ÍNDICE
•
OBJETIVOS
(2)
•
FUNDAMENTO TEORICO (2)
•
MATERIALES UTILIZADOS
(3)
•
PROCEDIMIENTO
(9)
•
CUESTIONARIO
(13)
•
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
(22)
•
BIBLIOGRAFÍA
(25)
I.
OBJETIVOS
• Analizar y evaluar el acoplamiento magnético que existe en un circuito acoplado.
• Determinar el coeficiente de acoplamiento magnético “k” y la inductancia mutua “M” en dicho circuito.
II.
FUNDAMENTO TEORICO
INDUCTANCIA MUTUA
Los circuitos magnéticamente acoplados poseen inductores para poder transmitir la energía de un lugar a otro del circuito. gracias a un fenómeno conocido como inductancia mutua.
La inductancia mutua consiste en la presencia de un flujo magnético común que une a dos embobinados. En uno de los cuales una excitación causa el cambio de corriente y por tanto, un cambio de flujo magnético. Como este flujo es común para los dos, entonces debe existir un voltaje en el segundo por la ley de Faraday.
El voltaje producido en el segundo inductor es proporcional a la razón de cambio de la corriente del primer inductor y al valor del segundo inductor.
Las relación entre la corriente del primer inductor y el voltaje del segundo inductor es:
El valor de la inductancia mutua se mide en henrys y es siempre positivo, sin embargo, el valor del voltaje producido en una inductancia debido al flujo magnético de otra inductancia puede ser positivo o negativo.
Como existen cuatro terminales involucradas en la inductancia mutua, no se puede utilizar la convención de signos que hemos utilizado en otros capítulos, sino que ahora se tiene que utilizar la convención del punto.
dt
t
di
M
t
v
(
)
1(
)
1 , 2 2=
CONVENCIÓN DEL PUNTO
• Una corriente entrando a la terminal punteada de uno de los inductores produce un voltaje cuyo valor positivo se encuentra en la terminal punteada del segundo inductor.
• Una corriente entrando a la terminal no punteada de un inductor produce un voltaje cuyo valor positivo se encuentra en la terminal punteada del otro inductor.
El voltaje inducido del cual hemos estado hablando, es un término independiente del voltaje que existe en el inductor. Por lo consiguiente, el voltaje total que existe en el inductor, va a formarse por la suma del voltaje individual y el voltaje mutuo.
De este modo también se definen los voltajes en la frecuencia s,
así como los voltajes en estado estable sinusoidal s=jw.
La convención del punto, nos evita tener que dibujar el sentido en el que está enrollado el inductor, de tal manera que los puntos colocados en el mismo lugar en los dos inductores indican que los flujos producidos por estos son aditivos (se suman), y los puntos colocados en distinto lugar en los inductores indican que los flujos se restan.
Considerando que la energía no puede ser negativa M tiene un valor máximo:
El cual es el promedio geométrico de los inductores. Definimos ahora el coeficiente de acoplamiento k como:
TRANSFORMADOR LINEAL
dt
di
M
dt
di
L
V
1 2 1=
+
dt
di
M
dt
di
L
V
2 1 2=
+
2
1
1
1
s L
I
s M I
V
=
−
+
2
1
1
1
j
L
I
j
M I
V
=
−
ω
+
ω
2 1L
L
M
≤
2 1L
L
M
k
=
Existen dos elementos prácticos que utilizan la inductancia mutua: El transformador lineal y el ideal. El primero de ellos es sumamente utilizado en los sistemas de comunicaciones.
Primero asumimos que el transformador es lineal, es decir que no posee ningún material magnético que elimine su linealidad. En muchas aplicaciones se conecta el primario en un circuito en resonancia mientras que el secundario muchas veces también está en resonancia. Esto tiene como ventaja que se pueden realizar circuitos con respuestas de picos anchos y caídas bruscas lo cual se utilizan en sistemas de filtrado.
