋅ + ⋅

En consecuencia, con todo lo anterior, el conjunto de funciones reales de variable real con las operaciones suma y producto tiene estructura de Anillo conmutativo y unitario. „ MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO REAL: (k f⋅ )( )x = k f x⋅ ( )

Teniendo en cuenta la definición se verifica que Dom k f( ⋅ )=Dom f( ).

Propiedades:

a. k⋅(f +g)= ⋅ + ⋅k f k g b. (a b+ ⋅ = ⋅ + ⋅) f a f b f

Con ello, el conjunto de funciones reales de variable real con las operaciones suma y producto por un número real verificando las propiedades enumeradas anteriormente tiene estructura de Espacio vectorial real.

„ COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

Sean y dos funciones con Se llama función

compuesta de f y g, y la representaremos por a la función de D1 en , dada por 1 : f D →\ g D: ₂ →\ f(D₁)⊂D₂. , f gD \

(

)

[

]

La imagen de x por gD f es única, por serlo la imagen de x por f y la imagen de f x( ) por g. En consecuencia, se trata de una función.

Esquemáticamente:

El dominio máximo de no coincide, en general, con el dominio máximo de f:

tenemos la relación f gD ) ( ) (g f Dom f Dom D ⊆ EJEMPLOS:

„ Dadas las funciones f(x)= x+1 y

4 1 ) ( 2 − = x x

g , calcular los dominios máximos de

g f D y de gD f • Calculamos la expresión de f Dg 4 3 1 4 1 4 1 )) ( ( ) )( ( ₂ 2 2 2 − − = + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = x x x x f x g f x g f D

Tendremos Dom f( Dg)= − −\ { 2, 2}=Dom g( )

• Calculamos la expresión de gD f ) 1 )( 3 ( 1 3 2 1 4 ) 1 ( 1 ) 1 ( )) ( ( ) )( ( 2 2 − = + − = + − + = + = = x x x x x x g x f g x f gD

„ Dadas las funciones 1 ( 1 ) ( − = x x x f y 1 ) ( ₂ 2 + = x x x

g , calcular las funciones f Dg y f gD • = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + = + = = 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( )) ( ( ) )( ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x f x g f x g f D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x − + = + − = + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + =

La función compuesta tiene como dominio el conjunto vacío, puesto que en el denominador tenemos la raíz cuadrada de un número negativo que no tiene existencia en \.

g f D „ = + − − = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )) ( ( ) )( ( ₂ 2 x x x x x x x x x x g x f g x f gD 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 − + = − − + − = x x x x x x x x

El denominador de esta función no se anula en ningún punto, con lo que podría pensarse que el dominio de la función sería y, sin embargo, el dominio es el dominio de la función f.

f

gD \

Propiedades de la composición de funciones.

a. Asociativa: hD(gD f)=(hDg)D f

b. Conmutativa: No se verifica como puede verse en los ejemplos anteriores.

c. Función Identidad: es una función Ι definida de D en \ mediante (x) x, es decir, cada número real se transforma en sí mismo.

I =

d. Si f es una función cualquiera de D en \, se verifica que f DI =ID f = f

e. Función inversa o recíproca: Dada una función f, se llama función inversa o recíproca de f y se representa por f −1, a aquella función que verifica:

I f f f f −1D = D −1 = x x I x f f x f f x x I x f f x f f = = = = = = − − − − ) ( )) ( ( ) )( ( ) ( )) ( ( ) )( ( 1 1 1 1 D D

Puesto que al componer las dos funciones obtenemos la función identidad, las gráficas de una función y su inversa (recíproca) serán simétricas respecto de la recta y = x (gráfica de la función identidad).

Para que una función tenga inversa o recíproca es necesario que sea inyectiva (cada imagen tiene un solo original). Si una función no es inyectiva, puede descomponerse en trozos de forma que en cada uno de ellos sí lo sea y, entonces, en cada uno de esos trozos tendrá su función inversa.

EJEMPLO.

