ESO MATEMÁTICAS. En la elaboración de este libro se han tenido en cuenta las normas ortográficas establecidas por la RAE en diciembre de 2010.

En la elaboración de este libro se han tenido en cuenta las normas ortográficas establecidas por la RAE en diciembre de 2010.

1

º

ESO

1

utiliza

Números

romanos

son

•

I

=

1

•

V

=

5

•

X

=

10

•

L

=

50

•

C

=

100

•

D

=

500

•

M

=

1000

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Sistema de

numeración

decimal

operaciones

Jerarquía de operaciones

Paréntesis

• Suma • Resta • Multiplicación • División • Conmutativa de la suma y del producto • Asociativa de la suma y del producto

• Distributiva del producto respecto de la suma • Fundamental de la división entera • DM=10.000.000 • UM=1.000.000 • Cm=100.000 • Dm=10.000 • Um=1.000 • C=100 • D=10 • U=1

_propiedades

La forma de contar que usamos en la actualidad se basa en el sistema de

numera-Números

Naturales

¿Qué necesitas saber?

Recuerda

•

Leer y escribir números naturales de seis o más cifras.

•

Sistema de numeración decimal.

•

Comprobación de resultados mediante estrategias numéricas.

•

Propiedades de las operaciones y relaciones entre ellas utilizando números naturales.

•

Utilización de operaciones de suma, resta, multipli-cación y división con números naturales, en situa-ciones cotidianas y en contexto de resolución de problemas.

Resuelve

Sumas y restas

¿Cómo se leen los siguientes números? a) 645.982

b) 1.234.300 c) 89.456.213

Solución: a) Seiscientos cuarenta y cinco mil novecien-tos ochenta y dos.

b) Un millón doscientos treinta y cuatro mil trescientos.

c) Ochenta y nueve millones cuatrocientos cincuenta y seis mil doscientos trece. Opera:

a) 23 + 34 +5 c) 8 · 4 · 6 e) 5 · 2 – 4

b) 13 – 4 + 6 d) 5 · 4 + 5 f) 6 : 3 + 4

Solución: a) 62; b) 15; c) 192; d) 25; e) 6; f) 6

Resolución de problemas

Luis gastó 13 € en un libro y 20 € en un CD de música.

Si tenía 50 €, cuánto le queda todavía.

1

Números naturales

El conjunto de los números naturales se representa por la letra N y se corres­ ponde con el siguiente conjunto de números:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 20, ..., 1.000, ...}

Aunque el 0 es una cifra que se usa para expresar números naturales, no es propiamente un número natural.

Tenemos que saber que los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no siempre se han escrito de esta manera, de hecho, la representación que conocemos en la actualidad proviene de la escritura árabe.

Números romanos

Además del sistema decimal, el sistema de numeración para expresar nú­ meros naturales que nos resulta más conocido es el de los números roma­ nos. Este sistema utiliza letras para representar números cuya equivalencia con el sistema decimal es la siguiente:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1.000 Las reglas prácticas para usar los números romanos son las siguientes:

• Los valores de las letras I, X y C se suman.

• Las letras I, X y C pueden repetirse hasta tres veces seguidas.

• La letra M se puede poner tantas veces como haga falta.

• Las letras V, L y D solo se pueden poner una vez.

• Si una letra está a la derecha de otra de mayor valor se suman sus valores.

• Si una letra está a la izquierda de otra de mayor valor se restan sus valores. ejemplos • III = 1 + 1 + 1 = 3 • VI = 5 + 1 = 6 • MV = 1.000 + 5 = 1.005 • DCXII = 500 + 100 + 10 + 2 = 612 • CMLII = 1.000 – 100 + 50 + 2 = 952 • MCMLIV = 1.000 + 1.000 – 100 + 50 + 5 – 1 = 1.954

Nuestro sistema de nu­ meración procede del sis­ tema de numeración de­ sarrollado en la India, que introdujeron los árabes en Europa, de ahí su nombre: sistema indoarábigo. Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Indoarábigo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Representación

indoagábiga

1. Escribe en el sistema de numeración romano las siguientes cantidades: a) 43 b) 214 c) 132 d) 987 e) 1.343 f) 2.364

2. Escribe en el sistema decimal el valor de los siguientes números romanos: a) CII b) LIV c) CCCXXI d) MMDXLII e) MCCLIV f) CXLIV

AC

TIVI

DA

DE

2

Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración romano tiene muchos problemas. Quizá el

más importante es que no se puede operar con sencillez. Por ejem­ plo, si quisié ramos sumar los números MCCIV y CDLII, tendríamos que hacer primero la correspondencia con el sistema decimal, luego hacer la suma y finalmente transformar el resultado a números romanos. Comprueba si el resultado es MDCLVI.

Para resolver este problema se utiliza el sistema de numeración de­ cimal. Este sistema es posicional, lo que quiere decir que cada dígito tiene un valor en función de la posición que ocupe.