Podemos observar en el siguiente circuito que una impedancia en el secundario se refleja en el primario según la relación:
Para el caso en el que el circuito conectado al primario y el secundario son circuitos en resonancia idénticos, es decir con los mismos valores de inductancia, capacitancia y resistencia entonces se observa que existe una frecuencia de resonancia en el circuito es cual es w0. Sin embargo, si el acoplamiento es alto a una frecuencia superior existe también resonancia lo mismo que a una frecuencia inferior. Esto es lo que causa que el ancho de banda de paso sea un poco mayor que en circuito RLC. Este es el equivalente de un transformador lineal en el cual se muestra que el valor de cada inductor es L-M y el que une es de M. En el caso de que alguna de las corrientes entre por una terminal en la que no haya un punto entonces se sustituye el valor por menos M.
EL TRANSFORMADOR IDEAL
2 22 2 22 22 2 2 2 22 2 22 22 2 2 1 1X
R
X
M
j
X
R
R
M
sL
R
Z
in+
−
+
+
+
=
ω
ω
El transformador ideal es una útil aproximación de un transformador altamente acoplado, cuyo coeficiente de acoplamiento se acerca a la unidad y las reactancias inductivas primaria y secundaria son muy grandes en comparación con las impedancias terminales.
Una aproximación al transformador ideal son los transformadores con núcleos de fierro.
Existe un concepto nuevo dentro del tema que hablamos, la razón del número de vueltas “a”. La inductancia individual de cualquiera de los inductores es proporcional al número de vueltas del alambre.
La relación anterior es válida solamente si el flujo establecido por la corriente en el alambre une a todas las espiras individuales.
De lo anterior podemos ver que la proporcionalidad entre la inductancia y el cuadrado del número de vueltas es la siguiente:
Características del Transformador Ideal.
-
El uso de líneas verticales entre los dos inductores para indicar el uso de placas de fierro.- El valor unitario del coeficiente de acoplamiento
- La presencia del símbolo 1:a que representa la razón del número de vueltas de N1 a N2.
- La habilidad que tiene para cambiar la magnitud de una impedancia. Si en el primario se tienen 100 vueltas y en el secundario se tienen 10000 vueltas entonces la impedancia decrece en un factor de 100.
Se tiene la siguiente relación:
Con lo cual se pueden simplificar los cálculos para conocer el voltaje en el secundario a partir del número de vueltas en el transformador. Para las corrientes observas que la relación es:
En el caso de las impedancias
Entonces se tiene que:
2 2 1 2 2 1 2
a
N
N
L
L
=
=
1 2 1 2N
N
V
V
a
=
=
a
I
I
=
2 1 2a
Z
in
LZ
=
III.
MATERIALES UTILIZADOS
•
1 auto-transformador de 250V – 6AFigura 1 Auto-transformador.
•
1 amperímetro de 0.06/0.3/1.5A.•
1 vatímetro 5A – 220V.Figura 3 Vatímetro.
•
3 multímetros.Figura 4 Multímetros digitales.
•
1 transformador 1 de potencia 220/110V.•
Juego de conductores.Figura 6 Cables conductores.
IV.
CIRCUITOS A UTILIZAR
a c b d V 220V AC W A V1 V2 220/115V Circuito Nº 1 a c b d V 220V AC A V1 V2 220/115V + -A +A -Circuito Nº 2 a c b d V 220V AC A V1 V2 220/115V + + - -A A Circuito Nº 3
V.
PROCEDIMIENTO
1) Medir con el multímetro funcionando como ohmímetro como
ohmímetro la resistencia interna del primario del transformador
monofásico de potencia y anotar las características de esta
bobina.
Para el transformador se tiene:
Ω
=
1
.
2
1R
2) Medir la resistencia interna del secundario del transformador monofásico de potencia y anotar las características de esta bobina. Para el transformador se tiene:
Ω
=
0
.
