Análisis de sensibil
Análisis de sensibilidad
idad
En general los cambios en el modelo dan por resultado
En general los cambios en el modelo dan por resultado
uno de cuatro casos:
uno de cuatro casos:
La solución actual (básica) permanece inalterada.
La solución actual (básica) permanece inalterada.
La solución actual se vuelve no factible.
La solución actual se vuelve no factible.
La solución actual se vuelve no óptima.
La solución actual se vuelve no óptima.
La soluci
La solución actu
ón actual se v
al se vuelve n
uelve no óptima
o óptima asi
asi como
como
infactible
infactible
Ejemplo para estudiar los cambios
Ejemplo para estudiar los cambios
TOYCO ensambla tres tipos de juguetes: trenes, camiones y automóviles,TOYCO ensambla tres tipos de juguetes: trenes, camiones y automóviles,
utilizando tres operaciones. Los límites diarios sobre los tiempos utilizando tres operaciones. Los límites diarios sobre los tiempos disponibles para las tres operaciones son de 430,460 y 420 minutos, disponibles para las tres operaciones son de 430,460 y 420 minutos, respectivamente, y las utilidades por cada tren, camión y automóvil son3,2 respectivamente, y las utilidades por cada tren, camión y automóvil son3,2 y 5 dólar
y 5 dólares, respes, respectivameectivamente. nte. Los tiempLos tiempos de eos de ensamblnsamble por tre por tren son deen son de 1,31,3 y 1 minutos respectivamente. Los tiempos correspondientes por camión y y 1 minutos respectivamente. Los tiempos correspondientes por camión y por automóvil son (2,0,4) y (1,2,0) minutos (un tiempo de cero indica que la por automóvil son (2,0,4) y (1,2,0) minutos (un tiempo de cero indica que la operación no se utiliza). La empresa desea optimizar su utilidad.
operación no se utiliza). La empresa desea optimizar su utilidad.
MMooddeello o PPrriimmaall MMooddeello o DDuuaall
Maximizar z= 3x
Maximizar z= 3x11+2x+2x22+5x+5x33 MMinin ww= 43= 430y0y11+460y+460y22+420y+420y33 ss..aa xx11 + 2x+ 2x22 + x+ x33 <= <= 430 430 s.a. s.a. yy11 + 3y+ 3y22 + + yy33 >= 3>= 3
3x
3x11 + + +2x+2x33<<==446600 22yy11 + + + + 4y4y33 >= 2>= 2 xx11+4x+4x22 <<==442200 yy11 + 2y+ 2y22 >= 5>= 5
Cambios que afectan la
factibilidad
Cambios en el vector del lado derecho.
Cambios en el vector de
recursos
Dado el siguiente problema: Maximizar z= 3x1+2x2+5x3 s.a x1 + 2x2 + x3 <= 430 3x1 + +2x3<=460 x1+4x2 <=420 x1,x2,x3 >=0 Tabla óptima V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Soluc. Z 1 4 0 0 1 2 0 1350 X2 0 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100 X3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 230 S3 0 2 0 0 -2 1 1 20
Combined Report for TOYCO
15:41:46 Tuesday March 09 2004
Decision Solution Unit Cost or Total Reduced Basis Allowable Allowable
Variable Value Profit c(j) Contribution Cost Status Min. c(j) Max. c(j)
1 X1 0 3.0000 0 -4.0000 at bound -M 7.0000 2 X2 100.0000 2.0000 200.0000 0 basic 0 10.0000 3 X3 230.0000 5.0000 1,150.0000 0 basic 2.3333 M
Objective Function (Max.) = 1,350.0000
Left Hand Right Hand Slack Shadow Allowable Allowable Constraint Side Direction Side or Surplus Price Min. RHS Max. RHS 1 C1 430.0000 <= 430.0000 0 1.0000 230.0000 440.0000 2 C2 460.0000 <= 460.0000 0 2.0000 440.0000 860.0000 3 C3 400.0000 <= 420.0000 20.0000 0 400.0000 M
Cambios en el vector de recursos
Supongamos que la empresa desea ampliar sus líneas de
ensamble incrementando su capacidad en un 40% para cada línea. Deseamos saber que efecto tendrá sobre la solución óptima actual.
Usamos la relación XB= B-1b
X2 1/2 -1/4 0 602 140
X3 = 0 1/2 0 644 = 322
S3 -2 1 1 588 28
Otra propuesta es disminuir las horas de la operación 3 en 20
y aumentarlas en la operación 1. El efecto es:
X2 1/2 -1/4 0 450 110
X3 = 0 1/2 0 460 = 230
S3 -2 1 1 400 -40
Cambios en el vector de recursos
La tabla óptima del simplex se modifica como sigue: Entra
V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Soluc.