La tabla de posiciones es la siguiente:

Antes de resolver un ejercicio lee atentamente

el enunciado para saber exactamente

lo que se pide.

tabladeposiciones

... _deunidades_{millón de}centenas_{millar de}decenas_{millar de}unidades_millar centenas decenas unidades

... UM Cm Dm Um C D U

... 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1 Teniendo en cuenta el valor de sus diferentes cifras, cada número natural tiene una descomposición polinómica que se realiza como indicamos en los siguientes ejemplos:

ejemplos

• 1.324 = 1 · 1.000 + 3 · 100 + 2 · 10 + 4 = 1.000 + 300 + 20 + 4 1 unidad de millar + 3 centenas + 2 decenas + 4 unidades • 20.567 = 2 · 10.000 + 5 · 100 + 6 · 10 + 7 = 20.000 + 500 + 60 + 7 2 decenas de millar + 5 centenas + 6 decenas + 7 unidades • 2.423 = 2 · 1.000 + 4 · 100 + 2 · 10 + 3 = 2.000 + 400 + 20 + 3 2 unidades de millar + 4 centenas + 2 decenas + 3 unidades

En el último ejemplo tenemos dos cifras 2; en la primera posición por la izquierda vale 2.000, mientras que en la posición tercera por la iz­ quierda tiene un valor de 20. Vemos que el mismo dígito tiene un valor distinto dependiendo de la posición que ocupa.

El sistema de numeración deci­ mal utiliza 10 dígitos:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

recuerda

3. Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:

a) 1.342 b) 453 c) 10.456 e) 700.563 e) 71.240 f) 90.305 4. Escribe el número que se corresponde con cada una de las siguientes descomposiciones

polinómicas:

a) 6 · 1.000 + 6 · 10 + 5 c) 8 · 10.000 + 3 · 1.000 + 2 · 100 + 1 · 10 + 2 b) 5 · 1.000 + 4 · 10 d) 2 · 1.000.000 + 3 · 100.000 + 5 · 10 + 2 5. Para cada uno de los números del ejercicio 3, indica a qué cifra corresponde cada dígito.

AC

TIVI

DA

DE

3

Operaciones con números naturales.

Propiedades

3.1. Suma

Si tengo un cesto con 14 manzanas y otro cesto con 23 manzanas, al su-mar los dos cestos tendré en total 37 manzanas.

14 + 23 = 37

Se utiliza la suma de números naturales cuando queremos añadir dos o más cantidades.

Propiedad conmutativa de la suma

Si cambio el orden de los sumandos la suma no varía.

a + b = b + a

6. Realiza las siguientes sumas:

a) 5 + 4 + 1 + 11 c) 6 + 3 + 4 + 1 e) 7 + 2 + 3 + 1 + 2 b) 8 + 5 + 6 + 1 + 2 + 9 d) 7 + 2 + 11 + 23 f) 10 + 1 + 100 + 31 7. Realiza las siguientes restas:

a) 7 – 2 b) 34 – 23 c) 89 – 23 d) 54 – 12 e) 8 – 2 f) 21 – 8 8. ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la resta de números enteros? ¿Por qué?

9. Realiza las siguientes operaciones:

a) 4 + 3 – 5 c) 9 – 2 + 4 – 5 e) 3 – 1 + 2 + 4 – 3 b) 6 – 1 – 2 + 4 d) 7 + 3 – 1 – 2 f) 2 + 3 – 2 + 8 – 7

AC

TIVI

DA

DE

S

3.2. Resta

Si en el cesto en que tenía 23 manzanas hay 12 con gusano, ¿cuántas manzanas sanas me quedan?

23 – 12 = 11 manzanas sanas

Se utiliza la resta de números naturales cuando a una cantidad le queremos sustraer otra cantidad.

3.3. Operaciones con sumas y restas

Si en la misma operación tenemos sumas y restas, las operaciones se hacen de izquierda a derecha. ejemplos • 4 + 5 – 3 + 2 – 4 = 9 – 3 + 2 – 4 = 6 + 2 – 4 = 8 – 4 = 4 • 7 – 2 + 3 – 2 – 5 + 8 = 5 + 3 – 2 – 5 + 8 = 8 – 2 – 5 + 8 = 6 – 5 + 8 = = 1 + 8 = 9 • 6 – 3 + 4 – 3 – 4 = 3 + 4 – 3 – 4 = 7 – 3 – 4 = 4 – 4 = 0 • 7 + 8 – 6 – 3 + 2 = 15 – 6 – 3 + 2 = 9 – 3 + 2 = 6 + 2 = 8

3.4. Multiplicación

En una caja caben 15 libros. Si tengo 5 cajas, ¿cuántos libros tengo? Tenemos dos alternativas:

• Sumar el contenido de todas las cajas:

15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75 libros

• Utilizar la multiplicación. La suma anterior es equivalente a multiplicar los libros que caben en cada caja por el número total de cajas:

15 · 5 = 75

Propiedad conmutativa de la multiplicación

Si cambio el orden de los factores el resultado no varía. a · b = b · a

Propiedad fundamental de la división entera

En una división entera se cumple la siguiente igualdad:

Dividendo=divisor · cociente + resto, con resto < divisor

No te precipites a la hora de resolver las actividades, piensa siempre lo que tienes

que hacer en cada paso.

10. Realiza las siguientes operaciones:

a) 9 · 72 b) 15 · 6 c) 35 · 12 d) 15 · 24 e) 12 · 3 f) 23 · 14 11. Calcula las siguientes divisiones:

a) 50 : 10 c) 35 : 7 e) 36 : 12 b) 78 : 13 d) 615 : 15 f) 48 : 6 12. En cada caja de huevos caben 7 docenas. ¿Cuántos huevos llevo en 3 cajas? 13. Aplica la propiedad fundamental de la división entera a las siguientes divisiones:

a) 45 : 13 c) 63 : 17 e) 134 : 54 b) 54 : 21 d) 73 : 12 f) 98 : 26

AC

TIVI

DA

DE

S

3.5. División

Queremos empaquetar 30 libros en cajas de 6 libros cada una.

