estado solido 2

Dra. Dora Altbir Drullinsky

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Apuntes de Física del Estado Sólido

Apuntes de Física del Estado Sólido

Dra. Dora Altbir Drullinsky

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Contenidos

1 ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN 3

1.1 Celdas Primitivas . . . 3

1.1.1 Red Hexagonal . . . 4

1.1.2 Redes Tridimensional . . . 5

1.1.3 Red Hexagonal . . . 6

1.1.4 Red Hexagonal Compacta . . . 6

1.1.5 Posición y Orientación de los planos en un cristal . . . 7

1.2 Red Recíproca . . . 11

1.2.1 Ejemplos . . . 11

1.2.2 Red Recíproca de una cúbica simple (sc) . . . 13

1.2.3 Red recíproca de una red cúbica centrada en el cuerpo (bcc) . . . . 13

1.3 Determinación experimental de estructuras cristalinas . . . 14

1.3.1 Factor de estructura de la base. . . 17

1.3.2 Red bcc . . . 18

2 DINÁMICA DE REDES 19 2.1 Cuanticaciones de las vibraciones de la red . . . 19

2.2 Difusión inelástica de fotones de gran longitud de onda. . . 20

2.3 Vibraciones de cristales con una base monoatómica. . . 21

2.4 Velocidad de Grupo . . . 24

2.5 Límites de onda larga . . . 24

2.6 Derivación de la constante de fuerza . . . 24

2.7 Dos átomos por celda primitiva . . . 25

3 PROPIEDADES TÉRMICAS DE LOS SÓLIDOS 29 3.1 Expansión Térmica . . . 29

3.2 Capacidad Calórica, un acercamiento clásico . . . 30

3.3 Capacidad Calórica, modelo de Einstein . . . 32

3.4 Modelo de Debye . . . 34

3.5 Capacidad Calórica de los electrones . . . 35

3.6 Conductividad Térmica . . . 35

4 ELECTRONES LIBRES EN METALES 37

4.1 Modelo de un electrón libre . . . 37

4.2 Modelo de Drude . . . 37

4.3 Gas de Fermi de electrones libres . . . 40

4.4 Capacidad Caloríca Experimental en Metales . . . 41

4.5 Conductividad Electríca y Ley de Ohm . . . 42

4.6 Resistividad experimental . . . 43

4.7 Conductividad térmica de los metales . . . 44

4.8 Ley de Wiedermann-Franz . . . 44

4.9 Movimiento en campos magnéticos . . . 44

4.10 Efecto Hall . . . 47

4.11 Bandas de Energía. . . 49

4.12 Modelo de electrones casi libres . . . 51

4.13 Magnitud del Gap de Energía . . . 53

4.14 Funciones de Bloch . . . 54

4.14.1 Demostración . . . 54

4.15 Modelo de Krönig-Penney . . . 55

4.16 Ecuación de onda para un electrón en un potencial periódico . . . 56

4.17 Segunda demostración del teorema de Bloch . . . 60

4.17.1 Problemas: . . . 63

4.17.2 Problema . . . 64

4.18 Número de orbitales en una banda . . . 65

4.19 Construcción de supercies de Fermi . . . 66

4.20 Electrones fuertemente ligados . . . 71

5 Semiconductores 75 5.1 Diferencia entre aisladores y semiconductores . . . 78

5.2 Agujeros . . . 79

5.3 Propiedades ópticas de los semiconductores . . . 80

5.4 Masa eféctiva . . . 81 5.5 Semiconductores tipo n. . . 82 5.5.1 Ejercicio . . . 83 5.5.2 Ejercicio . . . 83 5.5.3 Ejemplo . . . 84 5.5.4 Ejemplo . . . 84 5.6 Semiconductores tipo p. . . 85

5.6.1 Portadores mayoritarios y minoritarios . . . 86

5.7 Modelo de electrónes libres aplicado a Semiconductores . . . 86

5.8 Juntura de dos metales . . . 88

5.9 Análisis Cuántitativo . . . 91

1

6.1 Variables Magnéticas Macroscópicas . . . 95

6.2 Imanes Atómicos . . . 95

6.3 Paramagnétismo de Pauli . . . 97

6.4 Paramagnetismo de Curie . . . 99

6.5 Problema . . . 100

6.6 Teoría de Bandas del Ferromagnetismo . . . 105

6.7 Imanes Soft y Hard . . . 106

6.8 Portadores mayoritarios y minoritarios. . . 109

6.9 Efecto Hall . . . 109

6.10 Modelo de electrones libres . . . 110

Chapter 1

ESTRUCTURA CRISTALINA

Y DIFRACCIÓN

1.1 Celdas Primitivas

Contienen la información completa del cristal y pueden elegirse de diferentes formas,  pero todas con igual área, por ejemplo:

Una manera de preservar la simetría de la red, es construyendo una red de  Wigner-Seitz . Ésta se construye asociando a cada punto del espacio que está más cerca de él

que de cualquier otro punto. Su volumen (área) es 1=,

 = N  V  (A)

1.1.1 Red Hexagonal

a1 = a(1; 0) = a(



1 2;

p 

₃ 2 ) a2 = a



1 2;

p 

₃ 2

!

 = a



1 2;

p 

₃ 2

!

Red panal de abejas:

l2 = a2

_



a 2



2

)

l =

r 

3 2

A cada punto de la red le asociamos la base dada por:

~v1 = a



1 2

p 

3 0



~v2 = a





1 2

p 

3 0



1.1 Celdas Primitivas 5 En función de~a1 y~a2 ~v1 =



1 6 1 6



~v2 =





1 6



 1 6



1.1.2 Redes Tridimensional

En la naturaleza existen

1.1.3 Red Hexagonal

En dos dimensiones tenemos la red triángular denida por:

~a1 = a (1 0) ~a2 = a



1 2

p 

₃ 2

!

Pero tambien podemos elegir:

~a0₁ = a



_

1 2

p 

₃ 2

!

~a0₂ = a



1 2

p 

₃ 2

!

luego, en tres dimensiones,

~a1 = a^x ~a2 = a



1 2x^

p 

₃ 2 y 0^

!

~a3 = (0 0 c^z)

1.1.4 Red Hexagonal Compacta

Es, en realidad, una red con una base. Se forma cuando una red triangular de con-stante de red a en dos dimensiones. Luego, se apila una copia de ella de forma que las  partículas quedan justo sobre los centros de los triangulos de la primera red, a un altura

1.1 Celdas Primitivas 7 Luego, se copia la primera red y así sucesivamente.

 No existe necesariamente una relación entre a y c, pero si c =

p 

8=3a, el empaque-tamiento es óptimo.

Se utilizan los vectores primitivos de la red y se agrega una base:

~v1 = (0 0 0) ~v2 =



a 2 a 2

p 

3 c 2



en coordenadas cartesianas o ~v1 = (0 0 0) ~v2 =



1 3 1 3 1 2



coordenadas de vectores primitivos.

1.1.5 Posición y Orientación de los planos en un cristal

Habiendo descrito ya qué entendemos por una red, ¿Cómo podemos usar este concepto  para indicar un plano cristalino?

Una descripción general sugerida por William Miller en 1839 es la siguiente: 1. Determine las intersecciones del plano con los ejes en unidades de los vectores

 primitivos~a,~ b,~c

2. Escriba el recíproco de cada uno de estos números

3. Reduzcaestos números a los tres enterosh; k; lque sean máspequeños y mantenga

la misma razón

4. Los valores h k l se llaman índices de Miller  y se encierran entre paréntesis para

denotar un plano cristalino

Ejemplo 1. 3 1 2

2. 1 3 1 21

3. 2 6 3

4. (2 6 3)

Algunos aspectos importantes a considerar son los siguientes:

a) Si el plano es paralelo a un eje particular, el índice de Miller correspondiente es cero (la intersección con el eje es en el innito)

b) Si el plano intersecta el eje en un valor negativo, el índice de Miller correspondiente lleva un barra, e. g., (1 1 1)

c)  El conjunto de planos equivalentes, es decir, con igual simetría, se denota

_f

h k l

_g

.

