Guia Estadistica Aplicada

INTRODUCCION

La estadística es una de las herramientas mas ampliamente utilizadas en la investigación científica.

Su aplicación en instituciones gubernamentales y educativas, en los negocios y en la industria, en la banca y en otros quehaceres diarios hace de la estadística una herramienta indispensable. Sin embargo el termino ―Estadística‖ tiene varios significados para diferentes personas; para la gente común y corriente la estadística solamente significa números.

En el periodo de la mañana se puede encontrar la estadística mas reciente sobre los delitos de la ciudad: de asesinatos, de robos de automóviles, de asaltos y demás delitos que hayan sido denunciados en determinado periodo de tiempo; de los nacimientos y muertes que han ocurrido, o en la relación con el deporte, el numero de partidos ganados y perdidos por equipos integrantes de la liga de ese deporte.

Para otras personas es un método para obtener, presentar y escribir grandes cantidades de datos, y para otras es un método para tomar decisiones en situaciones difíciles.

El objetivo es aclarar los significados de la Estadística, definir sus conceptos básicos utilizados con frecuencia y analizar los usos y abusos de los métodos estadísticos.

Aunque los significados sean diferentes, todos ellos forman parte del concepto total de ―Estadística‖.

La palabra Estadística tiene su sentido mas amplio para aquellas personas cuyo trabajo requiere de un conocimiento de los aspectos mas técnicos. Para estas personas, la estadística tiene relación con aquellos conceptos y técnicas que se utilizan en la recopilación, organización, resumen, análisis, interpretación y comunicación de información numérica.

También la ―Estadística‖ proviene de la palabra ―estado‖, porque la función tradicional de los gobiernos centrales es y ha sido llevar la cuenta de la cantidad de habitantes, nacimientos, defunciones, empleo y desempleo, cantidad de empresas, costo de vida y muchas otras características de nuestra sociedad.

Estos conceptos y técnicas juegan un papel importante en las actividades que realizan los profesionales de todas las ciencias.

Hoy en día, muchas actividades están relacionadas con la estadística y muchas ocupaciones implican el uso del método estadístico.

PROPOSITO

La estadística es una rama de las matemáticas aplicadas que surgió por la necesidad concreta que el hombre tiene que conocer la resolución de problemas relacionados con la recolección, procesamiento, análisis e interpretación de datos numéricos cuyo conocimiento le permitirá tomar decisiones acertadas.

Para el conocimiento de la realidad concreta que al hombre le interesa, considera tres etapas fundamentales que son:

 Planear la búsqueda y la obtención de la información.

 Sistematizar y organizar la información de tal forma que se pueda describir y analizar con facilidad.

 Efectuar inferencias sobre la realidad a partir de la información obtenida, haciendo estimaciones verificando hipótesis.

La interpretación de la información permite obtener conclusiones que enriquecen nuestro conocimiento de la realidad y nuestra capacidad para transformarla.

El propósito es de proporcionar los conocimientos para llevar a la práctica las etapas que te permitirán la resolución de cualquier problema estadística.

APLICACIONES DE LA ESTADISTICA

La estadística día a día gana terreno en su aplicación en toda actividad humana por simple que esta sea.

La estadística se aplica en los programas de Gobierno, Ingeniería, Agronomía. Economía, Medicina, Biología, Psicología, Pedagogía, Sociología, Física, etc; no hay alguna ciencia que no la use o profesión que no lo aplique.

Algunos ejemplos del uso de la estadística son:

1) En las agencias gubernamentales, tanto federales como estatales utilizan la estadística para realizar planes y programas para el futuro.

2) En el campo de la ingeniería se aplica en muchas actividades tales como: a) La planeación de la producción.

b) El control de la calidad. c) Las ventas.

d) El almacén, etc.

3) En la Sociología se aplica para comparar el comportamiento de grupos socioeconómicos y culturales y en el estudio de su comportamiento.

4) En el campo económico su uso es fundamental para informar el desarrollo económico de una empresa o de un país que da a conocer los índices económicos relativos a la producción, a la mano de obra, índices de precios al consumidor, las fluctuaciones del mercado bursátil, las tasa de interés, el índice de inflación, el costo de vida, etc.

5) En el campo demográfico la Estadística se aplica en los registros de los hechos de la vida diaria, tales como:

 Nacimientos.  Defunciones.  Matrimonios.  Divorcios.  Adopciones.  Etcétera.

En materia de población los datos aportan una buena ayuda para fijar la política de estímulos al control de la natalidad, dirigir la inmigración o emigración, establecer los planes de lucha contra las enfermedades epidémicas o plagas que azotan los campos, etcétera.

6) En el campo educativo la Estadística contribuye al conocimiento de las condiciones fisiológicas, psicológicas y sociales de los alumnos y de los profesores. Al perfecciona- miento de los métodos de enseñanza y de evaluación.

7) Industria. La mayor parte de los industriales la utilizan para el control de calidad. 8) Agricultura. Se emplea en actividades como experimentos sobre la reproducción de

plantas y animales entre otras cosas. También se usa la Estadística para determinar los efectos de clases de semillas, insecticidas y fertilizantes en el campo.

9) Biología. Se emplean métodos estadísticos para estudiar las reacciones de las plantas y los animales ante diferentes períodos ambientales y para investigar la herencia. Las leyes de Mendel sobre la herencia en donde los factores hereditarios se atribuyen a uni- dades llamadas genes y al estudio sistemático de los cruzamientos entre individuos portadores de genes diferentes, lo que ha permitido precisar de qué manera los genes se separan o se reúnen en las generaciones sucesivas. La verificación de las hipótesis formuladas por Mendel y sus continuadores necesitó el empleo de la Estadística, la cual en este caso ha lanzado las primeras luces sobre el mecanismo de la herencia.

10) Medicina. Los resultados que se obtienen sobre efectividad de fármacos se analizan por medio de métodos estadísticos. Los médicos investigadores se ayudan del análisis estadístico para evaluar la efectividad de tratamientos aplicados. La Estadística también se aplica en el establecimiento y evaluación de los procedimientos de medida o clasificación de individuos con el propósito de establecer la especificidad y sensibilidad a las enfermedades.

11) Salud. Los técnicos de la salud la utilizan para planear la localización y el tamaño de los hospitales y de otras dependencias de salud. También se aplica en la investigación sobre las características de los habitantes de una localidad, sobre el diagnóstico y la posible fuente de un caso de enfermedad transmisible; sobre la proporción de personas enferma s en un momento determinado, de ciertos padecimientos de una localidad, sobre la pro- porción de enfermos de influenza en dos grupos, uno vacunado contra el padecimiento y el otro no. También se aplica en cualquier otro tipo de investigación similar a éste. 12) Psicología. Los psicólogos se valen de los conceptos y técnicas de la estadística para

medir y comparar la conducta, las actitudes, la inteligencia y las aptitudes del hombre. 13) Negocios. Los hombres de negocios pueden predecir los volúmenes de venta, medir las

reacciones de los consumidores ante los nuevos productos, etcétera. 14) En la Física se utiliza la Estadística para obtener datos y probar hipótesis.

1. Definición.- La Estadística es el estudio científico relativo al conjunto de métodos encamina- dos a la obtención, representación y análisis de observaciones numéricas, con el fin de descri- bir la colección de datos obtenidos, así como inferir generalizaciones acerca de las caracterís- ticas de todas las observaciones y tomar las decisiones más acertadas en el campo de su apli cación.