5
2R
3)
Verificar el buen estado de funcionamiento del autotransformador regulando su voltaje desde cero hasta obtener Vmax.Vmax.= 262 Voltios
4)
Verificación de la polaridad del transformador monofásico de potencia: Conectar el circuito como se muestra en la fig. 1 y energizado con el autotransformador para medir V y V’.Determinación de la polaridad del transformador.
Figura 7. Prueba de la polaridad del
transformador
Al realizar la medición para cierto voltaje en el primario se obtiene:
V
V
'
=
152
V V =220V
V
<
→
'
Por lo tanto, H y X son de igual polaridad. Colocamos los puntos como se muestra en la figura 7 (los flujos son sustractivos).
• Conexión del vatímetro.
Figura 8. Forma de conectar el vatímetro.
a.
Ubicar el cursor del auto-transformador en cero antes deefectuar cualquier medida.
b.
Armar el circuito Nº 1, ubicar el cursor del auto-transformador en220V. Tomar un juego de 10 valores de V, W, A, V1 y V2
disminuyendo V hasta 120V de 10 en 10V. Tabla 1 V (V) W (W) A (A) V1 (V) V2 (V) 220 5 0.9 216.5 113.3 210 4 0.7 212 109.7 200 3 0.6 201 101.5 190 2.3 0.5 191.6 46.5 180 1.5 0.4 181.5 91.5 170 1.1 0.3 171.4 86.4 160 1 0.2 161.1 81.4 150 0.8 0.2 151.1 75,4 140 0.5 0.15 141.1 71.4 130 6.1 0.1 131.5 66.6
c.
Repetir el párrafo anterior considerando como bornes de entrada “c-d” y de salida “a-b, variando V de 10 a 110 V en pasos de 10 en 10V. Tanto en (b) como en (c) ubicar el lado de alta tensión (220V – bornes a-b) y el de baja tensión (110V – bornes c-d).Variamos la conexión del circuito Nº 1 de la siguiente manera:
c a d b V 220V AC W A V2 V1 220/115V Circuito Nº 1’ Tabla 2 V (V) W (W) A (A) V2 (V) V1 (V) 10.13 0.13 0.027 10.14 19.40 20.26 0.53 0.042 20.21 38.68 30.43 1.14 0.055 30.43 58.38 40.1 1.89 0.069 40.07 77.2 50.1 2.81 0.085 50.02 96.4 60.2 3.87 0.105 60.11 115.8 70 5.16 0.130 70.1 134.4 80 6.5 0.165 80.2 154.2 90.2 8.27 0.217 90.5 173.8 99.9 9.85 0.289 99.9 191.8 110.2 11.9 0.4 110.4 211.9
d.
Armar el circuito Nº 2, variando el cursor del auto-transformador (V) de 10 a 120V. Tomar un juego de 5 valores de A, V1 y V2 de 20 en 20V. Tabla 3 V (V) A (A) V1 (V) V2 (V) 20.1 0.051 41.95 21.78 40.2 0.087 83.8 43.63 60.35 0.14 125.8 65.4 79.9 0.233 166.2 86.8 99.9 0.457 207.4 108.3e. Armando el circuito Nº 3 repetir el procedimiento que se indica en el paso anterior. Tabla 4 V (V) A (A) V1 (V) V2 (V) 20.02 0.006 13.18 6.88 40.1 0.011 26.48 13.78 59.9 0.014 39.36 20.58 79.8 0.018 59.6 27.48 100.1 0.021 66.1 34.48
VI.
CUESTIONARIO
1.
Determinar los valores de L1, M21 y R1 con los datos obtenidos en elpaso (b). Presentarlos en forma tabulada y graficar M21 en función de
V2.
Graficamos el equivalente del circuito Nº 1:
I1 I2 R1 R2 XL1 XL2 I2*XM12 + -V1 + -V2 + -I1*XM21 -+ Circuito Nº 1 equivalente.