• La función (x) x2 no es una función inyectiva, pero si la descomponemos en trozos de forma que en cada uno de ellos sí lo sea, nos quedará:

f = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ = < = = 0 si ) ( 0 si ) ( ) ( 2 2 2 1 x x x f x x x f x f

y en cada uno de ellos la función f(x)= x2 tendrá su función inversa:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ = + = < = − = − − 0 si ) ( de inversa es ) ( 0 si ) ( de inversa es ) ( 2 2 1 2 2 1 1 1 x x x f x x f x x x f x x f

¿Cómo calculamos la inversa de una función?

Gráficamente, la inversa de una función f la obtenemos dibujando su simétrica respecto de la recta y = x. f 1 − f ) , (y x ) , (x y x y=

Podemos observar que a cada punto de la gráfica de f le corresponde en el punto que resulta de intercambiar sus coordenadas, es decir,

) , (x y f−1 ). , (y x

Teniendo en cuenta esto, podremos obtener la expresión analítica de f procederemos de la siguiente forma:

1. Estudiaremos si f es inyectiva y si no lo es, descomponemos en trozos de forma que sí lo sea en cada uno de ellos.

2. En la función f, procederemos a cambiar el original a imagen y la imagen a original: ) ( ) (x x f y f y= ⇒ =

3. Despejando y en la expresión obtenida nos queda:

) ( ) ( )) ( ( 1 1 1 x f y x f y f f− = − ⇒ = −

EJEMPLOS:

• Calcular la función inversa de f(x)=3x−5. a) Estudiamos si la función dada es inyectiva:

Para que la función f sea inyectiva se debe verificar que si

lo que significa que f es inyectiva.

b) Puesto que la función f es inyectiva, pasamos a calcular su inversa: 5 3 5 3 − ⇒ = − = x x y y Despejando y obtenemos: 3 5 ) ( 1 = + = − x x f y

que es la función inversa de la dada. Esto podemos comprobarlo sin más que componer f con la f −1 obtenida: x x x f x f f x f f− = − = − − = − + = 3 5 ) 5 3 ( ) 5 3 ( )) ( ( ) )( ( 1D 1 1 Gráficamente: y=x 1 5 ( ) 3 x f− x = + ( ) 3 5 f x = x−

• Calcular la función inversa de ( )= 2 −4 x x f

La función cuadrática no es inyectiva, pero si descomponemos su dominio en dos trozos separados por el vértice de la parábola:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − = < − = = − = 0 si 4 ) ( 0 si 4 ) ( 4 ) ( 2 2 2 1 2 x x x f x x x f x x f

en cada uno de ellos, la función si es inyectiva y podremos calcular su inversa: 4 4 4 2 2 − ⇒ = − ⇒ =± + =x x y y x y

y, hablando con mayor propiedad, la inversa será: 4 si 4 ) ( 4 ) ( 1 2 1 1 _≥ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + + = + − = − − x x x f x x f

Gráficamente: 2 f 1 f 1 2 − f 1 1 − f

• Encontrar la función inversa de

El vértice de la parábola es el punto de abscisa x = 3 que será el que nos descompone el dominio en trozos de forma que en cada uno de ellos la función es inyectiva:

. 4 6 ) (x =x2 − x+ f ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + − = < + − = = + − = 3 si 4 6 ) ( 3 si 4 6 ) ( 4 6 ) ( 2 2 2 1 2 x x x x f x x x x f x x x f Calculamos su inversa: 0 ) 4 ( 6 4 6 4 6 2 2 2 _{− + ⇒ = − + ⇒ − + − =} = x x x y y y y x y y, despejando: x x x y= ± − − = ± − − =3± 5+ 2 ) 4 ( 9 2 6 2 ) 4 ( 4 36 6 En consecuencia, 5 si 5 3 ) ( 5 3 ) ( 1 2 1 1 _≥− ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + + = + − = − − x x x f x x f Gráficamente: 1 2 f − 2 f 1 1 f − 1 f

EJERCICIOS.

