4.2 Esfuerzo Normal y Cortante en Vigas

MECANICA

MECANICA

DE

DE

MATERIALES

MATERIALES

Consideremos a continuación la viga simplemente apoyada de la fig. 2.4.a, la Consideremos a continuación la viga simplemente apoyada de la fig. 2.4.a, la misma presenta una carga puntual “P” aplicada perpendicularmente al eje de la misma presenta una carga puntual “P” aplicada perpendicularmente al eje de la viga. La sección transversal de la viga está compuesta por cuatro placas, viga. La sección transversal de la viga está compuesta por cuatro placas, inicialmente independientes entre sí. Para el momento de aplicación de la carga inicialmente independientes entre sí. Para el momento de aplicación de la carga “P”, la deformación por flexión que aparece en la viga, hace que las placas “P”, la deformación por flexión que aparece en la viga, hace que las placas deslicen horizontalmente unas sobre otras. Si ahora asumimos que las placas deslicen horizontalmente unas sobre otras. Si ahora asumimos que las placas tienen algún pegamento o soldadura, de tal manera que impida el deslizamiento tienen algún pegamento o soldadura, de tal manera que impida el deslizamiento anterior, instintivamente podemos visualizar la aparición de una fuerza horizontal anterior, instintivamente podemos visualizar la aparición de una fuerza horizontal entre las placas, que las mantendrá unidas entre sí. Esta fuerza generada tiene las entre las placas, que las mantendrá unidas entre sí. Esta fuerza generada tiene las características de una fuerza cortante por ser tangente o paralela a la superficie de características de una fuerza cortante por ser tangente o paralela a la superficie de contacto entre las placas. Considerando la sección con las placas soldadas de la contacto entre las placas. Considerando la sección con las placas soldadas de la fig. 2.4.b, donde se aprecian los prismas de esfuerzo normal a compresión y fig. 2.4.b, donde se aprecian los prismas de esfuerzo normal a compresión y tracción, podemos notar como las resultantes C1 y C2 de compresión, tienen tracción, podemos notar como las resultantes C1 y C2 de compresión, tienen diferente magnitud, por lo tanto en el plano “b” se produce una fuerza cortante Vb, diferente magnitud, por lo tanto en el plano “b” se produce una fuerza cortante Vb, que mantiene en equilibrio las dos placas superiores, de igual manera se cumple que mantiene en equilibrio las dos placas superiores, de igual manera se cumple en las dos placas inferiores a tracción, por la simetría los cortes Vb = Vd. Las en las dos placas inferiores a tracción, por la simetría los cortes Vb = Vd. Las caras “a” y “e”, por ser libres no pueden generar fuerza cortante, mientras que en caras “a” y “e”, por ser libres no pueden generar fuerza cortante, mientras que en el plano “c”, se produce el mayor desequilibrio de fuerzas normales puesto que se el plano “c”, se produce el mayor desequilibrio de fuerzas normales puesto que se suman las dos fuerzas de compresión superior con las dos de tracción inferior, las suman las dos fuerzas de compresión superior con las dos de tracción inferior, las cuales deben ser equilibradas por la fuerza cortante Vc. Este ejemplo permite de cuales deben ser equilibradas por la fuerza cortante Vc. Este ejemplo permite de antemano suponer que a diferencia de los esfuerzos normales, los esfuerzos antemano suponer que a diferencia de los esfuerzos normales, los esfuerzos cortantes presentan sus valores máximos en el eje neutro, mientras que los cortantes presentan sus valores máximos en el eje neutro, mientras que los esfuerzos mínimos están en las fibras superiores e inferiores de la sección esfuerzos mínimos están en las fibras superiores e inferiores de la sección estudiada.

estudiada.