Por ejemplo, en una red cúbica, las caras del cristal se denotan

_f

1 0 0

_g

d)  El conjunto (h k l) no sólo denota un plano, sino un conjunto de planos equivalentes

 paralelos. Por ejemplo, (1 1 1) denota a los planos que cortan los ejes en 1 1 1; 2 2 2; etc.

e)  Una dirección en la red se especica usando paréntesis cuadrados [h k l]. Esta

di-rección se dene como la perpendicular al plano (h k l)

1.1 Celdas Primitivas 9

Tomemos dos planos paralelos que cortan los ejes en m n y o respectivamente El conjunto 1 tiene índices (1 1 1) y dibujando los paralelos (múltiplos enteros) se cubre todo el cristal

1 3

_{1 !}

1 1₃ 0

_!

1 3 0 m n o

_!

_m1 _n1 1_o

_!

_mp  p_n  p_o

!

h k l

 p = 3

Si deseamos cubrir toda la red debemos trazar otros planos: ¿cuántos? p

_

1. En

total hay p planos por cada intersección en el eje d0 = pd

cos2(1) + cos2(2) + cos2(3) = 1

cos(1) = d 0 ma = hd0  pa cos(2) = d0 na = kd0  pa cos(3) = d 0 oa = ld0  pa

1.2 Red Recíproca 11 Luego: h2d02  p2_a2 +  k2d02  p2_a2 +  l2d02  p2_a2 = 1  pero d0_=p = d d2  p2



h 2_{+ k}2_{+ l}2

_

_{= 1}

)

d2(h k l) = a 2 h2 _{+ k}2 _{+ l}2

1.2 Red Recíproca

Consideremos el conjunto de tres vectores:

~  A1 = 2 (~a2



~a3) ~a1



(~a2



~a3) ~  A2 = 2 (~a3



~a1) ~a1



(~a2



~a3) ~  A3 = 2 (~a1



~a2) ~a1



(~a2



~a3)

Estos vectores denen la llamada red recíproca y satisfacen

~ 

Ai



~aj = 2 ij

n

_A~ _i

o

_{son ortogonales sólo si lo son}

_f

_~ai

_g

Consideremos un punto del espacio recíproco dado por:

~ 

Gm0_n0 _p0 = m0 ~ A₁ + n0 ~ A₂ + p0 ~ A₃

con m0_, n0_, p0 _enteros

Sea _mnp  un punto de la red cristalina dado por _mnp = m~a1 + n~a2 + p~a3;

n;p;m;enteros. ~  G

_

~ = 2 (mm0+ nn0+ pp0) = 2N  N   entero Luego ei ~ G~ = 1

1.2.1 Ejemplos

1. Dados

~a1 = 2^x

~a2 = ^x + 2^y

encuentre la red recíproca.

Solución

Suponemos~a3 = ^z (así la red recíproca está en el plano que forman ~a1 y~a2)

~  A1 = 2 V  (~a2



~a3) = 2 V  [^x



z + 2 (^^ y



z)]^ = 2 V 

f

y + 2^^ x

g

~  A2 = 2 V  (~a3



~a1) = 2 V  (2^y) = 4 V y^ V  = ~a1



(~a2



~a3) = 4

)

~  A1 =  2V 

f

2^x



y^

g

~  A2 =  ^y

Cualquier vector que une dos puntos de la red recíproca es perpedicular a algún conjunto de plano de la red cristalina.

2. Cadena lineal

Sólo hay un vector,~a1 = a^x

~ 

A1 = 2 ~a2



~a3

~a1



(~a2



~a3)

= 2 ~a1

1.2 Red Recíproca 13

Si queremos dibujar la bisectriz a los primeros vecinos ellas cortan la cadena en

k =

 _

=a. Estos son los límites de la celda de  Wigner-Seitz  de la red recíproca,

que se conoce como Primera Zona de Brillouin (P ZB).

1.2.2 Red Recíproca de una cúbica simple

 (sc)

~a1 = a^x

)

A~ 1 = 2 a3 a 2_(^y



z) =^ 2 a x^ ~a1 = a^y

 )

A~ 2 = 2 a3 a 2_(^z



x) =^ 2 a y^ ~a1 = a^z

 )

A~ 3 = 2 a3 a 2_(^x



y) =^ 2 a z^

Luego, la red recíproca es también una red cúbica simple de constante 2=a:

Los límites de la PZB son planos normales a sus vectores:



1₂A~ 1 =



 ax^



1₂A~ 2 =



 ay^



1₂A~ 3 =



 az^

1.2.3 Red recíproca de una red cúbica centrada en el cuerpo (

bcc

)

Los vectores primitivos de traslación de una red bcc son:

a1 = 1 2a (^x + ^y



z)^ a2 = 1 2a (



x + ^^ y + ^z) a3 = 1 2a (^x



y + ^^ z) V  = ~a1



(~a2



~a3) = a3 8

f

4

g

= a3 2

con esto ~  A1 = 2 a (^x + ^y) ~  A2 = 2 a (^y + ^z) ~  A3 = 2 a (^x + ^z)

Estos vectores son los primitivos de la fcc, luego, una red fcc es la primitiva de la bcc, pero su constante es 2=a en lugar de a=2

Un vector general de la red recíproca estará dado por:

~  G = m0 ~ A1 + n0 ~ A2 + p0 ~ A3 = 2 a

f

(m 0_+ p0_{) ^x + (m}0_{+ n}0_{) ^y + (n}0_+ p0_{) ^z}

g

Los doce vectores más cortos distintos de cero son:

2 a (



x^



y)^ 2 a (^y



z)^ 2 a (



x^



z)^

Si trazamos los planos normales a estos doce vectores en sus puntos medios obten-emos la PZB, que es la celda de Wigner-Seitz  de una fcc. Esta zona es un dodecaedro

rómbico.

1.3 Determinación experimental de estructuras

cristali-nas

El scattering de rayos X  entrega información de la localización de los átomos en un sólido.

En 1912, M. von Laue tenía la intuición de que los rayos X  se dispersan en un cristal de la misma forma en que lo hace la luz al incidir sobre un centro dispersor 

La explicación de este patrón fue desarrollada por Braggs, basándose en la idea de que los rayosX  son reejados por los planos de la red de forma que la imagen resultante es debida a una combinación de haces reejados de muchos planos paralelos.

La diferencia de fase entre las ondas reejadas está dada por la distancia uv + v w:Si en esta distancia entra un número entero de longitudes de onda, las ondas reejadas estarán en fase

1.3 Determinación experimental de estructuras cristalinas 15

Pero en un cristal existen muchas formas de denir planos paralelos. ¿Cómo se  produce una "selección de planos"?

Si suponemos que la respuesta del cristal es lineal:

! = !0 k = k0

La onda incidente tiene un campo eléctrico asociado

E (x) =  E 0ei( ~  k~x!t)

Al incidir sobre un centro difusor se genera una onda difundida cuya forma es:

E 0 = CE () e

ikr r E 0 = CE 0ei( ~  k~!t) eikr r r2 = (R

_

)2 = R2

_

2R cos(; R) + 2 r = R



1

_

 2 R cos



~; ~ R



+ 2 R2



1=2 r

_

R



1

_

 R cos



~; ~ R



 pues suponemos que estamos lejos del centro difusor. Luego:

ei(~ k~+kr) = eikRei(~ k~k cos(;R))

 pero lejos, la dirección de k0 _{puede denirse como la dirección de R. Luego:}

k cos(; R) =  k0 cos(; k0) = ~ k0

_

~

y nalmente:

ei(~ k~+kr) = eikRei(~ k~~ k0) = eikReik

Finalmente:

E 0 = C E 0eikRei!texp





imnp



k



  (1.3.1)

donde r

_

R:

La difusión total se obtiene sumando 1.3.1 sobre todos los puntos de la red. Resulta, entonces, importante calcular:

a

_

X

m;n;p

ei~mnp~ k

Consideremos un cristal nito con centros difusores en cada punto de la red

_mnp =  m~a1 + n~a2 + p~a3

a =

X

mnp

ei(m~a1n+n~a2+ p~a3)~ k

1.3 Determinación experimental de estructuras cristalinas 17

N 3 _{es el número de puntos de la red.}

Luego

E 0

 /

Z 

dV n () ei~~ k

donde n () es la concentración de electrones.