Z 1 4 0 0 1 2 0 1370
X2 0 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 110
X3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S3 0 2 0 0 -2 1 1 -40
Aplicamos simplex dual y se obtiene la siguiente tabla óptima
V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Soluc.
Z 1 4 0 0 0 5/2 1/2 1350
X2 0 -1/4 1 0 0 0 1/4 100
X3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 230
S1 0 -1 0 0 1 -1/2 -1/2 20
Observe que la solución es esencialmente igual a la que dio el problema original, asi que el cambio no proporciona una nueva ventaja.
Rango factible de los elementos
Cómo se determina el rango para el c ual sigu e siendo f actible
la solución actual.
Suponga que deseamos estudiar el rango de variación para el recurso 1.
X2 1/2 -1/4 0 430+D1 0 X3 = 0 1/2 0 460 >= 0 S3 -2 1 1 420 0 De lo anterior se obtiene el siguiente conjunto de inecuaciones: 100 + D1/2 >= 0 así D1>=-200
230 >= 0
20 - 2D1 >= 0 así D1<=10
Adición de nuevas restricciones
La adición de una nueva restricción a un modelo existente conducirá a
uno de los siguientes casos:
o La nueva restricción es redundante, lo que significa que se satisface por la
solución óptima actual.
o La nueva restricción se viola, en cuyo caso debe utilizarse el método símplex
dual para tratar de recuperar la factibilidad. Ejemplo 1
Suponga que la empresa esta cambiando el diseño de sus juguetes y que ese cambio requerirá la adición de una cuarta operación en las líneas de producción. La capacidad diaria de la nueva operación es de 500 minutos y los tiempos por unidad para los tres productos en esta operación son 3,1 y 1 minuto, respectivamente. Por tanto la restricción nueva es:
Adición de nuevas restricciones
Ejemplo 2
Supongamos que los tiempos por unidad de la empresa en la cuarta operación son 3,3 y 1 minuto, respectivamente. En este caso la nueva restricción es:
3X1 + 3X2 + X3 <= 500. Esta restricción no se satisface con la solución óptima actual: 3(0)+3(100)+230=530, lo que significa que la solución actual se convierte en infactible y se debe trabajar con el método simplex dual.
Tabla óptima con la restricción adicional.
V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Soluc. Z 1 4 0 0 1 2 0 0 1350 X2 0 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100 X3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230 S3 0 2 0 0 -2 1 1 0 20
Adición de nuevas restricciones
Debemos hacer modificaciones a la tabla, para conservar que x2 y x3 permanezcan en la base.
Así la fila cuatro será reemplazada por la fila resultante de la siguiente operación.: Fila correspondiente a S4 0 3 3 1 0 0 0 1 500 + - 3*fila correspondienta a X2 -3*( 0 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100) + -1*fila correspondiente a X3 -1*( 0 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230) 0 9/4 0 0 -3/2 1/4 0 1 -30 V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Soluc. Z 1 4 0 0 1 2 0 0 1350 X2 0 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100 X3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230 S3 0 2 0 0 -2 1 1 0 20 S4 0 9/4 0 0 -3/2 1/4 0 1 -30
Cambios que afectan la
Optimidad
Cambios en los coeficientes de la función
objetivo.
Cambios en los coeficientes de
la función objetivo.
La solución actual dejará de ser óptima sólo si los
coeficientes de la función objetivo z´-cj violan la condición de optimalidad. Para verificar la condición de optimalidad debemos seguir el siguiente procedimiento.
1. Calcule los precios duales Y = CB.B-1, utilizando el nuevo
vector CB; si cambió algún coeficiente Cj de las variables básicas.
2.Calcule zj-cj = YPj-cj para todas las xj no básicas
actuales. Resultarán dos casos:
Si se satisface la condición de optimalidad la solución
actual seguir á siendo ópt ima. El valor de Z cambia, si se cambia algún c oeficiente cj de las variables básicas.
Si no se satisface la condición de optimalidad, aplicamos
Cambios en los coeficientes de la función
objetivo.
Ejemplo 1:
Supongamos que la empresa tiene una nueva política
de determinación de precios para satisfacer o igualar la
competencia. Las utilidades por unidad bajo la nueva
política son de 4,3 y 4 dólares por los trenes, camiones
y automóviles de juguete, respectivamente. Esto
significa que la nueva solución objetivo se da como:
Max. Z = 4x
1+ 3x
2+ 4 x
3La función objetivo anterior era Z= 3x
1+ 2x
2+ 5 x
3La solución óptima sobre la que se esta trabajando es:
x2=100, x3=230, s3=20. Así que cambiaron los
coeficientes de variables básicas, por tanto es
necesario calcular de nuevo los precios duales.