Calcular la función inversa o recíproca de las siguientes funciones:

• f(x)=7x−3 • 7 5 2 3 ) ( + + = x x x f • f(x)= x2 +2x−1 • f(x)= x−2 • f(x)= x3 • _f(x)=3 _x LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

Recordemos que la función exponencial f es una aplicación biyectiva de \ en \*₊ tal que a cada le hacemos corresponder siendo a un número real positivo distinto de uno.

x∈\ ax,

Por ser f biyectiva (cada punto de \ está asociado con uno y sólo uno de \*₊ y recíprocamente), su recíproca f−1 es también biyectiva, pero ahora de \*₊ en \.

Se llama función logarítmica de base a (a>0 y a≠1) a la función recíproca de la función exponencial en base a, es decir:

1 * *

: tal que a cada log_a ( 0 y 1)

f− \₊ →\ x∈\₊→ x∈\ a> a≠

La expresión loga x se lee "logaritmo en base a de x" y se verifica que: x a y x y a = ⇔ = log Observaciones:

1. Si la base es el número "e", se escribe ln x o Ln(x), en vez de y se lee "logaritmo neperiano o logaritmo natural de x".

x e log Se verifica, pues que lnx= y ⇔ ey = x

2. Si la base es 10 se escribe log x, sin indicar la base, y se lee "logaritmo decimal de x" o simplemente "logaritmo de x"

x y

x= ⇔ 10y = log

Cuando la base toma otros valores, se escriben éstos como subíndices de la abreviatura log

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

1. Los números negativos no tienen logaritmo, ya que nunca adquiere valores negativos, de ahí que su dominio sea

x a

* + \

2. El logaritmo de la unidad es cero: log_a1=0 yaque a0 =1 ∀a 3. El logaritmo de la base es uno: log_aa =1 yaque a1 =a ∀a 4. _loga ax = x _y alogax =x

6. Si la base a > 1, la función logarítmica es estrictamente creciente y se verifica log lím y log lím 1 0 si 0 log 1 si 0 log 0 =−∞ =+∞ < < < > > +∞ → → + x x x x x x a x a x a a

7. Si la base a es tal que 0 < a < 1, es estrictamente decreciente y se verifica

log lím y log lím 1 0 si 0 log 1 si 0 log 0 =+∞ =−∞ < < > > < +∞ → → + x x x x x x a x a x a a Su gráfica sería En general,

En particular, la exponencial y la logarítmica más utilizada es la de base el número “e”,

( ) x

f x =e y f−1( )x =Ln( )x (logaritmo neperiano de x), y sus gráficas nos quedarían de la forma: 1 log > a x a 1 0 log < <a x a 1 x a a> 0 1 x a a < < y=x y=x 2 log x 3 log x 3/ 2 log x 2 / 3 log x log1/ 2 x 1/ 3 log x

8. Logaritmo del producto.

El logaritmo de un producto de dos factores es igual a la suma de los logaritmos de cada factor, esto es: ∀x y, ∈\*+: log ( . )a x y =loga x+loga y

9. Logaritmo del cociente.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del

divisor, es decir: *

, : log_a x log_a log_a

x y x y + = \ . log : * = ∈ ∀ ₊ y ∀ ∈ −

10. Logaritmo de una potencia.

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base: b

x log

b R

x _a x _a

11. Logaritmo de una raíz.

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la

raíz: ⋅log_a x n x R x n a 1 log : * = ∈ ∀ ₊

De todo lo dicho, podemos concluir que la función logarítmica de base "a" es la función inversa de la función exponencial a. Esta nueva función nos permitirá bajar el exponente en la función exponencial a la hora de calcular su inversa.

LAS FUNCIONES ARCO.

Son las funciones inversas de las funciones trigonométricas o circulares.

Teniendo en cuenta que la función f(x)=senx no es inyectiva, para poder definir su función inversa nos quedaremos con un tramo en el que sí lo sea: _⎢⎣⎡− _⎥⎦⎤

2 , 2 π π

Él quedarnos con este intervalo es puramente convencional, puesto que podíamos tomar cualquier otro donde la función seno fuese inyectiva.

La función inversa de la función seno recibe el nombre de "arco seno" y se pone arcsen.