1.1 Clasificación: La Estadística como disciplina o área de estudio comprende técnicas descrip- tivas como inferenciales. Incluye la observación y tratamiento de datos numéricos y el empleo de los datos estadísticos con fines inferenciales.

Para su estudio se clasifica de la siguiente forma:

a) Estadística Descriptiva: Es una parte de la estadística que se encarga de organizar, describir, ordenar, resumir y presentar datos de manera informativa.

b) Estadística Inferencial: Es una técnica mediante la cual se obtienen generalizaciones o se toman decisiones en base a una información parcial o completa obtenida mediante técnicas descriptivas.

Es también la que nos proporciona la teoría necesaria para inferir o estimar las leyes de una población partiendo de los resultados o conclusiones del análisis de una muestra.

Estas dos partes de la estadística no son mutuamente excluyentes, ya que para utilizar los métodos de la inferencia estadística, se requiere conocer los métodos de la estadística descriptiva.

1.2 Población y Muestra

a) Población Estadística o Universo: Es un conjunto de elementos (personas, entidades u objetos), del cual se quiere saber algo que nos interesa para tomar una determinación; que contiene una o mas características observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa que se pueden medir a ellos.

A cada elemento de la población se denomina unidad elemental o unidad estadística. El número de datos de una población se simboliza con la letra (N).

Ejercicio 1:

Los empleados de una empresa en un día laborable, constituyen una población en la que cada empleado (unidad estadística), tiene muchas características a ser observadas, como por ejemplo: sexo, estado civil, lugar de procedencia, grado de instrucción, etc. (características cualitativas), o numero de hijos, ingresos mensuales, etc. (características cuantitativas).

El resultado de medir una característica observable de una unidad elemental. Se denomina dato estadístico o valor observado o simplemente observación.

Tenemos que población finita si tiene un número finito de elementos. En caso contrario la población infinita. Pero en la práctica, una población finita con un número grande de elementos se considere población infinita.

Parámetro: Es una medida descriptiva que resuma una característica de la población como: la media (µ) o la varianza (ϭ2), se calcula a partir de los datos observados de toda la población.

Ejercicio 2: Mencione tres ejemplos de población

- Población de ventas anuales de los supermercados de Lima Metropolitana.

- Población de todos los posibles resultados cara y sello que se obtienen al arrojar una moneda un número indefinido de veces.

- Población de puntajes de rendimiento en la solución de ejercicios matemáticos de todos los alumnos de la carrera de Ingeniería Industrial tercer ciclo.

b) Muestra: Es un subconjunto de la población que se estudia para determinar el parámetro que describe la característica deseada de la misma.

Todas las muestras son subconjuntos de la población pero no todas son representativas. Las muestras representativas se seleccionan aleatoriamente.

Muestra aleatoria es aquella que se obtiene de tal manera que cada posible observación disponible en la población, tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.

El número de datos que constituye una muestra se llama tamaño de la muestra y se sim- boliza con la letra (n).

Ejercicio 3: Cite un ejemplo de muestra

-Si se desea estimar el gasto promedio anual de los estudiantes del C.B., se extraería una muestra formada por cierto número de estudiantes, se determinaría el gasto anual correspondiente a cada uno de ellos y después se obtendría el promedio.

Se utiliza una muestra debido a que simplemente no se tiene el tiempo ni los recursos para establecer el contacto con todos los estudiantes del C.B., aun cuando es posible hacerlo.

Estadístico o estadígrafo: Es una medida descriptiva que resuma una característica de la muestra, como: la media (x) o la varianza (s2) calculada a partir de los datos observados de una muestra aleatoria.

Ejercicio 4:

En un campo de experimentación agrícola se ha desarrollado una variedad de jitomate. Se desea determinar el peso promedio de los jitomates de cada planta. Determinar el parámetro y el estadígrafo.

Solución:

El parámetro de la población es: El peso promedio de todos los jitomates producidos por cada planta en una cosecha determinada.

El estadístico o estadígrafo es el peso promedio de todos los jitomates producidos por planta, en una muestra aleatoria de plantas cultivadas de la cosecha. (x).

2. Variables: Se clasifican de la forma siguiente

a) Variable Cualitativa.- Es aquella que representa una cualidad ya sea en una población o muestra, no lleva clasificación numérica.

Por ejemplo, la variable ―estado civil‖ puede adoptar las modalidades: soltero, casado, divorciado, viudo, etc. La cual puede ser:

Variable cualitativa nominal o variable categórica, cuando se definen categorías. Teniendo en cuenta el número de observaciones para cada categoría como por ejemplo la variable ―color de ojos‖ con las posibles modalidades (castaño, azul, negro etc.).

Variable cualitativa ordinal, es cuando se ordena los casos en términos de grado por ejemplo la variable ―clase social‖ con las posibles modalidades (bajo, media, alto); otra variable ―estudio‖ con las posibles modalidades (1er grado, 2do grado, etc.)

b) Variables Cuantitativa.- Son variables que se obtienen como resultados de mediciones o conteos, (son variables numéricas). Son variables cuantitativas el peso de personas, temperatura, el coeficiente intelectual de personas, la presión sanguínea, el número de estudiantes del primer semestre, el número de accidente que se producen en un periodo dado de una región geográfica.

Variables Cuantitativas Discretas, cuando toman valores numéricos aislados o enteros positivos y no pueden tomar ningún valor entre dos consecutivos fijados por ejemplo el número de monedas que una persona lleva en su bolsillo; el número de admisiones en un hospital durante un día determinado.

Variables Cuantitativas Continuas, son aquellas que pueden tomar infinitos valores entre dos números, por muy próximos que los fijemos por ejemplo la estatura de los estudiantes de la carrera de ingeniería industrial; nivel de colesterol de ciertos pacientes de hospital general, la edad etc.

Ejercicio 5:

Un empresario desea saber entre las marcas de carro (Ford, Nissan, Chrysler),cuál es el de preferencia de los habitantes de una ciudad de la República; para ello se encuesta a 20 personas habiéndose obtenido los siguientes resultados:

F, N, C, F, C, C, N, C, F, N, N, N, F, C, N, F, N, C, F, N. ¿Que tipo variable es? y ¿Qué marca es la de mayor preferencia? Solución:

Es una variable cualitativa nominal, porque a los habitantes encuestados los agrupa en tres categorías sin tener un orden que esta dado por la marca de carro.

De los 20 encuestados la mayoría prefiere carros de marca Nissan. Ejercicio 6:

En una encuesta acerca de la preferencias de una marca de bebida gaseosas por sus colores: Negro(N), Blanco (B), Rojo(R), 20 consumidores dieron las siguientes respuestas:

B,N,N,B,R,,N,N,B,B,N,B,N,N,R,B,N,B,R,B,N

¿Qué tipo de variable es y porque?; ¿Qué color de bebida es más favorecido?

Ejercicios de Aplicación I

1. Del siguiente problema identifica y escribe en la línea cuál es la población, la muestra, el pa- rámetro y el estadígrafo.

De todos los estados de la República Mexicana se desea saber el ingreso bruto sobre recauda- ción de impuestos sobre la renta y el promedio de ingresos de diez de los estados tomados al azar.