En este caso, utilizaremos la división para repartir los 30 libros en varias cajas iguales, para obtener el número de cajas que necesitamos.

30 6 30 : 6 = 5 cajas 0 5

En nuestro ejemplo no sobra ningún libro, por tanto, tenemos lo que llama­ mos una división exacta.

También podría ocurrir que en vez de tener 30 libros tuviéramos 32. Tendría­ mos que utilizar también 5 cajas, pero sobrarían 2 libros (resto). En este caso hablaríamos de división entera.

Propiedad

fundamental

de la división entera

D d r c D = d · c + r r < d Si la división es exacta: D = d · c

4

Jerarquía de operaciones

Juan tiene cajas de distintos tamaños: 5 cajas con 12 libros cada una, 6 cajas con 8 libros cada una y 13 cajas con 5 libros cada una. ¿Cuántos libros tiene en total?

Primer tipo de caja → 5 · 12 = 60 libros. Segundo tipo de caja → 6 · 8 = 48 libros. Tercer tipo de caja → 13 · 5 = 65 libros. En total tiene 60 + 48 + 65 = 173 libros.

Si lo ponemos en una única operación, esta sería la siguiente: 5 · 12 + 6 · 8 + 13 · 5 = 60 + 48 + 65 = 173

Si nos fijamos, hemos realizado primero los productos y luego las sumas. La regla general de la jerarquía de operaciones es la siguiente: 1. Se realizan los productos y las divisiones.

2. Si hay varios productos y divisiones encadenados, estos se operan en orden de izquierda a derecha.

3. Se realizan las sumas y las restas.

4. Si existen varias sumas o restas encadenadas, estas se operan en orden de izquierda a derecha.

14. Opera:

a) 4 · 5 – 4 : 2 + 3 · 4 · 7 b) 18 : 6 – 3 · 2 : 2 + 5 · 4 · 5 15. Realiza las siguientes operaciones:

a) 65 : 5 + 3 – 3 · 4 – 5 · 3 : 5 – 15 : 3 + 3 b) 24 : 6 + 4 · 3 + 2 – 6 · 4 : 3 – 3

16. Luis tiene 60 manzanas y las mete en bolsas de 5 manzanas cada una. María tiene 36 peras y las guarda en bolsas de 6 peras cada una. ¿Cuántas bolsas tienen entre los dos? Resuélvelo como una única operación combinada.

17. Tengo que recorrer los 420 km que hay de Madrid a Alicante. Si ya he conducido 2 h a 120 km/h, ¿cuántos kilómetros me quedan por recorrer? Si el resto del camino lo realizo a 90 km/h, ¿cuánto tiempo me queda para llegar?

AC

TIVI

DA

DE

S

ejemplos • 6 · 4 – 8 : 2 : 2 + 3 · 2 · 5 = 24 – 4 : 2 + 6 · 5 = 24 – 2 + 30 = 22 + 30 = 52 • 27 : 3 + 2 · 5 · 2 – 3 · 4 = 9 + 10 · 2 – 12 = 9 + 20 – 12 = 29 – 12 = 17 • 5 · 6 : 3 + 9 · 3 – 4 · 2 · 2 = 30 : 3 + 27 – 8 · 2 = 10 + 27 – 16 = 37 – 16 = 21 • 4 · 5 – 9 : 3 : 3 + 4 · 3 – 3 = 20 – 3 : 3 + 12 – 3 = 20 – 1 + 12 – 3 = 19 + 12 – 3 = = 31 – 3 = 28

Uso de paréntesis

5

Marta y Daniel tienen 36 y 60 huevos respectivamente. ¿Cuántas docenas tienen entre los dos?

Para resolver este problema tenemos dos alternativas:

• Saber cuántas docenas tiene cada uno y sumarlas:

Marta → 36 : 12 = 3 Daniel → 60 : 12 = 5 Total → 8 docenas Como vimos en el apartado anterior, en una única operación sería:

36 : 12 + 60 : 12 = 3 + 5 = 8 docenas

• Saber cuántos huevos tienen entre los dos y luego dividir para calcular el número de docenas:

Total de huevos → 36 + 60 = 96 Total de docenas → 96 : 12 = 8 Con una sola operación se escribiría de la siguiente forma:

(36 + 60) : 12 Y se resolvería de la siguiente manera:

(36 + 60) : 12 = 96 : 12 = 8 docenas

Podemos observar que con la segunda alternativa, utilizando paréntesis, se realizan menos operaciones.