1.3.1 Factor de estructura de la base

Sean s átomos dentro de una celda y jemos la posición del núcleo del átomo j por el

vector 

_j = xj~a1 + yj~a2 + zj~a3

= m~a1 + n~a2 + p~a3

con respecto al punto _mnp de la red (que está en el origen de _j)

Pero respecto al origen de la celda, la posición del átomo j es _j:En relación al

origen de la red

0_j = _j + _mnp

Los electrones no están concentrados en el átomo, sino repartidos en su derredor.

cj







j

 

mnp



dene la concentración de electrones en la posición  cerca del átomo y en la celda

mnp. Luego, la concentración de electrones en el cristal está dada por:

n () = M 3

X

mnp s

X

j=1 cj







j

 

mnp



Luego ak =

Z 

dV n () eik = N 

X

mnp

X

j

Z 

_{dV c} j







j

 

mnp



ei~~ k

La contribución de cj







j

 

mnp



es:

Z 

_{dV c} j







j

 

mnp



eik=

Z 

dV cj (0) ei~ 0_~ k exp

h

_

i

_

~_j + ~_mnp

_

_

~ k

i

con ~0 = ~

_

~_j

 _

~_mnp =  f j exp

h



i



~j + ~mnp





~ k

i

f j se conoce como factor de forma atómico. Con esto:

ak =

X

mnp

X

j f j exp





i



j + mnp





k



=

X

mnp ei(mnpk)

X

j f jeijk M 3 =

X

mnp ei(mnpk) sg =

X

j f jeijk

X

f jeijG = factor de estructura de la base

Hablamos de una reexión (hkl) cuando

G = h ~ A1 + k ~ A2 + l ~ A3

j

 

G = 2 (xjh + yjk + zjl)

= 2 (mh + nk + pl)

s (h k l) =

X

f j exp

f

2i (xjh + yjk + zjl)

g

=

X

f j exp

f

2i (mh + nk + pl)

g

Este factor dene algunas líneas que desaparecen y no necesita ser real pues la in-tensidad considera ss_{. Nuestro interés reside en los ceros de s porque entonces no hay}

intensidad en ciertas reexiones. La falta de reexiones ayuda a determinar que tipo de estructura tiene el cristal difusor.

1.3.2 Red bcc

La base contiene dos átomos idénticos en las posiciones 0 0 0;1

2 12 12: Luego:

s (h k l) =  f  (1 + exp [

_

i (h + k + l)])

Luego, si:

h + k + l =   impar

₎

s = 0 h + k + l = par

₎

s = 0

El sodio metálico no tiene en su espectro las líneas (100) ; (111) ; (221), pero sí

Chapter 2

DINÁMICA DE REDES

2.1 Cuanticaciones de las vibraciones de la red

La energía de una vibración de red u onda elástica está cuanticada. El cuanto de energía en una onda elástica se conoce como fonón

!

  electrón

   fotón onda electromagnética    fonón onda elástica

 plasmón onda electrónica colectiva

La teoría de vibraciones se inicia en 1900, cuando Planck demostró que la cuan-ticación de la energía podía explicar la distribución de frecuencias emitidas por un cuerpo negro. La energía del fotón es  = h . La energía de n fotones es  = nh .

Omitiremos la energía del punto cero, la cual no tendrá efecto en nuestros cálculos. Lo mismo ocurre con los fonones. Un fonón da un vector de onda _K ~   _tiene,

en lo referente a sus interacciones con otras partículas y campos, una cantidad de movimiento (momentum) h ~ K .

Vimos que la difusión elástica de un fotón por un cristal ( Braggs) está gobernada

 por:

~ _k0 _{= ~ k + ~ G   (2.1.1)}

~ 

G

₂

Red Reciproca

En términos de momentum es como si el cristal completo retrocediera con un mo-mentum ~ _G~ . Si la difusión del fotón es inelástica, con la creación(absorción) de un

fonón de vector de onda K ~ , la regla de selección nos da:

~ _k0_{+ ~ K  = ~ k + ~ G   (2.1.2)}

2.2 Difusión inelástica de fotones de gran longitud de

onda.

Consideremos un fotón de frecuencia   = !=2 propagándose en un cristal. Si se

considera el cristal como un contínuo de índice de refracción n, el vector de onda del

fotón queda determinado por:

! = ck

n   (2.2.1a)

  = c

n   (2.2.1b)

con c la velocidad de la luz

La cantidad de movimiento del fotón es:

~ 

 p = ~ ~ _k   (2.2.3)

Supongamos que un fotón de este haz interactúa con un haz de fonón u onda sonora del cristal. El fotón puede ser difundido por la onda sonora. La interacción puede ocurrir   porque el campo de deformación elástica de la onda sonora cambia la concentración

local de átomos y, por consiguiente, el índice de refracción del cristal. De esta manera, la onda sonora modula las propiedades ópticas del medio. Recíprocamente, el campo eléctrico de la onda luminosa modula las propiedades elásticas del medio.

Un fotón puede, en un cristal, crear o absorber un fonón. En este proceso el fotón será difundido su vector de onda cambiará de ~ _k y~ _k0_{y su frecuencia de ! a !}0_.

Supong-amos que se crea un fonón de vector de onda_K ~  _{y su frecuencia . La cinemática de la}

colisión está dada por:

~ _! = ~ _!0₊~ _   (2.2.4)

donde, para simplicar no hemos incluído la posibilidad de que la difusión esté asociada a una difracción de Bragg, haciendo intervenir un vector de la red recíproca. Si la velocidad vs del sonido.

Ahora, un fonón puede transportar sólo una pequeña parte de la energía del fotón incidente, esto pues vs

 

c. Si un fonón K ~  se forma a partir de un fotón~ k; se tiene que

 para conservar energía y momentum, !0

'

! y k0

2.3 Vibraciones de cristales con una base monoatómica. 21 Como  = vsK , los fonones producidos cuando se difunden inelásticamente

fo-tones a una dirección ' de la dirección incidente tendrán la frecuencia



_'

2vs !n c sin



1 2'



  _(2.2.5)

Ejemplo La frecuencia máxima de los fonones creados por difusión de la luz visible en el vacío de longitud de onda  = 4000 A; para vs~5



105 cm=s y n~1:5 es

 = 2





5



10 5

_



(2) (1:5) 4

_

105 = 2

_

1011rad=s K 

_

=vs = 4



105=cm

La difusión de luz visible ha sido utilizada para generar fonones de corta longitud de onda en el cuarzo y el zaro.

2.3 Vibraciones de cristales con una base monoatómica.

Consideremos las vibraciones elásticas de un cristal con un átomo por celda primitiva. Deseamos encontrar la frecuencia de una onda elástica en términos del vector de onda que describe la onda y en términos de las constantes elásticas.

La solución es simple si consideramos las direcciones [100] ; [110] ; [111] en un

cristal cúbico. Cuando una onda se propaga a lo largo de una de esas direcciones, planos enteros de átomos se mueven en fase con desplazamientos paralelos o perpendiculares a la dirección del vector de onda. Podemos, entonces, describir con una sola coordenada

us; el desplazamiento del plano de su posición de equilibrio. El problema se hace

entonces, unidimensional. Para cada vector de onda existen tres modos de polarización, uno de polarización longitudinal y dos de polarización transversal.