La población es _________________________________________________________ La muestra es __________________________________________________________ El parámetro es _________________________________________________________ El estadígrafo o estadístico es _____________________________________________ 2. Al investigar el nivel socioeconómico en los valores: Bajo(B), medio(M), alto(A), 20

familias dieron los siguientes respuestas:

M,B,B,M,A,B,B,M,M,B,M,B,B,A,M,B,M,B,M,A,M,B ¿Que tipo variable es?: _________________________________

¿Qué nivel socioeconómico mas frecuente se presenta?_______________________________ Explica con tus propias palabras, ¿cuál es el objetivo de la investigación?.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

3. La compañía Market con base en Chicago pidió una muestra de 1960 consumidores que probaron un plato de pescado congelado elaborado por la empresa Matón de los 1960 consumidores consultados 1176 dijeron que comprarían el platillo si se pusiera a la venta.

a) ¿Que informaría la compañía Market de Matón, respecto a la aceptación del plato de pescado congelado si se pusiera a la venta?

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

b) Este es un tipo de estadística descriptiva o inferencial y porque.

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 4. Clasifique las variables detalladamente: Profesión, Nacionalidad, grado de instrucción,

número de hijos, número de celular, dirección, año de nacimiento, edad, estado civil, ingreso mensual familiar promedio, número de DNI

5. El médico de una guardería desea saber el crecimiento que tuvo cada niño a su cuidado, durante los primeros 6 meses del año, para ello se obtuvieron los siguientes resultados en centímetros:

8, 8, 7, 5, 4, 3, 4, 7, 5, 9, 3, 4, 7, 6, 5, 7, 3, 5, 4, 5, 3, 9, 7, 6, 8, 4, 6, 9, 7, 8, 3, 4, 9, 5 Escribe la variable que se investiga: ______________________________________ Es una muestra o población: _____________________________________________ ¿Qué tipo de variable es? _______________________________________________ 6. El maestro del grupo 502 del plantel 2 ―Cien Metros‖, evaluó el grado de aprovechamiento

en el curso de estadística, bajo la siguiente escala: Excelente, Bien, Regular, Mal; habiendo obtenido los siguientes resultados:

R, B, M, R, E, M, B, R, R, M, B, E, B, R, B, B, R, B, B, R, B, M, E, R, R, B, B, E, B, R, R, R, B, B, R, B, R, R, B, E, M, R, B, R

Responda las siguientes preguntas:

¿Cuál es la variable que se está evaluando? ___________________________ ¿Cuántos alumnos obtuvieron E? ____________________________________ ¿Cuántos alumnos obtuvieron B? ____________________________________ ¿Cuántos alumnos obtuvieron R? ____________________________________ ¿Cuántos alumnos obtuvieron M? ____________________________________ ¿Cuántos elementos tiene la muestra? ________________________________ ¿En cuántas categorías se agrupan los elementos? ______________________ ¿Qué tipo de variable es la que se está evaluando? ______________________

7. Las edades de los jóvenes que escuchan las casi 60 estaciones de radio, con canciones románticas en la ciudad de Tacna son:

20 19 27 21 18 16 15 23 17 13 14 15 20 21 22 23 14 16 19 20 21 20 23 19 16 14 17 15 27 24 21 30 29 32 18 17 23 29 23 24 19 13 14 17 29 32 31 21 20 30 34 24 21 19 18.

¿Qué tipo de variable es?_____________________________________________________ ¿Cuál la edad máxima y edad mínima?__________________________________________ Es una muestra o población: __________________________________________________ 8. En una encuesta a 180 propietarios de residencias de lujo, 80 eran de la Molina, 60 eran de

san Isidro, 30 eran de Mira flores y 10 de Pueblo Libre. ¿Qué tipo de variable es?

9. Un informe de la revista ―Futuro‖ revelo que los japonenses pronto controlaran un 35% de las ventas de autos en Estados Unidos, comparado con el 28% de los finales de los años 90 esta apenas a un 8% por encima de lo ocurrido en 1980. ¿Esta información contiene estadística descriptiva, inferencial o ambas? Explique

3. Descripción de Datos.- La primera tarea de la Estadística descriptiva son ordenar, clasificar y resumir los datos obtenidos en la investigación de campo, para ello se concentran en tablas de Frecuencias.

Ordenados los datos se facilita su representación en diagramas y gráficas de diferentes tipos. Además permite señalar donde los valores tienden a concentrarse e indica los valores menores y mayores.

3.1 Distribución de Frecuencias o Tablas de Frecuencia.- Los datos agrupados en tablas, nos permiten ver con facilidad el número de observaciones iguales o comprendidos en un intervalo, a este número de repeticiones iguales de la variable se llama frecuencia

3.2 Frecuencia Simple o Absoluta.- Es la observación de una característica particular de una población o muestra dada y se denota por (fi).

Por ejemplo hay tres clases de carros entonces habrá tres frecuencias. Otros valores relacionados con la frecuencia son:

 Frecuencia Acumulada (Fi), como su nombre lo dice es la que va acumulando las

frecuencias simples o absolutas (fi).

F

i



f

i1



f

i

 Frecuencia Relativa, se denota por hi y viene hacer el cociente de la frecuencia

simple y el tamaño de la muestra.

n

f

h

i

i



 Frecuencia Relativa Acumulada: Se representa por Hi y se determina por:

H

i



h

i1



h

i

Las frecuencias relativas y relativas acumuladas, siempre se expresa en porcentajes. Y la suma de las frecuencias relativas (hi) es siempre la unidad.

Para el caso de una muestra de tamaño <30

Ejercicio 7:

Supongamos que las alturas de las plantas, en una clase botánica son las siguientes: 64 73 68 68 76 70 62 67 71 69

68 60 65 68 66 68 67 71 66 72 Se muestra el siguiente cuadro de distribución de frecuencias

Alturas de plantas en centímetros (xi) Conteo Número de Plantas (fi) Fi hi Hi hi (%) porcentual 60 62 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 76 / / / / // // ///// / / // / / / 1 1 1 1 2 2 5 1 1 2 1 1 1 1 2 3 4 6 8 13 14 15 17 18 19 20 0.05 0.05 0.05 0.05 0.10 0.10 0.25 0.05 0.05 0.10 0.05 0.05 0.05 0.05 0.10 0.15 0.20 0.30 0.40 0.65 0.70 0.75 0.85 0.90 0.95 1 5% 5% 5% 5% 10% 10% 25% 5% 5% 10% 5% 5% 5% Total 20 1 100%

a. ¿Cuál es la variable de estudio y que tipo es?

b. Es una muestra o población. ¿Cuál es el tamaño?

c. ¿Qué representa fi? ¿Cómo interpretaría la frecuencia acumulada F12?

Para el caso de una muestra de tamaño >29 Procedimiento:

1) Número de intervalos (k): Usamos la fórmula de Sturges k 13.3logn

2) Rango del intervalo:

rango



v

max



v

min

3) Amplitud o ancho del intervalo (c):

k rango

c 

4) Marca de clase (mi): Es la semisuma del límite inferior y límite superior

Ejercicio 8

Sean los siguientes puntajes de los coeficientes de inteligencia de 40 estudiantes universitarios

93 108 112 90 108 99 110 102 124 96 105 115 108 104 104 103 120 110 108 107 107 93 109 125 106 110 124 110 130 97 115 130 95 136 122 92 102 98 140 103

Se tiene la tabla de distribución de Frecuencias Complete Intervalos de clase Marcas de clase fi Fi hi 90



98 98



106 106



114 114



122 122



130 130



138 138



146 7 9 13 3 4 3 1 0.175 0.225 0.325 0.075 0.1 0.075 0.025 Total 40

a. ¿Cuál es la variable de estudio y que tipo es? ¿Es muestra o población; tamaño?

b. ¿Que representa los intervalos de clase y las frecuencias absolutas?

