FACULTAD CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS
ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS
INTERNACIONALES
INFORME: TALLER ECONOMETRÍA
AUTOR: ERICK HERRERA MATOS
CARLOS NUÑOVERO ALEGRE
CHIMBOTE – PERÚ
2017
CAPÍTULO 7
ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: EL PROBLEMA
DE ESTIMACIÓN
Ejercicios:
7.1 Considere los datos de la tabla 7.5.
Y X2 X3
1 1 2
3 2 1
8 3 -3
Con base en estos datos, estime las siguientes regresiones: Yi = α1 + α2X2i + u1i
Yi = λ1 + λ3X3i + u2i
Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui
Solución
a) ¿Es α2 = β2? ¿Por qué?
No, dado que el modelo (3) es el verdadero, α2, es un estimador sesgado β2.
b) ¿Es λ3 = β3? ¿Por qué?
No porque λ3 Es un estimador sesgado de β3
una ecuación parcial puede conducirnos a estimar de forma sesgada.
7.6. Si la relación α1X1 + α2X2 + α3X3 = 0 se cumple para todos los valores de X1, X2 y X3,
encuentre los valores de los tres coeficientes de correlación parcial.
El primer paso consiste en escribir la forma de la ecuación: X1 = (-α2 / α1) X2 + (α3 / α1) X3
X2 = (-α1 / α2) X1 + (α3 / α2) X3 X3= (-α1 / α3) X1 + (α2/ α3) X2
Los valores de los coeficientes de correlación parcial son los siguientes: β123= (-α2 / α1) β213= (-α1/ α2) β312= (-α1/ α3) β13.2= -(α3/ α1) β23.1= -(α2/ α3) β32.1= -(α2/ α3)
Ejercicios empíricos
7.18 Desembolsos del presupuesto de defensa de Estados Unidos, 1962-1981. Para explicar el presupuesto de defensa de Estados Unidos, considere el siguiente modelo:
Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + β5X5t + ut
Donde Yt = desembolsos del presupuesto de defensa durante el año t, $ miles de
millones
X3t = ventas militares de Estados Unidos/ayuda en el año t, $ miles de millones.
X4t = ventas de la industria aeroespacial, $ miles de millones.
X5t = conflictos militares que implican a más de 100 000 soldados. Esta variable adquiere
el valor de 1 cuando participan 100 000 soldados o más, y es igual a cero cuando el número de soldados no llega a 100 000.
Para probar este modelo, se proporcionan datos en la tabla 7.8.
YEAR Y X2 X3 X4 X5 1962 51.1 560.3 0.6 16 0 1963 52.3 590.5 0.9 16.4 0 1964 53.6 632.4 1.1 16.7 0 1965 49.6 684.9 1.4 17 1 1966 56.8 749.9 1.6 20.2 1 1967 70.1 793.9 1 23.4 1 1968 80.5 865 0.8 25.6 1 1969 81.2 931.4 1.5 24.6 1 1970 80.3 992.7 1 24.8 1 1971 77.7 1077.6 1.5 21.7 1 1972 78.3 1185.9 2.95 21.5 1 1973 74.5 1326.4 4.8 24.3 0 1974 77.8 1434.2 10.3 26.8 0 1975 85.6 1549.2 16 29.5 0 1976 89.4 1718 14.7 30.4 0 1977 97.5 1918.3 8.3 33.3 0 1978 105.2 2163.9 11 38 0 1979 117.7 2417.8 13 46.2 0 1980 135.9 2633.1 15.3 57.6 0 1981 162.1 2937.7 18 68.9 0 Solución
a) Estime los parámetros de este modelo y sus errores estándar, y obtenga R2, R2 modificada y R2.
7.21. Considere la siguiente función de demanda de dinero para Estados Unidos durante el periodo 1980-1998: Mt = β1Ytβ2rt β3 eut
Donde M = demanda real de dinero, de acuerdo con la definición M2 de dinero Y = PIB real
r = tasa de interés
Para estimar la anterior función de demanda de dinero se presentan los datos de la tabla 7.10.