Supondremos que la respuesta del cristal es elástica, y es una función lineal de las fuerzas. Esto es equivalente a la suposición de que la energía elástica es una función cuadrática del desplazamiento relativo de dos puntos cualesquiera en el cristal. Los términos de orden mayor los despreciamos, pero juegan un rol a altas temperaturas



F  = kx; v = kx2=2



:

Por simplicidad, consideraremos sólo interacciones a primeros vecinos, de forma que:

F s = c (us+1



us) + c (us1



us)   (2.3.1)

Esta expresión es lineal en los desplazamientos y de la forma de la ley de Hooke. Es importante mirar  c como la constante de fuerza entre dos átomos, de forma que F s sea

la fuerza en un átomo del plano s: c también será diferente para ondas longitudinales o transversales.

La ecuación de movimiento del plano es:

M  d

2_u s

con M  la masa de un átomo. Buscamos soluciones con todos los desplazamientos que tengan una dependencia temporal ei!t_: Luego:

d2_u s

dt2 =



!us   (2.3.3)

con lo cual:



M!2us =  c (us+1



us1



2us)   (2.3.4)

Esta ecuación tiene solución del tipo:

us+1 = u exp(isKa)exp(



iKa)   (2.3.5a)

= us exp (



iKa)   (2.3.5b)

donde us = u exp(isKa) ; a el espaciamiento entre los planos y K  el vector de onda.

El valor de a dependerá de la dirección de K .

Con esta solución nuestra ecuación diferencial se transforma en:



!2M exp(isKa) =  c

_f

exp[i (s + 1) Ka] + exp [i (s

_

1) Ka]

_

2exp(iKsa)

_g

(2.3.6) de donde:



!2M  = c (exp(iKa) + exp (

_

iKa)

_

2)   (2.3.7)

usando:

2cos(Ka) = exp(iKa) + exp (

_

iKa) !2 = 2c M [1



cos(Ka)]   (2.3.8a) = 4c M sin 2



1 2Ka



  _(2.3.8b) luego: ! =

r 

4c M 





sin



1 2Ka





(2.3.9)

2.3 Vibraciones de cristales con una base monoatómica. 23 d!2 dK  =



2ca M 



_{sin(Ka) = 0   (2.3.10)} en K  =

_

=a:

Primera zona de Brillouin:

¿Cuál es el rango de vectores de onda K  físicamente signicativos?

veamos:

us+1

us

= u exp[i (s + 1) Ka]

u exp(isKa) = exp (iKa)   (2.3.11)

El rango +

 _{$ }

 para la fase Ka barre todos los valores independientes de la

expo-nencial. No tiene sentido hablar de que dos átomos estás desfasados en más de  .

Luego, el rango de valores independientes de K  está dado por:



_a < K 

 _



a   (2.3.12)

y reside en la primera zona de Brillouin.

Podemos tratar un valor de K  fuera de estos límites sustrayendo un número entero

de múltiplos de 2=a, de forma que K 0quede en estos límites. Supongamos que K  car 

fuera de la primera zona de Brillouin, denimos:

K 0 = K 

_

 2n

a , nentero (2.3.13)

que está en la primera zona de Brillouin.

us+1

us = exp (iKa) = exp[i (K 

0_{+ 2n=a) a] = exp (iK} 0_a)



1   (2.3.14)  Notemos que 2n=aes un vector de la red recíproca. Luego, restando un vector apropi-ado de la red recíproca a K , siempre podemos obtener un vector  K 0 _{equivalente en la}

 primera zona de Brillouin.

En los bordes de la primera zona de Brillouin, K max =



=a

us =  u exp(



isKa) =  u exp(



ia) =   (



1)s (2.3.15)

Esta es una onda estacionaria, átomos alternados oscilan en fases opuestas y las ondas no se mueven ni a la izquierda ni a la derecha.

2.4 Velocidad de Grupo

La velocidad de transmisión de un paquete de ondas es la velocidad de grupo dada por:

vg =

d!

dK    (2.4.1)

=

_r

k! (K )   (2.4.2)

Esta es la velocidad con que se propaga la energía en el medio. Con la relación de dispersión: ! =

r 

4c M 





sin



1 2Ka





(2.4.3) vg = 1 2

r 

4c M  a cos



1 2Ka



 ₌



ca2 M 



1=2_cos



1 2Ka



  _(2.4.4)

Esta es cero en los límites de la zona, donde K  =

 _

=a. Aquí la onda es estacionaria y, por consiguiente, tiene velocidad de transmisión de energía cero.

2.5 Límites de onda larga

Si Ka

_

1, podemos expandir  cos !2 = 2c M [1



cos(Ka)]

!

2c M 



₁



1 + 1 2 (Ka) 2



  _(2.5.1a)

'



_M c



K 2a2 (2.5.1b)

El que en este límite m

_/

K , entonces, vg independiente de K  y de !, luego

vs =

! K =

r 

c

M  a   (2.5.2)

Esto recuerda al sonido que se propaga con velocidad constante, por lo que estas ondas se llaman acústicas.

2.6 Derivación de la constante de fuerza

En metales, las fuerzas efectivas pueden ser de largo alcance, llevadas de ión a ión a través de los electrones de conducción. Si deseamos generalizar la relación de disper-sión tenemos:

!2 = 2c

M [1



cos(Ka)]

!

!

2 ₌ 2

2.7 Dos átomos por celda primitiva 25 Resolvemos para la constante c p multiplicando por  cos ( pKa), con p0 un estado entero,

e integrando sobre el rango de valores independientes de K: M 

Z 

=2 =2 dK!2_K  cos ( p0Ka) = 2

X

 p>0 c p

Z 

=2 =2

dK  [1

_

cos( pKa)]cos( p(2.6.2a)0Ka) =

_

2 a c p0   (2.6.2b) luego: c p0 =



Ma 2

Z 

=2 =2 dK!2_K  cos ( p0Ka)   (2.6.3)

2.7 Dos átomos por celda primitiva

Si la celda primitiva tiene más de un átomo, la relación de dispersión se modica. Con-sideremos, por ejemplo, las estructuras de diamante o del NaCl, con dos átomos por  celda primitiva. Por cada modo de polarización, la relación ! vs K  se separa en dos ramas, conocidas como óptica y acústica. Tenemos ondas longitudinales acústicas y transversales acústicas y longitudes y transversales ópticas.

Si hay p átomos en la celda primitiva habrán 3 p ramas en la relación de dispersión, 3 acústicas y 3 p

_

3 ópticas.

La numerología de las ramas se desprende del número de grados de libertad de los átomos con p átomos en la celda primitiva y N  celdas primitivas hay P N  átomos que hacen un total de 3 pN  grados de libertas del cristal completo. El número de valores K 

 permitidos en una rama son N  en cada zona de Brillouin, luego, hay 3 p ramas. Consideremos un cristal cúbico con átomos M 1 y M 2 en planos alternados.

Luego: M 1 d2_u s dt2 = c (vs1 + vs



2us)   (2.7.1a) M 2 d2_v s dt2 = c (us + us+1



2vs)   (2.7.1b)

Buscamos una solución de una onda viajera de tipo

us = u exp(isKa)exp(



i!t)   (2.7.2a)

vs = v exp(isKa)exp(



i!t)   (2.7.2b)

Sustituyendo estas formas en 2.7.1a y 2.7.1b



!2M 1u = cv [1 + exp (



iKa)]



2cu   (2.7.3a)



!2M 2v = cu [1 + exp (iKa)]



2cv   (2.7.3b) luego





2c

_

M 1!2



c [1 + exp (



iKa)]



c [1 + exp (iKa)] 2c

_

M 2!2





= 0   (2.7.4) de donde: M 1M 2!4



2c (M 1 + M 2) !2 + 2c2[1



cos(Ka)] = 0   (2.7.5)

Esta ecuación puede resolverse exactamente, pero es más simple examinar los casos límites Ka

 _

1 y Ka =

 _

. Para valores pequeños de K a tenemos cos(Ka)

 _

1

_

1₂K 2a2 + :::Luego:

!2

_'

2c



1 M 1

+ 1 M 2



_{rama óptica (2.7.6a)}

!2 = cK 

2_a2

2 (M 1 + M 2)

rama acústica (2.7.6b)

Los desplazamientos de las partículas también pueden estimarse. En la rama óptica, en K  = 0 se tiene que:

!2

_'

2c



1 M 1 +

1 M 2

2.7 Dos átomos por celda primitiva 27 Al usar esto en las ecuaciones para M 1 y M 2 con las que se escribe el determinante, se

tiene que:

u v =



M 2

M 1

Es decir, los átomos vibran uno opuesto al otro.