Se tiene que I2 = 0, por lo tanto:
2 1 1 1 I W R = 2 2 1 1 2 1 1 1
−
=
I
W
I
V
XL
2 2 1 1 2 1 1 1 1 − ⋅ = I W I V L ω Siendo:f
⋅
⋅
=
π
ω
2
(f = 60Hz)s
rad
377
=
ω
También: 1 2 21I
V
XM
=
1 2 21 1 I V M = ⋅ ωTabla 5 V1 (V) V2 (V) I1 (V) W1 (W) R1 () L1 (H) M21 (H) 216.5 113.3 0.237 12.48 222.1866 2.3503 1.2681 209.6 109.7 0.21 11.79 267.3469 2.5507 1.3856 200.2 104.4 0.178 10.66 336.4474 2.8467 1.5557 190.2 99.3 0.151 9.75 427.6128 3.1427 1.7443 180.4 94.2 0.128 8.74 533.4473 3.4603 1.9521 170.1 88.7 0.109 7.84 659.8771 3.7511 2.1585 159.7 83.2 0.093 6.85 791.9991 4.0415 2.3730 150.2 78.6 0.082 6.15 914.6341 4.2096 2.5425 139.2 72.8 0.072 6.34 1222.993 8 3.9718 2.6820 130.8 68.3 0.065 4.79 1133.727 8 4.4099 2.7872 120.5 63 0.057 4.06 1249.6153 4.5230 2.9317 Graficamos M21 en función de V2: M21 vs V2 y = -0,0342x + 5,1625 R2 = 0,9945 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0 20 40 60 80 100 120 V2 (V) M 2 1 ( H ) Gráfica 1. M21 vs V2
2.
Determinar los valores de L2, M12 y R2 con los datos obtenidos en elpaso (c). Presentarlos en forma tabulada y graficar M12 en función de
V1.
I1 I2 R1 R2 XL1 XL2 I2*XM12 + -V1 + -V2 I1*XM21 -+ + -Circuito Nº 1’ equivalente.
Se tiene que I1 = 0, por lo tanto:
2 2 2 2 I W R = 2 2 2 2 2 2 2 2
−
=
I
W
I
V
XL
2 2 2 2 2 2 2 2 1 − ⋅ = I W I V L ω Siendo:f
⋅
⋅
=
π
ω
2
(f = 60Hz)s
rad
377
=
ω
También: 2 1 12I
V
XM
=
2 1 12 1 I V M = ⋅ ωLuego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos la siguiente tabla:
Tabla 6
V2 (V) V1 (V) I2 (V) W2 (W) R2 () L2 (H) M12 (H)
20.21 38.68 0.042 0.53 300.4535 0.9970 2.4428 30.43 58.38 0.055 1.14 376.8595 1.0745 2.8155 40.07 77.2 0.069 1.89 396.9754 1.1243 2.9677 50.02 96.4 0.085 2.81 388.9273 1.1714 3.0083 60.11 115.8 0.105 3.87 351.0204 1.1996 2.9254 70.1 134.4 0.130 5.16 305.3254 1.1789 2.7423 80.2 154.2 0.165 6.5 238.7511 1.1230 2.4789 90.5 173.8 0.217 8.27 175.6249 1.0034 2.1245 99.9 191.8 0.289 9.85 117.9344 0.8619 1.7604 110.4 211.9 0.4 11.9 74.375 0.7050 1.4052 Graficamos M12 en función de V1: M12 vs V1 y = -0,0001x2 + 0,0278x + 1,5495 R2 = 0,9709 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0 50 100 150 200 250 V1 (V) M 12 ( H ) Gráfica 2. M12 vs V1
3.
Hallar los valores promedio de L1, L2, R1, R2, M12 y M21 de los cálculosefectuados en los pasos anteriores 1 y 2. Comentar sobre estos.
