Factor de empaquetamiento atómico
En
cristalografía
, el factor de empaquetamiento atómico (FEA), en
inglés
: Atomic
packing factor, APF, es la fracción de volumen en una celda unidad
que esta ocupada por
átomos
. Este factor es adimensional y siempre menor que la unidad. Para propósitos
prácticos, el FEA de una celda unidad es determinado asumiendo que los átomos son
esferas rígidas. Para cristales de un componente (aquellos que contienen un único tipo de
átomo), el FEA se representa matemáticamente por
donde N
átomoses el numero de átomos en la celda unidad, V
átomoes el volumen de un átomo,
y V
celda unidades el volumen ocupado por la celda unidad. Matemáticamente puede ser
probado que para estructuras de un componente, el arreglo más denso de átomos tiene un
FEA alrededor de 0.74. En realidad, este número puede ser mayor debido a factores
intermoleculares específicos. Para estructuras de múltiples componentes, el FEA puede
exceder el 0.74.
Ejemplo
Estructura BCC
La
celda unidad
para la estructura cúbica centrada en el cuerpo, en
inglés
: Body-centered
cubic, BCC, contiene dos átomos: un octavo (1/8) de atomo en cada esquina del cubo y un
átomo en el centro. Dado que el volumen de cada átomo ubicado en las esquinas es
compartido con las celdas adyacentes, cada celda BCC contiene dos átomos.
Cada átomo en las esquinas toca el átomo central. Una linea que sea dibujada desde una
esquina del cubo a través del centro hacia la otra esquina pasa a lo largo de 4r, donde r es el
radio de un átomo. Por geometría, la longitud de la diagonal es a√3. Por lo tanto, la
longitud de cada lado de la estructura BCC puede ser relacionada al radio de cada átomo
mediante
Conociendo esto y la formula para el volumen de una esfera((4 / 3)pi r
3), es posible calcular
el FEA de la siguiente manera:
Para la estructura
hexagonal
la derivación es similar. La longitud de un lado del hexágono
sera denotada por a mientras que la altura del hexágono se denotara como c. Entonces:
Arreglo hexagonal tridimensional. a = 2r
Entonces es posible calcular el FEA como sigue:
FEA de estructuras comunes
Mediante procedimientos similares, los factores de empaquetamiento atómico ideales de
todas las
estructuras cristalinas
pueden ser encontrados. Algunos factores comunes se
presentan a continuación, redondeados a la centésima mas próxima.
Cúbica simple (CS): 0.52
Cúbica centrada en el cuerpo (BCC): 0.68 Hexagonal compacta (HCP): 0.74
Cúbica centrada en las caras (FCC): 0.74 Cúbica diamante: 0.34
PRINCIPALES ESTRUCTURAS CRISTALINAS METÁLICAS
La mayoría de los metales elementales (90%) cristalizan en tres estructuras
cristalinas densamente empaquetadas: cúbica centrada en las caras FCC,
hexagonal compacta HCP y cúbica centrada en el cuerpo BCC debido a que se
libera energía a medida que los átomos se aproximan y se enlazan cada vez más
estrechamente entre sí. Por lo tanto dichas estructuras densamente empaquetadas
se encuentran en disposiciones u ordenamientos de energía cada vez más baja y
estable.
Ejemplo
¿ Cuántas celdas unidad hay aproximadamente en el Fe puro BCC si las aristas de
la celda estuvieran alineadas arista con arista en 1 mm, si a temperatura ambiente
la arista es igual a 0.287 X 10
-9nm ?
Estructura Cristalina Cúbica Centrada en el Cuerpo BCC
En esta celda unidad las esferas sólidas representan los centros donde los átomos
están localizados e indican sus posiciones relativas. En esta celda unidad el
átomo central esta rodeado de 8 vecinos más cercanos y se dice que tiene por lo
tanto un número de coordinación de 8. Cada una de estas celdas unidad tiene el
equivalente de 2 átomos por celda unidad. Un átomo completo esta localizado en
el centro de la celda unidad, y un octavo de esfera esta localizado en cada vértice
de la celda unidad, haciendo el equivalente de otro átomo. De este modo, hay un
total de 1 (en el centro) + 8 x 1/8 (en los vértices) = 2 átomos por celda unidad.
Los átomos en este tipo de celdas contactan entre sí a través de la diagonal del
cubo, y la relación entre la longitud de la cara del cubo a y el radio atómico R es:
Si los átomos en la celda BCC se consideran esféricos, el factor de
empaquetamiento atómico (APF) puede hallarse empleando la siguiente
expresión:
El APF de esta celda es 0.68, es decir, el 68% del volumen de la celda esta
ocupado por átomos y el 32% restante en espacio vacío. El cristal BCC no es una
estructura totalmente compacta, ya que los átomos aún podrían situarse más
juntos. Muchos metales como el Cromo, Hierro, Wolframio, Molibdeno y
Vanadio tienen estructura cristalina BCC.
Estructura Cristalina Cúbica Centrada en las Caras FCC. En esta celda hay
un punto reticular en cada vértice del cubo y otro en el centro de cada cara del
cubo. El modelo de esferas sólidas indica que los átomos de esta estructura están
unidos del modo más compacto posible. El APF de esta estructura de
empaquetamiento compacto es 0.74.
Esta celda tiene el equivalente a cuatro átomos por celda unidad. Un octavo de
átomo en cada vértice (8 x 1/8=1) y seis medios átomos en el medio (1/2 x 6= 3).
Los átomos en la celda FCC contactan entre sí a lo largo de la diagonal de la cara
del cubo, de tal forma que la relación entre la longitud de la cara del cubo y el
radio atómico es:
Metales como el Aluminio, el Cobre, el Plomo, el Níquel y el Hierro a
temperaturas elevadas (912 a 1394°C) cristalizan según la estructura FCC.
Ejemplo
El Cu posee una estructura FCC y un radio atómico de 0.1278 nm y considerando
que los átomos son esferas sólidas que contactan a lo largo de las diagonales de
la celdilla unidad FCC. ¿ Cuál es el valor teórico de la densidad del Cu ?
Masa atómica del Cu=63.54 g/mol
1/8 * 8= 1 átomo
½ * 6= 3 átomo
a 4 átomos en la celda FCC
figura 5
Parámetro de Red:
Volumen de la celda:
V=a
3= (0.361nm)
3=0.047nm
3x(1X10
-9m)
3= 4.7 x 10
-29m
3Masa de los átomos de Cu en la celda:
Densidad Volumétrica:
El valor tabulado experimentalmente es de 8.96
, la diferencia se debe a que
los átomos no son esferas perfectas, a la ausencia de átomos en las posiciones
atómicas, a defectos en la red, etc.
Estructura Cristalina Hexagonal Compacta HCP
Los metales no cristalizan en la estructura hexagonal sencilla porque el APF es
demasiado bajo. El APF es 0.74 ya que los átomos están empaquetados de un
modo lo más cercano posible. Cada átomo esta rodeado de otros 12 átomos y por
tanto su número de coordinación es 12.
La celda HCP posee 6 átomos, tres forman un triángulo en la capa intermedia,
existen 6*1/6 secciones de átomos localizados en las capas de arriba y de abajo,
haciendo un equivalente a 2 átomos más, finalmente existen 2 mitades de átomo
en el centro de ambas capas superior e inferior, haciendo el equivalente de un
átomo más.
La relación c/a de una estructura cristalina HCP ideal es de 1.633 que indica
esferas uniformes tan próximas como sea posible. Los metales Cinc, Cadmio
poseen una relación c/a más alta que la ideal, lo que indica que los átomos en
estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celda
unidad HCP. Los metales como el Titanio, Berilio, Magnesio Y Circonio entre
otros tienen relaciones c/a menores que la ideal. Por tanto en estos metales los
átomos están comprimidos a lo largo de la dirección del eje c.
