Transformada rápida de Fourier
Transformada rápida de Fourier
Para otros usos de este término, véasePara otros usos de este término, véase TranTransformación sformación (desambiguación)(desambiguación).. FFT
FFT es la abreviatura usual (del inglés es la abreviatura usual (del inglés Fast Fourier TransformFast Fourier Transform) de un eficiente algoritmo que) de un eficiente algoritmo que
permite calcular la
permite calcular la transformada de Fourier discretatransformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa. La FFT es de gran (DFT) y su inversa. La FFT es de gran importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el
importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el tratamiento digital detratamiento digital de señales
señalesyyfiltrado digitalfiltrado digitalen general a la resolucin deen general a la resolucin de ecuaciones en derivadas parcialesecuaciones en derivadas parciales o o los
losalgoritmosalgoritmos de multiplicacin r!pida de grandes enteros. "l de multiplicacin r!pida de grandes enteros. "l algoritmoalgoritmopone algunaspone algunas
limitaciones en la señal y en el espectro resultante. #or e$emplo% la señal de la que se tomaron limitaciones en la señal y en el espectro resultante. #or e$emplo% la señal de la que se tomaron muestras y que se va a
muestras y que se va a transformar debe consistir de un n&mero de transformar debe consistir de un n&mero de muestras igual a unamuestras igual a una potencia de dos. La mayor'a de
potencia de dos. La mayor'a de los analiadores TF permiten la transformacin de *+,los analiadores TF permiten la transformacin de *+, +-, -/ o -01 muestras. "l rango de frecuencias cubierto por el an!lisis TF depende de +-, -/ o -01 muestras. "l rango de frecuencias cubierto por el an!lisis TF depende de la cantidad de muestras recogidas y d
la cantidad de muestras recogidas y de la proporcin de muestreo.e la proporcin de muestreo. 2no de los algoritmos aritméticos m!s ampliamente utiliados
2no de los algoritmos aritméticos m!s ampliamente utiliados es la transformada r!pida dees la transformada r!pida de Fourier, un medio efica de e$ecutar un c!lculo matem!tico b!sico y
Fourier, un medio efica de e$ecutar un c!lculo matem!tico b!sico y de frecuente empleo. Lade frecuente empleo. La transformada r!pida de Fourier es de
transformada r!pida de Fourier es de importancia fundamental en el an!lisis matem!tico y importancia fundamental en el an!lisis matem!tico y 3a3a sido ob$eto de numerosos estudios. La a
sido ob$eto de numerosos estudios. La aparicin de un algoritmo efica para paricin de un algoritmo efica para esta operacinesta operacin fue una piedra angular en la 3istoria de la inform!tica.
fue una piedra angular en la 3istoria de la inform!tica.
Las aplicaciones de la transformada r!pida de Fourier son m<iples. "s la base de muc3as Las aplicaciones de la transformada r!pida de Fourier son m<iples. "s la base de muc3as operaciones fundamentales del procesamiento de señales, donde
operaciones fundamentales del procesamiento de señales, donde tiene amplia utiliacin.tiene amplia utiliacin. 4dem!s, proporciona un medio oportu
4dem!s, proporciona un medio oportuno para me$orar el rendimiento de los algoritmno para me$orar el rendimiento de los algoritmos paraos para un con$unto de problemas aritméticos comunes.
un con$unto de problemas aritméticos comunes.
Índice Índice 5 5ocultar ocultar 66 • • +Definicin+Definicin •
• 4lgoritmo de diemado en el tiempo4lgoritmo de diemado en el tiempo
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• "nlaces e8ternos"nlaces e8ternos
Definición
Definición
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9ean
9ean x x --, ....,, ...., x x nn:+:+n&meros comple$osn&meros comple$os.. La transformada discreta La transformada discreta de Fourier de Fourier (DFT, (DFT, por sus siglaspor sus siglas
en inglés) se define como en inglés) se define como
La evaluacin directa de esa frmula requiere ;(n<) operaciones aritméticas. =ediante un algoritmo FFT se puede obtener el mismo resultado con slo ;(n log n) operaciones. "n general, dic3os algoritmos dependen de la factoriacin de n pero, al contrario de lo que frecuentemente se cree, e8isten FFTs para cualquier n, incluso con n primo.