18. Opera:

a) 6 – (7 + 4 + 5) : 4 b) 2 · (7 – 2) – 4 c) 3 · (5 – 2 · 2) d) 8 : (14 – 5 · 2) + 3 19. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) (7 + 4 + 5) : 4 – 2 · (7 – 5) b) 3 · (5 – 2 · 2) + 2 · (7 – 2) 20. Realiza las siguientes operaciones y compara los resultados:

a) ( ) ( ) ( ) : : 6 3 5 6 3 5 4 7 4 4 7 4 16 8 4 16 8 − ⋅ − ⋅    ⋅ − ⋅ −    − − 44    b) ( ) ( ) ( ) : : 6 3 5 6 3 5 4 7 4 4 7 4 16 8 4 16 8 − ⋅ − ⋅    ⋅ − ⋅ −    − − 44    c) ( ) ( ) ( ) : : 6 3 5 6 3 5 4 7 4 4 7 4 16 8 4 16 8 − ⋅ − ⋅    ⋅ − ⋅ −    − − 44   

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S

Cuando en una operación combinada aparecen paréntesis, lo primero que debemos resolver son las operaciones que se encuentran en su interior. La jerarquía que utilizamos dentro de los paréntesis es la misma que vimos en el apartado anterior. ejemplos • 6 · (18 – 8) – (2 + 3) · 5 = 6 · 10 – 5 · 5 = 60 – 25 = 35 • 72 : (2 + 8 : 2) + 8 · 2 = 72 : (2 + 4) + 16 = 72 : 6 + 16 = 12 + 16 = 28 • 18 · (24 : 6 – 2 · 2 + 3 – 2 + 7 · 2) = 18 · (4 – 4 + 3 – 2 + 14) = 18 · 15 = 270 • 6 · (5 – 2 · 2) + 4 · (12 : 3 – 3 + 2 · 7 · 2) = 6 · (5 – 4) + 4 · (4 – 3 + 14 · 2) = = 6 · (1) + 4 · (4 – 3 + 28) = 6 + 4 · (1 + 28) = 6 + 4 · (29) = 6 + 116 = 122

6

Propiedades con paréntesis

Juan, María y Luis tienen 12, 13 y 17 años respectivamente.

¿Cuánto suman las edades de estos tres amigos? 12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 25 + 17 = 42

o

12 + 13 + 17 = 12 + (13 + 17) = 12 + 30 = 42 Es decir,

12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 12 + (13 + 17) = 42

Propiedad asociativa del producto

Cuando realizamos un producto con varios factores, el resultado es independiente del modo en que se reúnan los productos.

(a · b) · c = a · (b · c)

Propiedad asociativa de la suma

Cuando realizamos una suma con varios sumandos, el resultado es independiente del modo en que se reúnan las sumas.

(a + b) + c = a + (b + c)

21. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en las siguientes sumas: a) 5 + (6 + 3) = (5 + 6) + 3 c) (7 + 15) + 9 = 7 + (15 + 9) b) 12 + (13 + 8) = (12 + 13) + 8 d) (17 + 32) + 23 = 17 + (32 + 23) 22. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en los siguientes productos:

a) 5 · (6 · 3) = (5 · 6) · 3 c) 12 · (13 · 8) = (12 · 13) · 8 b) (7 · 15) · 9 = 7 · (15 · 9) d) (17 · 32) · 23 = 17 · (32 · 23) 23. Juan tiene 6 �, Antonio 13 � y Paula 8 �. ¿Cuántos euros tienen entre los tres?

Resuélvelo de dos maneras distintas aplicando la propiedad asociativa. 24. Una empresa transporta leche en cajas de 12 botellas cada una. ¿Cuántas

botellas transportará esta empresa si utiliza 5 camiones y cada camión lleva 150 cajas? Resuélvelo de dos maneras distintas aplicando la propie-dad asociativa. ejeMplOS

•

(3 + 5) · 7 = 3 · 7 + 5 · 7 = = 21 + 35 = 56

•

6 · (4 + 5) = 6 · 4 + 6 · 5 = = 24 + 30 = 54

•

(7 – 4) · 9 = 7 · 9 – 4 · 9 = = 63 – 36 = 27

•

4 · (9 – 5) = 4 · 9 – 4 · 5 = = 36 – 20 = 16

•

5 · (12 + 21 – 13) = = 5 · 12 + 5 · 21 – 5 · 13 = = 60 + 105 – 65 = 100 Tengo 4 cajas con 15 paquetes de 50 folios cada uno. ¿Cuántos folios tengo?

4 · 15 · 50 = (4 · 15) · 50 = 60 · 50 = 3.000 o 4 · 15 · 50 = 4 · (15 · 50) = 4 · 750 = 3.000 Es decir, 4 · 15 · 50 = (4 · 15) · 50 = 4 · (15 · 50) = 3.000

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6.1. propiedad distributiva del producto

respecto de la suma

Andrea y Luis tienen 3 y 4 docenas de huevos respectivamente. ¿Cuántos huevos tienen entre los dos?

(3 + 4) · 12 Tenemos dos formas de resolverlo:

• Primero calculamos las docenas que tienen entre los dos y luego multipli­ camos por 12 para saber el número de huevos:

(3 + 4) · 12 = 7 · 12 = 84

• Calculamos cuántos huevos tiene cada uno multiplicando el número de docenas por 12 y luego sumamos los resultados:

(3 + 4) · 12 = 3 · 12 + 4 · 12 = 36 + 48 = 84

Si nos fijamos, hemos resuelto el apartado primero aplicando la regla de los paréntesis. En el segundo, sin embargo, hemos aplicado la propiedad distri­ butiva del producto respecto de la suma.