Ejercicios de Aplicación II

1. Determine el cuadro de frecuencias cardiacas de un grupo de 50 fumadores

80 79 69 77 69 80 76 80 75 76 79 71 78 77 80 74 70 73 78 68 70 91 66 72 89 88 91 83 81 68 79 86 83 82 81 78 73 79 84 80 90 76 79 80 68 72 79 75 85 66

a) ¿Cuál es la variable de estudio y que tipos es? b) Es una población o muesta?

c) ¿Cuál es el peso máximo y peso mínimo? d) Interpretar f3, h6 yF4

2. Construir la tabla o cuadro de distribución de frecuencias de una muestra que representa el peso de 53 personas en kilogramos

45 50 50 62 60 52 64 80 63 65 64 47 67 61 72 70 73 49 54 60 65 64 61 79 52 62 40 81 69 60 60 70 43 87 43 59 46 57 54 77 60 53 68 58 80 54 64 61 59 60 90 51 75 a) ¿Cuál es el peso máximo y peso mínimo?

b) ¿Cuál seria la interpretación de la frecuencia absoluta f3 y frecuencia acumulada F5?

3. Los ingresos quincenales en dólares de 45 personas son

63 89 36 49 56 64 59 35 78 42 53 70 57 62 42 68 62 26 64 72 52 51 62 60 71 61 55 59 60 67 57 67 61 67 51 81 53 64 76 44 73 56 62 63 60 Construir una distribución de frecuencias

a) ¿Cuál es el valor máximo y mínimo? b) ¿Cuántos intervalos de clase sugeriría? c) Interpretar la f2 , h5, , H2

4. La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 40 pequeñas empresa fueron: 31 17 27 20 28 10 34 25 4

15 39 18 30 41 26 12 46 18 36 19 29 37 33 27 27 24 26 25 28 33 28 22 23 31 29 35 24 23 31 21

Construir una distribución de frecuencias y determinar el porcentaje de empresas con una inversión entre 14 mil y 20 mil dólares.

5. Las notas del examen parcial de matemática I dieron la siguiente distribución de frecuencias a) Completar la distribución de frecuencias.

Nº de días ausentes Marcas de clase hi Hi



6







15



13.5 0.15 0.10 0.45 0.70 Total

6. Los tiempos de vida útil (en días) de un tipo de batería, se tabulo en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud con frecuencias relativa acumuladas: 0.10, 0.25, 0.55, 0.80, 1.00. Determinar la distribución de frecuencias absolutas si la tercera frecuencia absoluta acumulada es 11, si la segunda marca de clase es 6, y si el límite inferior del cuarto intervalo es 12. R. vmin=0; c=4 7. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribución de frecuencias de 6

intervalos de igual amplitud. Si se tienen: marcas de clase: m2=40, m4=80, frecuencias:

h1=h6, h3=h5, h4=0.25, h2=h4- h1 y h3=h1+0.10 y F6=60, Construir la tabla de distribución de

frecuencias. R. vmin=10; c=20

8. El consumo mensual de agua de 150 hogares, se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 6 intervalos, siendo las frecuencias: f2=25, F3=75, F5=130. Si el límite inferior

del sexto inérvalo igual a 60, y el 70% de los consumos son mayores de 49,99m3. Completar la distribución de frecuencias R. vmin=35; c=5 9. La oficina de Estadística Laboral ha hecho una muestra de 30 comunidades en todo el

país sobre los precios de productos básicos, en cada comunidad al principio y al final del mes de agosto, con el fin de encontrar aproximadamente cuanto ha variado el índice de precios al Consumidor (IPC) durante ese mes. Los cambios porcentuales en los precios para las 30 comunidades son:

0.7 0.4 -0.3 0.2 -0.1 0.1 0.3 0.7 0.0 -0.4 0.1 0.5 0.2 0.3 1.0 -0.3 0.0 0.2 0.5 0.1 -0.5 -0.3 0.1 0.5 0.4 0.0 0.2 0.3 0.5 0.4

a) Organice los datos en un arreglo ascendente.

b) Utilizando las cuatro clases de igual tamaño, construya una distribución de frecuencias: -0.5 a -0.2; -0.1 a 0.2; 0.3 a 0.6; y 0.7 a 1.0.

c) ¿Cuántas comunidades tienen precios que no cambian o que aumenten menos de 1.0%? d) Son estos datos continuos o discretos.

4. Diagrama de Tallo (o tronco) y Hojas

Es una técnica que se usa para organizar datos sin perder la identidad de cada dato observado, como si ocurre en una distribución de frecuencias por intervalos.

El diagrama de tallo y hojas se construye partiendo cada Dato numérico en dos.

El tallo que consiste del digito o los dígitos iniciales y las hojas que consisten de los dígitos restantes del dato. Usualmente se eligen entre 5 y 20 tallos.

Los tallos ordenados son ubicados en forma vertical. Las hojas ordenadas de cada tallo son ubicadas horizontalmente.

Ejercicio 1

Sean los siguientes ingresos quincenales de 45 trabajadores

63 89 36 49 56 64 59 35 78 53 73 60 43 53 70 57 62 43 68 62 26 64 56 64 72 52 51 62 60 71 61 55 76 62 59 60 67 57 67 61 67 51 81 44 63 a) Desarrolle un diagrama de tallo y hojas

b) Halle el porcentaje de ingresos quincenales inferiores a $52 c) ¿Cuál es el valor de en medio o centra?

d) ¿Cuántos valores están entre 50 y 65?

Solución:

a) Utilicemos el primer digito de cada dato como tallo y el segundo como hoja. Para el número 63 por ejemplo, el tallo es 6 y la hoja es 3. Como el dato mínimo es 26 y el dato máximo es 89, entonces los tallos empiezan en 2 y terminan en 8. Después de organizar todos los datos, el diagrama de tallo y hoja resulta:

Tallo Hojas 2 6 4 5 6 7 8 6 56 3349 112335667799 000112222334447778 012368 19

b) El porcentaje de ingreso quincenales inferiores a $52 es (9/45) = 0.2 o 20% c) El valor de en medio o central es: $61

d) Hay 26 valores entre 50 y 65 Ejercicio 2

Los siguientes datos representan el periodo de duración en meses de 32 baterías ―DURA‖ doble A:

3.3 4.0 6.0 4.2 6.0 5.4 4.5 6.7 1.5 7.0 6.5 7.4 5.2 5.7 6.2 4.7 5.0 5.2 6.8 3.8 2.4 3.6 2.8 5.6 5.5 6.2 5.3 6.5 5.5 6.0 7.1 5.9

a) Desarrolle un diagrama de tallo y hojas b) ¿Cuál es el valor de en medio?

c) ¿Cuántas baterías duran entre 2.9 y 5.8 meses?

a) Utilicemos dígito entero de cada dato como tallo y el digito decimal como hoja. Para el número 5.2. por ejemplo, el tallo es 5 y la hoja es 2. Como el dato mínimo es 1.5 el dato máximo es 7.4, entonces los tallos empiezan en 1 y termina en 7. Después de organizar todos los datos, el diagrama de tallo y hojas resulta:

Tallo Hojas 1 2 3 4 5 6 7 5 48 368 0257 0223455679 000225578 014 b) El valor de medio es: 5.5 meses

c) Hay 16 baterías que duraron entre 2.9 y 5.8 meses. Ejercicio 3

El siguiente es el diagrama de tallo y hojas de los valores (un entero y dos decimales) de una variable continua. El tronco consiste de un entero y un decimal:

Tallo Hojas 1 2 3 4 5 6 7 5 48 368 0257 0223455679 000225578 014

a) ¿Cuántos datos se observaron? Indique el mínimo y el máximo. b) ¿Cuál es el valor del centro?