Realizamos la siguiente tabla:
Tabla 7 L1 (H) L2 (H) R1 () R2 () M21 (H) M12 (H) 2.3503 0.8767 222.1866 178.3265 1.2681 1.9059 2.5507 0.997 267.3469 300.4535 1.3856 2.4428 2.8467 1.0745 336.4474 376.8595 1.5557 2.8155 3.1427 1.1243 427.6128 396.9754 1.7443 2.9677
3.4603 1.1714 533.4473 388.9273 1.9521 3.0083 3.7511 1.1996 659.8771 351.0204 2.1585 2.9254 4.0415 1.1789 791.9991 305.3254 2.373 2.7423 4.2096 1.123 914.6341 238.7511 2.5425 2.4789 3.9718 1.0034 1222.993 8 175.6249 2.682 2.1245 4.4099 0.8619 1133.727 8 117.9344 2.7872 1.7604 4.523 0.705 1249.615 3 74.375 2.9317 1.4052 Promedio 3.568 1.028 705.444 264.052 2.125 2.416
Observamos que M21 no se mantiene constante ya que
φ
21 e I1 no sigueuna relación lineal
∂
∂
=
1 21 21I
M
φ
. Esto es debido a que el flujo se transmite a través del núcleo del transformador, el cual es un material no lineal (material ferromagnético). De igual modo con M12.4.
Los valores de M12 y M21 son diferentes. ¿Por qué? Explique.Se demuestra teórica y experimentalmente que estos coeficientes son iguales (M12 = M21) para núcleos lineales como el aire.
No se cumple M12 = M21 debido a las siguientes razones:
•
La relación no lineal de M21 = 1 21I
∂
∂φ
y M12 = 2 12I
∂
∂φ
• La medida de los parámetros como corriente y voltaje no se mantienen constante por el suministro.
5.
Considerando Z1 y Z2 conocidos (calculados en 3) y con los datosobtenidos en el procedimiento pasos (d) y (e), determinar los valores
de M12 y M21. Tabular.
R1 R2 X L1 X L2 V 1 -+ -+ I2*X M1 2 V2 -+ I1*X M2 1 I1 I2 -+ Circuito Nº 2 equivalente. Se tiene que I1 = I2 Z1= R1 + j*XL1 = 705.444 + j *1345.465 Z2= R2 + j*XL2 = 264.052 + j *387.82 Por lo tanto:
( ) (
)
2 12 1 2 1 1 1R
XL
XM
I
V
−
+
=
( )
−
−
=
2 1 2 1 1 1 121
R
I
V
XL
M
ω
( ) (
)
2 2 21 2 2 2 2R
XM
XL
I
V
−
+
=
( )
−
+
=
2 2 2 2 2 2 211
R
I
V
XL
M
ω
Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes tablas:
Tabla 8
V1 (V) I1(A) R1 () XL1 () M12 ()
83.8 0.087 705.444 1345.465 1.829 125.8 0.14 705.444 1345.465 2.092 166.2 0.233 705.444 1345.465 3.288 207.4 0.457 705.444 1345.465 COMPLEJO Tabla 9 V2 (V) I2(A) R2 () XL2 () M21 () 21.78 0.051 264.052 387.82 1.919 43.63 0.087 264.052 387.82 2.159 65.4 0.14 264.052 387.82 2.051 86.8 0.233 264.052 387.82 1.726 108.3 0.457 264.052 387.82 COMPLEJO
Graficamos el equivalente del circuito Nº 3:
R
1R
2X L
1X L
2V 1
-+
I
2*X M
1 2V
2-+
I
1*X M
2 1I
1I
2-+
-+
Circuito Nº 3 equivalente. Se tiene que I1 = I2 Z1= R1 + j*XL1 = 705.444 + j *1345.465 Z2= R2 + j*XL2 = 264.052 + j *387.82 Por lo tanto:( ) (
)
2 12 1 2 1 1 1R
XL
XM
I
V
+
+
=
( )
−
+
−
=
2 1 2 1 1 1 121
R
I
V
XL
M
ω
( ) (
)
2 21 2 2 2 2 2R
XL
XM
I
V
+
+
=
( )
−
+
−
=
2 2 2 2 2 2 211
R
I
V
XL
M
ω
Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes tablas: Tabla 10 V1 (V) I1(A) R1 () XL1 () M12 () 13.18 0.006 705.444 1345.465 1.949 26.48 0.011 705.444 1345.465 2.536 39.36 0.014 705.444 1345.465 3.65 59.6 0.018 705.444 1345.465 5.012 66.1 0.021 705.444 1345.465 4.568 Tabla 11 V2 (V) I2(A) R2 (V) XL2 (V) M21 (V) 6.88 0.006 264.052 387.82 1.931113777 13.78 0.011 264.052 387.82 2.219529028 20.58 0.014 264.052 387.82 2.80708246 27.48 0.018 264.052 387.82 2.959782733 34.48 0.021 264.052 387.82 3.269796234
6.