Si los átomos llevaran cargas opuestas podríamos excitar un modo de este tipo con el campo eléctrico de la luz. Por esto se llama rama óptica.

Otra solución en K  dará u=v complejo.

En el caso óptico, u = v se obtiene en el límite K  = 0. Los átomos se mueven

como en una larga onda acústica, de allí el término rama acústica.

Ejercicio Considere una red bidimensional cuya constante de red es a. Los átomos interactúan de forma que cuando un átomo en (xn; yn) se desplaza a (xn + x; yn)

está sujeto a una fuerza restauradora

_

c1x; debida a sus vecinos en (xn



a; yn) y

una fuerza restauradora

_

c2x , debida a sus dos vecinos en (xn; yn



a) : Suponga

c2 < c1.

 Encuentre la relación de dispersión en el eje x

 Encuentre la velocidad del sonido Solución

un;m =desplazamiento del átomo en xn; yn

El desplazamiento del átomo un;m relativo a sus vecinos en el eje x es:

(un;m



un+1;m) y (un;m



un1;m) Respecto de y (un;m



un;m+1) y (un;m



un;m1) Con esto: md 2_u n;m dt2 =



c1 (2un;m



un+1;m



un1;m)



c2 (2un;m



un;m+1



un;m1)

Si suponemos una solución del tipo:

un;m =  Aei(kxna+kyna)ei!t

obtendremos:

m!2 = c1



2



eikxa



eikxa



+ c2



2



eikya



eikya



= 2c1 [1



cos(kxa)] + 2c2 [1



cos(kya)]

Por lo tanto: ! =



4c1 m sin 2



kxa 2



₊ 4c2 m sin 2



kya 2



1=2

Para ondas de sonido propagándose en la dirección x, ky = 0 y

! =



4c1 m sin 2



kxa 2



1=2 ~v =

_r

k! = @! @kx ^ ex + @! @ky ^ ey = a

m! [c1 sin (kxa)] ^ex + c2 sin (kya) ^ey ~v = a

m!



c

2

1 sin2(kxa) + c22 sin2(kya)



1=2

Chapter 3

PROPIEDADES TÉRMICAS

DE LOS SÓLIDOS

3.1 Expansión Térmica

Es común que la mayoría de los sólidos se expanden cuando se calienten. Si trabajamos con una barra o alambre, la magnitud de este efecto con una por el coeciente de expansión térmica lineal . Éste dene el cambio fraccional en la longitud por cambio

unitario de temperatura.

 = L L0

1 T 

A pesar de que los valores de  son muy pequeños, si los extremos de una barra

se mantienen jos, puede producirse una deformación apreciable del material. Este efecto debe considerarse en la construcción de puentes, líneas de tren y caminos para evitar colapsos de las estructuras en días cálidos, pero también puede usarse en la construcción de switchs sensibles a la temperatura.

acero = 1:1



105K 1

 plomo = 2:9



10



5K 1

¿Cómo podemos entender a escala atómica el fenómeno de la expansión?

Es claro que un cambio microscópico de dimensión debe estar asociado a un cam- bio en la distancia interatómica.

Examinemos que ocurre con la energía potencial 29

A T  = 0 todos los átomos tienen la menor energía posible, E min, correspondiente

a la separación de equilibrio a0: A temperatura T o, la energía promedio de los átomos

aumenta en kBT , luego la separación varía entre a0 y a1. Como la curva de energía

 potencial es asimétrica (es más difícil juntar los átomos que separarlos), encontramos que el centro de oscilación está ahora en un valor mayor que a0. Si el potencial fuese el

de un oscilador armónico no podríamos obtener expansión térmica.

3.2 Capacidad Calórica, un acercamiento clásico

Calcularemos ahora el calor especíco, es decir, la cantidad de energía necesaria para subir la temperatura de un material en 1K . Estará referido a una sustancia que contiene

6:02

_

1023_{átomos. Esto no necesariamente es un mol. Por ejemplo, en un cristal de}

NaCl tendremos N A=2 iones de Sodio y N A=2 iones de Cloro.

C₌ @U 

@T    (3.2.1)

Con U  la energía interna.

¿Cómo determinamos la energía de vibración de los iones? De acuerdo al teorema de equipartición de energía y asumiendo un oscilador con seis grados de libertad por  ión,

U  = N A



3kB



T  = 3RT    (3.2.2a)

@T 

@T  = 3R   (3.2.2b)

R= constante molar de los gases.

 Nuestro modelo clásico sugiere que todos los sólidos tienen una capacidad calórica constante, lo cual se conoce como ley de Dulong-Petit.

¿Cómo se compara este resultado con los experimentos? A T o _{ambiente esto es}

3.2 Capacidad Calórica, un acercamiento clásico 31 MATERIAL 77 K 



JK 1



273 K 



JK 1



Cobre Cu 12:5 24:3 Aluminio Al 9:1 23:8 Oro Au 19:1 25:2 Plomo P b 23:6 26:7 Hierro F e 8:1 24:8 Sodio N a 20:4 27:6 Silicio Si 5:8 21:8 Vidrio

_

4:0

_

15:0

Cloruro de Sodio NaCl 14:0 24:6

Diamante C  0:1 5:0

Luego, a bajas temperaturas el modelo no sirve.

Veamos un acercamiento diferente. Calculemos la energía media de un oscilador  armónico simple:

h

E 

_i

=

X

n E n pn =  A

X

n n~  k! kBT  Boltzmann (3.2.3)

Para obtener  A usamos

_P

 pn = 1, luego

A

X

n exp



_

n~ ! kBT 



 _{= 1   (3.2.4)} Con esto,

h

E 

_i

=

P

nn ~ _{! exp}



_

n~! kBT 



P

n exp





n ~_! kBT 



  (3.2.5) Usando:

P

nn exp(



nx)

P

n exp (



nx) =

_

d dx

"

log

"

X

n exp(

_

nx)

##

  (3.2.6) tenemos que

h

E 

_i

=

_

~ _! d dx

"

log

"

X

n exp(

_

nx)

##

  (3.2.7) con x = ~_! kBT 

X

n exp(

_

nx) = 1



exp(



nx) 1

_

exp(

_

x) ~ 1 1

_

exp(

_

x)   (3.2.8) con n grande Ahora d dx



_log



1 1

_

exp(

_

x)



 ₌   exp(

_

x) 1

_

exp(

_

x) = 1 exp(x)

_

1   (3.2.9)

de donde

h

E 

_i

= ~ ! exp(x)

_

1 = ~ _! exp



~_! kBT 

 

1



  (3.2.10)

h

E 

_{i 6}

= 3RT 

3.3 Capacidad Calórica, modelo de Einstein

La primera persona en aplicar teoría cuántica para determinar el calor especíco de un sólido fue Albert Einstein. A pesar de que esta no es su mayor contribución, fue citada en la asignación de su premio Nobel en 1921.

Como en el acercamiento clásico, Einstein considera los átomos como osciladores armónicossimples. Para simplicar, los trataremos como unidimensionales. De acuerdo a la teoría cuántica, la energía de un oscilador armónico simple puede tener sólo cierto valores discretos:

E n =



n +

 1 2



_{~ !; n = 0; 1; 2;:::}

Ahora, debemos saber cuántos osciladores tienen una energía particular  E n: A T  =

0, esperamos que todos los átomos estén en el nivel más bajo. Sin embargo, sabemos que su energía no es cero, sino ~_!