( ) x

f x =e 1

( ) Ln( )

f− x = x

Está definida de la forma:

[ ]

donde a cada valor del seno se le hace corresponder el arco correspondiente. Se verifica que sen(arcsenx)= x y arcsen(senx)=x

De análoga manera se definirían las funciones arco coseno (inversa del coseno) y la función arco tangente (inversa de la tangente).

EJERCICIOS.

„ Calcular las funciones inversas o recíprocas de las siguientes funciones:

• f(x)=3 x +5 • f(x)=L(x2 +1) • f(x)=sen(ex +3 )

• f(x)=arccos(x2 −1 ) • f(x)=esenx −1 • f(x)= ex−1

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES A PARTIR DE OTRAS CONOCIDAS

Sean y dos funciones con Se llama función

compuesta de f y g, y la representaremos por a la función de D1 en , dada por 1 : f D →\ g D: ₂→\ f(D1)⊂D2. , f gD \

(

)

[

]

Podemos observar que componer dos funciones es hacer actuar una de ellas sobre las imágenes de la otra.

EJEMPLO.

Sean las funciones x⎯⎯f→senx y x⎯⎯g→x2 según se realice la composición tendremos:

2

(gD f)( )x =g f x( ( ))=g(sen )x =sen x

2 2

(f Dg x)( )= f g x( ( ))= f x( )=sen(x )

Podemos observar, nuevamente, que la composición de funciones no verifica la propiedad conmutativa, es decir, gD f ≠ f Dg.

Sin embargo, el conocimiento de las gráficas de las gráficas de las funciones componentes es de gran ayuda para la representación de la función compuesta.

Ejemplo.

Para realizar la gráfica de la función del ejemplo anterior debemos tener en cuenta que

gD f

1 senx 1

− ≤ ≤ y, por tanto, se verifica que 0≤sen2x≤1.

Por otra parte, cuando | sen | 1x ≤ se verifica que sen2 x≤| sen | 1.x ≤

Teniendo en cuenta que los máximos y mínimos de esta función son evidentes, la gráfica de esta función nos queda de la forma:

Si f y g son funciones reales de variable real, entonces la gráfica de la función f Dg puede construirse a partir de las gráficas de f y g de la siguiente forma:

„ Tomamos un punto cualquiera x∈Dom g( ) y trazamos la recta vertical que pasa por el punto ( , 0)x . Esta recta intersecta a la gráfica de f en el punto ( , ( ))x g x .

„ Si x∈Dom f( Dg), entonces ( )g x ∈Dom f( ) y la recta vertical que pasa por

cortará a la gráfica de f en el punto ( ( . Entonces, el punto (

( ( ), ( ))g x g x ), ( ( )))

g x f g x x f g x, ( ( ))) que

buscamos se obtiene como intersección de la reta horizontal que pasa por y la vertical que pasa por ( , 0)

( ( ),g x f g x( ( ))) x . sen y= x 2 sen y= x

Considerando que la primera transformación sea elemental, veamos como podemos representar la gráfica de la función compuesta Diferenciaremos las operaciones que realizaremos a la función ( )f x de las operaciones que realizaremos a la variablesx. En realidad no se debiera hacer tal distinción si tuviésemos en cuenta el orden de composición, recuérdese que no es conmutativa..

Supongamos que conocemos la representación de f(x) veremos:

TRANSFORMACIONES A LA FUNCIÓN TRANSFORMACIONES A LA VARIABLE

( ) f x − f(−x) ( ) f x +k f x k( + ) ( ) k f x⋅ f k x( ⋅ ) (| |) f x ) (x f ) (x f−1 ) (x f 1

A) REPRESENTACIÓN DE y= −f x( ) A PARTIR DE y= f x( ) (FUNCIÓN OPUESTA) La gráfica de –f(x), función opuesta, será simétrica a f(x) respecto al eje x o de abscisas.

Ejemplos:

B) REPRESENTACIÓN DE y= f(−x) A PARTIR DE y= f x( )

La gráfica de (f −x) será simétrica a ( )f x respecto al eje y o de ordenadas

Ejemplos:

C) REPRESENTACIÓN DE y= f x( )+k A PARTIR DE y= f x( )

Si sumamos un número a la función la gráfica de f(x)+k se obtiene trasladando, a lo largo del eje y o de ordenadas, la gráfica de f(x) k unidades hacia arriba.