Hallar el valor promedio de M12 y M21. Comentar.De la pregunta 5, sacando el promedio por método de partes, tenemos: SUSTRACTIVA: Tabla 12 M21 (H) M12 (H) 1.919 2.447 2.159 1.829 2.051 2.092 1.726 3.288 COMPLEJO COMPLEJO
Observación: Obviamos el dato 5 y tomamos solo los 4 primeros debido que según el calculo sale complejo,;al parecer se debe a error cometido al momento de la experiencia (datos mal tomados).
ADITIVA: Tabla 13 M21 (H) M12 (H) 1.949 1.931113777 2.536 2.219529028 3.65 2.80708246 5.012 2.959782733 4.568 3.269796234
De los Map y Msp le sacamos promedio, y tenemos un M promedio general de los casos sustractivos y aditivos:
Comentario: Los valores de los M para cada dirección y la mutua difieren debido a los flujos de dispersión que hay en los diferentes sentidos de 1-2 y de 2-1, ya que nuestra experiencia es real por lo cual los M se acercan relativamente.
7. Calcular el coeficiente de acoplamiento magnético “k” del circuito.
Sabemos: y .
De la tabla 14 tomando promedios verticalmente a M (H) para hallar M común:
Entonces como:
→
Además de las tablas anteriores:
→
V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
•
Al calcular R1 y R2, no estamos midiendo resistencia de las bobinas, sino laresistencia de pérdidas del núcleo del transformador. La prueba de esto, es q los valores de R1 y R2 varían; si se tratara de la resistencia de las bobinas,
estos valores se mantendrían constantes.
•
Al calcular L1 y L2, no estamos midiendo inductancia de las bobinas, sino lainductancia de magnetización de pérdidas del núcleo del transformador. La prueba de esto, es q los valores de L1 y L2 varían; si se tratara de la
inductancia de las bobinas, estos valores se mantendrían constantes.
•
La inductancia mutua en los circuitos permite que se genere un voltaje en el secundario del transformador; si no hubiera esta inductancia mutua,simplemente no se induciría ningún voltaje en el secundario y V2 no
marcaría nada.
• La inductancia mutua depende de la forma de conexión del circuito (en este caso transformador); también depende de la corriente y del flujo inducido, los cuales en el transformador de núcleo ferromagnético son distintos para cada medición.
•
El valor complejo calculado en la pregunta 5 se debe a un error de medición ya que resistencia sale mayor que la impedancia equivalente (1
1
I
V
) cosa que
es imposible es como si la hipotenusa de un triangulo rectángulo saldría menor que sus catetos.
• Las inductancias mutuas M12 y M21 son distintas debido al fenómeno de dispersión (pérdidas de dispersión de flujo magnético).
• El valor de “k” es una característica de este transformador, es decir, no cambia cuando varían el voltaje de entrada y las corrientes.
RECOMENDACIONES
• Buscar la mayor precisión posible al regular el auto-transformador.
•
Revisar la continuidad en cada cable conductor para evitar que hallan aberturas en el circuito y los instrumentos no registren valor alguno.VII.
BIBLIOGRAFIA
• Apuntes de Análisis de Circuitos Eléctricos II • LINEAR CIRCUITS – Roland E. Scott