2 . La mecánica cuántica nos muestra que los átomos

no están completamente estacionarios aún en cero absoluto. Sin embargo, en orden a simplicar nuestros cálculos, mediremos la energía respecto de ese valor y así,  E n =

n~ _!:

A temperaturas mayores que 0K , algunos de los átomos ocuparán niveles de energía más altos (con n = 1; 2; 3;:::) De acuerdo a la distribución de Boltzmann, la probabil-idad de que una partícula esté en un estado con energía E  a temperatura T  es propor-cional a exp(

_

E=kBT ), luego, la probabilidad de ocupar un estado de energía E n a

temperatura T  está dada por:

 pn =  A exp





n~ _! kBT 



con A = 1

P

n exp





n ~_! kBT 



y

h

E 

_i

= ~ ! exp



_k~_B!_T 



_

1 =

h

n

i

~ _! luego U  = 3N A

h

E 

i

= 3N A ~ _! exp



_k~_B!_T 



_

1

33..3 3 CCaappaacciiddaad d CCaallóórriiccaa, , mmooddeello o dde e EEiinnsstteeiin n 3333 C C _{= 3= 3RR}





~ ~ !! k kBBT T 





22 expexp



kk~~BB!!T T 



hh

_expexp



~~_!! k kBBT T 







11

ii

2 2

Si gracamos esta función vemos que hay un buen acuerdo con los experimentos. Si gracamos esta función vemos que hay un buen acuerdo con los experimentos. A alta temperatura converge al valor clásido

A alta temperatura converge al valor clásido 3 3RR. . Esto oEsto ocurrcurre pues sie pues si k kBBT T  es mucho es mucho

mayor que la

mayor que la distancia entre niveles,distancia entre niveles,~ ~ _!!, entonces, la expresión para, entonces, la expresión para _U  U 

 _!

 _!

_{33N N AAkkBBTT::}

Se dene Se dene EE == ~  ~ _!! k kBBT T  A

A T  T  = = 00, la , la natunaturalezraleza discreta discreta es a es muy evidmuy evidenteente. . AA T  T 

_

_

00, la naturaleza de los, la naturaleza de los estados no es tan evidente y parece a la distribución clásica

estados no es tan evidente y parece a la distribución clásica En general: En general: ! ! = =

r 

r 

 k k m m con

Con esto: Con esto:

madera

madera : : 55N=m < k <N=m < k < 140 140N=mN=m : : diamante diamante 44

_

_

10101212 < < ! ! << 8 8

_

_

10101313rad=srad=s

Átomos pesados y con enlaces débiles tienen

Átomos pesados y con enlaces débiles tienen ! ! bajas, como oro y madera. bajas, como oro y madera.

3.4

3.4 Mod

Modelo

elo de

de Deb

Debye

ye

El modelo de Einstein mantiene discrepancias con los experimentos a bajas El modelo de Einstein mantiene discrepancias con los experimentos a bajas temperat-uras. Si consideramos

uras. Si consideramos T  T < < EE==1010;;C C //  es proporcional a es proporcional a T  T 33 experimentalmente. Peroexperimentalmente. Pero

el modelo de Debye

el modelo de Debye predice valores que cambian exponencialmpredice valores que cambian exponencialmente con la ente con la temperaturatemperatura ¿Cómo mejorar el modelo de

¿Cómo mejorar el modelo de Einstein?Einstein?

Si asumimos que los átomos al vibrar interactúan unos con otros, podemos mejorar  Si asumimos que los átomos al vibrar interactúan unos con otros, podemos mejorar  nuestro modelo.

nuestro modelo.

Consideremos ondas estacionarias en un cristal unidimensional de longitud

Consideremos ondas estacionarias en un cristal unidimensional de longitud  L L. . LaLa

amplitud de cada una de estas ondas está descrita por 

amplitud de cada una de estas ondas está descrita por     = sin( = sin(kxkx)) y por condiciones y por condiciones

de contorno

de contorno kkxx == nnxx=L=L yy nnxx un entero.  un entero. Si extenSi extendemodemos esto a s esto a tres dimtres dimensiensionesones

encontramos

encontramos k kyy y y k kzz::

Para conocer la frecuencia y amplitud de vibración de cualquier átomo particular, Para conocer la frecuencia y amplitud de vibración de cualquier átomo particular, necesitamos conocer el efecto combinado de estos distintos modos de vibración, lo necesitamos conocer el efecto combinado de estos distintos modos de vibración, lo cual es una tarea formidable. Pero afortunadamente, sólo necesitamos conocer cuántos cual es una tarea formidable. Pero afortunadamente, sólo necesitamos conocer cuántos átomos vibran a una frecuencia particular. Esto se obtiene a partir de

átomos vibran a una frecuencia particular. Esto se obtiene a partir de g g ((!!)), lo cual nos, lo cual nos

da el número de átomos con frecuencias entre

da el número de átomos con frecuencias entre ! ! yy ! !  + + d! d!:: Siguiendo un argumento Siguiendo un argumento usual tenemos que:

usual tenemos que:

k kxx = = k kyy == k kzz == n n L L luego luego  kk = =



 L L



3 3 k k22 ==



nn_x2_x2 + + nn22_yy + + nn22_zz



  _LL22₂2 == nn 2 2_22 L L22

número de osciladores distintos cuyo

número de osciladores distintos cuyo n < n n < nmaxmax

N  N  == 1 1 8 8



4433kkmaxmax33



 33 L L33 = =  66 k k33 max max  33 V V  = = kk 3 3 max maxV V  6622 = = !! 3 3_V V  66vv33 con

con V  V  el volumen del cristal yel volumen del cristal y kk = = !! v

v;; (aproximación de Debye, (aproximación de Debye, ! ! = = vk vk))

gg ((!!) =) = dN dN  d! d! == ! !22_V V  2222_vv33

33..6 6 CCoonndduuccttiivviiddaad d TTéérrmmiicca a 3355 Para tres modos de

Para tres modos de vibración, queda como sigue:vibración, queda como sigue:

U  U  = = 33

Z 

Z 

! !maxmax 0 0 gg ((!!)) E E ((!!)) d!d! = = 33

Z 

Z 

! !maxmax 0 0 gg ((!!))~ ~ _!d!!d! exp exp



~~_!! k kBBT T 







11 = = 33

Z 

Z 

! !maxmax 0 0

hh

n n

_ii

~ ~ _{!g!g ((!!))} !

!maxmax corresponde al corresponde al  minmin que tiene sentido en el cristal que tiene sentido en el cristal

U 

U  = 3= 3

Z 

Z 

_hh

nn

_ii

~ ~ _{!g!g ((!!))}

Esta integral no se

Esta integral no se puede resolver analíticamentpuede resolver analíticamente, pero podemos obtener una e, pero podemos obtener una expre- expre-sión aproximada a bajas temperaturas. Esto es:

sión aproximada a bajas temperaturas. Esto es: // C  C  = = 1212RR 4 4 55





T T  DD





33

Entonces, a bajas temperaturas se desprende una

Entonces, a bajas temperaturas se desprende una dependencia condependencia con T  T 33_,,

DD = = ~  ~ _!!maxmax k kBB V

Vemos una gran emos una gran similitud entre esta denición ysimilitud entre esta denición y  EE::

Si hay

Si hay N N  celdas primitivas en la muestra, el número total de modos de fonones celdas primitivas en la muestra, el número total de modos de fonones

acústicos es

acústicos es N  N  y la frecuencia de corte y la frecuencia de corte ! !DD se obtiene de se obtiene de

N  N  == VV !!DD 6622_vv33

)

)

!!33_DD = = 66 2 2_vv33_N N  V  V 

3.5

3.5 Capac

Capacidad

idad Calór

Calórica d

ica de lo

e los ele

s electro

ctrones

nes

Se

Se encencontontrarraráá que /que /C C ee = = 

2 2 2 2 NN kkBB T  T  T 

T F F ;;conconN N  == N  N AA



V olVol. A. AT T  ambiente, / ambiente, /C C ee~0~0::22JmolJmol

 11_K K 11

frente a la

frente a la contribucicontribución de ón de los iones. los iones. Igualando ambas contribucioneIgualando ambas contribuciones podemos estimar s podemos estimar  las temperaturas a la cual

las temperaturas a la cual la contribución electrónica es importante.la contribución electrónica es importante.