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

El producto de un número por la suma (o resta) de varios números es igual a la suma (o resta) de los productos de ese número por cada sumando.

a · (b + c) =a · b + a · c ó (b + c) · a=b · a + c · a a · (b – c) =a · b – a · c ó (b – c) · a=b · a – c · a De manera más general:

a · (b + c – d) =a · b + a · c – a · d

25. Opera aplicando la propiedad distributiva:

a) (4 + 6) · 5 b) 12 · (8 – 3) c) 2 · (5 + 4) d) (24 – 8) · 5

26. Comprueba, en las siguientes operaciones, que el resultado es el mismo si aplico la regla de los paréntesis o la propiedad distributiva:

a) (12 + 3 – 6) · 5 b) (15 – 4 – 3 – 2) · 9 c) 4 · (7 – 5 + 4) d) 9 · (5 – 4 + 3) 27. Resuelve aplicando la propiedad distributiva:

a) 6 + (7 + 4 + 5) · 4 c) (7 + 4 + 5) · 4 – 2 · (7 – 5) b) 8 · (14 – 5 – 2) + 3 d) 3 · (5 – 2 – 2) + 2 · (7 – 2) ejemplos • (3 + 5) · 7 = 3 · 7 + 5 · 7 = 21 + 35 = 56 • 6 · (4 + 5) = 6 · 4 + 6 · 5 = 24 + 30 = 54 • (7 – 4) · 9 = 7 · 9 – 4 · 9 = 63 – 36 = 27 •4 · (9 – 5) = 4 · 9 – 4 · 5 = 36 – 20 = 16 • 5 · (12 + 21 – 13) = 5 · 12 + 5 · 21 – 5 · 13 = 60 + 105 – 65 = 100

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S

Galileo Galilei dijo...

Las matemáticas son el alfabeto con el que Dios

ha escrito el Universo.

Galileo Galilei fue un astró­ nomo, físico, matemático y filósofo que nació en Italia en 1554 y murió en 1642. Con un telescopio, Galileo descubrió cuatro lunas de Júpiter, los cráteres de la Luna y las manchas solares, demostrando que los astros no eran tan perfectos como se pensaba hasta entonces. Además se dio cuenta de que Venus era un planeta del Sistema Solar.

Pero su mayor y más com­ prometido hallazgo fue descubrir que la Tierra gira alrededor del Sol y no al contrario, como se pensa­ ba hasta entonces.

Actividades resueltas

ejeRCICIOS

1. Pasa al sistema de numeración romano o decimal las

siguientes cantidades: a) 46 b) CCLXXXVIII Solución a) 46 = XLVI 40 = 50 – 10 = XL 6 = 5 + 1 = VI 46 = 40 + 6 = XLVI b) CCLXXXVIII = 288 CC = 100 + 100 = 200 LXXX = 50 + 10 + 10 + 10 = 80 VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8 CCLXXXVIII = CC + LXXX + VIII = 200 + 80 + 8 = 288 2. Escribe la descomposición polinómica de los

siguien-tes números:

a) 498 b) 3.687 c) 450.320

Solución

a) 498 = 4 · 100 + 9 · 10 + 8

4 centenas + 9 decenas + 8 unidades b) 3.687 = 3 · 1.000 + 6 · 100 + 8 · 10 + 7

3 u. de millar + 6 centenas + 8 decenas + 7 unidades c) 450.320 = 4 · 100.000 + 5 · 10.000 + 3 · 100 + 2 · 10 4 c. de millar + 5 d. de millar + 3 centenas + 2 decenas 3. Opera: a) 16 – 12 + 86 – 13 b) 34 – 13 + 5 + 6 – 15 c) 9 – 24 : 6 + 5 · 8 – 25 : 5 Solución a) 16 – 12 + 86 – 13 = 4 + 86 – 13 = 90 – 13 = 77 b) 34 – 13 + 5 + 6 – 15 = 21 + 5 + 6 – 15 = 26 + 6 – 15 = = 32 – 15 = 17 c) 9 – 24 : 6 + 5 · 8 – 25 : 5 = 9 – 4 + 40 – 5 = 5 + 40 – 5 = = 45 – 5 = 40

4. María y Pedro salen a cenar a una pizzería. María come 2 porciones a 3 € la porción y Pedro come 3 porciones a 4 € cada una. Además María bebe un refresco de li-món que le cuesta 1 € y Pedro una botella de agua que le cuesta 1 €. ¿Cuánto le costará la cena a María? ¿Y a Pedro? ¿Cuánto gastarán entre los dos?

Solución

María → 2 · 3 + 1 = 6 + 1 = 7 € Pedro → 3 · 4 + 1 = 12 + 1 = 13 €

5. Aplica la propiedad fundamental de la división entera a la división 135 : 23. Solución 135 23 20 5 D = _{135 d} = _{23 c} = _{5 r} = 20 D = d · c + r → 135 = 23 · 5 + 20 6. Opera: a) 5 · (6 – 3 + 4) – 9 : (6 – 3) b) 9 · (5 – 3 – 1) · (12 – 5) c) [12 · 8 – (7 + 5) · 6] – (9 – 5) : 4 + 3 Solución a) 5 · (6 – 3 + 4) – 9 : (6 – 3) = 5 · (3 + 4) – 9 : 3 = 5 · 7 – 3 = = 35 – 3 = 32 b) 9 · (5 – 3 – 1) · (12 – 5) = 9 · (2 – 1) · 7 = 9 · 1 · 7 = 9 · 7 = 63 c) [12 · 8 – (7 + 5) · 6] – (9 – 5) : 4 + 3 = [96 – 12 · 6] – 4 : 4 + 3 = = [96 – 72] – 1 + 3 = 24 – 1 + 3 = 23 + 3 = 26 7. Resuelve aplicando la propiedad distributiva: a) 3 · (8 + 5 + 2) b) 9 · (12 – 4 + 5) Solución a) 3 · (8 + 5 + 2) = 3 · 8 + 3 · 5 + 3 · 2 = 24 + 15 + 6 = = 39 + 6 = 45 b) 9 · (12 – 4 + 5) = 9 · 12 – 9 · 4 + 9 · 5 = 108 – 36 + 45 = = 72 + 45 = 117