La idea que permite esta optimiacin es la descomposicin de la transformada a tratar en otras m!s simples y éstas a su ve 3asta llegar a transformadas de elementos donde > puede tomar los valores - y +. 2na ve resueltas las transformadas m!s simples 3ay que agruparlas en otras de nivel superior que deben resolverse de nuevo y as' sucesivamente 3asta llegar al nivel m!s alto. 4l final de este proceso, los resultados obtenidos deben reordenarse.
Dado que la transformada discreta de Fourier inversa es an!loga a la transformada
discreta de Fourier, con distinto signo en el e8ponente y un factor +?n, cualquier algoritmo FFT puede ser f!cilmente adaptado para el c!lculo de la transformada inversa. #or lo general, tenemos que%
2n algoritmo que es muc3o m!s eficiente en cuanto al tiempo de cmputo para grandes arreglos de entrada cuya longitud es una potencia entera de dos, recibe el nombre de Transformada de Fourier !pida (TF), y dic3o algoritmo fue populariado por @ooley y Tu>ey en +01*. 9e puede ilustrar mediante el siguiente e$emplo,
calculando la TF de un con$unto de cuatro muestras de datos utiliando el algoritmo. Defina el con$unto de muestras de una señal como la señal A₀5n6 en TD de forma que los datos de entrada para el algoritmo sea BA₀5-6,A₀5+6,A₀56,A₀576C. La frmula de la TFD es la siguiente%
9e recomienda usar la notacin%
W=e-j(2π/N F)
#ara este caso de puntos de datos, es posible escribir la TF en forma de matri como%
"fectuar la multiplicacin usual de matrices directa requerir'a < multiplicaciones comple$as y (:+) adiciones comple$as. #or lo tanto puedes escribirse de la siguiente manera%
Debido a que EnEnGm
F , donde m es un entero, es posible factoriar la matri en
el producto de dos matricesH
Los elementos I+J y IJ 3an cambiado de lugar en el vector que se encuentra del lado iquierdo. @uando se multipliquen las matrices, los renglones + y , también se intercambiar!n. Después se calcula el n&mero d e multiplicaciones y adiciones que se requieren. #rimero se identifica el resultado de multiplicar la segunda matri cuadrada por el con$unto de datos de entrada como%
"l primer elemento es% A+5-6A-5-6GE-A-56
@omo una multiplicacin para llegar a una conclusin general.De manera similar A+5+6 requiere una multiplicacin y una adicin. 9in embargo,A+56 requiere slo
una adicin debido a que "ste c!lculo requiere una multiplicacin y una
adicin.4unque E- es uno, se de$ar! esto E-:E y el producto ya se 3a obtenido
en el c!lculo del primer elemento y puede, en consecuencia, slo almacenarse 3asta que se necesite y luego restarse en ve de sumarse. De manera
similar,A+576 slo requiere una adicin m!s. Kasta a3ora se tienen dos
multiplicaciones y cuatro sumas. 4pelando a condiciones de simetr'as similares en la segunda multiplicacin de matrices se encuentra que se requieren dos
multiplicaciones y cuatro sumas m!s. 4s', en total, se necesitan cuatro multiplicaciones y oc3o adiciones. #uesto que, computacionalmente, las
multiplicaciones requieren por lo general muc3o m!s tiempo de cmputo que las adiciones, el algoritmo de TF para cuatro puntos es alrededor de cuatro veces m!s r!pido que la TDF directa.
Algoritmo de diezmado en el tiempo
5editar 6
"s el algoritmo m!s famoso para el c!lculo de una FFT, diseñado por .E.
@ooley y o3n Tu>ey en +01*. Tomando como entrada una señal discreta 85n6 con muestras, se basa en dividir la señal de entrada en otras dos señales de ? muestras (por un lado los coeficientes pares y por otro los impares), y se env'an cada una de estas subseñales a una FFT de tamaño ? puntos. @ada uno de los coeficientes de salida de la FFT de las muestras impares se multiplica
por , donde > es la posicin del vector salida, y se suma a las muestras pares. 4 su ve, las FFT de ? puntos se pueden resolver de esta misma manera, realiando esta operacin de manera recursiva 3asta obtener una FFT de una señal de tamaño , cuyo resultado es%