3.6

3.6 Conduc

Conductivi

tividad

dad Térmi

Térmica

ca

¿Qué mater

¿Qué materialeiales s son buenos conduson buenos conductorectores s térmtérmicosicos? ? Es sabido que Es sabido que los metallos metales sones son  buenos

 buenos conductores conductores de de calorcalor. . Esto Esto sugiere sugiere que que existen existen alguna alguna similaridasimilaridad d entre entre con- con-ducción eléctrica y térmica. De hecho, una relación empírica escrita en 1853 establece ducción eléctrica y térmica. De hecho, una relación empírica escrita en 1853 establece

que:

L = K 

T  = 2:45



10

8

en que K  es la conductividad térmica y L es conocido como el número de London.

Sin embargo, existen algunas diferencias fundamentales: 1.

buen conductor =mal conductor  = 1024

K buen conductor =K mal conductor  = 105

2. Algunos materiales, como el diamante, son aisladores eléctricos y excelentes con-ductores térmicos.

Esto sugiere que, adicionalmente, al transporte de electrones, existen otros procesos que contribuyen a la conductividad térmica. Una probabilidad obvia es que también los iones participen de ella. Veamos lo que ocurre en una cadena lineal de átomos. Si se calienta un extremo vibrarán más que los del otro extremo. Como los enlaces entre los átomos son como resortes, un incremento en las vibraciones de un átomo necesariamente afecta las vibraciones de los vecinos. De esta forma, la perturbación viaja a través de la cadena.

A diferencia de la conductividad eléctrica, que se debe sólo a los electrones, la conductividad térmica involucra dos tipos de contribuciones:

K  =  K el + K  ph

K  ph = 1

3nC phv ph

con:

n = número de moles por volumen unitario

C ₌ calor especíco molar de los iones

 = camino libre medio de los fonones

v = velocidad media de los fonones

Para tener algunas ideas respecto de la velocidad de los fonones, debemos recordar  que el sonido se transmite a través de vibraciones de los átomos. Luego, podemos  pensar que la velocidad...

Chapter 4

ELECTRONES LIBRES EN

METALES

4.1 Modelo de un electrón libre

"En una teoría en la que se han obtenido tales resultados, tiene que haber gran  parte de verdad" H. A. Lorentz

El modelo de electrones libres se aplica esencialmente a los metales y aparece como un intento de explicar principalmente las propiedades eléctricas de los metales. De acuerdo con este modelo, los electrones mas débilmente ligados a los átomos re-spectivos, los de valencia, se mueven libremente por todo el metal y reciben el nombre de electrones de conducción.

El primer intento por explicar las propiedades eléctricas de un metal se realizó en 1900, tres años después del descubrimiento del electrón. La teoría es incorrecta, pero  permite introducir algunos conceptos básicos de gran utilidad.

4.2 Modelo de Drude

Drude asume que un metal está formado por iones estacionarios y electrones de valen-cia que son libres para moverse. Estos electrones son pequeñas esferas que chocan con los iones.

Diagrama esquemático de la trayectoria de un electrón a través de la red de iones

El movimiento total es aleatorio y no puede existir ningún movimiento neto en al-gunas direcciones, si no introducimos una diferencia de potencial.

Podemos estimar la velocidad de los electrones a partir de:

1 2mv

2 ₌ 3

2kBT 

v

_

105m=s (a temperatura ambiente)

A mayor temperatura, mayor velocidad tendrá el electrón luego de una colisión. Podemos denir el camino libre medio  que es la distancia promedio que viaja el electrón entre colisiones, y el tiempo de colisión  , que es el tiempo promedio entre colisiones

v

 _

= 

Dado que



_

1nm;  

 _

1014s

¿Qué ocurre si aplicamos un campo eléctrico? Esperamos un ujo de electrones en la dirección opuesta al campo. Si el campo tiene magnitud ";la fuerza sobre un electrón será e". Luego, cada electrón experimentará una aceleración a = e"=m:

Esta aceleración produce un cambio en la velocidad del electrón, v ; dada por: v = at = e"

mt

Si el tiempo entre colisiones es  , entonces, la velocidad promedio será, en la

direc-ción del campo:

v = e" m 

Esta velocidad de arrastre representa la velocidad promedio de los electrones de valencia en la dirección del campo. Si utilizamos un campo de 10V=m; v = 0:02m=s

v v



1 107

Aún al aplicar un campo razonable, la velocidad ganada es muy pequeña, debido a la frecuencia de los choques, lo que hace que la trayectoria sea casi aleatoria, con una tendencia muy suave a moverse en la dirección opuesta al campo.

4.2 Modelo de Drude 39 En realidad, sólo nos entrega una descripción cualitativa de la resistencia eléctrica. Podemos suponer que cuando el electrón choca con el ión, el exceso de energía que el electrón gana por el campo eléctrico es transferido al ión. Esto aumenta las vibraciones del ión y, por consiguiente, aumenta la temperatura del sistema

E K _e

 !

E termica

Como sabemos, si hacemos pasar una corriente por un metal, este se calienta. Entonces, la resistencia puede entenderse como una medida de la cantidad de energía que puede convertirse en calor.

Por otro lado, el modelo de Drude es consistente con la ley de Ohm. Denamos la movilidad , que es una medida de cuán fácil se mueve un electrón en la red

v = "

₎

 = e  m

Si asumimos que   es independiente de " y de la temperatura, entonces,  es con-stante también. Esto no es totalmente cierto, pues a mayor temperatura, menor   , pero es válido en una primera aproximación.

Consideremos un alambre al cual se le aplica un campo eléctrico en la dirección de su eje. Si eliminamos de nuestro análisis la velocidad aleatoria de los electrones, que en  promedio es cero, podemos deducir la ley de Ohm.

La carga debida a los electrones que atraviesan el área A por unidad de tiempo es

J  = I 

A = nev

con n el número de electrones de valencia por unidad de volumen

J  = ne"

Si denimos  = ne;la conductividad, podemos escribir  J  = "

= " 

Ahora

I  = JA = "A  = "A  L L = V  R

)

V  = IR  = ne = ne 2_  m

4.3 Gas de Fermi de electrones libres

E 

"

 ~  2 2m



1 2L



2

#



~  2 2m d2_ n dx2 = nn

4.4 Capacidad Caloríca Experimental en Metales 41 con _n (0) = _n (L) = 0 n = A sin



n L x



; n = ~ 2 2m



n L



2

Supongamos que queremos ubicar  N  electrones. De acuerdo al principio de ex-clusión de Pauli, dos electrones no pueden ocupar los mismos orbitales. De esta forma:

N n ms 1 1

_"

2 1

_#

3 1

_"

4 2

_#

5 3

_"

6 3

_#

7 4

_"

8 4

_#

nF es el nivel más alto, entonces:

nF = N  2 F  = ~ 2 2m



nF  L



2 = ~  2 2m



N  2L



2

4.4 Capacidad Caloríca Experimental en Metales

A T 

 _

 T D (D) y de T F , la capacidad calorifíca de los metales a volumen constante,

 puede escribirse como la suma de las contribuciones electrónicas y de la red:

C  =  T  + AT 3

donde   y A son constantes características del material, con A = 1 2 2_N  kB T F    = 12 4 5 N   kB 3_D = 234N kB 3_D

En general, se graca C 

T  =  +AT 2;que es una recta con pendienteAe intersección

con el eje C=T  =  .

A veces estos valores para   =   _libre = 2_{N k}

B= (2F ) y en la literatura se dene:

mt

m =

 _observado  _libre

con mt=masa térmica efectiva



F = 1₂mv2F 



La razón porque estos cuocientes dieren de la unidad se debe a:

1. Interacción de los electrones de conducción con el potencial periódico de una red cristalina rígida

2. Interacción de los electrones de conducción con los fonones. El electrón tiende a distorsionar o polarizar la red que lo rodea. El electrón intenta penetrar entre las las de iones, aumentando su masa efectiva. En los cristales iónicos esto se conoce como efecto polarónico.