8. A Inés le manda su madre a la frutería con 34 €. Allí com-pra 2 kg de peras a 2 €/kg, 3 kg de tomates a 3 €/kg, 5 kg de manzanas a 2 €/kg y 4 kg de patatas a 1 €/kg. ¿Cuán-tos kg de fresas a 3 €/kg podrá comprar? ¿Cuánto dinero le sobrará? Solución Inés ha gastado: 2 kg de peras · 2 €/kg = 4 € 3 kg de tomates · 3 €/kg = 9 € 5 kg de manzanas · 2 €/kg = 10 € 4 kg de patatas · 1 €/kg = 4 € Total = 4 + 9 + 10 + 4 = 27 €

Le quedan 34 € – 27 €= 7 € para comprar fresas. Dividimos 7 € entre 3 €/kg y miramos el cociente y el resto.

7 3 1 2

Actividades finales

ejeRCICIOS

Números naturales

f28. Escribe con símbolos romanos los siguientes números: a) 793 b) 83 c) 3.465 d) 481 e) 5.398 f) 273 f29. Escribe en el sistema decimal los siguientes números

romanos:

a) CCCXLV c) XCVI e) CCXLIV

b) MCDLIII d) MMMDCXXIV f) MMCCLXIII s30. Antonius le dijo a Marius que tenía LXIV cabras y que le

regalaba VIII. ¿Con cuántas cabras se quedó Antonius?

Sistema de numeración decimal

s31. Rellena una tabla como la siguiente con las cantida­ des que aparecen a continuación:

um cm dm um c d u

a) 32 centenas b) 213 unidades c) 32 centenas de millar

f32. Observa la tabla y contesta a las cuestiones:

cm dm um c d u

(1) 3 0 5 6

(2) 7 8 0 0 1 1

(3) 9 8 0 9 3

a) ¿Cuántas centenas hay en (1)?

b) ¿Cuántas decenas de millar hay en (2)? c) ¿Cuántas unidades hay en (3)?

s33. Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:

a) 3.809 c) 123 e) 489.230

Operaciones con números naturales.

propiedades

s34. Calcula los valores que faltan:

d d c r 80 20 4 60 12 45 325 21 10 s35. Opera: a) 45 : 13 c) 63 : 17 e) 134 : 54 b) 54 : 21 d) 73 : 12 f) 98 : 26

s36. Si reparto 150 alumnos en clases de 30 alumnos, ¿cuán­ tas clases necesito?

s37. Si en el ejercicio anterior fueran 175 alumnos, ¿cuán­ tos alumnos sobrarían?

d38. Pon un ejemplo y explica por qué no se puede aplicar la propiedad conmutativa en la división.

f39. ¿Cómo continúa la serie?

a) 1, 3, 6, 10, 15, 21... c) 1, 2, 4, 8, 16, 32... b) 30, 27, 24, 21, 18, 15... d) 1, 2, 6, 24, 120, 720... f40. Calcula el valor de las letras en cada operación:

a) 5 + a + 3 = 15 c) 6 · c = 30 b) b + 7 – 3 = 10 d) 36 : d = 12

jerarquía de operaciones

s41. Calcula: a) 6 · 3 – 7 – 5 · 2 + 4 d) 5 · 9 – 35 : 7 – 8 b) 7 – 3 · 2 + 2 · 8 e) 21 : 3 + 2 · 5 – 9 : 3 c) 2 + 6 · 2 – 4 · 3 + 3 f) 4 · 2 + 5 · 3 – 32 : 4 s 42. Opera: a) 17 – 5 · 3 – 2 d) 17 – 4 · 3 + 3 · 2 b) 2 · 6 – 4 + 5 · 3 e) 25 : 5 – 5 + 5 · 9 c) 23 + 5 · 5 – 6 : 3 f) 8 + 5 · 5 – 24 : 4

Uso de paréntesis

f43. Opera y observa el resultado:

a) 8 5 2 8 5 2 7 4 3 7 4 3 + − + −    − − − −    ( ) ( ) c) 8 5 2 8 5 2 7 4 3 7 4 3 + − + −    − − − −    ( ) ( ) b) 8 5 2⋅ − 8 4 2 ⋅ −   ( )  : (8 5 2_{⋅ −}⋅ −₋(− ) d) ) 8 4 2: ( ₋− )