AÑO PIB M2 CPI TILP TITM
1980 2795.6 1600.4 82.4 11.27 11.506
1981 3131.3 1756.1 90.9 13.45 14.029
1983 3534.9 2127.8 99.6 11.18 8.63 1984 3932.7 2311.7 103.9 12.41 9.58 1985 4213 2497.4 107.6 10.79 7.48 1986 4452.9 2734 109.6 7.78 5.98 1987 4742.5 2832.8 113.6 8.59 5.82 1988 5108.3 2995.8 118.3 8.96 6.69 1989 5489.1 3159.9 124 8.45 8.12 1990 5803.2 3279.1 130.7 8.61 7.51 1991 5986.2 3379.8 136.2 8.14 5.42 1992 6318.9 3434.1 140.3 7.67 3.45 1993 6642.3 3487.5 144.5 6.59 3.02 1994 7054.3 3502.2 148.2 7.37 4.29 1995 7400.5 3649.3 152.4 6.88 5.51 1996 7813.2 3824.2 156.9 6.71 5.02 1997 8300.8 4046.7 160.5 6.61 5.07 1998 8759.9 4401.4 163 5.58 4.81 Solución:
a) Con los datos anteriores, calcule la función de demanda anterior. ¿Cuáles son las elasticidades del ingreso y de la tasa de interés de la demanda de dinero?
b) En lugar de estimar la función demanda anterior, suponga que debe ajustar la función (M/Y) t = α1 rtα2 eut. ¿Cómo interpretaría los resultados? Muestre los
cálculos necesarios.
c) ¿Cómo decidiría cuál es la mejor especificación?
7.24. La tabla 7.12 presenta datos del gasto de consumo real, ingreso real, riqueza real y tasas de interés reales de Estados Unidos de 1947 a 2000. Estos datos se volverán a usar en el ejercicio 8.35.
AÑO C Yd Riqueza Tasa de Interés
1947 976.4 1035.2 5166.8 -10.351 1948 998.1 1090.0 5280.8 -4.720 1949 1025.3 1095.6 5607.4 1.044 1950 1090.9 1192.7 5759.5 0.407 1951 1107.1 1227.0 6086.1 -5.283 1952 1142.4 1266.8 6243.9 -0.277 1953 1197.2 1327.5 6355.6 0.561 1954 1221.9 1344.0 6797.0 -0.138 1955 1310.4 1433.8 7172.2 0.262 1956 1348.8 1502.3 7375.2 -0.736 1957 1381.8 1539.5 7315.3 -0.261 1958 1393.0 1553.7 7870.0 -0.575 1959 1470.7 1623.8 8188.1 2.296 1960 1510.8 1664.8 8351.8 1.511
1961 1541.2 1720.0 8971.9 1.296 1962 1617.3 1803.5 9091.5 1.396 1963 1684.0 1871.5 9436.1 2.058 1964 1784.8 2006.9 10003.4 2.027 1965 1897.6 2131.0 10562.8 2.112 1966 2006.1 2244.6 10522.0 2.020 1967 2066.2 2340.5 11312.1 1.213 1968 2184.2 2448.2 12145.4 1.055 1969 2264.8 2524.3 11672.3 1.732 1970 2317.5 2630.0 11650.0 1.166 1971 2405.2 2745.3 12312.9 -0.712 1972 2550.5 2874.3 13499.9 -0.156 1973 2675.9 3072.3 13081.0 1.414 1974 2653.7 3051.9 11868.8 -1.043 1975 2710.9 3108.5 12634.4 -3.534 1976 2868.9 3243.5 13456.8 -0.657 1977 2992.1 3360.7 13786.3 -1.190 1978 3124.7 3527.5 14450.5 0.113 1979 3203.2 3628.6 15340.0 1.704 1980 3193.0 3658.0 15965.0 2.298 1981 3236.0 3741.1 15965.0 4.704 1982 3275.5 3791.7 16312.5 4.449 1983 3454.3 3906.9 16944.8 4.691 1984 3640.6 4207.6 17526.7 5.848 1985 3820.9 4347.8 19068.3 4.331 1986 3981.2 4486.6 20530.0 3.768 1987 4113.4 4582.5 21235.7 2.819 1988 4279.5 4784.1 22332.0 3.287 1989 4393.7 4906.5 23659.8 4.318 1990 4474.5 5014.2 23105.1 3.595 1991 4466.6 5033.0 24050.2 1.803 1992 4594.5 5189.3 24418.2 1.007 1993 4748.9 5261.3 25092.3 0.625 1994 4928.1 5397.2 25218.6 2.206 1995 5075.6 5539.1 27439.7 3.333 1996 5237.5 5677.7 29448.2 3.083 1997 5423.9 5854.5 32664.1 3.120 1998 5683.7 6168.6 35587.0 3.584 1999 5968.4 6320.0 39591.3 3.245 2000 6257.8 6539.2 38167.7 3.576
a) Con los datos de la tabla, estime la función de consumo lineal usando los datos de ingreso, riqueza y tasa de interés. ¿Cuál es la ecuación ajustada?