3. Interacción de los electrones de conducción con ellos mismos. Un electrón móvil  produce una reacción de inercia en el gas electrónico que lo envuelve, lo cual au-menta la masa efectiva del electrón. Los efectos de la interacción electrón-electrón

se describen generalmente dentro del marco de lo que se llama  teoría de Landau del líquido de Fermi.

4.5 Conductividad Electríca y Ley de Ohm

El momento de un electrón libre está relacionado con su vector de onda por:

m~v = ~ ~ _k   (4.5.1)

En un campo eléctrico_E ~  _{y magnéticoB}~ _{, la fuerza sobre un electrón está dada por}  ~  F  = md~v dt = ~  d~ k dt =



e



_E  +~   1 c~v



B~ 



  _(4.5.2)

En ausencia de colisiones, la esfera de Fermi en el espacio ~ k se desplaza uniforme-mente cuando se aplica un campo constante. Usando _{B = 0}~   _{e integrando 4.5.2}

~ _{k (t)}

_

~ _{k (0) =}

_

_eEt

~    (4.5.3)

Si aplicamos un campo E  en t  = 0; al cabo de   el centro de la esfera se desplaza en

k =

_

eE 

~    (4.5.4)

Debido a las colisiones, la esfera puede mantenerse en estado estacionario.

Si el tiempo que dura una colisión es  , el desplazamiento de la esfera en estad estacionario es

k =

_

eE 

4.6 Resistividad experimental 43 y el aumento de la velocidad es

~v =

_

eE 

m   (4.5.6)

Si en un campo eléctrico constante _E ~  _{hay n electrones por unidad de volumen con}

carga q  =

_

e, la intensidad de corriente es

~ 

J  =   nq~v   (4.5.7a)

= ne2E 

m   (4.5.7b)

Esta es la ley de Ohm

J  = E    (4.5.8)

)

 = ne

2_ 

m   (4.5.9)

 = 1=   (4.5.10)

La expresión para  es evidente pues la carga transportada debe ser proporcional a

la densidad de carga ne, e=m viene de la aceleración que produce un campo E  y   es el

tiempo en el cual actúa E 

 = vF  

en cobre, vF = 1:58



108cm=s2,   = 2



109s; entonces

 (300K ) = 3

_

106cm  (4K ) = 0:3cm

En metales muy puros a temperatura del helio líquido



_

10cm

4.6 Resistividad experimental

 = _L + _i L: lattice

i : impurezas

Si la concentración de impurezas es pequeña, _i es independiente de la temperatura

(Regla de Mathiessen)

La resistividad residual es el valor que se obtiene extrapolando a 0K  y es equivalente a _i y varía de una muestra a otra.

 (T  = 300K )  (T  = H el{quido) =

relación de resistividad 

'

106

En metales normales, contribución de fonones a _L

 _/

T . Excepto a bajas temperat-uras, en las cuales _L

 _/

T 5

4.7 Conductividad térmica de los metales

K el = 1 3 /Cv = 1 3 /C ev =  2 3 nk_B2T  mv2 F  vF  =  2_nk2 BT   3m  pues  = vF  

4.8 Ley de Wiedermann-Franz

A temperaturas no muy bajas, la relación entre la conductividad térmica y eléctrica de los metales es directamente proporcional a T , e independiente del metal

K   = 2_k2 BTn=3m ne2_{ =m} =  2 3



kB e



2_T  L: número de Lorentz L = K  T  =  2 3



kB e



2 = 2:45

_

108



W =K 2



Esto falla si  e

 6

=   ph, lo que ocurre a muy bajas temperaturas.

4.9 Movimiento en campos magnéticos

Vimos que

k = F 

4.9 Movimiento en campos magnéticos 45 k (t)

_

k (0) = k  =

_

eEt ~  = F   t ~    (4.9.2) ~ 



 d dtk



 _{= F    (4.9.3)}

 pero si deseamos incluir colisiones debemos agregar un término de "roce" dado por 

~ 



 d dt + 1  



_{k = K    (4.9.4)} en que d

dt es la aceleración de la partícula libre y 1

  es el efecto de las colisiones, "roce".

La fuerza se gasta en acelerar la partícula y en el roce. Consideremos ahora la  partícula en un campo magnético uniforme B. La fuerza de Lorentz sobre un electrón

es:

F  =

_

e



E  + 1

c~v



B~ 



  _(4.9.5)

Si mv  = ~ _k, la ecuación de movimiento es:

m



 d dt + 1  



_v =



e



E  + 1 cv



B



  _(4.9.6)

v en el término de fuerza corresponde al valor medio de v sobre la esfera de Fermi.

Consideremos primero el movimiento libre de un sistema, siendo B paralelo al eje

z. Vamos a hacer  E  = 0 y  

 _{! 1}

; entonces

m d dtvz =



e B c vy   (4.9.7) m d dtvy =



e B c vz   (4.9.8)

que tienen solución:

vz = v0 cos (!ct)   (4.9.9)

vy = v0 sin (!ct)   (4.9.10)

donde !c = eB_mc

 

2:8



104B (Tesla)



2

Para un electrón libre en un campo de 100KGauss tenemos que !c = 1:76

 

1011_rad=s.

Si los tiempos de relajación del cobre son 2

_

1014_s y 2



109_{a 300K y 4K ,}

respectivamente, entonces, !c  = 3:5



105 y 3:5



102. Esta distancia es muy

pe-queña a temperatura ambiente, pero a temperaturas del helio líquido se recorren muchos ciclos.

Un caso importante es cuando existe un campo magnético estático B en la dirección del eje z y E 

 ₆

= 0: En este caso:

m



 d dt + 1  



_v x =



e



E x + B c vy



  _(4.9.11) m



 d dt + 1  



_v y =



e



E x + B c vx



  _(4.9.12) m



 d dt +  1  



_v z =



eE z   (4.9.13)

En estado estacionario y en un campo eléctrico estático las derivadas respecto al tiempo son cero, por lo que las ecuaciones se reducen a:

vx =



e   mE x



!c vy   (4.9.14) vy =



e   mE y + !c vx   (4.9.15) vz =



e   mE z   (4.9.16)

Resolviendo para vx y vy tenemos:

vx =



  e=m 1 + (!c )2  (E x



!c E y)   (4.9.17) vy =



  e=m 1 + (!c )2  (E y + !c E x)   (4.9.18)

La densidad de corriente de electrones viene dada por 

~ 

J  = n (

_

e) ~v   (4.9.19) Luego, podemos escribir:

J x = xxE x + xyE y   (4.9.20a)

= 0 1 + (!c )2

 (E x



!c E y)   (4.9.20b)

J y = yzE x + yyE y   (4.9.21a)

= 0 1 + (!c )2  (E y + !c E x)   (4.9.21b) J z = zzE z   (4.9.22a) = 0E z   (4.9.22b) en que 0 = ne 2   m

0

@

J x J y J z

1

A

 = 0 1 + (!c )2

2

4

1

_

!c  0 !c  1 0 0 0 1 + (!c )2

3

5

0

@

E x E y E z

1

A

  (4.9.23)

4.10 Efecto Hall 47

4.10 Efecto Hall

Consideremos una lámina

En estado estacionario: J y = 0, entonces

E y =



!c E x   (4.10.1a)

=

_

eB

mc E x   (4.10.1b)

Esta última expresión se conoce como el campo de Hall 

RH  = E y

J xB :

  constante de Hall    (4.10.2a)

=

_

eBE x

mc =J xB   (4.10.2b)

=

_

e E x mJ x

(4.10.2c)

Para evaluar, usamos 4.10.1a en 4.9.20b

J x = 0 1 + (!c )2  (E x



!c 

 

(



!c E x)) = 0 1 + (!c )2

h

_{E x + (!c )}2 E x

i

= 0E x 1 + (!c )2

h

_{1 + (!c )}2

_i

= 0E x