Si restamos un número a la función la gráfica de f(x)-k se obtiene de trasladando, a lo largo del eje y o de ordenadas, la gráfica de f(x) k unidades hacia abajo.

Ejemplos:

D) REPRESENTACIÓN DE y= f x( +k) A PARTIR DE y= f x( )

Si sumamos un número a la variable, la gráfica de (f x k+ ) se obtiene trasladando k unidades hacia la izquierda, a lo largo del eje xo de abscisas, la gráfica de ( )f x .

Si restamos un número a la variable, la gráfica de (f x k− ) se obtiene trasladando k unidades hacia la derecha, a lo largo del eje xo de abscisas, la gráfica de ( )f x .

E) REPRESENTACIÓN DE y= ⋅k f x( ) A PARTIR DE y= f x( )

DILATACIÓN O CONTRACCIÓN VERTICAL

Si multiplicamos por un número mayor que 1, la función, la gráfica de se obtiene

( )

y= ⋅k f x

dilatando, a lo largo del eje y o de ordenadas, la gráfica de y= f x( ).

Si multiplicamos por un número mayor que 0 y menor que 1, la función, la gráfica de se obtiene

( )

y= ⋅k f x contrayendo, a lo largo del eje y o de ordenadas, la gráfica de

. ( )

Ejemplos:

F) REPRESENTACIÓN DE y= f k x( ⋅ ) A PARTIR DE y= f x( )

DILATACIÓN O CONTRACCIÓN HORIZONTAL

Si multiplicamos por un número mayor que 1, la variable, la gráfica de kf(x) se obtiene contrayendo, a lo largo del eje x o de abcisas, la gráfica de f(x).

Si multiplicamos por un número mayor que 0 y menor que 1, la variable, la gráfica de kf(x) se obtiene dilatando, a lo largo del eje x o de abcisas, la gráfica de f(x).

G) REPRESENTACIÓN DE y = y=| ( ) |f x A PARTIR DE y= f x( ) Para representar el valor absoluto de una

función distinguimos:

• los trozos en los que la curva es positiva (están por encima del eje x) se dejan igual.

• Los trozos en los que la curva es negativa (están por debajo del eje x) se sustituyen por trozos simétricos de aquellos respecto al eje

xo de abscisas

Ejemplos:

H) REPRESENTACIÓN DE y= f(| |)x A PARTIR DE y= f x( ) Para representar una función valor absoluto de la

variable procederemos del siguiente modo:

• se dibuja primero la función ( )f x sin valor absoluto para los valores de x positivos (x > 0)

• Para los valores negativos de x , la gráfica es la simétrica respecto al eje y o de ordenadas de la parte anterior dibujada

Ejemplos:

I) REPRESENTACIÓN DE 1

( )

y= f− x A PARTIR DE y= f x( )

Para que una función tenga inversa o recíproca ha de ser inyectiva, es decir, cada valor de y ha de corresponder de un único valor de x. Si no es así ha de descomponerse en tramos en los que sea inyectiva, cada uno de los cuales tendrá su función inversa. Esto le ocurre por ejemplo a y=x2

Para representar f −1(x) a partir de f x( ) trazaremos la bisectriz del primer y tercer cuadrante y la inversa o recíproca será simétrica a ( )f x respecto de esta bisectriz ya que si por ejemplo y= f x( ) pasa por (2, 4) la inversa o recíproca pasará por (4, 2)

J) REPRESENTACIÓN DE 1 ( ) y

f x

= A PARTIR DE y= f x( ) Para la construcción gráfica de

) (x f

1

a partir de f(x) tendremos en cuenta:

• Tanto f(x) como

) (x f

1

tienen el mismo signo, esto significa que si una es positiva (está por encima del eje x) la otra también lo es y si una es negativa (está por debajo del eje x) la otra también lo es.