Solución: ……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ………..

5. Representación Grafica de los datos de la Muestra.- Los gráficos dan una idea mucho mas sintética que los cuadros estadísticos, unas veces su finalidad es simplemente tratar de mostrar a otras personas la evolución de dicho fenómeno, pues mientras que la interpretación de un cuadro estadístico requiere de ciertos conocimientos, cualquiera puede comprender fácilmente que una línea ascendente indica un aumento del fenómeno estudiado. Al igual que los cuadros estadísticos, en los gráficos se considera:

1) El titulo.

2) El grafico propiamente dicho 3) Las notas explicativas.

5.1 Representación Grafica de Variables Cuantitativas.- Las más usadas son: 1) Histograma.

2) Polígono de Frecuencias.

3) Polígono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas

1) Histograma.- Es una representación grafica de la distribución de frecuencias agrupadas en intervalos de clase, mediante una serie de rectángulos continuos que tienen:

a) Sus bases sobre un eje horizontal (eje de las X) con centros en las marcas de clase y longitud igual al tamaño de los intervalos de clase.

b) Las alturas proporcionales a la frecuencia (absoluta o relativa) tomados sobre el eje de las Y.

Nota: Para la determinación de la escala vertical se usara criterio común dependiendo de los datos. Generalmente puede ser de 5 en 5 o de 10 en 10

2) Polígono de Frecuencias.-Son líneas rectas que se trazan entre las intersecciones del punto medio del intervalo de clase y la frecuencia.

a) Si la variable es discreta, el polígono de frecuencias se obtiene uniendo los extremos superiores de las barras en el diagrama de barras.

b) Si la variable es continua o esta agrupada en intervalos de clase, el polígono de frecuencia se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores de cada rectángulo en el histograma.

3) Polígono de Frecuencias Acumuladas y Ojivas.-Esta representación es valida para variables estadísticas agrupadas en intervalos de clase o categorías.

En el eje de las abscisas (X), representamos los intervalos de clase, en el extremo superior de cada intervalo se levanta una vertical con altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada, luego se unen los extremos superiores de las líneas verticales con segmentos rectilíneos. Así obtendremos la Ojiva del polígono de frecuencias acumuladas. Alcanzando su máxima altura en el último intervalo.

Histograma y Polígono de Frecuencias de Coeficientes de Inteligencia

Polígono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas de Coeficientes de Inteligencia

Coeficientes de Inteligencia (k) Ejercicios de Aplicación III

1. a) Escriba los números 17, 45, 38, 27,6,48,11, 57, 34 y 22 en una lista ordenada. b) Determine el rango de estos números.

2. Si las marcas de clase en una distribución de frecuencias de pesos de estudiantes son 128, 137, 146, 155, 164, 173 y 182 libras (lb.) Encuentre (a) El tamaño del intervalo de clase y los límites de clase.

3. Las calificaciones finales en matemáticas de 80 estudiantes universitarios se reportan en la muestra siguiente: 68 84 75 82 68 90 62 88 76 93 73 79 88 73 60 93 71 59 85 75 61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 66 78 82 75 94 77 69 74 68 60 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 86 67 73 81 72 63 76 75 85 77

A partir de esta tabla, encuentre: a) La calificación más alta y más baja.

b) Determine el cuadro de distribución de frecuencias (ki, mi, fi, Fi).

c) El numero de estudiantes con calificaciones de 75 o más. d) Interprete la frecuencia f4, F6.

4. En una compañía, el sueldo mínimo y máximo de 200 empleados es de $150 y $300 respectivamente. Tales sueldos se tabulan en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud. Si se sabe que 20 empleados ganan al menos $150, pero menos de $180; 60 ganan menos de $210; 110 ganan menos de $240; 180 ganan menos de $270 y el 10% restante de empleados gana a lo más $300. Construir la distribución de frecuencias y graficar su polígono de frecuencias. Rp. vmin =150; c=30

5. Se muestra los pesos de 40 estudiantes hombres de una universidad, con precisión de una libra. Construya una distribución de frecuencias y represente a través de un polígono de frecuencias.

138 164 150 132 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128 Además interprete F2 y f5.

6. El Midland Nacional Bank seleccionó una muestra de 40 cuentas de cheques de estudiantes, enseguida se presentan los saldos (en dólares) a fin de mes:

404 74 234 149 279 215 123 55 43 321 87 234 68 489 57 185 141 758 72 863 703 125 350 440 37 252 27 521 302 127 968 712 503 489 327 608 358 425 303 203

a) Coloque los datos en una distribución de frecuencias usando $100 como tamaño de intervalo de clase y $0 como el punto de partida.

b) Trace un polígono de frecuencias acumuladas.

c) El banco considera como cliente preferido a un estudiante con un saldo final de $400 o más en su cuenta. Estime el porcentaje de clientes preferidos

7. Las importaciones anuales de un grupo selecto de Proveedores Electrónicos se muestra en la siguiente distribución de frecuencias

a) Complete y muestre las importaciones en forma de un histograma. b) Represente las importaciones mediante un polígono de frecuencias Importaciones Marcas de clase Nº de proveedores Fi 2



5 5



8 8



11 11



14 14



17 6 13 20 10 1 Total 50

8. Dada la siguiente distribución de frecuencias, completar Nº de días ausentes Marcas de clase Nº de empleados Fi hi hi (%)



3



6



9





15 5 8 2 17 40 50 Total

a) Elabore un histograma e interprete.

b) Elabore un polígono de frecuencias acumuladas e interprete.

c) Interprete la tasa de ausentismo de los empleados observado de los gráficos.

9. La tabla muestra un a distribución de frecuencias de los salarios semanales de 65 empleados de la empresa P&R. De acuerdo con esta tabla determine:

a) Complete el cuadro de distribución de frecuencias.

b) El porcentaje de empleados que ganan menos de $280 a la semana.

d) Represente los salarios semanales de los 65 empleados a través de una Ojiva. Salarios mi Nº de empleados Fi 250



260 260



270 270



280 280



290 290



300 300



310 310



320 8 10 16 14 10 5 2 Total 65 5.2 Representación Grafica de Variables Cualitativas.-Los más usados son los gráficos de barras y también los gráficos circulares:

1) Gráfico Circular: Para esto trabajaremos con un ejemplo. En un examen de Estadística aprobaron 40 alumnos, desaprobaron 8 alumnos y no se presentaron 6 alumnos.

Categorías fi S.C (grados) Aprobados 40 267 Desaprobados 8 53 No se presentaron 6 40 Total 54 360

Cálculo de los sectores circulares

Aprobados     267 67 . 266 54 40 360 40 360 54 ) (       x x x total Desaprobados   

53

33

.

53

54

8

360

_

_



x

No se presentaron  

40

54

6

360





x

2) Gráfico de barras.- Para esto trabajaremos con un ejemplo. Se tiene como variable cualitativa nominal el estado civil de un grupo de personas adultas, se establecieron las siguientes categorías Estado Civil fi hi (%) Casados 25 50 Solteros 13 26 Divorciados 2 4 Viudos 4 8 No declaran 6 12 267 53 40

Examen de Estadística

Aprobados Desaprobados NSP

Total 50 100

- Gráfico de barras para frecuencias absolutas:

En la escala horizontal se tomara la distancia de 2cm para cada categoría. Luego la base=2x5=10cm.

