6.1 Estimadores Puntuales - Ejercicios Resueltos

Texto completo

(1)

1.- La resistencia de una plancha es una variable aleatoria continua X cuya función de 1.- La resistencia de una plancha es una variable aleatoria continua X cuya función de densidad es:

densidad es:

  











 

 

. Su función de distribución de probabilidad. Su función de distribución de probabilidad es:

es:









, , con con desconocido. Sea desconocido. Sea ((













) una m.a. (n) de X, determine el) una m.a. (n) de X, determine el estimador

estimador máximo máximo verosímil verosímil de de ..

Sobre la base de una muestra aleatoria de 5 planchas, las resistencias observadas fueron: 0,5; Sobre la base de una muestra aleatoria de 5 planchas, las resistencias observadas fueron: 0,5; 0,5; 0,8; 0,9 y 1. Determine la probabilidad que una plancha, elegida al azar, tenga resistencia 0,5; 0,8; 0,9 y 1. Determine la probabilidad que una plancha, elegida al azar, tenga resistencia inferior a 0,7.

inferior a 0,7.

1) Solución: La primero que debemos hacer es calcular la

1) Solución: La primero que debemos hacer es calcular la “ “ función de verosimilitud función de verosimilitud ” ” , lo que se lleva a, lo que se lleva a cabo, por medio de la siguiente fórmula:

cabo, por medio de la siguiente fórmula:

  

    













  









  





    



  









  





























  









    

Luego, tenemos que determinar el logaritmo natural de

Luego, tenemos que determinar el logaritmo natural de



, como se muestra a continuación:, como se muestra a continuación:

























   















































En seguida, se obtiene el valor de

En seguida, se obtiene el valor de



  que maximiza  que maximiza



, lo que se logra derivando, lo que se logra derivando



  con  con respecto a los parámetros desconocidos

respecto a los parámetros desconocidos



 e  e igualandigualando a cero o a cero dicha derivaddicha derivada, es decir:a, es decir:



















 

  

 







 







 

  









Después, se despeja

Después, se despeja



 de la expresión anterior, para así obtener el estimador máximo verosímil de de la expresión anterior, para así obtener el estimador máximo verosímil de



,, como se ve a continuación:

como se ve a continuación:

 





    

   





Posteriormente, sobre la base de la muestra aleatoria de 5 planchas, calculamos el valor de Posteriormente, sobre la base de la muestra aleatoria de 5 planchas, calculamos el valor de

































 





Finalmente, calculamos probabilidad requerida por el ejercicio: Finalmente, calculamos probabilidad requerida por el ejercicio:









 

 







R e s p u e s t a :

R e s p u e s t a : La probabilidad que una plancha, elegida al azar, tenga resistencia inferior a 0,7, es igualLa probabilidad que una plancha, elegida al azar, tenga resistencia inferior a 0,7, es igual a 0,4218.

(2)

2.- En una fábrica se ha medido el tiempo X, en horas, transcurrido entre dos detenciones provocadas por averías en las máquinas, en una muestra aleatoria se obtuvo los siguientes tiempos: 3, 1, 7, 3, 8, 11, 7, 1, 8, 4 en horas. Se sabe que la función de distribución que sigue dicho tiempo es





       

2.1) Sea





una muestra aleatoria de X, con β desconocido, determine el estimador máximo verosímil del parámetro β.

2.2) ¿Cuál la probabilidad de que en la fábrica transcurran más de 8 horas sin averías? 2.1) Solución: Sabemos que la derivada de la función de distribución, es igual a la función de densidad, es decir:

     









 





Luego, definimos la “ función de verosimilitud ”:

 

  

















































  

Determinamos el logaritmo natural de



:



















  



















Derivando con respecto a

, e igualamos a cero:











  







Despejamos



, quedando de la siguiente forma:

(3)

2.2) Solución: Utilizando la muestra que nos proporciona el ejercicio, calculamos el Estimador Máximo Verosímil, como se ve a continuación:

     





















     

En seguida, determinamos la probabilidad que nos solicita el problema:







R e s p u e s t a : La probabilidad de que en la fábrica transcurran más de 8 horas sin averías, es igual a 0,188.

3.- La distancia

  entre un árbol cualquiera y el árbol más próximo a él, en un bosque, sigue una distribución de Rayleigh con función de densidad:

 



 

 

 

   

  

       

  



3.1) Determine el estimador máximo verosímil

, a partir de una muestra aleatoria de

, de tamaño 50, obtenida la siguiente información.







  









3.2) Determine si el estimador



 es insesgado.