Fig. 2.4.a Fig. 2.4.a

σ σ22dAdA Fig. 2.4.b Fig. 2.4.b El corte en el plano b = d El corte en el plano b = d El corte en el plano a y e = 0 El corte en el plano a y e = 0 El corte en el plano c es el máximo El corte en el plano c es el máximo C1 + C2 = C3 + C4

C1 + C2 = C3 + C4

La parte izquierda de la figura de abajo representa la sección longitudinal del La parte izquierda de la figura de abajo representa la sección longitudinal del elemento diferencial “dx”, contenido entre las secciones 1 y 2, y los respectivos elemento diferencial “dx”, contenido entre las secciones 1 y 2, y los respectivos diagramas de esfuerzo normal en ambas secciones, considerando que estos diagramas de esfuerzo normal en ambas secciones, considerando que estos diagramas difieren en intensidad, debido a la variación de magnitud de momento diagramas difieren en intensidad, debido a la variación de magnitud de momento flector existente entre ambas secciones. En la sección transversal de la derecha, flector existente entre ambas secciones. En la sección transversal de la derecha, se establece una fibra situada a una distancia variable “y”, medida desde el eje se establece una fibra situada a una distancia variable “y”, medida desde el eje neutro cuya sección transversal es dA. La distancia “y1” esta situada en el plano neutro cuya sección transversal es dA. La distancia “y1” esta situada en el plano de separación entre dos placas, por ejemplo el plano “b”, el área rayada de separación entre dos placas, por ejemplo el plano “b”, el área rayada representa la placa superior.

representa la placa superior.

dx dx σ σ σ σ σ σ σ σ11dAdA Y Y₁₁ dv dv

d dAA

yy

yy

bb

Si consideramos que “dv” es un diferencial de fuerza cortante resistente, que Si consideramos que “dv” es un diferencial de fuerza cortante resistente, que aparece entre las placas soldadas, por lo que matemáticamente se puede aparece entre las placas soldadas, por lo que matemáticamente se puede expresar como un esfuerzo cortante por un área de aplicación horizontal:

expresar como un esfuerzo cortante por un área de aplicación horizontal:

dv =

dv = ττ∙∙( b( b∙∙dx)dx) ττ = dv / (b= dv / (b∙∙dx) dx) (ec. (ec. 2.4.a)2.4.a)

La diferencia de fuerzas horizontales generadas por los esfuerzos normales “ La diferencia de fuerzas horizontales generadas por los esfuerzos normales “σ”σ”

ubicados a ambos lados en las secciones 1 y 2 es: ubicados a ambos lados en las secciones 1 y 2 es:

dv = ∫

dv = ∫y1y1σσ22. d. dAA-- ∫∫y1y1σσ11. d. dAA= M= M22 /  / ⌶⌶ ∫∫y1y1y. dy. dAA – M – M11 /  / ⌶⌶ ∫∫ y1y1y. dy. dAA= (M= (M22 – M – M11) / ) / ⌶⌶. ∫. ∫y1y1y.dy.dAA

((MM22 – M – M11) = d) = dMM Incremento diferencial del Momento FlectorIncremento diferencial del Momento Flector

Sustituyendo en la

Sustituyendo en la la la ec. ec. 2.4.a.: 2.4.a.: τ τ = = ddMM. ∫. ∫y1y1y∙ dy∙ dAA ⌶

⌶∙∙(b.dx)(b.dx)

dM / dx = V; relación encontrada anteriormente entre corte y momento flector. dM / dx = V; relación encontrada anteriormente entre corte y momento flector.

∫y1 y∙ dA = Me; momento estático o de primer orden. ∫y1 y∙ dA = Me; momento estático o de primer orden.

Finalmente la fórmula de esfuerzo cortante en vigas sustituyendo a “b” por “t” será: Finalmente la fórmula de esfuerzo cortante en vigas sustituyendo a “b” por “t” será:

τ

τ= = V. V. MeMe

⌶ ⌶.t.t

τ

τ: : Esfuerzo cortante en una fiEsfuerzo cortante en una fibra situada a la bra situada a la altura “y1”, del altura “y1”, del eje neutro.eje neutro. V

V: Fuerza cortante actuante en la sección.: Fuerza cortante actuante en la sección.

⌶

⌶: Momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro.: Momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro.

tt: ancho de la zona cortada donde se evalúa el esfuerzo. Para no confundir con el: ancho de la zona cortada donde se evalúa el esfuerzo. Para no confundir con el

ancho de la viga usaremos la letra “t”, b = t. ancho de la viga usaremos la letra “t”, b = t.

Me: momento estático del área de sección de viga que genera el esfuerzo cortante Me: momento estático del área de sección de viga que genera el esfuerzo cortante a la altura “y1”.

a la altura “y1”.

ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS

A fin de evaluar los esfuerzos cortantes, consideremos el equilibrio de un elemento A fin de evaluar los esfuerzos cortantes, consideremos el equilibrio de un elemento p-p’-n-n’. Recortado entre dos secciones transversales m-n y m’-n’ separados por p-p’-n-n’. Recortado entre dos secciones transversales m-n y m’-n’ separados por una distancia dx. Si los momentos flexionantes en las secciones transversales m-n una distancia dx. Si los momentos flexionantes en las secciones transversales m-n y m’-n’ son iguales, los esfuerzo normales

y m’-n’ son iguales, los esfuerzo normales σσx que actúan sobre los lados n-p y n’-x que actúan sobre los lados n-p y n’-p’ también serán iguales. En consecuencia el elemento estará en equilibrio bajo la p’ también serán iguales. En consecuencia el elemento estará en equilibrio bajo la acción de estos esfuerzos, por tanto el esfuerzo contante

acción de estos esfuerzos, por tanto el esfuerzo contante ττ debe ser cero.debe ser cero.

Para en el caso más general de un momento flexionante variable, denotemos por Para en el caso más general de un momento flexionante variable, denotemos por M y M+dM y si consideramos un elemento de área dA a una distancia “y” del eje M y M+dM y si consideramos un elemento de área dA a una distancia “y” del eje neutro. La fuerza normal será

neutro. La fuerza normal será dF= σx·dAdF= σx·dA, entonces, entonces: dF= (M·y·dA )/I: dF= (M·y·dA )/I, pero al, pero al

sumar estas fuerzas elementales sobre el área de la cara p-n del elemento sumar estas fuerzas elementales sobre el área de la cara p-n del elemento macizo. Se obtienen la fuerza horizontal

macizo. Se obtienen la fuerza horizontal F1=∫F1=∫ (M∙y)/I ∙dA(M∙y)/I ∙dA; y si tomamos la otra; y si tomamos la otra cara p’- n’ tendremos que

cara p’- n’ tendremos que F2=∫(M+dM)/I ∙y∙ dAF2=∫(M+dM)/I ∙y∙ dA; finalmente la fuerza; finalmente la fuerza F3F3 que actúaque actúa

sobre la cara superior del elemento

sobre la cara superior del elemento F3=F3=  ·b·dx·b·dx, en la cual, en la cual b·dxb·dx, constituye el, constituye el

área de la cara superior por estática

área de la cara superior por estática F3=F2-F1F3=F2-F1; entonces:; entonces: Por estática →

Por estática →ΣFx =0ΣFx =0,, -F1 +F2 –F3 =0-F1 +F2 –F3 =0, entonces, entonces F3 =F2 –F1F3 =F2 –F1

∙b∙dx= [∫∙b∙dx= [∫ (M+dM)/I ∙y∙ dA](M+dM)/I ∙y∙ dA]--[( M∙y∙dA )/I][( M∙y∙dA )/I]

 = dM/dx∙ (1/bI)= dM/dx∙ (1/bI) ∙∙ ∫y∙ dA, pero V=dM/dx, entonces:∫y∙ dA, pero V=dM/dx, entonces:  = V/ bI ∫y∙ dA, pero Qx= ∫y∙ dA, entonces:= V/ bI ∫y∙ dA, pero Qx= ∫y∙ dA, entonces:

 = VQ/bI donde: τ: esfuerzo contante. Q: primer momento de área que tiende a= VQ/bI donde: τ: esfuerzo contante. Q: primer momento de área que tiende a

deslizarse. I: momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje deslizarse. I: momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje neutro. b: longitud de la sección en el eje neutro. El primer momento de área Q, se neutro. b: longitud de la sección en el eje neutro. El primer momento de área Q, se obtiene de multiplicar el área a deslizarse por la distancia comprendida desde el obtiene de multiplicar el área a deslizarse por la distancia comprendida desde el centroide del área hasta el eje neutro. El flujo de corte está definido como

centroide del área hasta el eje neutro. El flujo de corte está definido como q= VQ/Iq= VQ/I,,

ósea que

Bibliografia Bibliografia http://ingeniar.com.ve/Docencia/Resistencia.pdf http://ingeniar.com.ve/Docencia/Resistencia.pdf Mecánica de Materiales Mecánica de Materiales Ing. Álvaro Vallejo P. Ing. Álvaro Vallejo P.