En la escala vertical, criterio común de acuerdo a los datos que se tiene. - Gráfico de barras para frecuencias relativas

En la escala horizontal se tomara la distancia de 2cm para cada categoría.

En la escala vertical, criterio común de acuerdo a los datos que se tiene. Observe que son porcentajes

Categorías

Para el alumno representar el grafico de barras de las frecuencias relativas

Ejercicios de Aplicación IV

1. La tabla dada muestra el numero de pacientes en miles, dados de alta de hospitales, con el diagnostico de virus de inmunodeficiencia humana (VIH), desde 2000 hasta 2004, Grafique estos datos a través de barras.

Año 2000 2001 2002 2003 2004

Altas de pac.

con VIH 146 165 194 225 234

2. Representar en gráficos de barras los siguientes cuadros a)

Inflación en los cuatro primeros meses Frecuencia porcentual (%) Enero 10 Febrero 26 Marzo 24 Abril 40 Total 100 b)

Ganancia en millones de soles de una empresa en los cuatro trimestres del año anterior

Frecuencia Absoluta Primero 50 Segundo 70 Tercero 60 Cuarto 100 Total 280

3. Se muestra el área de los cinco grandes lagos bajo jurisdicción de Estados Unidos. Grafique los datos a través de un diagrama de barra y circular.

Grandes Lagos Área (en millas cuadradas)

Michigan 22342 Superior 20557 Huron 8800 Erie 5033 Ontario 3446 total 60178

4. Representar en diagramas circulares los siguientes cuadros y completarlos a)

Programas de TV. Preferidos Frecuencia porcentual (%) S.C (grados)

Policiales 50 Cómicos 15 Telenovelas 25 Sin preferencias 10 Total 100 b)

Alumnos Matriculados por facultades Frecuencia Absoluta S.C (grados) Contabilidad 8000 Educación 6000 Psicología 5000 Derecho 3000 Total 22000

6. Medidas de Tendencia Central.-Son valores que resumen a un conjunto de datos que nos trata de indicar el centro de los datos. También sirve como base para medir y evaluar valores anormalmente altos y anormalmente bajos. En estadística tiene importancia medir la tendencia central, denominados también promedios, tales como: Media, Moda, Mediana, media geométrica, media armónica.

6.1 Mediana.-La mediana es un valor que divide a un conjunto de observaciones ordenadas en forma ascendente o descendente en dos grupos de igual número de observaciones. La notación que vamos emplear Me. Tenemos 2 casos:

- Para datos no agrupados:

a) Cuando la variable en estudio es discreta y n (número de elementos de la distribución) es impar, la mediana será el valor ordenado del centro.

Ejemplo:

3, 8, 56, 14, 24, 31, 2, 7, 52; n=9

Primero ordenamos en forma ascendente 2, 3, 7, 8, 14, 24, 31, 52, 56 luego

M

e



14

b) Si la variable es cuantitativa discreta y n es par, la mediana es la semisuma de los dos términos centrales.

Ejemplo:

39, 56, 87, 22, 15, 90, 43, 33; n=8. Hallar la mediana

Ordenando en forma ascendente 15, 22, 33, 39, 43, 56, 87, 90 luego 41 2 43 39    e M

- Para datos Agrupados:

Cuando la variable en estudio es cuantitativa continua

c f F n li M i i e ) 2 / (  1  

li

:

Limite inferior de la clase que contiene a la mediana.

F

i1

:

Frecuencia acumulada del intervalo anterior a la clase que contiene la mediana.

n

:

Número de datos

c

:

Amplitud o longitud de intervalo que contiene a la mediana

Ejercicio 1

Complete y halle el sueldo mediano correspondiente a 80 trabajadores de la tabla de frecuencias e interprete. Sueldos mi fi Fi 90



120 120



150 150



180 180



210 210



240 240



270 270



300 11 13 20 17 15 3 1 Total 80 ……… ………. ………… ………

Nota:(Cálculo de Mediana para frecuencias relativas)

Si en lugar de las frecuencias absolutas se utilizan las frecuencias relativas (o porcentajes), entonces, haciendo hi=fi/n, Hi-1=Fi-1/n

c h H li M i i e ) 2 / 1 (  1   Ventajas de la mediana:

Como estadígrafo de posición, la mediana es más recomendable que la media aritmética, cuando:

a) La mediana, solo depende de datos ordenados y no del valor de los datos. Por lo tanto no es sesgado por algún valor grande o pequeño.

b) Existan valores extremos excepcionalmente grandes o muy pequeños, puesto que la mediana no esta afectada por los valores extremos como sucede con la media.

c) Se trabaja con tablas de frecuencias con intervalos en donde no se indica el extremo inferior del primer intervalo o no se indica el extremo superior del último intervalo, o ambos casos. Esto no niega que exista la mediana, ella existe y siempre se puede calcular. d) Si se tiene datos cualitativos, se ordena de acuerdo a rangos, clasificaciones o categorías.

Ejercicio 2

En el siguiente cuadro de frecuencias se presenta un conjunto de estudiantes clasificados por su rendimiento en cinco categorías ¿Cuál será la mediana?

CATEGORIAS fi hi Fi Pésimo - 8 Malo 8 - 10 Regular 11 - 13 Bueno 14 - 16 Excelente 17 y + 4 7 12 10 7 0.100 0.175 0.300 0.250 0.175 Total 40 1.000 ……… … ……… ………

6.2 Moda.- Es el valor que mas veces se repite en una población o muestra; se denota por

M

o. Tenemos dos casos:

- Primer Caso:

1) Determine la moda del siguiente conjunto de datos: 2,2,3,4,5,5,6,7,7,7,9,9,12

Mo =7 porque se repite 3 veces. Esta distribución se llama unimodal por que solo posee

una moda.

2) Determine la moda del siguiente conjunto de datos: 15, 19, 20, 35, 47, 59, 65

No tiene moda porque ninguno de ellos esta repetido.

3) La siguiente distribución es bimodal, es decir tiene dos modas: 8,9,9,13,13,13,18,20,24,24,24,33,59,78,78

M

_o



13

y

M

_o



24

Nota:

- Segundo Caso:

Para datos agrupados; la moda esta dado por la formula: M_o li c 2 1 1      



₁



f

_M



f

₁(

f

₁Frecuencia de la clase inmediata anterior a la clase modal y

f

_M frecuencia de la clase modal).



₂



f

_M



f

₂(

f

₂Frecuencia de la clase inmediata posterior a la clase modal y

f

_M frecuencia de la clase modal).

Ejercicio 3

Determine el sueldo modal de los 80 trabajadores dados en el cuadro de distribución de frecuencias del ejercicio 1 e interprete

6.3 Media Aritmética.- Denominada simplemente media, es la suma de los valores observados de la variable, dividido por el número de observaciones.

6.3.1 Media para datos no tabulados:

1) Media de una Población.- La media de N valores x1, x2, x3,….., xN, de la variable

cuantitativa X, observados en una muestra es el número:

N

x

N i i







1





:Media de una población

x

i

:

Todo los valores de la población.

N

:

Número de elementos de una población Ejercicio 4

Hay dos 12 fabricantes de automóviles en EE.UU. a continuación se presentamos el numero de patentes otorgados por el gobierno de EE.UU. a partir del años pasado.