• Si f(x)=1 entonces 1 =1 ) (x f Si f(x)=-1 entonces 1 1 ₌₋ ) (x f esto se traduce

diciendo que las dos gráficas pasan por (x,1) y (x,-1)

• Si f x( )→0+ entonces →∞ ) (x f 1 . Si ( )f x →0− entonces →−∞ ) (x f 1 .

• f(x)→∞ entonces 1 0 ( ) f x + → . Si f(x)→−∞ entonces 1 0 ( ) f x − → . • Si f(x) crece ) (x f 1 es decreciente; si ( )f x decrece 1 ( ) f x es creciente. Ejemplos:

K) EJEMPLOS

Combinemos ahora los casos anteriores, para ello tendremos que tener muy en cuenta el orden de operaciones a realizar para construir correctamente la gráfica

‰ f(x)=4(x+3)2 −2

1. En este caso partimos de la función cuadrática

2. Sumamos 3 unidades a la variable:

trasladamos a lo largo del eje x 3 unidades a la izquierda.

3. Multiplicamos por 4 la función: dilatamos a lo largo del eje y.

4. Restamos 2 unidades a la función:

trasladamos a lo largo del eje y 2 unidades hacia abajo

‰ 3 2 4 1 − 3 − − = ( ) ) (x x f

1. En este caso partimos de la función cúbica

2. Restamos 3 unidades a la variable: trasladamos a lo largo del eje x 3 unidades a la derecha.

3. Multiplicamos por 1/4 la función: contraemos a lo largo del eje y. 4. Multiplicamos por –1: calculamos

la simétrica respecto del eje x

5. restamos 2 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje y 2 unidades hacia abajo.

‰ Tipo d cx b ax x f + + = ) ( ; 5 2 17 8 − − = x x x

f( ) . Podemos realizar el cociente y se tiene que

5 2 3 4 5 2 17 8 − + = − − x x x

Por lo tanto se trata de representar

5 2 1 2 3 4 . ) ( − ⋅ + = x x f 1. Partimos de x x f( )=1 2. Restamos 2.5 unidades a la

variable: trasladamos a lo largo del eje x 2.5 unidades a la derecha.

3. Multiplicamos por 3/2 la

función: dilatamos a lo largo del eje y.

4. Sumamos 4 unidades a la

función: trasladamos a lo largo del eje y 4 unidades hacia arriba.

• 5 3 18 12 + − − = x x x f( ) . Se trata de representar 5 3 2 4 + − + − = x x f( ) 3 5 1 3 2 4 + − ⋅ + − = x x f( ) a partir de x x f( )= 1 1. Partimos de x x f( )=1

2. Multiplicamos la variable por 1− : calculamos la simétrica respecto del eje y 3. Sumamos 5

3 unidades a la variable: trasladamos 5

3 unidades a lo largo del eje x a la izquierda.

4. Multiplicamos por 2/3 la función: contraemos a lo largo del eje y.

5. Restamos 4 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje y 4 unidades hacia abajo.

‰ Tipo f(x)=c px+q; f(x)=2 −3x+2

1. Partimos de f(x)= x

2. Multiplicamos por –1 la variable: simetría respecto al eje y

3. Multiplicamos por 3 la variable: contraemos el eje x

4. RESTAMOS 2 a la variable: trasladamos lo largo del eje x (a la derecha) 2 unidades.

5. Multiplicamos por 2 la función: dilatamos a lo largo del eje y.

‰ Tipo

f

(

x

)

=

ca

2. Multiplicamos por 2 la variable: contraemos el eje x

3. Restamos 4 a la variable: trasladamos lo largo del eje x (a la derecha) 4 unidades.

4. Multiplicamos por 4 la función:

dilatamos a lo largo del eje y.

‰ Tipo

f

(

x

)

=

c

⋅

log

(

kx

)

2. Multiplicamos por 2 la variable: contraemos el eje x

3. .Multiplicamos por 3 la función: dilatamos a lo largo del eje y. 4. Multiplicamos por –1 la función: simetría respecto al eje x

SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES:

Una función es simétrica respecto del origen cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de O en la misma gráfica.

(0, 0) O

Si es un punto de la gráfica, su simétrico pertenece también a la misma gráfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y ' son simétricos respecto del origen y sus coordenadas verifican que ( , ( )) P x f x '( ', ( ')) P x f x P ' ( ') ( ) x x f x f = − ⎧ ⎨ _{= −} ⎩ x Por tanto,

Una función es simétrica respecto del origen

cuando para todo punto x del dominio D se tiene que (0, 0) O

x

− pertenece a D y (f − = −x) f x( ).

Las funciones simétricas respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES. Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del origen, éstas tienen todos sus exponentes impares.

Ejemplos de funciones simétricas respecto del origen:

ƒ La función f x( ) 1 x = ya que f( x) 1 1 f( ) x x − = = − = − − x

Su gráfica como sabemos es (hipérbola equilátera) :

ƒ La función f x( )=x3 ya que f(− = −x) ( x)3= −x3 = −f x( ) ƒ La función ( )f x = ⋅x x| | ya que (f − = − ⋅ − = − ⋅x) ( x) | x| x x| |= −f x( ) ( , ( )) P x f x '( ', ( ')) P x f x x x − f x( ) ( ) f x − 1 ( ) f x x = 3 ( ) f x =x

SIMETRIA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS (OY). FUNCIONES PARES:

Sea . Se dice que f es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de OY en la misma gráfica.

:

f D→\

Si es un punto de la gráfica, su

simétrico pertenece también a la

misma gráfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y son simétricos respecto del eje OY y sus coordenadas verifican que

( , ( )) P x f x '( ', ( ')) P x f x ' P ' ( ') ( ) x x f x f x = ⎧ ⎨ ₌ ⎩

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) cuando para todo punto x del dominio D se tiene que −x pertenece a D y

( ) ( )

f − =x f x .

Geométricamente significa que si doblamos el papel por el eje OY, las dos partes de la gráfica coinciden.

Estas funciones reciben también el nombre de FUNCIONES PARES. Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del eje OY, éstas tienen todos sus exponentes pares.

Ejemplos de funciones simétricas respecto del eje de ordenadas:

ƒ La función cuadrática f x( )=x2 ya que f(− = −x) ( x)2 =x2 = f x( ).

ƒ La función valor absoluto ( )f x =| |x ya que (f − = − =x) | x| | |x = f x( )

ƒ La función f x( )= −x2 | |x ya que f(− = −x) ( x)2− − = −| x| x2 |x|= f x( ) Sus respectivas gráficas serían:

( , ( )) P x f x '( ', ( ')) P x f x ( ) f x ( ) f x x − x 2 ( ) f x =x f x( )=| |x 2 ( ) | | f x = −x x

FUNCIÓN PERIÓDICA:

Sea . Se dice que f es periódica si existe un número real, no nulo, T, llamado PERIODO, tal que para todo

:

f D→\

x∈D, x T+ ∈D y se verifica que (f x + T = f x) ( ).

De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función f, también lo es 2T, 3T,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre de periodo principal o propio.

El conocimiento de la gráfica de una función en un periodo nos permite construir por periodicidad toda la gráfica.

Ejemplos de funciones periódicas:

ƒ Todas las funciones circulares:

Las funciones seno y coseno tienen por periodo T = π2 , mientras que la función tangente y la cotangente tienen por periodo T = π.

ƒ La función decimal o mantisa: su periodo principal es 1.

FUNCIONES ACOTADAS.

Funciones acotadas superiormente.

Una función f se dice que está acotada

superiormente si existe un número real M tal que )

( )

(x M x Dom f

f ≤ ∀ ∈

Este número real M recibe el nombre de

COTA SUPERIOR de la función f.

Geométricamente significa que ninguna imagen es superior al valor M y, por tanto, la gráfica de la función f estará por debajo de la recta y = M.

NOTA: Si M es una cota superior de la función f, cualquier otro número real M’ mayor que M, también es cota superior de f. En consecuencia, si una función está acotada superiormente siempre tendrá un conjunto de cotas superiores.

( )

f x M

'