ÍNDICES DE MILLER
Celdas Cúbicas. Los índices de Miller de un plano cristalino están definidos
como los recíprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes x,
y, z de los tres lados no paralelos del cubo unitario. Las aristas de una celda
cúbica unitaria representan longitudes unitarias y las intersecciones de los planos
de una red se miden en base a estas longitudes unitarias.
El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano de un
cristal cúbico es el siguiente:
Escoger un plano que no pase por el origen en (0,0,0)
Determinar las intersecciones del plano en base a los ejes x, y, z cristalográficos
para un cubo unitario. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias.
Construir los recíprocos de las intersecciones.
Despejar fracciones y determinar el conjunto más pequeño de números enteros
que estén en la misma razón de las intersecciones. Estos números enteros son los
índices de Miller de un plano cristalográfico y se encierran entre paréntesis sin
usar comas. La notación (hkl) se emplea para indicar los índices de Miller en
sentido general, donde h, k, y l son los índices de Miller para un plano de un
cristal cúbico de ejes x, y, y z respectivamente.
figura 6
Las intersecciones del primer plano son 1, 1, y los recíprocos de estos números
son 1, 1, 0 no involucran fracciones, siendo los índices de Miller (1 1 0).
Para la segunda figura, las intersecciones son: 1, , a los ejes x, y, z
respectivamente, por lo tanto los recíprocos son: 1, 0, 0. Los índices de Miller
para este plano son: (1 0 0 ).
Finalmente, el tercer plano, tiene las intersecciones 1, 1, 1 que nos dan un índice
de Miller (1 1 1).
Si se considera que el plano cristalino pasa por el origen de manera que uno ó
más cortes se hacen cero, el plano ha de ser desplazado a una posición
equivalente en la misma celda unitaria de modo que el plano permanezca paralelo
al original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes son
indicados con los mismos índices de Miller.
Si grupos de planos de redes equivalentes están relacionados por la simetría del
sistema cristalino, se llaman familia de planos, y los índices de una familia de
planos son encerrados entre llaves. Por ejemplo, los índices de Miller de los
planos de la superficie del cubo (100) (010) y (001) se designan colectivamente
como una familia con la notación {100}.
Una importante relación sólo para el sistema cúbico es que los índices de una
dirección perpendicular a un plano de un cristal son los mismos que los índices
de Miller para ese plano. Por ejemplo, la dirección [100] es perpendicular al
plano cristalino (100).
Celda HCP. Se identifican empleando cuatro índices en vez de tres, se
denominan índices Miller-Bravais, son representados por las letras h, k, i, l y
encerrados entre paréntesis (h, k, i, l). Estos índices hexagonales están basados en
un sistema coordenado de cuatro ejes, tres ejes básicos a
1,a
2,a
3que forman 120°
entre sí, el cuarto eje o eje c es el eje vertical y está localizado en el centro de la
celdilla unidad (Ver figura). La unidad a de medida a lo largo de los ejes a
1,a
2,a
3es la distancia entre los átomos. La unidad de medida a lo largo del eje c es la
altura de la celdilla unidad. Los recíprocos de las intersecciones que un plano
determina con los ejes a
1,a
2,a
3proporcionan los índices h, k e i mientras que el
reciproco de la intersección con el eje c da el índice l.
Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta
celdilla, el plano basal de la parte superior es paralelo a los ejes a
1,a
2,a
3, las
intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito. Así, a
1=
a
2= a
3= . El eje c, sin embargo, es único puesto que el plano basal superior
intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando los recíprocos de
estas intersecciones tenemos los índices de Miller-Bravais para el plano basal
HCP. Así, h=0, K=0, i=0, l=1. El plano basal es, por tanto, un plano (0001).
Las direcciones en las celdas unitarias HCP se indican por cuatro índices
[u,v,t,w]. Son vectores reticulares en las direcciones a
1,a
2,a
3respectivamente y el
índice w es un vector reticular en la dirección c.
SISTEMAS DE DESLIZAMIENTO
Un sistema de deslizamiento es la combinación de un plano y una dirección que
se halla sobre el plano a lo largo del cual se produce el deslizamiento.
El Mecanismo de deslizamiento puede definirse como el movimiento paralelo de
dos regiones cristalinas adyacentes, una respecto a la otra, a través de algún plano
(o planos).
El deslizamiento no se produce sobre un plano solamente, sino sobre pequeñas
regiones de planos paralelos llamados bandas de deslizamiento o líneas de
deslizamiento, dependiendo de sus espesores. Puesto que todas las líneas de
deslizamiento está en grupos paralelos dentro de cada monocristal (cada grano),
deben corresponder a una misma familia de planos (hkl) ocupados del grano
particular. A partir de mediciones sobre especímenes de monocristales de
orientaciones conocidas se puede determinar 1) los planos sobre los cuales se
produce el deslizamiento y 2) la dirección de deslizamiento dentro de estos
planos. Tales experimentos han revelado que en las estructuras FCC el
deslizamiento siempre se produce sobre los planos
{111}
pero solamente en las
direcciones <110>. Esto significa que si se produce el deslizamiento sobre el
plano (111) será en alguna de las tres direcciones ± [101], ±[110], ±[011].
Los cristales FCC poseen 12 sistemas de deslizamiento debido a que tienen
cuatro grupos
{111}
y con tres direcciones <110> en cada una.
En otras estructuras de cristales metálicos, los sistemas de deslizamiento tienen
más variabilidad. En los metales BCC las líneas de deslizamiento tienen una
apariencia ondulada. En estos cristales el deslizamiento se produce
predominantemente en los sistemas
{
110
}
<111> y la apariencia ondulada se
debe aparentemente a deslizamiento simultáneo sobre los otros dos sistemas de
planos
{
211
}
y
{
321
}
. En cristales HCP reales, la relación c/a no es igual al valor
ideal de 1.633 del modelo de esfera dura. Para los metales c/a > 1.633 hay alguna
preferencia para el deslizamiento sobre el plano basal, <1120>(0001), mientras
que para aquellos metales con c/a < 1.633 los sistemas de deslizamiento
preferidos son los otros dos.
Estructura
Dirección de
Deslizamiento
Planos de
Deslizamiento
Ejemplos
FCC
<110>
{111}
Cu, Al, Ni, Pb, Au, Ag,
Fe
BCC
<111>
{
110
}
Fe, W, Mo, Latón, Nb,
Ta
BCC
<111>
{
210
}
Fe, Mo, W, Na
BCC
<111>
{
321
}
Fe, K
HCP
<1120>
(0001)
Cd, Zn, Mg, Ti, Be, Co
HCP
<1120>
{
1010
}
Ti, Mg, Zr, Be
HCP
<1120>
{
1011
}
Ti, Mg
Tres observaciones generales son de gran importancia:
1.
Las direcciones de deslizamiento siempre son en la dirección de
empaquetamiento compacto. Existen excepciones, por ejemplo, mercurio
sólido.
2.
El deslizamiento ocurre usualmente sobre la mayoría de los planos
compactos. Esta observación esta relacionada con el hecho de que los
planos empaquetados más densamente también son el grupo de planos
(hkl) ocupados que tienen el espaciamiento más amplio.
3.
El deslizamiento se produce primero sobre el sistema de deslizamiento que
tiene el mayor esfuerzo de corte a lo largo de su dirección de
PROBLEMAS
Junio 97.- La red cristalina del cloruro sódico responde a una estructura como la de la
figura. Los radios atómicos del cloro y el sodio son respectivamente 0.181 y 0.097
nanómetros y sus masas atómicas 35.4 y 22.99 gramos. Se desea conocer:
a) a)
El índice de coordinación de los iones cloro y sodio, indicando la estructrura
cristalina de cada uno de ellos.
b) b)
La densidad volumétrica del cloruro sódico.
c) c)
El factor de empaquetamiento.