3.1) Solución: Definimos la “ función de verosimilitud ”, la que está dada por:

 

  





















































 









  



Calculamos el logaritmo natural de









:

(4)

 A continuación, derivamos









, con respecto a

 e igualamos a cero, es decir:













  







 







 



  



  



 



Luego, con la información que nos brinda el ejercicio, calculamos el valor de





 



 



 

3.2) Solución: Sabemos que para que estimador



 sea insesgado, se debe cumplir que la esperanza de estimador sea igual al estimador, es decir:





 

 



  









Luego, determinamos por medio de propiedades la esperanza de



, de la siguiente forma:





 









     





 



Posteriormente, calculamos la expresión antes definida:



 



  





 



Finalmente, como se cumple la igualdad, el estimador es insesgado.

4.- Sea





, muestra aleatoria de una población

      

 y desconocido: 4.1) Encuentre el estimador máximo verosímil de α.

4.2) Si las observaciones de una muestra aleatoria para la variable X son: 1,1; 0,9; 1,4; 1,2; 0,7. Estime la probabilidad de que la variable aleatoria no sea inferior a 1.

4.1) Solución: Lo primero que debemos hacer es definir la función exponencial con variable α, la que se expresa de la siguiente forma:

  

 

  

Determinamos la “ función de verosimilitud ”:

 

  



(5)

En seguida, calculamos el logaritmo natural de









:







  



Derivando e igualando a cero:





   









 



 

4.2) Solución: Utilizando los datos de la muestra aleatoria que nos entrega el problema, determinamos el estimador puntual



:





 

  

  

   

  

 



 



R e s p u e s t a : En base a la muestra aleatoria, la probabilidad estimada de que la variable aleatoria no sea inferior a 1, es igual a 0,3893.

5.- Sea





  muestra aleatoria proveniente de una distribución normal con media µ y varianza 2, cuya función densidad es:

 

        



  



   

Se propone a las siguientes estadísticas como estimadores de µ:















5.1) Pruebe si estos estimadores son insesgados e indique cual es más eficiente. 5.2) Encuentre el estimador máximo verosímil de µ.

5.3) Compare el estimador obtenido por el método de máxima verosimilitud con los dos propuestos, ¿Cuál es mejor estimador para µ? Justifique su respuesta.

5.1) Solución: Lo primero que debemos corroborar es, si se cumple que la esperanza del estimador  puntual es igual al estimador puntual, sabiendo que la media y la varianza de





es µ y 2,

(6)







 









 





 





 

Es decir, ambos estimadores puntuales de µ son insesgados.

En seguida, debemos determinar la varianza de cada uno de los estimadores, para así ver cuál de los dos estimadores es más eficiente:







 















  





 









 

Debido a que



 es menor que



, se llega a la conclusión que el estimador puntual



 es más eficiente que el estimador puntual



.

5.2) Solución: En este ítem lo primero que debemos hacer es definir la “ función de verosimilitud ”:







 











 









 

 





 





 

Calculamos el logaritmo natural de









:















 

Derivamos e igualamos a cero:



   









 



  





 







    



 

5.3) Solución: Empezamos por determinar si el estimador puntual de

 que determinamos en el ítem anterior es insesgado, lo que llevamos a cabo de la siguiente forma:

(7)

Por lo tanto, el estimador puntual de

  es insesgado, luego, determinaremos la varianza de dicho estimador, para ver si mejor estimador, como se ve a continuación:

 



  





 

En seguida, como la varianza de



 es menor en comparación a las varianza de



e



, se concluye que el estimador puntual,



, es más eficiente, es decir, mejor.

6.- En un estacionamiento el número de veces (

) que se debe subir la barrera en un intervalo de 10 minutos, para que pasen vehículos en un sector de alta seguridad, se considera una

variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λ desconocido.

6.1) En una muestra aleatoria de 8 intervalos de 10 minutos cada uno, elegidos en forma independiente, se registra para cada intervalo el valor que toma la variable en estudio

.

3 5 8 7 4 5 6 2

Encuentre la estimación máximo verosímil de λ.

6.2) Sea







 una muestra aleatoria tamaño n de

 ~ Poisson(

Si







 



; son estimadores del parámetro . Determine cuál de ellos es el mejor estimador del parámetro .

6.1) Solución: Utilizaremos la siguiente variable:



“Número de veces que se debe subir la barrera en un intervalo de 10 minutos, para que pasen vehículos en un sector de alta seguridad” 

Luego, sabemos que dicha variable tiene una distribución de Poisson, como se muestra a continuación:

   

 

  

 



  



  

   

En seguida, definimos la “ función de verosimilitud ”:



 

 

 









 



  

 

  

 

  





 

  

 

 

 



 

 



Determinamos el logaritmo natural de







 

:







 



 

 



 

 





 

  









 

(8)

Derivando e igualando a cero:







 



 

   



 

 

 

 



 

 

En seguida, utilizando la muestra aleatoria, obtenemos el valor del estimador máximo verosímil, como se ve a continuación:

 





R e s p u e s t a : En una muestra aleatoria de ocho intervalos de 10 minutos cada uno, elegidos en forma independiente, la estimación máxima verosímil corresponde a 5.

6.2) Solución: Lo primero que se debe hacer es determinar si estos estimadores son o no insesgados, lo que se sabe si se cumple que la esperanza del estimador es igual al mismo estimador, es decir:



 

 



  



 

 

 

 



 





 



 

 



 

 

 

 

 

Por lo tanto, ambos estimadores son insesgados. Entonces, el paso a seguir es determinar la varianza de cada estimador puntual, lo que se hace de la siguiente manera:



 

 



  





 

 



 





 







 

 

 

En conclusión, la efectividad de los estimadores depende del tamaño de la muestra, ya que, si la muestra es igual a uno, el estimador más eficiente es  

, en cambio, si la muestra es mayor a uno, el

mejor estimador es  

.

7.- Sea









 una muestra aleatoria de una variable aleatoria con distribución Normal con media



 y varianza

.

Se proponen los siguientes estimadores:













(9)

7) Solución: Debemos determinar si los estimadores que nos proponen son o no insesgados, como se muestra a continuación:





















Debido a que ambos estimadores propuestos son sesgados, se debe determinar el sesgo o error del estimador, lo que se calcula con la siguiente fórmula:



















En seguida, calculamos la varianza de cada uno de lo estimadores propuestos:







 















 

Finalmente, calculamos el error cuadrático medio del estimador, para así saber cuál de los dos estimadores puntuales es mejor, lo que se realiza con la siguiente fórmula:











 











 



R e s p u e s t a : Debido a que el error cuadrático medio de



 es menor que el error cuadrático medio de



, se concluye que el mejor estimador para

, es



 



.

8.- Sea

  la variable aleatoria continua, que indica el tiempo de desintegración de un átomo, con distribución exponencial truncada con parámetro

(

> 0) es decir, que toma sólo aquellos valores de

 superiores a

. Sea (





una muestra aleatoria tamaño n de

.

8.1) Determine el estimador máximo verosímil de

, si la función de distribución de probabilidad de la exponencial truncada es:







8.2) Encuentre la estimación puntual del parámetro a para el valor



  cuando se ha observado los siguientes tiempos de desintegración de un átomo (u.t.): 3, 7, 5, 8, 4, 1, 5, 2, 9 y 6.

(10)

8.1) Solución: Sabemos que la derivada de la función de distribución es igual a la función de densidad, es decir:

   









  





En seguida, definimos la “ función de verosimilitud ”:

 











 





 





 







 















 





 Aplicamos logaritmo natural:









 

















Derivando e igualando a cero:









  















 

 

 





 





 



 

 

      



8.2) Solución: Considerando la muestra que nos entrega el ejercicio, tenemos que:

 

      







Reemplazando:

 

      

 

R e s p u e s t a : La estimación puntual del parámetro

  para el valor



, con las diez observaciones dadas por el problema, es igual a 0,25.

(11)

9.- Sea







 una muestra aleatoria de

, distribuida según



, con

  desconocido. Donde

 representa el tiempo máximo necesario para terminar un proceso, en segundos:

 

  

  

9.1) Determine el estimador máximo verosímil de

.

9.2) En base a una muestra aleatoria de

, determine la estimación máximo verosímil de

, donde la muestra está constituida por los siguientes datos: 0,7; 0,9; 0,6; 0,8; 0,9; 0,7; 0,9; 0,8. Estime la probabilidad del tiempo máximo necesario para terminar un proceso, no exceda los 0,5 segundos, ni supere los 0,75 segundos.

9.3) Determine el estimador máximo verosímil de: a)



. b)

  

  

9.1) Solución: Determinamos la “ función de verosimilitud ”:

 









































En seguida, calculamos el logaritmo natural de









:

































Derivamos e igualamos a cero:







   













   

 





9.2) Solución: Determinamos el estimador máximo verosímil de

, con los datos de la muestra que nos entrega el ejercicio:



 

(12)

   

  



  





  

  





  





R e s p u e s t a : En base a una muestra aleatoria de

, que nos otorga el ejercicio, el estimador máximo verosímil de

, corresponde a 3,0271, y al estimar que la probabilidad d el tiempo máximo necesario para terminar un proceso, no excede los 0,5 segundos, ni supera los 0,75 segundos, es igual 0,3102.

9.3) Solución: Debido a que determinamos



, que corresponde al estimador máximo verosímil de

,  por lo tanto, las expresiones pedidas las calculamos por medio de propiedades:

a)





b)



 – 

 – 



















Figure

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