Cambios en los coeficientes de la función
objetivo.
Los nuevos precios duales se calculan de la siguiente
forma:
1/2 -1/4 0
Y=(3,4,0)
0 1/2
0 = (3/2,5/4,0)
-2
1
1
Los valores de zj-cj para las variables no básicas
x1,s1,s2 se calculan de la forma:
zj-cj=YPj-cj
z1-c1 = y1+3y2+y3-4 = 3/2+3(5/4)+0-4 = 4/5
Cambios en los coeficientes de la función
objetivo.
Ejemplo 2:
Supongamos que ahora se presenta el siguiente cambio
Max. Z=6x
1+ 3x
2+ 4 x
3La función objetivo anterior era Z= 3x
1+ 2x
2+ 5 x
3La solución óptima sobre la que se esta trabajando es:
x2=100, x3=230, s3=20. Así
que cambiaron los
coeficientes de variables básicas, por tanto es necesario
calcular de nuevo los precios duales.
1/2 -1/4 0
Cambios en los coeficientes de la función
objetivo.
Los valores de zj-cj para las variables no básicas
x1,s1,s2 se calculan de la forma:
zj-cj=YPj-cj
z1-c1 = y1+3y2+y3-6 = 3/2+3(5/4)+0-4 = -3/4
z4-c4 = y1- 0 =3/2
(corresponde a s1)
z5-c5 = y2 - 0=5/4
(corresponde a s2)
La solución actual ya no es óptima, y x1 entrará a la
base.
V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Soluc.
Z 1 -3/4 0 0 3/2 5/4 0 1350
Cambios en los coeficientes de la
función objetivo.
Cómo estudiar el rango de variación que hará
que la solución óptima actual permanezca
óptima.
Cambio en C1
(variable no básica
). Recuerde que los
precios duales en la solución óptima actual son 1,2 y 0
para y1,y2,y3, respectivamente, y que no cambian
porque se esta proponiendo un cambio en una variable
no básica,
z1-c1=y1+3y2+y3-(3+d1)=(1)+3(2)+0-4-d1 >=0
así d1<=4
Cambios en los coeficientes de la
función objetivo.
Cómo estudiar el rango de variación que hará
que la solución óptima actual permanezca
óptima.
Cambio en C2
(variable básica
).
Recuerde que los precios duales en la solución óptima
actual cambiarán.
Y=C
B*B
-11/2 -1/4 0
Cambios en los coeficientes de la
función objetivo.
1/2 -1/4 0 Y=(2+d2,5,0) 0 1/2 0 = (1+(1/2)d2 ,2-(1/4)d2 , 0) >= 0 -2 1 1 1+(1/2)d2 >= 0 d2>=-2 2-(1/4)d2 > = 0 d2 <= 8Además para la variable no básica x1, se tiene:
Z1-c1= y1+3y2+y3-3=(1+(1/2)d2) + 3(2-(1/4)d2) – 3, d2 <=16
Así, el rango de variación para el coeficiente de la variable básica x2 es: -2 <=d2 <=8 0<=c2<=10
Cambios en los coeficientes de la
función objetivo.
Añadiendo una nueva actividad.
Cuando se añade una actividad, hay que
verificar si resulta atractiva producirla, para ello
debemos calcular los zj-cj correspondientes a
la nueva actividad.
Cambios en los coeficientes de la
función objetivo.
Añ adiendo una nueva actividad.Ejemplo
La empresa Toyco reconoce que los trenes de juguetes no se producen en la actualidad debido a que no dejan una utilidad. La compañía desea reemplazar los trenes de juguetes con un producto nuevo, un camión de bomberos, que se ensamblará en las instalaciones existentes. Toyco, calcula que la utilidad por cada camión de bomberos es de $4 y que los tiempos de ensamble por unidad son de 1 minuto en cada una de las operaciones 1 y 2 y de 2 minutos para la operación 3.
Si hacemos que X7 represente la nueva actividad, el benificio que ella produce se obtiene como sigue:
Cambios en los coeficientes de la
función objetivo.
¿Cómo se introduce esta nueva actividad, en la tabla óptima?. Calculamos una columna modificada, como sigue:
1/2 -1/4 0 1 1/4 B-1*P 7 = 0 1/2 0 1 = 1/2 -2 1 1 2 1 V.B. X1 X2 X3 X7 S1 S2 S3 Soluc. Z -3/4 0 0 -1 3/2 5/4 0 1350 X2 -1/4 1 0 1/4 1/2 -1/4 0 100 X3 3/2 0 1 1/2 0 1/2 0 230