Nota: los átomos resultan tangentes en la direcciones tangentes de la diagonal.
Solución Junio 97.-
a) a)
Los dos cristalizan en un sistema cúbico centrado en las caras, por ello, su
número de coordinación es 12.
b) b)
Por ser tangentes los átomos según la diagonal del cubo se cumple que:
Diagonal = sqr3 * lado celdilla
Diagonal = 2* radio Cl + 2 * radio Na
De las dos igualdades anteriores obtenemos:
Lado celdilla = (2*0.181 nm + 2 * 0.097 nm) / sqr3 = 0.321 nm
Volumen celdilla = lado
3= (0.321nm)
3= 0.033 nm
3En cada celdilla hay:
átomos
de Cl: 6 * (1/2) + 8 * (1/8) = 4
átomos de Na: 1 + 12 * (1/4) = 4
Masa celdilla = 4 *masa Na + 4 *masa Cl = 4* 35.4 uma + 4 * 22.99 uma = 233.56 uma
Densidad = 233.56 uma / 0.033 nm
3
c) c)
factor empaquetamiento = volumen átomos / volumen celdilla
factor emp = (4*(4/3*pi)*0.181
3nm
3+ 4*(4/3*pi)*0.097
3nm
3) / 0.033 nm
3Junio 99.- El molibdeno posee una estructura cúbica centrada en el cuerpo y una densidad
de 10.2 gr/cm
3. Se pide:
a) a)
Calcular el número de coordinación y el número de átomos de cada celdilla
elemental
b) b)
Su radio atómico.
El peso atómico del molibdeno es de 95.94.
Solución Junio 99.-
a) a)
Por ser una estructura cúbica centrada en el cuerpo el número de coordinación
es 8 y el número de átomos por celdilla es 2 (el central más 1/8 en cada esquina del
cubo).
b) b)
nº átomos/cm
3= densidad/ peso molecular
nº átomos/cm
3= 10.2 gr/cm
3/ 95.94 * 10
-23gr/átomo =
nº celdillas = (nº átomos/cm
3) / (nº átomos/celdilla)
nº celdillas = / 2 =
volumen celdilla = 1 cm
3/ nº celdillas
volumen celdilla = 1 cm
3/
volumen celdilla = a
3a = (volumen celdilla)
1/3= ()
1/3=
R = sqr3*a/4 =
c) c)
el factor de empaquetamiento lo obtenemos dividiendo el volumen de los dos
átomos entre el volumen de la celdilla, teniendo en cuenta que los átomos son
tangentes según la diagonal del cubo.
Factor empaquetamiento = V
átomos/ V
celdilla= 2* (4/3* pi* R)/ a
3= 0.68
Septiembre 99.- Considerando los átomos como esferas compactas:
a) a)
Comparar el factor de empaquetamiento de una celda FCC y de una celda
BCC.
b) b)
Suponer una estructura BCC y calcular el parámetro de red “a”, sabiendo
que los átomos tienen un radio atómico de 0.127 nm.
Solución Septiembre 99.-
a) a) factor empaquetamiento BCC = 0.68 factor empaquetamiento FCC = 0.74 b) b) a = 4* R/ (SQR3) = 4 * 0.127 nm / (SQR3) =0.293 nmJunio 01.- Calcula el cambio teórico de volumen asociado a una transformación alotrópica en un
metal puro desde una red FCC a una red BCC.
Solución Junio 01.-
FCC: a = 4*R/SQR2 nº atomos celdilla = 4
BCC: a = 4*R/SQR3 nº atomos celdilla = 2
(Volumen BCC/ Volumen FCC) = 2 * volumen celdilla BCC / volumen celdilla FCC
(Volumen BCC/ Volumen FCC) = 2 * (4*R/SQR3)3 / (4*R/SQR2)3 = 1.088
Luego cuando cristaliza en BCC es un 8.8% mayor que cuando lo hace en FCC, a pesar de que la celdilla BCC es más pequeña.
Septiembre 02.- Un metal cristaliza en la red cúbica centrada en el cuerpo. Si su radio atómico es
1.24 nanometros. ¿Cuántos átomos existirán en 1 cm3?
Solución Septiembre 02.-
a= 4*R/SQR3 = 4* 1.24 nm/SQR3=2.863 nm = 2.863 * 10-7 cm
nº átomos por celdilla = 2 átomos
Vceldilla = a3 = (2.863 * 10-7 cm)3=23.483 *10-21 cm3
nº celdilla = 1 cm3 /23.483 *10-21cm3 = 4.25 * 1019 celdillas
nº átomos = nº celdilla * nº átomos/celdilla
nº átomos = 4.25 * 1019 celdillas * 2átomos/celdilla = 8.5 * 1019 átomos
Índices de Miller
Los átomos en un sólido están empaquetados, con lo que existe un cierto grado de orden: - de corto alcance (sólidos moleculares, con enlaces fuertes- covalentes- entre átomos y más débiles– van der Waals- entre moléculas ).
- de largo alcance (sólidos cristalinos)
En el interior de un sólido cristalino existe una estructura cristalina formada por una red espacial, en cada punto de la cual se sitúan grupos de átomos idénticos en composición y orientación (base).
La geometría de la red espacial debe permitir que se llene todo el espacio de átomos sin dejar huecos, característica que hace que sólo existan 14 tipos de redes posibles (redes de Bravais), caracterizadas por una celda unitaria cada una, que, a su vez viene definida por una serie de parámetros (a,b,c y α , β , γ).
Para identificar los diferentes planos y direcciones en un cristal se usan los índices de Miller (para planos (hkl), para direcciones [hkl]).
La orientación de una superficie de un cristal plano se puede definir considerando como el plano corta a los ejes cristalográficos principales del sólido. La aplicación de un conjunto de reglas conduce a la asignación de los índices de Miller (hkl); un conjunto de números que cuantifican los cortes y que sólo puede usarse para identificar un plano o una superficie.
El siguiente procedimiento que permite asignar índices de Miller está simplificado y sólo sirve para el sistema cúbico (con celda unitaria de dimensiones a x a x a ).
Paso 1: identificar las intersecciones con los ejes x, y,z.
En este caso la intersección con el eje x tiene lugar en x=a y la superficie es paralela a los ejes y, z (consideramos que los corta en ∞). Los cortes son a, ∞, ∞.
Paso 2: especificar los cortes en coordenadas fraccionarias.
Las coordenadas se convierten en fraccionarias dividiéndolas por la dimensión de la celda unidad. Por ejemplo un punto (x,y,z) en una celda unidad de dimensiones a x b x c, tiene las coordenadas fraccionarias (x/a, y/b, z/c).
En nuestro caso ( celda cúbica), las coordenadas fraccionarias serán: a/a, ∞/a, ∞/a, es decir 1,∞, ∞.
Paso 3: obtener los reciprocos de las coordenadas fraccionarias
Este paso final genera los índices de Miller que, por convención, han de especificarse sin estar separados por comas. Los índices se encierran entre paréntesis () cuando se especifica una única superficie como en este ejemplo.
Los recíprocos de 1 y ∞, son 1 y 0, respectivamente, lo que nos conduce a (100). Por tanto el plano del dibujo es el (100) del cristal cúbico.
Otros ejemplos: 1- La superficie (110)
cortes: a,a,∞ ; cortes fraccionarios: 1,1,∞ ; índices de Miller: (1,1,0)
cortes: a,a,a ; cortes fraccionarios: 1,1,1 ; índices de Miller: (1,1,1)
Las superficies consideradas hasta ahora (100), (110) y (111) son las llamadas superfícies de índice bajo de un cristal cúbico (el termino bajo hace referencia a que los índices son 0 o 1). Estas superficies tienen especial importancia, pero hay un número infinito de otros planos que pueden definirse usando los índices de Miller.
3- Las superficies (210)
cortes: a/2, a,∞; cortes fraccionarios: 1/2, 1,∞ ; índices de Miller: (210)
Notas adicionales:
(i) en algunos casos los índices de Miller se multiplican o dividen por algún factor común para simplificarlos. Esta operación simplemente genera un plano paralelo que está a distancia diferente del origen de la celda particular considerada (ejemplo: (200) se transforma en (100) al dividir por dos)
(ii) si algunos cortes tienen valores negativos sobre los ejes, el signo negativo debe aparecer en el índice de Miller (ejemplo (00-1) se escribe (001)
(iii) en los cristales hexagonales compactos hay cuatro ejes pricipales, por tanto deben usarse cuatro índices de Miller (ejemplo (0001))
En el dibujo las tres superficies están relacionadas por los elementos de simetría del cristal cúbico y son totalmente equivalentes. De hecho hay un total de 6 caras relacionadas por elementos de simetría y equivalentes a la superficie (100), cualquier superficie que pertenezca a este conjunto de superficies de simetría equivalente puede ser descrita por la notación {100}, en la que los índices de Miller de una de las superficies están representados entre llaves.
En el sistema cúbico el plano (hkl) y el vector [hkl], definido con respecto al origen, son
perpendiculares. Esta característica es única del sistema cúbico y no se puede aplicar a sistemas de simetría inferior.
La distancia entre planos en el sistema cúbico viene dada por:
Ejemplo MIL1
Determinar los valores de la intersección con los ejes x, y, z de un plano cuyos índices de Miller son (362). Suponiendo que dicho plano pertenezca a una estructura cristalina cúbica de parámetro de red igual a 3.5 A, calcular la distancia interplanar.
A partir de los índices de Miller (362) se obtienen los cortes fraccionarios 1/3, 1/6, 1/2 y se reducen a fracciones equivalentes con los números enteros menores posibles (aplicando el mcm= 6), obteniéndose 1/2,1,1/3. Los cortes con los ejes serán, por tanto x=2, y=1, z=3.
La distancia entre estos planos se obtiene a partir de:
REDES CRISTALINAS
Para una apropiada asimilación de lo que significa el orden interno cristalino, se ha
de comenzar por la visualización y definición, a través de vectores traslación, del
orden interno monodimensional , constituido por las diferentes direcciones de la
red que definen, por su periodicidad, filas reticulares donde los nudos están
alineados y equidistantes entre sí.
Fila reticular
Se trata de una fila de nudos obtenida por aplicación sucesiva de una traslación
definida.
El símbolo de las filas reticulares se denomina como los índices [uvw] que son los
componentes del vector traslación que une dos nudos adyacentes de la fila
considerada expresados en función de un par primitivo cuyo origen se sitúa sobre
uno de estos dos nudos.
Por ejemplo, para las filas fundamentales:
Para otras filas reticulares:
Plano reticular
Un plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas. Todo plano
reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha, Kb, Lc) con los tres ejes
fundamentales del cristal. Las dimensiones de estas intersecciones (HKL), medidas
desde un nudo tomado como origen son los parámetros del plano reticular
correspondiente. Sin embargo, la denominación habitual de un plano reticular son
los índices de Miller.
Índices de Miller
Se obtienen calculando las intersecciones (H, K, L), o número de traslaciones, con
los tres ejes fundamentales del cristal. Posteriormente se invierten y se eliminan
denominadores, o bien, se calculan los cocientes entre el producto de las tres
intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones: (H*K*L= N, N/H= h,
N/K=k, N/L=l)
Intersecciones: H=æ, K=æ, L=1,
Invertimos: 1/æ=0, 1/æ=0, 1/1=1, no existen denominadores
Índices de Miller: (001)
1º. Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalográficos a, b y c. Es
decir, contar el número de traslaciones t1, t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes
a, b y c.
2t
1 en el eje a, 2t2 en el eje b, y 4t3 en el eje cEl plano EBD ocupa:
4t
1 en el eje a, 2t2 en el eje b, y 4t3 en el eje c2º. Para calcular los índices de Miller de cada plano, a partir de estas
intersecciones, se invierten los valores y, si es necesario, se reducen las fracciones
El plano ABD corta a los ejes en 2, 2 y 4.
Su inversión es: 1/2, 1/2, 1/4.
Reducimos fracciones, quitando denominadores: 2/4, 2/4, 1/4. Sin
denominadores queda 221
Índices de Miller: (221)
El plano EBD corta a los ejes en 4, 2 y 4.
Su inversión es: 1/4, 1/2, 1/4.
Reducimos fracciones, quitando denominadores: 1/4, 2/4, 1/4. sin
denominadores queda 121
Índices de Miller: (121)
* Este símbolo entre paréntesis (hkl) nombra el plano dado, mientras que entre
corchetes {hkl} indica todos los planos homólogos que resultan de aplicar los
elementos de simetría del cristal al plano (hkl).
En una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las
dimensiones mínimas entre todas las traslaciones posibles de la red: son las
traslaciones fundamentales o constantes reticulares, de dimensiones
submicroscópicas. La porción del espacio cristalino limitado por estas traslaciones
constituye la celda fundamental del cristal y es característica del mismo.
Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda
múltiple a la que si los tiene y está definida por vectores múltiples que son
múltiplos enteros del vector traslación unitario de igual dirección. Se llama
multiplicidad al número de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas
primitivas de una red tienen multiplicidad 1 , ¼ * 4 = 1)
CRISTALOGRAFÍA
Ciencia que se dedica al estudio y resolución de estructuras cristalinas. La mayoría de los minerales adoptan formas cristalinas cuando se forman en condiciones favorables. La cristalografía es el estudio del crecimiento, la forma y la geometría de estos cristales.
Las partículas de los cuerpos sólidos, salvo excepciones, se ordenan en el espacio de acuerdo a determinados tipos de redes geométricas, también llamadas cristalinas. Esta ordenación, que da a los sólidos su consistencia y la mayor parte de sus propiedades, constituye el campo de estudio de la cristalografía.
Los sólidos cristalinos tienden a adoptar estructuras internas geométricas basadas
en líneas rectas y planos paralelos.
Los componentes de los sólidos pueden ser de cuatro tipos:
Átomos: partículas elementales de materia con carga eléctrica neutra.
Iones: átomos con carga eléctrica negativa (aniones) o positiva (cationes) debidos a la
Grupos iónicos: agrupación de varios iones de los mismos o diferentes elementos
químicos.
Moléculas: agrupación de varios átomos del mismo o de diferentes elementos.
3.1 REDES DE BRAVAIS
El nombre de bravais viene del Físico y mineralogista francés. Profesor de física y de astronomía Auguste Bravais que estableció la teoría reticular, según la cual las moléculas de los cristales están dispuestas en redes tridimensionales. Esta teoría, que explica los fenómenos de simetría y anisotropía de las sustancias cristalinas, fue posteriormente demostrada gracias a la difracción por rayos X.
Las redes de bravais son una disposición infinita de puntos conformando una estructura bajo cierto grupo de traslaciones, en la mayoría de casos no se dan cambios bajo rotaciones o simetría rotacional. Estas hacen que desde todos los nodos de una red de bravais tengan la misma perspectiva de red, por esto se dice que los puntos de una red son equivalentes.
GEOMETRÍA DE LAS REDES DE BRAVAIS
Estructura algebraica conocida por grupos que tiene una secuencia ordenada, sus objetivos son entre otros la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones.
Por la teoría de grupos se ha demostrado que solo existe una única red de bravais unidimensional (simple secuencia de nodos equidistantes entre sí), 5 redes bidimensionales paralelogramos (2D) y 14 modelos distintos de redes tridimensionales paralelepípedo (3D).
Redes Unidimensionales: La red unidimensional es elemental siendo ésta una simple
Redes bidimensionales: Según los ángulos y la distancia entre los nodos se distinguen
5 redes distintas, un caso ejemplar sería el grafito cuya estructura sigue un patrón de red en panal.
Redes tridimensionales: Para las redes de Bravais tridimensionales existen solamente
siete grupos puntuales posibles y 14 grupos espaciales. Obviamente, varios grupos espaciales comportan el mismo grupo puntual. Esto permite clasificar todos los cristales en siete sistemas cristalinos (según el grupo puntual) y en 14 redes de Bravais (según el grupo espacial).
Las redes tridimensionales están formadas por la repetición de celdas unidad tridimensionales. Estas celdas vienen definidas por tres traslaciones: a, b y c, siendo a y b las traslaciones de la red plana, y c la traslación de dicha red plana en una dirección diferente (generalmente correspondiente al plano vertical).
Además, vienen definidos tres ángulos:
α : es el ángulo que forman entre sí los vectores b y c. β : es el ángulo que forman entre sí los vectores a y c.
γ : es el ángulo que forman entre sí los vectores a y b (los de la red plana).
De acuerdo con Bravais, existen 14 tipos distintos de redes tridimensionales, de las más conocidas son:
BIBLIOGRAFIA:
http://elcrisoluspt.files.wordpress.com/2008/09/estructura11.pdf
http://www.qi.fcen.uba.ar/materias/qi2/_teoricas/solidos_primera_parte.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Redes_de_Bravais
Introducción a la ciencia de materiales para ingenieros: Shackerlford, James F. (Autor),
Martin, Nuria (Traductor), Smith, William F. (Autor), Hashemi, Javad (Autor)
3.2 SISTEMA CÚBICO Y HEXAGONAL. CRISTALES BCC, FCC, HCP. 3.3 FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO
INTRODUCCIÓN
El estudio de las siguientes estructuras cristalinas las cuales pertenecen en gran proporción a los metales puros solidifican en tres estructuras cristalinas compactas BCC, FCC y HCP, éstas estructuras son estudiadas a partir de una pequeña porción que contenga el patrón de ordenamiento, las cuales tienen un arreglo asignado debido a su distribución atómica y que tienen un gran uso en la actualidad para semiconductores, circuitos integrados y otros sistemas modernos; a continuación se estudiarán dichas estructuras.
ESTRUCTURA CÚBICA DE CUERPO CENTRADO
Se denomina estructura de cuerpo centrado (body centred cubic) porque uno de los átomos se encuentra contenido justo en el centro del cubo o celda unitaria, y es equidistante de los ocho átomos de las esquinas, se dice por lo tanto que tiene un número de coordinacion (NC) de 8, es decir que 8 es el indice de la eficiencia de la condensación átomica . en la figura 4.2-1 se puede observar dicha estructura; Ahora , ¿cuantos átomos contiene la estructura cristalina BCC en cada celda unitaria?
(a) (b)
figura 3.2-1, modelos esquemáticos de la estructura BCC: (a)arreglo abierto; (b) átomos que se aproxíman entre sí
McMaster_BCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei
De la estructura cristalina BCC los átomos que cortan las esquinas son octavos de dichos vecinos próximos, además está contenido un átomo en su totalidad en el centro, por lo tanto tenemos :
Esquinas: (1/8) × 8 átomos = 1 átomo.
Total = 2 átomos/ celda unidad.
¿Se puede afirmar esto sin temor a alguna equivocación? la respuesta es acertada pues se debe recordar que cada átomo de cristal está rodeado por un arreglo idéntico de átomos en el látice espacial repetitivo, lo que significa que el látice que conforma el conjunto parcialmente ordenado que consta de dos elementos (en este caso átomos) tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior, donde los elementos cumplen las operaciones de simetría de una estructura, y está dotado de una ley de composición interna de aplicación sucesiva que se puede modelar matemáticamente.
figura 3.2-2estructura cristalina BCC donde se muestra la relación entra la constante de red a y el radio atómico R
En la celda unidad BCC los átomos de cada vértice contactan entre sí a través de la diagonal del cubo, como se muestra en la figura 4.2-2, por que la relacipon entre la arista del cubo a y el radio atómico R es
√3 a=4R o a=4R/√3 (4.1)
4R es el número de radios que atraviesa la diagonal de las esquinas opuestas
La demostración de 4.1 se hace simple y por trigonometria.
Otro factor importante a calcular es el volúmen de la celda unidad BCC y de cualquier celda que está ocupada por átomos , para esto se asume que las esferas son rígidas, y determinados el parámetro de látice (a) y el radio atómico (R); se define un factor de condensación atómica o factor de empaquetamiento.
FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (APF)
Generalmente se acepta que la naturaleza favorece los arreglos y estados de la materia que tienden a minimizar los niveles de energía (energía potencial). por ello podemos preguntarnos qué tan eficiente es en verdad el arreglo de un cristal y si es razonable asumir un empaquetamiento denso; para este ultimo se realiza la convención de:
Generalmente sólo está presente un elemento, por lo que todos los radios atómicos son iguales.
El enlace metálico no es direccional.
La distancia a los primeros vecinos tienden a ser cortas para disminuir la energía de enlace.
la nube electrónica cubre a los núcleos.
Entonces, Para evaluar la eficiencia de la estructura cristalina o cuán eficiente estan arreglados los átomos se calculará el volúmen atómico contenido en la celda unitaria en relación con el volúmen total de la celda unitaria como sigue:
APF= volúmen de átomos en una celda unidad/ volúmen de la celda unidad (3.2).
Ejemplo 3.2 a
Calcule el factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad BCC, considerando los átomos como esferas rígidas
solución:
APF=Volumen de los átomos en la celda unidad BCC / Volumen de la celda unidad BCC
Puesto que tenemos dos átomos por celda unidad BCC, el volumen de los átomos de radio R en una celda unidad es,
V_átomos= (2)(4/3 Π R^3)
V_celda unidad= a^3
Donde a es la constante de red. La relación entre a y R se obtiene a partir de la figura 3.2-2, que muestra cómo los átomos de la celda unidad contactan a través de la diagonal del cubo. así,
√3 a=4R
Así,
V_celda unidad= a^3=12,32 R^3
El factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad BCC resulta ser,
APF= (V_átomos/celda unidad) / V_celda unidad = 8,373 R^3 / 12,32R^3 = 0,68
Ahora, se establecerán las siguientes realciones de constante de red a y radio atómico para materiales que tienen estructura cirstalina BCC a temperatura ambiente de (20°C).
metal Constante de red a (nm) radio atómico R (nm) Cromo 0,289 0,125 Hierro 0,287 0,124 Molibdeno 0,315 0,136 Potasio 0,533 0,231 Sodio 0,429 0,186 Tántalo 0,330 0,143
Volframio 0,316 0,137
Vanadio 0,304 0,132
Ejemplo 3.2-b
El tántalo a 20°C es BCC con átomos de radio atómico 0,143nm. Calcule la constante de celda a para la arista del cubo de la celda unidad del tántalo
Solución: en la figura 3.2-2 se ve que los átomos de tántalo en la celda unidad BCC se tocan a través de la diagonal del cubo.Así , si a es la arista del cubo, tenemos:
√3 a=4R
Donde R es el radio atómico del tántalo, entonces:
a= (4(0,143nm))/√3 = 0,330nm
figura 3.2-3 estructura cristalina FCC
Otro tipo de arreglo cristalino cùbico es el FCC (face centred cubic), su diferencia entre las estructuras cristalinas difiere porque en cada faz (cara) existe un átomo colocado en ella y en los vértices de las celdilla unidad, o sea, en las posiciones de los nudos de la red de Bravais del mismo nombre (figura 4.3-1). El nùmero de coordinacion la estructura FCC es de 12, la forma mas sencilla de comprender esto, es situandose mentalmente en el àtomo del centro de una de las caras y contar todos los átomos en contacto con él.
De nuevo se separó mucho el arreglo de la celda (fig.4.3-2) con la intención de que la localizacion de los átomos sea clara; examinando el cristal, además de los ocho átomos de esquina, existen seis átomos centrados en las caras que se comporten entre esta celda y sus vecinas inmediatas. La mitad de cuaquier átomo se la faz se encuentra en una celda unitaria y la otra mitad está en la celda adyacente; por lo tanto, se puede determinar la cantida de átomos asociados con la celda unitaria de esta estructura como sigue:
figura 3.2-4. Celda unidad FCC con su respectivo arreglo atómico
McMaster_FCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei
Esquinas: 8 × 1/8 = 1 àtomo
Caras: 6 × 1/2 = 3 àtomos
Total = 4 àtomos /celda unitaria
Nótese que la cantidad de átomos por celda unitaria se duplicaron con relación a la del sistema BCC, que contiene el equivalente de dos átomos por celda unidad, con seguridad, éste es el indicio de una condensación atómica mas eficiente en el látice.
En la celda FCC los átomos contactan en la diagonal de la cara del cubo como se indica en la figura 4.3-3, por lo que la relación entre la arista del cubo a y el radio atómico R es:
√2 a =4R o a= 4R/ √2 (4.3)
El APF para la estructura cristalina FCC es de 0,74, que es mayor que el factor 0,68 de la estructura BCC. Un APF de 0,74 es el máximo de compacto posible para átomos esféricos. Muchos metales como el aluminio, cobre, plomo, níquel y hierro a termperatura elevada ( de 912 a 1.394 °C) cristalizan en la estructura FCC.
Metales que tienen estructura cristalina FCC a temperatura ambiente (20°C) y su constante de red y radio atómico.
metal Constante de red a (nm) radio atòmico r (nm) Aluminio 0,405 0,143 Cobre 0,3615 0,128 Oro 0,408 0,144 Plomo 0,495 0,175 Níquel 0,352 0,125 Platino 0,393 0,139 Plata 0,409 0,144
ESTRUCTURA HEXAGONAL DE EMPAQUETAMIENTO CERRADO
El tercer tipo principal de estructura cristalina es HCP, presenta un arreglo de alta densiad en sus átomos, los cuales en su tercer capa o plano se encuentran directamente por encima de los átomos del primer plano como indica en a figura 3.2-3.
(a)
(b)
figura 4.4-1. celda unidad HCP. a) de esferas rígidas; b) de posiciones atómicas.
McMaster_HCPs_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei
El número de coordinación de los cristales HCP es el mismo que para los FCC e igual a 12. Se puede verificar esta cantidad con los átomos vecinos más próximos, considerando el átomo central en un plano base, este átomo está rodeado por tres átomos en su propio plano base, más tres átomos que se localizan cada uno en el plano adyacente paralelo, lo que hace un total de 12 átomos vecinos más próximos. El factor de condensaciòn atómica es e mismo que el de FCC e igual a 0.74; generalmente se conocen las estructuras FCC y HCP como empaquetamiento cerrado por que son las dos formas de arreglar esferas idéntica con la densidad mas grande posible y que aún exhiben periocidad.
Una celda HCP tiene un equivalente a seis átomos por celda unidad:
Tres átomos forman un triángulo en la capa intermedia como queda reflejado por las posiciones atómicas en la figura 4.2-2 b. Hay seis × 1/6 secciones de átomos en las capas superior e inferior, contribuyendo con un equivalente de dos átomos mas por celdilla ( 2 × 6 × 1/6 =2). Finalmente, hay medio átomo más por celdilla. Así, el número toral de átomos por celdilla unidad en la estructura HCP es de 3 + 2+1 = 6. La relación entre la altura c del prisma hexagonal de la estructura y el lado a de su base se llama relación c/a para algunos metales HCP. De entre los metales cinc, cadmio, entre otros, tiene una relación c/a superior a la ideal lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celdilla unidad HCP. Los metales como el magnesio,
cobalto, circonio, titanio y berilio tienen una relacion c/A menor que la ideal, por tanto, en estos metales los átomos están ligeramente comprimidos en la dirección del eje c. Así, estos metales presentan ciertas desviaciones del modelo ideal de esferas rígidas.
A continuación se hará la comprobación del valor del factor de empaquetamiento en una estructura cristalina HCP
Ejemplo 4.4-A
Calcular el volumen de la celdilla unidad de la estructura cristalina del cinc a partir de los siguientes datos: el cinc puro tiene una estructura cristalina HCP con constantes de red a=0,2665 nm y c= 0,4947 nm. solucion:
El volumen de la celdilla unidad HCP puede obtenerse determinando el área de la base de la celdilla unidad y multiplicando ésta por la altura figura 4.4-2.
El área de la base de la celdilla unidad es el área de la parte inferior del hexagono, de forma que el área total es la suma e las áreas de los seís triángulos equiláteros de área, a partir de la figura 4.4-2 podemos deducir lo siguiente:
Área del trinángulo ( figura 4.4-2 b)= 1/2 (base)(altura)
= 1/2 (a)(asen 60°) = 1/2 a^2 sen60°
A partir de la figura 4.4-2b;
Área toal de la base HCP = (6)(1/2 a^2 sen60°)
= 3 a^2 sen 60°
A partir de la figura 4.4-2a;
Volumen de la celdilla unidad del cinc HCP = (3a^2 sen 60°)(c)
= (3)(0,2665 nm)^2 (0,8660) (0,4947 nm)
= 0,0913 nm^3
Materiales con estructura cristalina HCP a temperatura ambiente (20°C) y sus constantes reticulares, su radio atómico y su relación c/a
Metal
Constante de red a ( nm )
Radio
atómico r Relación (c/a)
% desviación de la relación ideal a c Cadmio 0,2973 0,5618 0,149 1,800 +15,7 Cinc 0,2665 0,4947 0,133 1,856 +13,6 HCP ideal 1,633 0 Magnesio 0,3209 0,5209 0,160 1,623 -0,66
Cobalto 0,2507 0,4069 0,125 1,623 -0,66
Circonio 0,3231 0,5148 0,160 1,593 -2,45
Titanio 0,2950 0,4683 0,147 1,587 -2,81
Berilio 0,2286 0,3584 0,113 1,568 -3,98
3.4 DENSIDAD VOLUMÉTRICA
Utilizando el modelo de esferas rígidas para la estructura cristalina de la celda unidad de un metal, un valor de radio atómico del metal obtenido por análisis de difracción de rayos X y utilizando la siguiente ecuación obtenemos la densidad volumétrica de un metal:
Densidad volumétrica de un metal = ρv = (Masa Celda unidad) / (Volumen celda unidad)
Para aplicar la fórmula mencionada debemos recordar los parámetros de red de las estructuras cristalinas presentes en los metales (BCC, FCC, HCP).
BCC: a = 4r/√3 volumen: a³ FCC: a = 4r/√2 volumen: a³
También podemos expresar esta ecuación de forma más general teniendo en cuenta que la
masa celda unidad es:
(Número de átomos celda unidad) * (Peso molecular de los átomos)
Y volumen celda unidad es:
(Volumen celda unidad)*(Número de avogadro)
Número de avogadro = 6.02×1023 átomos/mol
Obteniendo:
ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda
unitaria * número de avogadro]
El valor obtenido mediante ésta ecuación puede variar ligeramente del valor experimental consignado en tablas, lo cual debe atribuirse a la ausencia de algunas posiciones atómicas,
defectos de línea, y uniones defectuosas entre los granos (limites de grano). Otra causa de esta situación puede deberse también a que los átomos no son esferas perfectas.
EJEMPLOS Ejemplo 3.4.1:
El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atómico de 0.1278 nm. Considerando a los átomos como esferas rígidas que se colocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCC, calcule el valor teórico de la densidad del cobre en mega metros por metro cubico. La masa atómica del cobre es de 63.54 g/mol.
Solución
Para la celda unitaria FCC, √2a =4R, donde a es la constante de red en la celda unitaria y R es el radio del átomo de cobre. Así:
a = 4R/√2 = (4*0.1278 nm)/√2 = 0.361 nm
Densidad volumétrica de un metal = ρv = (Masa Celda unidad) / (Volumen celda unidad)
En la celda unitaria FCC hay cuatro átomos/celda unitaria. Cada átomo de cobre tiene una masa de (53.54 g/mol)*(6.02×1023 átomos/mol). Así, la masa m de los átomos de Cu en la celda unitaria es:
m = [(4 átomos)*(63.54 g/mol)/(6.02×10²³ átomos/mol)] * (10*10-6 Mg)/g
m = 4.22 * 10 -28 Mg
El volumen V de la celda unitaria del Cu es:
V = a³ = [0.361 nm * (10 -9 m)/nm]³
V = 4.70 * 10 -29 m³
ρv = m/v = (4.22 * 10 -28 Mg)/(4.70 * 10 -29) = 8.98 Mg/m³
Respuesta: ρv (cobre) = 8.98 Mg/m³ Ejemplo 3.4.2:
Determine la densidad del hierro BCC, cuyo parámetro de red es 0.2866 nm.
Solución
Para una celda BCC,
Átomos por celda = 2
a = 0.2866 nm
Masa atómica = 55,847 g/mol
Volumen de la celda unitaria = a³ = (2.866 * 10 -8 cm)³ = 23.54 * 10 -24 cm³/celda
Número de avogadro = Na = 6.02 * 10 ²³ átomos/mol
ρv = [numero de átomos por celda * peso molecular de los átomos]/ [volumen de la celda unitaria * numero de avogadro]
ρv = (2*55.847) / (23.54* 10 -24 * 6.02 * 10 ²³) = 7.882 g/cm³ Respuesta: ρv (hierro) = 7.882 g/cm³
La densidad medida es 7.870 g/cm³. La pequeña discrepancia entre las densidades teórica y medida es una consecuencia de los defectos en el material. Como se dijo antes el término “defecto” en este contexto, significa imperfecciones respecto al arreglo atómico.
La plata tiene una estructura cristalina FCC con un radio atómico de 0.144 nm. Calcule el valor teórico de la densidad de la plata en g/cm³.
Solución:
Masa atómica (Ag) = 107.87 g/mol
Masa = [(4 átomos * 107.87 g/mol) / (6.02 * 10²³ átomos/mol)]
Masa = 7.167 * 10-²² g
Volumen para una celda BCC = a³ donde a =4r/√2
Entonces tenemos:
Volumen en cm³ = [((4 * 0.144*10-9 m) / √2)*(100 cm / 1 m)]³
Volumen = 6.756 * 10-²³ cm³
Así la densidad teórica de la plata es:
ρv = m/v = 7.167 * 10-²² g / 6.756 * 10-²³ cm³ Respuesta: ρv (plata) = 10.608 g/cm³
Ejemplo 3.4.4:
La densidad del torio que tiene una estructura FCC es de 11.72 g/cm³. El peso atómico del torio es de 232 g/mol. Calcule:
a) El parámetro de red.
b) El radio atómico del torio.
a) Como es una es una estructura FCC el parámetro de red a = 4r/√2 y el volumen de la
celda es a³.
Utilizando
ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda
unitaria * número de avogadro]
Tenemos:
11.72 g/cm³ = (4 átomos * 232 g/mol) / [(4r/√2)³ * 6.02*10²³ átomos/mol]
Despejando r: r³ * 11.72 /cm³ = 928 / 1.36*10 25 r³ = 6.82*10-²³ cm³ / 11.72 Respuesta: r = 1.799*10-8 cm b) Usando a = 4r/√2 tenemos: a = (4 * 1.799*10-8 cm) / √2 Respuesta: a = 5.088*10-8 cm Ejemplo 3.4.5:
El bismuto tiene una estructura hexagonal, con a = 0.4546 nm y c = 1.186 nm. La densidad es 9.808 g/cm³ y el peso atómico es de 208.98 g/mol. Determine:
a) El volumen de la celda unitaria.
b) Cuantos átomos Existen en cada Celda unitaria. Solución.
a) Mirando la figura de la celda hexagonal compacta y teniendo en cuenta que el volumen
es la base multiplicada por la altura (c) y además descomponiendo esta base en 6 triángulos equiláteros, podemos llegar a la conclusión de que el volumen de la celda es:
V = (3/2)*√3*a²*c
Reemplazando tenemos:
V = (3/2) * √3 * (0.4546 nm)² *9.808 nm
Respuesta: V= 0.637 nm³
b) V = 0.637 nm³ = 0.637*10-²¹ cm³
Reemplazando todos los datos en
ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda
unitaria * número de avogadro]
Y tomando como N = numero de átomos tenemos:
9.808 g/cm³ = (N * 208.98 g/mol) / (0.637*10-²¹ cm³ * 6.02*10²³ átomos/mol)
Despejando N
Respuesta: N = 18 átomos Ejemplo 3.4.6:
La densidad del potasio, que tiene una estructura BCC es 0.855 g/cm³. El peso atómico del potasio es 39.09 g/mol. Calcule:
a) El parámetro de red.
Solución
a) Sabemos que al ser una celda BCC tiene 2 átomos en su interior.
Reemplazando todos los datos otorgados en
ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda
unitaria * número de avogadro]
Tenemos:
0.855 g/cm³ = [(2 átomos * 39.09 g/mol) / (a³ * 6.02*10²³ átomos/mol)]
Despejando a: a³ = 1.519*10-²² cm³ Respuesta: a = 5.336*10-8 cm b) a = 4r/√3 Despejando r: r = [(5.336*10-8 cm) √3] / 4 Respuesta: r = 2.31*10-8 cm 3.5 INDICES DE MILLER
Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde es susceptible de deslizar unos átomos sobre otros átomos en la celda cristalina.
Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l)
Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número.
Ejes y celdas unitarias:
Se utilizan los tres ejes conocidos normalmente, el eje X positivo se usa saliendo del papel, el eje Y positivo hacia la derecha y finalmente el eje Z positivo hacia la parte superior; en sentidos opuestos se encuentran sus respectivas zonas y cuadrantes negativos
Se utilizan celdas unitarias para situar tanto puntos, como planos. Dichas celdas unitarias son cubos los cuales se encuentran situados sobre el sistema de coordenadas X, Y, Z. Generalmente se asume un origen, el cual está ubicado en la arista inferior izquierda posterior.
Direcciones en la celda unitaria:
Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran interés, dichas direcciones son los denominados Índices De Miller y son particularmente las posiciones o lugares por donde es más susceptible un elemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su interior cristalino.
Para hallar los Índices De Miller de las direcciones se procede de la siguiente manera:
1. usar un sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas positivas y zonas negativas).
2. Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos cola), generando de esta manera el vector dirección y la cantidad de parámetros de red recorridos
3. Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mínima expresión 4. Encerrar los números resultantes entre corchetes , sin comas, si el resultado es
negativo en cualquier eje (X, Y, Z) debe situarse una barra o raya encima de dicho numero, o números.
Ejemplo 3.5.1
Determinar los índices de Miller de las direcciones A, B y C.
1. Dos puntos son: 1,0,0 y 0,0,0
2. Se restan ambos puntos, situando en primer lugar el punto que se desea tener como dirección y sentido (cabeza del vector) 1,0,0 – 0,0,0 = 1,0,0
3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 4. [ 100 ]
Dirección B
Dos puntos son: 1,1,1 y 0,0,0
1. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos 1,1,1 - 0,0,0 = 1,1,1 2. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir
3. [ 111 ]
Dirección C
1. Dos puntos son: 0,0,1 y ½,-1,0
2. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos 0,0,1 - ½,-1,0 = - ½,-1, 1 3. Esta vez el resultado debemos llevarlo a una conversión de enteros.
4. 2(- ½,-1, 1)=-1,-2,2
5. Como el resultado es negativo en las direcciones de los ejes X y Y, se sitúan con una barra en la parte superior los valores para dichos ejes.
6.
Aspectos importantes en el análisis y creación de las direcciones en los Índices De Miller:
1. las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede ser positivo o negativo, y con ello poseer la misma línea de acción pero diferente sentido.
2. una dirección y sus múltiplos son idénticos solo que estos aun no han sido reducidos. 3. ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en un sistema cubico es
ocasionado por el orden y el sentido de los vectores, ya que es posible redefinir el sistema coordenado para una misma combinación de coordenadas. Estos grupos reciben el nombre de direcciones de una forma o familia, y se denota entre paréntesis especiales <>. Es importante resaltar que un material posee las mismas propiedades en todas y cada una de las diferentes direcciones de una familia.
Tabla 3.5.a
Direcciones de la familia <110> en el sistema cubico
Importancia de las direcciones cristalográficas:
Es necesario conocer las direcciones cristalográficas para así asegurar la orientación de un solo cristal o de un material poli cristalino. En muchas ocasiones es necesario describir dichas orientaciones; en los metales por ejemplo es más fácil deformarlos en la dirección a lo largo de la cual los átomos están en mayor contacto. En la industria esto es de vital importancia para el uso, deformación y construcción de nuevos elementos y materiales. Caso ejemplar es el de los elementos magnéticos los cuales funcionan como medios de grabación con mejor y mayor eficiencia si se encuentran alineados en cierta dirección cristalográfica, para así almacenar de manera segura y duradera la información. En general es necesario encontrar o tener en cuenta la posición y dirección cristalográfica de los elementos ya que así podrá aprovecharse al máximo sus propiedades mecánicas.
Planos en la celda unitaria:
Los planos cristalinos son con mayor precisión los lugares por donde un material facilita su deslizamiento y transformación física; dichos lugares o planos son en donde existe la mayor posibilidad de que el elemento sufra una dislocación. Como se mencionó anteriormente los metales se deforman con mayor facilidad a lo largo de los planos en los cuales los átomos están compactados de manera más estrecha o cercana en la celda unitaria. Es importante resaltar la orientación y forma en la que puede crecer el cristal, para ello es necesario analizar las tensiones superficiales producidas en los principales planos de una celda unitaria. Igualmente para una mejor orientación en los planos de un
material podrá existir un mejor rendimiento y aprovechamiento en las propiedades y usos mecánicos.
Los Índices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistema cartesiano
(X, Y, Z) = (h, k, l) respectivamente.
Para identificar los planos de importancia se procede de la siguiente manera:
1. identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z en función de los parámetros de red (si el plano pasa por el origen se debe trasladar el origen del sistema de coordenadas).
2. los Índices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos de un plano cartesiano.
3. se calculan los recíprocos o inversos de los puntos o intersecciones.
4. si el reciproco es N/∞, donde N es cualquier numero entero real, esto significara en el plano que para este eje el plano quedara paralelo a él sin tocarlo.
5. la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no ocurre en el estudio de las direcciones de los Índices de Miller.
Ejemplo 3.5.8
Determine los índices de Miller de los planos A,B y C
1. x=1 y=1 z=1
2. 1/x=1 , 1/y=1, 1/z=1
3. No existen fracciones que eliminar 4. (111)
Plano B
1. Debe aclararse el plano no cruza al eje z, esto es debido al cociente entre 1/∞ lo cual con su respectivo limite tiende a ser cero (0)
2. X=1 , y= 2, z=∞ 3. 1/x=1, 1/y=1/2, 1/z= 0
4. Debemos eliminar las fracciones; 2(1, ½,0) 5. (210)
Plano C
1. Es necesario cambiar el origen, ya que el plano pasa por el origen, ubicaremos el nuevo origen a la derecha del inicial, moviéndolo en dirección del eje Y positivo
3. 1/x=0, 1/y=-1, 1/z=0
4. No existen fracciones que eliminar 5.
Aspectos importantes para los planos en los Índices de Miller:
1. los planos positivos y negativos son idénticos.
2. los planos y sus múltiplos no son idénticos. Esto se demuestra por medio de la densidad planar y el factor de empaquetamiento.
3. los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Se representan con llaves {} 4. en los sistemas cúbicos, una dirección es perpendicular a un plano si tiene los mismos
Índices de Miller que dicho plano.
Ejemplo 3.5.3
Familia de planos {110} en los sistemas cúbicos
Estos planos son inversos en muchos aspectos de estudio, análisis y construcción.
Índices de Miller para celdas hexagonales
Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto de índices de Miller-Bravais, debido a la simetría de la estructura. En este se usan ya cuatro ejes, aunque es de tenerse en cuenta que el eje a3 es redundante.
El procedimiento para la obtención de planos y direcciones es el ya estudiado, aunque para el cálculo de las direcciones existen los métodos para tres ejes o el de cuatro ejes, siendo este último algo más tedioso.
En esta nueva estructura se tomaran los índices (h, k, i, l), para los cuales se asignara un eje respectivo (a1=h, a2=k, a3=i, c=l), teniendo en cuenta que para el eje a3 su existencia radicara en la relación h + k = -i; y la descomposición en cuatro vectores (creación de direcciones en cuatro ejes a partir de los índices en los tres ejes)
Relaciones: H= 1/3(2h – k) K=1/3(2k – h) I=-1/3(h + k) L=l Ejemplo 3.5.6
Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A y B y par las direcciones C y D.
1. a1=a2=a3=∞, c=1
2. 1/a1=1/a2=1/a3=0, 1/c=1
3. No existen fracciones que simplificar 4. (0001)
Plano B
1. A1=1, a2=1, a3=-1/2, c=1 2. 1/a1=1, 1/a2=1, 1/a3=-2, 1/c=1 3. No hay fracciones que simplificar 4.
Dirección C
1. Dos puntos: 0,0,1 y 1,0,0
2. Realizando la resta y tomando al punto 0,0,1 como cabeza del vector, se tiene: 0,0,1 – 1,0,0 = -1,0,1
3. No existen fracciones que eliminar o enteros que reducir 4.
Dirección D
1. Los puntos son: 0,1,0 y 1,0,0
2. La resta genera el vector: 0,1,0 – 1,0,0 = -1,1,0
3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 4.
Comportamiento isotrópico y anisotrópico:
A causa de los arreglos en los diferentes planos y direcciones cristalográficas los materiales presentan comportamientos y desempeños diversos en sus propiedades mecánicas. Se dice que un material es cristalográficamente anisotropico si sus propiedades dependen de la dirección cristalográfica en la cual se mide la propiedad. Si sus propiedades son idénticas en cualquier dirección el material se conoce cristalográficamente como isotrópico. Puede suceder que un material pase de ser anisotropico a isotrópico si sus arreglos son aleatorios en forma policristalina. En genera los materiales policristalino as muestran propiedades isotrópicas. Ejemplo de ello tenernos el aluminio, el cual si posee idénticas propiedades en todas las direcciones diremos que es un elemento cristalográficamente isotrópico, pero si se presenta en forma policristalina se puede asumir o comportar como anisotropico.
3.6 PLANOS CRISTALINOS