La ecuación ajustada es:
Consumo: -20.6332 + 0.7340X2 + 0.0359X3 - 5.5211X4
b) ¿Qué indican los coeficientes estimados sobre las relaciones entre las variables y el gasto de consumo?
Indican que si todo lo demás permanece constante (Ceteris paribus) cuando el ingreso disponible aumente en un dólar, el consumo se incrementa en 0.73 dólares. Si la riqueza aumenta en un dólar, el consumo aumenta en 0.03 dólares. Y si el interés aumenta 1 punto porcentual, la tasa de interés reduce el consumo en un-5.52 dólares.
CAPÍTULO 8
Análisis de Regresión Múltiple: El problema de la
inferencia
Ejercicios Empíricos
a) ¿Cuáles son las elasticidades del ingreso real y de la tasa de interés de los balances reales de efectivo?
Las elasticidades del ingreso real son, 0.5243 y -0.0255 y las tasas de interés de los balances reales son 0.4946 y -0.0516.
b) ¿Son las elasticidades anteriores, consideradas en forma individual, estadísticamente significativas?
La elasticidad ingreso es significativa en ambos casos si consideramos de forma individual.
8.16 Al estudiar la demanda de tractores agrícolas en Estados Unidos durante los periodos 1921-1941 y 1948-1957, Griliches obtuvo los siguientes resultados:
Donde Yt = valor de las existencias de tractores en las granjas el 1 de enero, en dólares
de1935-1939, X2 = índice de precios pagado por los tractores dividido entre un índice de
precios recibidos por todas las cosechas en el tiempo t − 1, X3 = tasa de interés prevalente
en el año t − 1, y los errores estándar están dados entre paréntesis.
a) Interprete la regresión anterior.
Los registros de índice de precios reales y la tasa de interés en el año anterior explican aproximadamente el 79% de la variación en el registro de las existencias de tractores, una forma de capital. Ya que se trata de una doble modelo de registro, la pendiente los coeficientes (parcial) elasticidad cruzada de la demanda.
b) ¿Son los coeficientes de pendiente estimados estadísticamente significativos de manera individual? ¿Son significativamente diferentes de la unidad?
nivel del 5%.
c) Utilice la técnica de análisis de varianza para probar la significancia de la regresión en general. Sugerencia: Utilice la variante R2 de la técnica ANOVA.
F = 0.793 2 0.207 28 = 53.63
El resultado del valor F es estadísticamente significativa.
d) ¿Cómo calcularía la elasticidad tasa de interés de la demanda de tractores agrícolas?
e) ¿Cómo probaría la significancia del R2 estimado?
Utilizando la prueba “F” dad en el ejercicio (C).
8.18 Una variación de la ecuación de determinación de salarios del ejercicio 8.17 es la siguiente:
Donde:
W = sueldos y salarios por empleado
V = empleos vacantes como porcentaje del número total de empleados en Gran Bretaña X = producto interno bruto por persona empleada
M = precios de importaciones
M t−1 = precios de importaciones en el año anterior (o rezagado)
(Los errores estándar estimados están dados entre paréntesis.) a) Interprete la ecuación anterior.
Un aumento de 1 punto porcentual en la tasa de vacantes en promedio es aproximadamente 5,29 libras. Aumento de los sueldos y salarios por empleado, ello supone un incremento del PIB de alrededor de 1 libra por persona.
b) ¿Cuáles de los coeficientes estimados son estadísticamente significativos individualmente?
Los valores estimados son los siguientes: 6.51, -1.04, 2.45 y 2.42. De los cuales se afirma que el segundo es estadísticamente significativa de forma individual.
c) ¿Cuál es el razonamiento para la introducción de la variable X? A priori, ¿se espera que el signo de X sea negativo?
Se puede esperar una mayor productividad per cápita y de este modo llevar a cabo salarios más elevados. Además el coeficiente estimado no es estadísticamente significativamente distinto a cero.
d) ¿Cuál es el propósito de incluir Mt y Mt−1 en el modelo?
El principal propósito es que buscan recoger el efecto de rezagos distribuidos en curso y el anterior en cuanto a los precios de importación sobre los sueldos y salarios.
e) ¿Cuáles variables pueden sacarse del modelo? ¿Por qué?