Nº Compañía Nº de patentes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 General Motors Nissan D. Benz Toyota Honda Ford Mozde Chysla Porsele Misuvichi Volvo BMW 511 385 275 257 249 234 210 97 50 36 23 13

a) Es una muestra o población:……… b) ¿Cual es su media aritmética e interprete?

……… ……… ………

Nota: Toda característica Medible de una población se denomina parámetro.

2) Media de una Muestra.- La media de n valores x1, x2, x3,….., xn, de la variable

cuantitativa X, observados en una muestra es el número:

n

x

x

n i i







1

x:Media de una muestra

x

_i

:

Todo los valores

n

:

Numero de elementos de una muestra

Ejercicio 5

Cierta Empresa se especializa en Tratos a largo plazo de países extranjeros, interesa saber la tasa de interés de estos acuerdos financieros, en una muestra aleatoria de 6 bonos presenta lo siguiente:

Nº Articulo Tasa de interés 1 2 3 4 5 6 Bono de Australia Bono de Bélgica Bono de Canadá Bono de Francia Bono de Italia Bono de España 9.5% 7.25% 6.50% 4.75% 12.00% 8.30%

¿Cual es la media de la tasa de interés de la muestra e interprete?

……….. ………

6.3.2 Media para datos de tamaño menor 30 (<30) y para datos mayor que 29 (>29)

3) Media Para Datos de Variable Cuantitativa.- Si n valores de una variable estadística discreta X se clasifican en k valores distintos x1, x2, x3,…, xk, con frecuencias absolutas

respectivas f1, f2, f3,…, fk, entonces, su media es el número:

n x f x k i i i



  1 . Ejercicio 6

Completar el cuadro y calcular la media aritmética de la distribución del numero de hijos por familia Valores X xi Frecuencias fi Productos fi.xi 0 1 2 3 4 1 4 7 6 2 Tot1al 20

a) Es una muestra o población:………

b) ¿Cual es su media aritmética e interprete? ………. ……… 4) Media Para Datos Agrupados.- También puede considerarse como una media aritmética ponderada.

Si n valores de alguna variable estadística cuantitativa x están tabulados en una distribución de frecuencias de k intervalos, donde: m1, m2, m3,…, mk, son las marcas de clase, y f1, f2,

f3,…, fk, son las frecuencias absolutas o simples respectivas, entonces, su media es el número:

n m f x k i i i



  1

x:Media

m

_i

:

Marcas de clase

f

_i

:

Frecuencias simples o absolutas

n

:

Número de datos.

Ejercicio 7

Complete el cuadro de distribución de frecuencias de los ingresos quincenales de 45 personas y determine la media aritmética e interprete.

Ingresos Quincenales mi Nº de personas fi.mi 26



34 34



42 42



50 50



58 58



66 66



74 74



82 82



90 1 2 4 10 16 8 3 1 Total 45 ……… ……… ……… ………

Nota: La media aritmética de datos tabulados, se calcula también, utilizando las frecuencias relativas. En el caso de datos agrupados por intervalos, se tiene:



  k i i im h x 1 Ejercicio 8

Si 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4 y 1, en ese orden su media es:

_5,7 10 57 _  x

O también puede ser 5,7

10 57 1 4 2 3 ) 1 )( 2 ( ) 4 )( 6 ( ) 2 )( 8 ( ) 3 )( 5 ( _{ }        x xi 5 8 6 2 Total fi 3 2 4 1 10 fixi 15 16 24 2 57 Ejercicio 9

Si el examen final del un curso cuenta tres veces mas que una evaluación parcial y un estudiantes obtiene una calificación de 85 en el examen final, 70 y 90 en los dos parciales, la

calificación media es ₈₃ 5 415 3 1 1 85 ) 3 ( 90 ) 1 ( 70 ) 1 ( _{ }      x

La calificación media o promedio es de 83 puntos. Propiedades de la Media

-Al evaluar la media se incluyen todos los valores. -Para un conjunto de observaciones la media es única.

-La media es una medida útil para comparar dos o más poblaciones.

-La media aritmética no puede calcularse en las distribuciones que tiene intervalos de clases de extremos abiertos (menor que o mayor que).

Otras Propiedades Importantes:

1. La media aritmética de una constante es igual a la misma constante.



x

(

k

)



k



2. La media del producto de una constante por una variable, es igual al producto de la constante por la media de la variable.



x

(

kx

)



k

x



3. La media de la suma de dos o mas variables, es igual al la suma de las medias de cada una de dichas variables.



x

(

x



y

)



x

(

x

)



x

(

y

)



4. La media de una variable mas una constante, es igual a la media de la variable más la constante.



x

(

x



k

)



x

(

x

)



k



5. Si una muestra de tamaño n con media x, se divide en dos o tres submuestras de tamaños n1, n2 y n3; con sus medias respectivas

x

₁

,

x

2

y

x

3. Donde n= n1+ n2+ n3

Entonces

n

x

n

x

n

x

n

x



1 1



2 2



3 3 Ejercicio 10

a) En una empresa la edad promedio de las 17 trabajadoras mujeres es de 31.2 años y la edad promedio de los 23 trabajadores hombres es de 38 años ¿cual es la edad promedio del total de trabajadores?

b) En un examen de Estadística participaron tres grupos A, B y C con un total de 180 alumnos; habiendo Obtenido nota promedio general de 72 puntos. Los puntajes promedios de los grupos A y B fueron 75 y 62, y estaban constituidos por 80 y 60 alumnos respectivamente. ¿Cuál es la nota promedio del grupo C?

6.4 Uso de los promedios

1. de los promedios definidos, la media aritmética se usa con más frecuencia por su mejor tratamiento algebraico. Pero no siempre es un buen promedio.

2. Si la distribución de las frecuencias es simétrica (o casi simétrica), la media, o la mediana o la moda es el promedio representativo, pues, en este caso, los tres promedios son iguales o casi iguales).

3. Si la distribución tiene una marcada asimetría, entonces, la mediana es la medida promedio más representativa.

Ejercicios de Aplicación V

1. Si un alumno en el semestre anterior ha obtenido 11 en el curso A de 5 créditos, 13en el curso B de 4 créditos, y 16 en el curso C de 3 créditos, entonces, su promedio (ponderado por los créditos) es. R. 12.92

2. Si en este mes el aumento de los alimentos fue del 5%, de vivienda el 10% y de educación 8% entonces

a) Cuando el aumento promedio en los tres rubros para una persona que gasta el 40% de su sueldo en alimentos, el 35% en vivienda y el 25% en estudios esta dado por: R. 0.075

b) Cuando el aumento promedio en los tres rubros para una persona que gasta S/. 1200 en alimentos, S/.600 en vivienda y S/.1000 en estudios esta dado por: R. 0.0714

3. Los sueldos del mes de enero de 200 empleados de una empresa tiene una media de $230. a) Si el 60% de los empleados son hombres (el resto son mujeres) y tienen un sueldo medio de $250, ¿Cuánto es el sueldo medio de las mujeres en enero? R. 200

b) Si en el mes de julio, se propone un aumento del 30% a cada sueldo de enero más una bonificación de $30 ¿Cuánto dinero adicional necesitara la empresa para pagar los sueldos de julio? R. $19800.