Actividades finales

Uso de paréntesis

s 44. Aplica la propiedad distributiva y opera: a) 5 · (9 – 5) c) (9 – 6) · 3 b) (8 – 5 + 4) · 6 d) (9 + 4 – 10 + 3) · 3 f 45. Opera: a) (6 – 4) · 5 + 6 · (7 – 5) b) (10 – 5 – 4) · 7 – (8 – 4) : 2 c) (6 + 5 – 3) · 8 · (4 – 2) – (5 – 3) d) 5 + (16 – 8) · (10 – 2) – (14 – 6 – 3) f 46. Opera: a) 6 · (8 – 5) – (4 – 2) · 7 b) 8 + (18 – 10) : 4 · 6 – (15 – 6) : 3 c) (13 – 6) · (17 – 15) : (9 – 2) + 15 : 3 d) 8 · (5 – 2) : 2 + (25 – 3) : 2 f 47. Resuelve: a) (1 + 5 – 4) · 3 – (10 – 6) : 4 b) (8 – 4) · 2 + 3 · (9 – 7) c) (6 – 4) · (8 – 3) – (10 – 9 : 3) d) (16 – 5 – 3) : 8 + (4 – 3) – (5 – 3) + 3 · 4 d 48. Opera: a) [5 – (8 – 3) + (5 + 3) · 6] – (8 – 3) · 5 b) 6 · [6 – (4 – 3) + (6 + 3) : 3 – 36 : 12] · 5 – 2 · 4 c) 7 + (9 – 5) · [(8 – 3) : 5 – (4 – 3) · (6 – 5)] d) 9 – (8 – 5) + [6 + (9 – 3) : 2 – (9 – 4) : 5]

propiedades con paréntesis

f 49. Podemos definir la propiedad distributiva de la divi­ sión respecto de la suma de la siguiente manera:

(9 – 6) : 3 = 9 : 3 – 6 : 3 = 3 – 2 = 1 Aplícala a estos apartados:

a) (15 + 5) : 5 b) (35 – 14) : 7 c) (8 – 4) : 2 d 50.Resuelve: a) 4 · [5 – (4 – 3) + (5 + 4) : 3 – 36 : 12] · 3 + 3 · (5 – 2) b) [15 – (8 – 6) + (1 + 4) · 6] – (20 – 5) : 5 c) 10 – (13 – 5) + [5 + (9 – 3) : 6 – (15 – 5) : 5] d) 17 + (4 – 2) · [(23 – 3) : 10 + 13 – (7 – 2) · (6 – 4)]

pROBleMAS

s 51. Juan, Luis y Laura salen con 20, 30 y 10 € respectiva­ mente. Juan gasta la mitad, Luis 13 € y Laura se en­ cuen tra un billete de 20 €. ¿Cuánto dinero tienen entre los tres cuando llegan a casa?

s 52. Luis gastó 13 € en un libro y 20 € en un CD de música. Si tenía 50 €, ¿cuánto le queda?

f 53. ¿Qué números pares seguidos suman 30?

f 54. Andrea tiene el instituto a 450 m de su casa. Si sale a las 8:15 de su casa y tarda 5 min por cada 50 m, ¿a qué hora llegará a clase?

f 55. Para ir de Madrid a Cádiz tengo que recorrer 720 km. ¿Cuánto tardaré a una velocidad media de 120 km/h? f 56. Las edades de Luis, Pedro y María suman 40 años. Si Luis

tiene 16 años, ¿qué edad tienen Pedro y María si son mellizos?

f 57. ¿Cuál es el valor de la siguiente cesta de la compra?

• 3 kg de kiwis a 3 €/kg

• 2 kg de aguacates a 5€/kg

• 1 kg de naranjas a 2 €/kg

• 2 kg de merluza a 35 €/kg

• 4 kg de patatas a 2 € cada 2kg

f 58. El producto de dos números es 90. Si uno es 15, ¿cuál es el otro?

f 59. Sandra dedica a estudiar, de lunes a viernes, 2 h al día. Si cada mes tiene cuatro semanas, ¿cuántas ho­ ras dedica al estudio en un mes?

f 60. ¿Qué altura tiene cada una de las 20 plantas de un edificio que mide 120 m de altura?

AUTOeVAlUACIÓN

d 62. Con los datos del ejercicio anterior, si cada día consu­ men en su casa 4 L de agua, ¿para cuántos días tendrán agua?

f 63. En la liga de baloncesto hay 18 equipos con 8 juga­ dores por equipo que miden, aproximadamente, 2 m cada uno. Colocados uno encima de otro, ¿llegaría­ mos al tejado de un edificio de 250 m de altura? s 64. Los tres hoteles de un pueblo tienen 35, 60 y 75 habi­

taciones respectivamente. Si este fin de semana se espera un congreso de médicos al que acudirán 230, ¿cuántos médicos tendrán que dormir en el pueblo de al lado por falta de habitación?

d 65. Si conducimos 2 h a 100 km/h, 3 h a 110 km/h y 1 h a 120 km/h, ¿cuántos kilómetros recorreremos? d 66. Sara tiene que comprar dos ramos de flores, uno para

su madre y otro para su abuela. Cada ramo está com­ puesto por una decena de rosas y cada rosa vale 10 €. ¿Cuánto gastará? Si lleva 300 €, ¿cuánto le sobrará?

d 67. Samuel ha realizado 3 series, de 2 vueltas cada una, en una pista de atletismo de 400 m. ¿Podrías decir cuán­ tos metros ha recorrido?

d 68. Jaime tiene 5 monedas de 10 cts. de euro, 10 mone­ das de 20 cts., 3 monedas de 50 cts., 2 monedas de 1 € y 4 monedas de 2 €. ¿Cuántos euros lleva en el monedero?

d 69. Un frutero compra 220 kg de naranjas a 2 €/kg y las envasa en cajas de 4 kg cada una. El transporte, el al­ quiler y los empleados le suponen un coste de 1 €/kg. Si desea obtener un beneficio total de 110 €, ¿a cuán­ to debe vender cada caja?

f 70. Un pescadero pagó ayer 375 € por 25 kg de lenguados. ¿Cuántos kg ha comprado hoy si ha pagado 450 €? d 71. En un partido de baloncesto las canastas encesta­

das por los jugadores de uno de los equipos son las siguientes:

1 punto 2 puntos 3 puntos

luis 10 3 1 antonio 4 4 0 pedro 6 2 3 morgan 3 8 0 peter 1 3 2 fredy 6 3 1 andrés 8 3 2

¿Con cuántos puntos acabó este equipo? Si el otro equipo anotó 110 puntos, ¿quién ganó?