Únicamente podría salir la variable X ya que tiene el signo equivocado porque su valor “t” es baja.
f) Pruebe la significancia general de la regresión observada.
F =0.934 ∕ 4
0.66 ∕ 14= 49.53 El valor F es altamente significativa.
8.26 La demanda de cable. La tabla 8.10 presenta los datos de un fabricante de cable telefónico para pronosticar las ventas a uno de sus principales clientes durante el periodo 19681983. Las variables en la tabla se definen de la siguiente forma:
Y = ventas anuales en millones de pies de cables pareados (MPC) X 2= Producto Interno Bruto (PIB), $, miles de millones
X 3= construcción de nuevas viviendas, miles de unidades
X 4= tasa de desempleo, %
X 5= tasa preferencial rezagada 6 meses
X 6= ganancias de línea para el cliente, %
AÑO X2 PIB X3, Construcción de Nueva Viviendas X4, Desempleo % X5, Tasa Referencial, rezago, 6 meses X6, ganancias línea clientes, % Y, Ventas Anuales 1968 1051.8 1503.6 3.6 5.8 5.9 5873 1969 1078.8 1486.7 3.5 6.7 4.5 7852
Considere el siguiente modelo:
a) Estime la regresión anterior.
b) ¿Cuáles son los signos esperados para los coeficientes de este modelo?
1970 1075.3 1434.8 5.0 8.4 4.2 8189 1971 1107.5 2035.6 6.0 6.2 4.2 7497 1972 1171.1 2360.8 5.6 5.4 4.9 8534 1973 1235.0 2043.9 4.9 5.9 5.0 8688 1974 1217.8 1331.9 5.6 9.4 4.1 7270 1975 1202.3 1160.0 8.5 9.4 3.4 5020 1976 1271.0 1535.0 7.7 7.2 4.2 6035 1977 1332.7 1961.8 7.0 6.6 4.5 7425 1978 1399.2 2009.3 6.0 7.6 3.9 9400 1979 1431.6 1721.9 6.0 10.6 4.4 9350 1980 1480.7 1298.0 7.2 14.9 3.9 6540 1981 1510.3 1100.0 7.6 16.6 3.1 7675 1982 1492.2 1039.0 9.2 17.5 0.6 7419 1983 1535.4 1200.0 8.8 16.0 1.5 7923
La regresión hallada nos muestra que tanto B2, B3 y B6 son positivas mientras que B4 y B6 son negativos.
c) ¿Corresponden los resultados empíricos a las expectativas a priori?
Los coeficientes que tienen signos positivos (B2, B3 y B6) consiguen satisfacer las expectativas mientras que los coeficientes con signos negativos no.
d) ¿Son los coeficientes de regresión parcial estimados estadísticamente significativos considerados en forma individual en el nivel de 5% de significancia?
La regresión X3, X4 y X6 son significativos a un nivel de significancia del 5%.
e) Suponga que efectúa la regresión de Y sobre X2, X3 y X4 solamente y luego decide
agregar las variables X5 y X6. ¿Cómo averiguará si se justifica agregar las variables
X5 y X6? ¿Qué prueba utiliza? Muestre los cálculos necesarios.
𝐹 =(0.8227 − 0.6012) ∕ 2
(1 − 0.8227)/10 ≡ 6.25
8.28. Estimación del modelo de asignación de precios de activos de capital (CAPM). En la sección 6.1 consideramos brevemente el conocido modelo de asignación de precios de activos de capital de la teoría moderna de portafolios. En el análisis empírico, el CAPM se estima en dos etapas.
Etapa I (Regresión de serie de tiempo). Para cada uno de los N títulos incluidos en la muestra efectuamos la siguiente regresión a través del tiempo:
Donde Rit y Rmt son las tasas de rendimiento del i-ésimo título y el portafolios del
mercado (por ejemplo, el S&P 500) en el año t; βi, como ya vimos, es el coeficiente beta
o coeficiente de volatilidad del mercado del i-ésimo título y eit son los residuos. En total
hay N regresiones, una para cada título, y se producen, por consiguiente, N valores estimados para βi.
Etapa II (Regresión transversal). En esta etapa efectuamos la siguiente regresión para los N títulos
Donde Ri es el promedio o tasa media de rendimiento para el título i, calculado sobre el
periodo muestral cubierto por la etapa I, βi es el coeficiente beta estimado de la regresión de la primera etapa y ui es el término residual. Al comparar la regresión (2)
de la segunda etapa con el CAPM, ecuación (6.1.2), escrita como
Donde rf es la tasa de rendimiento libre de riesgo, vemos que ˆ γ1 es una estimación de
rf y es γ2 una estimación de (ERm − rf), la prima del riesgo del mercado.