4. Para calcular el suministro de agua que una ciudad requiere mensualmente, se escogen 15 familias de la ciudad, resultando los siguientes consumos en metros cúbicos:

11.2 21.5 16.4 19.7 14.6 16.9 32.2 18.2 13.1 23.8 18.3 15.5 18.8 22.7 14.0

Si en la ciudad hay 5000 familias, ¿Cuántos metros cúbicos de agua se requieren mensualmente si el consumo promedio por familia permaneces igual?

R. media=18.46, consumo estimado=92300

5. En este mes los precios de venta de una muestra de 60 antigüedades vendidas en Erie Pennsylvania, el mes pasado, fueron organizados en la siguiente distribución de frecuencia. Estime el precio de venta medio, mediano y modal; (interprete cada medida)

Precio de venta [70,80[ [80, 90[ [90, 100[ [100, 110[ [110, 120[ Frecuencia 3 7 18 20 12

6. Una muestra de familias que están suscritas a la compañía telefónica United Bell, registro los siguientes números de llamadas recibidas la semana pasada. Determine la media y la mediana de la llamadas recibidas

7. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud. Se tiene algunas marcas de clase: m2=40, m4=80, frecuencias

relativas h1=h6, h3=h5, h4=0.25, h2=h4-h1 y h3=h1+0.10 y F6=60. Construir la tabla de

distribución de frecuencias y determine el puntaje medio y mediano de la prueba de aptitud e interprete

8. El sueldo promedio de 200 empleados de una empresa es $400. Se propone dos alternativas de aumento

a) $ 75 a cada uno.

b) 15% de su sueldo mas 10 dólares a cada uno.

Si la empresa dispone a los más de $94000 para pagar sueldos, ¿Cuál es la alternativa mas conveniente? R. a) 95000; b) 9400, alternativa b)

9. Al tabular las calificaciones de un examen se obtuvieron las siguientes notas: 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y las frecuencias del numero de alumnos respectivas:1, 1,1, 1, 1, 6, 8, 16, 18, 20, 2.

a) ¿Cuánto es la media, mediana y moda de las notas?, ¿Qué valor escogería como promedio?

b) ¿Cuánto es la nota mínima para estar en el quinto superior?

R. a) 14.2 5; 15; 16 b) 16

10. A una muestra se aplicó un test para medir autoestima y los puntajes se tabularon en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud, siendo la puntuación mínima 25, la tercera marca de clase 62.5. Si las frecuencias en porcentajes del primero al tercero son: 5, 15, 25, y si el 90% de las puntuaciones son menores que 85.

a) Calcule el promedio,mediana.

b) Si se considera normal una autoestima comprendida entre 55 y 84 puntos, ¿Qué porcentaje de la muestra no tiene un autoestima normal?

Rp. a) Me=71.67 11. La compañía Petroperu maneja un pequeña refinería en Ica que vende gasolina al por mayor, a minoristas independientes, Las ventas de la semana pasada fueron las siguientes:

Galones de Gasolina Nº de operaciones Fi

0



10 10



20 20



30 30



40 40



50 50



60 60



70 70



80 10 20 30 25 15 10 5 5 Total 120

a) Determine la media de los galones vendido en cada operación.

b) La moda se encuentra por debajo o por arriba de los 25, 000 galones

12. Los siguientes son los números de videocámaras Temban producidas durante 50 turnos de ocho horas seleccionadas al azar. Determine la media del número de videocámaras elaboradas durante un turno de ocho horas e interprete

348 371 360 369 376 397 368 361 374 410 374 377 335 356 322 344 399 362 384 365 380 349 358 343 432 376 347 385 399 400 359 329 370 398 352 396 366 392 375 379 389 390 386 341 351 354 395 338 390 333

13. Complete los siguientes cuadros de distribución halle la media, mediana y moda e interprete.

a) Cuadro de frecuencias de los pesos en kilogramos de 50 personas. Pesos Kg mi Nº personas Fi 73



79 79



85 85



91 91



97 97



103 103



109 109



115 2 6 8 11 13 8 2 Total 50

c) Cuadro de frecuencias de coeficientes de inteligencia de 40 niños. Puntajes mi Nº niños Fi 88



96 96



104 104



112 112



120 120



128 128



136 136



144 5 8 15 3 5 2 2 Total 40

c) Cuadro de frecuencias de alturas en centímetros de 40 estudiantes universitarios. Alturas m mi Nº estudiantes Fi 117



126 126



135 135



144 144



153 153



162 162



171 171



180 2 3 10 13 6 4 2 total 40

7. Medidas de Posición.-

7.1 Cuartiles: Son medidas de posición que dividen en cuatro partes iguales al conjunto de valores ordenados de una distribución de frecuencias. Estas medidas son: el primer cuartil

Q

₁, el segundo cuartil

Q

₂ y el tercer cuartil Q₃

El segundo cuartil

Q

₂coincide con la mediana

M

e, luego

M

e



Q

2

Las formulas para calcular los Cuartiles se derivan de la formula de la mediana y los pasos son los mismos:

c f F n li Q i i ) 4 / ( 1 1     c f F n li Q i i ) 4 / 3 ( 1 3    

7.2 Deciles: Son medida de posición que dividen en 10 puntos iguales al conjunto de los valores ordenados de una distribución de frecuencias. Estas medidas son el primer decil

D

₁, el segundo decil

D

₂ y así sucesivamente hasta el noveno decil

D

₉.

D

₁ distribuye al lado izquierdo el 10% de los datos y al otro lado el 90%, es decir ocupa la posición n/10.

El segundo decil clasifica a los datos colocando al lado izquierdo el 20% del número de datos y al otro lado el 80 %, ósea, ocupa la posición 2n/10. Ver figura

La formula para los Déciles es c f F rn li D i i r ) 10 / ) ((  _1  

7.3 Percentiles: Son medidas de posición que indican el lugar que corresponde a un puntaje dentro de una escala ordenada de cien elementos. Su formula:

c f F rn li P i i r ) 100 / (  1  

-

P

_r

:

Indica el percentil buscado.

- r, el rango del percentil, es decir, la situación dentro de la escala ordenadas de cien elementos.

- rn/100, el valor de este término indica el intervalo donde se halla el percentil. - n, número de elementos de la distribución de frecuencias.

Ejercicio 9

Hallar del siguiente cuadro de distribución de frecuencias a)

Q

₁y

Q

₃ b) D₂y

D

₉ c)

P

₁₀y

P

₉₀

Intervalos fi Fi 88



96 96



104 104



112 112



120 120



128 128



136 136



144 5 8 15 3 5 2 2 total 40 Solución: a)

Q

₁y

Q

₃ b)

D

₃y

D

₈ c)

P

10y

P

90 Ejercicios Aplicación VI

1. En una prueba de aptitud mental la menor y mayor puntuación fueron 50 y 199 respectivamente. Los puntajes (sin decimales) se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos de igual amplitud donde el 20% de los casos son menores que 95 y el 705 de los caso son menores que 140.

a) Hallar el intervalo centrado en la mediana donde se encuentra el 50% de los puntajes. b) ¿En el cuartil 2, el punto medio del cuartil 1 y 3? R. a) Me=Q2=125 [102.5, 147.5 [ b) si

2. Del siguiente cuadro de distribución de frecuencias de puntajes obtenidos de un grupo de 120 alumnos después de haber rendido una prueba matemáticas

a) Determinar el 25% inferior (

Q

₁) y el 25% superior (Q₃)

b) Que puntajes se encuentran en el décimo superior y que puntajes deben tener los que se encuentran en el 20% inferior.