1. Pasa al sistema de numeración romano:

a) 1.953 b) 345 c) 623 d) 459

2. Pasa los siguientes números romanos al sistema de nu­ meración decimal:

a) MMCCXLI b) LXXIV c) CDXLVII

3. Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:

a) 4.508 b) 60.709 c) 305 d) 10.932

4. Calcula:

a) 4 · 3 – 5 · 2 + 4 · 2 c) 12 – 6 · 2 + 2 · 3 – 6 b) 15 + 4 · 5 – 4 · 8 d) 2 · 9 – 60 : 5 – 3 · 2

5. Aplica la propiedad distributiva:

6. ¿Cuántos segundos tiene un día?

7. Opera:

a) (15 – 6) : 3 + 4 b) 8 · (8 – 5) + (9 + 2) · 5 c) 6 – (9 – 4) · (7 – 6) + 3 · 5 d) [(5 – 3) · 6 – (3 – 2) · 2] + (15 – 4)

8. Calcula las siguientes divisiones enteras e indica el co­ ciente y el resto:

a) 865 : 34 b) 1.895 : 54

9. Para las divisiones del ejercicio anterior, aplica la pro­ piedad fundamental de las divisiones enteras.

10. Javier tiene 70 € y compra 2 bolígrafos y 4 carpetas. Si cada carpeta vale el doble que un bolígrafo y cada bolí­

Informática matemática

Matemáticas recreativas

Un poquito de historia

Opera con Microsoft excel

Microsoft Excel nos ayuda a resolver operaciones con números naturales de manera muy sencilla. Vamos a re­ solver la siguiente operación: 6 – (9 – 4) · (7 – 6) + 3 · 5 + 9 : 3

Para multiplicar en Excel debemos usar el símbolo *, en vez del símbolo •. Y, para dividir, usaremos el símbolo /, en vez de :. Por tanto, la operación quedaría:

6 – (9 – 4) * (7 – 6) + 3 * 5 + 9 / 3 Pasos:

1. Situar el cursor en una celda cualquiera, por ejemplo la A1.

2. Escribe en la barra de funciones la expresión:

= 6 – (9 – 4) * (7 – 6) + 3 * 5 + 9 / 3. No olvides el símbolo =.

3. Pulsar la tecla Intro. Aparece el resultado, en nuestro ejem­

plo 19. Compruébalo.

La aritmética es la disciplina dentro de las matemáticas que estudia los números naturales, enteros y raciona­ les (estos dos últimos tipos los veremos más adelante) y trata las operaciones definidas entre ellos. La aritmé­ tica ha estado presente en todas las civilizaciones y, al parecer, las primeras constancias de su desarrollo se encuentran en la antigua Babilonia y Egipto como he­ rramienta para el comercio.

Los matemáticos y filósofos griegos Pitágoras y Eucli­ des fueron quienes dieron valor al concepto de nú­

mero y sus propiedades, y Diofanto de Alejandría (siglo iii a. C. aprox.) dio el empujón definitivo a la arit­ mética con su obra Aritmética, que fue referente de esta materia durante casi dos milenios.

En el siglo xvii Pierre de Fermat (1601­1665) y en el si­ glo xix Giuseppe Peano (1858­1932) formalizaron y de­ sarrollaron la aritmética hasta llevarla a la forma en que la conocemos en la actualidad.

peano y los naturales

El italiano Giuseppe Peano (1858­1932) fue el ma­ temático que definió las reglas (axiomas) para poder construir los números naturales, a partir de

los cuáles se pueden definir el resto de los tipos de números.

1

Desafío matemático

la estantería

Para construir una estantería un carpintero necesita lo siguiente:

•

4 tablas largas de madera.

•

6 tablas cortas de madera.

•

12 ganchos pequeños.

•

2 ganchos grandes.

•

14 tornillos.

1 ¿Cuántos componentes necesita el carpinte­ ro para construir un armario?

2 Si el carpintero dispone de 24 ganchos pe­ queños, ¿cuántos ganchos grandes serán ne­ cesarios para hacer armarios sin que sobre ningún gancho?

3 Si los precios correspondientes a cada uno de los componentes del armario son:

•

Tablas largas de madera, 15€

•

Tablas cortas de madera, 17€

•

Ganchos pequeños, 2€

•

Ganchos grandes, 4€

•

Tornillos, 1€

•

¿Cuánto costará fabricar dos armarios?

4 Calcula el número de tablas, ganchos y tornillos que necesitará para fabricar 2, 3, 4, 5 y 6 armarios completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

2 armarios 3 armarios 4 armarios 5 armarios 6 armarios

tablaslargas

tablascortas

ganchospequeños

ganchosgrandes

tornillos

5 El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos. ¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero?