EJERCICIOS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD
1) ¿Cuáles de las siguientes gráficas pertenecen a funciones?
Sol: Las de los apartados a, b y d 2) Halla el dominio de definición de las funciones siguientes:
a) f x( )= x2 +1 b) f x( )= x−1 c) f x( )= 1−x d) f x( )= 4−x2 e) f x( )= x2 −4 f) f x x ( )= − 1 1 2 g) f x x ( )= − 1 1 h) f x( )=x2 −2x+3 i) f x x ( )= 12 j) f x x ( ) = − 1 4 2 k) x x x f + = 23 ) ( l) 3 2 1 ) ( 2 + + = x x x f m) 2 1 ) ( 2 − = x x f Sol: a)D( f)=R, b)D( f)=
[
1,+∞)
, c)D(f)=(
−∞,1]
, d)D(f)=[
−2,2]
, e)D(f)=R\(
−2,2)
, f)D(f)=R\[ ]
−1,1 , g)D(f)=(
−∞,1)
, h)D( f)=R, i)D(f)=R\{ }
0 , j)D(f)=R\{
−2,2}
, k)D(f)=R\{ }
−1,0 , l)D( f)=R, m)D(f)=R\{
− 2, 2}
,3) Ponemos al fuego un cazo con agua a 10º C. En cinco minutos, alcanza 100º C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente.
a) Representa la función que describe este fenómeno y halla su expresión analítica. b) Di cuál es su dominio.
4) De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden x.
a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x. b) ¿Cuál es el dominio de la función?
Sol: a) A(x)=16−2x2, b) D(A)=
[ ]
0,25) Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/2 y 2x cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x.
b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene 1 litro de volumen. Sol: a)V(x)= x3, b) D(V)=
[ ]
0,1 , expresando las unidades en dm.6) La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente hasta un máximo de 15 g. Representa la función peso del paciente - cantidad de medicamento y halla su expresión analítica.
7) El precio del metro cuadrado de un material plástico para suelos depende de la cantidad que compremos, x, y viene dado por la función f(x) definida así:
(
)
(
)
≤ ≤ − − < < − − ≤ ≤ − = 5000 1000 1000 002 , 0 65 1000 500 500 02 , 0 75 500 0 05 , 0 100 ) ( x si x x si x x si x x fa) Representa gráficamente esta función y estudia su continuidad. b) ¿Cuál será el precio si compro 300 m2?
c) Para conseguir un precio inferior a 70 pts/m2, ¿cuántos metros, como mínimo, tengo que comprar?
8) Representa las funciones siguientes, en las que se ha restringido su dominio: a) f(x)=x2 −4, si x∈
[
−2,3]
b) 2 5 ) (x x f = − , si x∈[
2,+∞)
9) Representa gráficamente las funciones siguientes y di si son continuas o discontinuas a) > − ≤ − = 1 1 1 1 ) ( 2 x si x x si x x f b) > < + = 1 3 1 2 ) ( x si x si x x f c) = − ≠ = 1 1 1 ) ( 2 x si x si x x f
10) El consumo de gasolina por cada 100 km de un automóvil es, dependiendo de la velocidad, 7,2 l a 90 km/h y 10,8 l a 110 km/h. Estima el consumo cuando la velocidad es de 100 km/h y cuando es de 120 km/h
Sol: 9 l a 100 km/h y 12,6 l a 120 km/h
11) En una oficina de cambio nos han dado por 500 ptas., 17 francos, y por 10000 ptas., 397 francos. Calcula cuántos francos nos darán por 3000 ptas.
Sol: Nos darán 117 francos
12) La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido 2482 pts por 12 m3 y en octubre, 4381,5 pts por 42 m3. ¿Cuánto pagarán si consumen 28 m3?
Sol: Pagarán 3441 ptas.
13) Di cuál es el límite cuando x tiende a 2 de las funciones representadas en las gráficas siguientes:
14) Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos indicados: a) f x x x ( )= − 3 2 4 en x=-2, x=0 y x=2 b)
(
)
f x x x ( )= − − 4 12 2 2 en x=2, x=0 y x=3 c) f x x x x x ( )= − + + − 2 2 2 1 2 3 en x=1 y x=-3 d) f x x x x ( )= + 4 3 2 3 en x=0 y x=-3 Sol: a) ( ) 2 f x lim x→− ∃ , ( ) 0 0 = → f x lim x ,∃limx→2 f(x) b) =−∞ →2 f(x) lim x ,limx→0 f(x)=−3,limx→3 f(x)=0 c) ( ) 0 1 = → f x lim x ,∃xlim→−3 f(x) c) ( ) 0 0 = → f x lim x ,∃xlim→−3 f(x)15) Calcula los siguientes límites y representa las ramas correspondientes:
a. lim
(
x x)
x→∞ − + + 2 3 5 b. lim x(
x)
x→∞ 5 +7 3 c. lim(
x)
x→∞ − +6 d. lim x x→∞ 1 3 e. lim x x→∞ 3 f. lim x x→∞ −1 2 g. lim x x→∞ − − 3 1 5 h. limx x x→∞ − 2 3 3 i. lim x x x→∞ − + 1 1 3 3 j.(
)
2 1 3 − ∞ → x lim x k. x lim x − − ∞ → 3 2 l. 1 1 2 − − ∞ → x lim x m.(
)
3 2 1 x lim x→∞ − n. 2 1 2 + − ∞ → x x lim x o. x x lim x − + ∞ → 1 5 p. 3 3 2 + − ∞ → x x lim x q. 1 1 2 1 − − → x x lim x r. x x x lim x + → 2 0 s. 6 5 9 2 2 4 3 − + − → x x x x lim x t. 3 2 0 x x x lim x − → Sol: a)−∞, b)+∞, c)−∞, d) 0, e) 0, f) 0, g)−∞, h)+∞, –1, j) 0, k) 0, l) 0, m) 0, n) 2, o) –1, p) –3, q) 1 2, r) 1 s) 54, t) ∞16) Sobre la gráfica de la función siguiente, calcula los límites indicados:
a) ( )
3 f x
lim
x→−− b)xlim→−3+ f(x) c) limx→0 f(x) d) xlim→−∞ f( x)
e) ( )
2 f x
lim
x→ − f) xlim→2+ f(x) g) xlim→+∞ f( x) h) xlim→−2 f(x)
17) Se ha comprobado que las pérdidas o ganancias de una empresa se ajustan a la función 2 4 2 ) ( + − = x x x
f (los resultados se obtienen en millones de pesetas), siendo x los años de vida de la empresa.
a) Representa la función
b) ¿En qué año deja la empresa de tener pérdidas?
c) ¿Están limitados sus beneficios? Si lo están, ¿cuál es su límite?
Sol: b) La empresa deja de tener pérdidas a partir del tercer año. c) El límite de los beneficios es 2 millones de pesetas.
18) El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta, x, así:
> + ≤ ≤ + = 100 25 100 100 0 20 6 , 0 ) ( x si x x x si x x g ,
donde la renta y el gasto vienen expresados en miles de pesetas. a) Representa g(x) y di si es una función continua.
19) Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas: a) f x x x x ( ) = − + + 2 2 3 2 1 b) f x x x ( )= + 1 2 c) f x x x x ( )= − + − 2 2 2 1 d) f x x x ( ) = + 3 2 1 e) f x
(
)
x x ( )= − 3 2 1 f) 1 2 ) ( 2 − + = x x x f g) 1 ) ( 2 2 + + = x x x x f h) 2 9 1 ) ( x x f − = i) x x x f( )= +1+ 5Sol: a) y=1, b) y=0, c) x=1, y=x-1, d) y=x, e) x=1, y=x+2, f) y=0, x=1, x=-1, g) y=1 h) y=0, x=3, x=-3, i) x=0, y=x+1
20) Calcula los límites siguientes:
a) x x x lim x 2 4 2 0 − → b) x x x lim x 3 2 2 0 + → c) h h h lim h 2 3 0 2 3 − → d) h h h lim h 4 7 2 0 − →
Indicación: Saca factor común y simplifica las expresiones.
Sol: a) –2, b) 3, c) 0, d) 4
7
−
21) Representa gráficamente esta función y explica por qué no es continua en x=0.
= ≠ = 0 2 0 1 ) ( x si x si x x f
22) Representa gráficamente las funciones siguientes y di si son continuas o discontinuas
a) > + ≤ − = 2 6 2 2 3 ) ( 2 x si x x si x x f b) > ≤ − = 0 3 0 3 ) ( x si x x si x x f c) ≥ < − = 5 5 5 20 ) ( 2 x si x si x x f d) = ≠ + = 2 4 2 1 ) ( 2 x si x si x x f
23) Sobre la gráfica de la función siguiente, calcula los límites indicados: a) ( ) 1 x f lim x→− b) ( ) 1 x f lim x→+ c) ( ) 0 f x lim x→ d) xlim→−∞ f( x) e) ( ) 3 x f lim x→ − f) ) ( 3 x f lim x→+ g) ) ( x f lim x→+∞ h) xlim→−2 f(x)