Así, en la prueba empírica de CAPM, Ri y βi se utilizan como estimadores de ERi y βi
respectivamente. Ahora, si se mantiene CAPM, estadísticamente,
Considere ahora otro modelo:
Donde s2 ei es la varianza residual del i-ésimo título de la regresión de la primera etapa.
Entonces, si CAPM es válido, γ3 no debe ser significativamente diferente de cero. Para probar el CAPM, Levy efectuó las regresiones (2) y (4) sobre una muestra de 101 acciones durante el periodo 1948-1968 y obtuvo los siguientes resultados.
a) ¿Apoyan estos resultados el CAPM?
b) ¿Se justifica agregar la variable s2
ei al modelo? ¿Cómo sabe?
Sí, porque arroja luz sobre la validez de la teoría. Y esto demuestra también que es estadísticamente significativa.
c) Si el CAPM se mantiene, γ1 en (2) debe aproximar el valor promedio de la tasa libre de riesgo rf. El valor estimado es 10.9%. ¿Parece una estimación razonable
de la tasa de rendimiento libre de riesgo durante el periodo de observación, 1948-1968? (Se puede considerar la tasa de rendimiento de los bonos del Tesoro o de un activo libre de riesgo relativamente parecido.)
No parece demasiado alta rentabilidad de letras del tesoro de Estados Unidos.
d) S i el CAPM se mantiene, la prima de riesgo del mercado (Rm − rf) de es cerca de
3.7%. Si se supone que rf es 10.9%, esto implica que Rm para el periodo de la
muestra fue aproximadamente 14.6%. ¿Parece una estimación razonable?
No, debido a que tiene valores elevados.
e) ¿Qué puede decir sobre el CAPM en general?
Es un modelo financiero y que vincula linealmente la rentabilidad de cualquier activo financiero con el riesgo de mercado de ese activo. Sin embargo no puede ser adecuada en todas las situaciones presentadas en el presente enunciado.
CAPÍTULO 10
MULTICOLINEALIDAD: ¿qué pasa si las regresoras
están correlacionadas?
Ejercicios
10.1. En el modelo de regresión lineal de k variables, hay k ecuaciones normales para estimar las k incógnitas. Estas ecuaciones normales están dadas en el apéndice C. Suponga que Xk es una combinación lineal perfecta de las variables X restantes. ¿Cómo
se demostraría que en este caso es imposible estimar los k coeficientes de regresión?
Y X2 X3
-10 1 1
Si es una combinación perfecta lineal de las variables explicativas, existen más incógnitas que ecuaciones, por lo tantos soluciones únicas no son posibles.
10.3. Consulte el ejemplo de la mortalidad infantil analizado en el capítulo 8 (ejemplo 8.1). Dicho ejemplo implicó hacer la regresión de la tasa de mortalidad infantil (MI) sobre el PIB per cápita (PIBPC) y la tasa de alfabetización de las mujeres (TAM). Ahora, suponga que añadimos la variable tasa de fecundidad total (TFT). Lo anterior da los siguientes resultados de la regresión
-6 3 5 -4 4 7 -2 5 9 0 6 11 2 7 13 4 8 15 6 9 17 8 10 19 10 11 21
a) Compare estos resultados de la regresión con los obtenidos en la ecuación (8.1.4). ¿Qué cambios observa? ¿Cómo los explica?
Las variables que se muestran son estadísticamente significativas. Por lo tanto los cambios que se han efectuado se deben a la incorporación de la tasa de fecundidad global, por ello puede existir alguno multicolinealidad entre los regresores.
b) ¿Vale la pena añadir la variable TFT al modelo? ¿Por qué?
Dado el valor del coeficiente TFT, revela que es muy importante (p = 0.0032). El signo positivo de este coeficiente tiene mucha coherencia, debido a la relación entre el número de los niños para una mujer, mayores son las probabilidades de la mayor mortalidad infantil.
c) Como todos los coeficientes t individual son estadísticamente significativos, ¿podemos decir que no existe un problema de colinealidad en el presente caso?
En este caso existe colinealidad, debido a que los coeficientes son estadísticamente significativos.
Ejercicios Empíricos
10.26 Klein y Goldberger intentaron ajustar el siguiente modelo de regresión a la economía de Estados Unidos:
Donde Y = consumo, X2 = ingreso salarial, X3 = ingreso no salarial, no procedente del
campo, y X4 = ingreso procedente del campo. Pero, como se espera que X2, X3 y X4 sean
muy colineales, obtuvieron las siguientes estimaciones de β3 y β4 del análisis de corte
transversal: AÑO Y X2 X3 X4 1936 62.8 43.41 17.10 3.96 1937 65.0 46.4 18.65 5.48 1938 63.9 44.35 17.09 4.37 1939 67.5 47.82 19.28 4.51 1940 71.3 51.02 23.24 4.88 1941 76.6 58.71 28.11 6.37 1945 86.3 87.69 30.29 8.96 1946 95.7 76.73 28.26 9.76 1947 98.3 75.91 27.91 9.31 1948 100.3 77.62 32.30 9.85 1949 103.2 78.01 31.39 7.21 1950 108.9 83.57 35.61 7.39 1951 108.5 90.59 37.58 7.98 1952 111.4 95.47 35.17 7.42
β3 = 0.75β2 y β4 = 0.625β2. Con estas estimaciones reformularon su función de consumo
Yi = β1 +β2 (X2i +0.75X3i +0.625X4i) + ui = β1 +β2Zi + ui donde Zi = X2i + 0.75X3i + 0.625X4i.
a) Ajuste el modelo modificado a los datos de la tabla 10.12 y obtenga estimaciones de β1 a β4.
b) ¿Cómo interpretaría la variable Z?
La variable Z puede interpretarse como una media ponderada de los diferentes tipos de ingresos.
10.27. La tabla 10.13 proporciona cifras sobre importaciones, PIB e índice de precios al consumidor (IPC) de Estados Unidos de 1975 a 2005. Se le pide considerar el siguiente modelo:
Ln Importacionest = β1 + β2 ln PIBt + β3 ln IPCt + ut
b) ¿Sospecha multicolinealidad en los datos?
Debido al alto valor de R2 y el valor “t” de los coeficientes mostrados es muy probable que exista multicolinealidad.
c) Efectúe las siguientes regresiones:
2) Ln Importacionest = B1 + B2 ln IPCt
Con base en estas regresiones, ¿qué puede decir sobre la naturaleza de la multicolinealidad en los datos?
AÑO IPC PBI IMPORTACIONES
1975 53.8 1,638.3 98185 1976 56.9 1,825.3 124228 1977 60.6 2,030.9 151907 1978 65.2 2,294.7 176002 1979 72.6 2,563.3 212007 1980 82.4 2,789.5 249750 1981 90.9 3,128.4 265067 1982 96.5 3,255.0 247642 1983 99.6 3,536.7 268901 1984 103.9 3,933.2 332418 1985 107.6 4,220.3 338088 1986 109.6 4,462.8 368425 1987 113.6 4,739.5 409765 1988 118.3 5,103.8 447189 1989 124.0 5,484.4 477665 1990 130.7 5,803.1 498438 1991 136.2 5,995.9 491020 1992 140.3 6,337.7 536528 1993 144.5 6,657.4 589394 1994 148.2 7,072.2 668690 1995 152.4 7,397.7 749374 1996 156.9 7,816.9 803113 1997 160.5 8,304.3 876470 1998 163.0 8,747.0 917103 1999 166.6 9,268.4 1029980 2000 172.2 9,817.0 1224408 2001 177.1 10,128.0 1145900 2002 179.9 10,469.6 1164720 2003 184.0 10,960.8 1260717 2004 188.9 11,712.5 1472926 2005 195.3 12,455.8 1677371
d) Suponga que existe multicolinealidad en los datos, pero que β2 y β3 son significativos individualmente en el nivel de 5%, y que la prueba global F es también significativa. En este caso, ¿debe preocupar el problema de colinealidad?
Una solución apropiada es expresar las “Importaciones y el PBI” en términos reales y dividirlas por el IPC
10.29 La tabla 10.14 proporciona información sobre los automóviles de pasajeros nuevos vendidos en Estados Unidos como función de diversas variables.
AÑO Y X2 X3 X4 X5 X6 1971 10227 112 121.3 776.8 4.89 79367 1972 10872 111 125.3 839.6 4.55 82153 1973 11350 111.1 133.1 949.8 7.38 85064 1974 8775 117.5 147.7 1038.4 8.61 86794 1975 8539 127.6 161.2 1142.8 6.16 85846 1976 9994 135.7 170.5 1252.6 5.22 88752 1977 11046 142.9 181.5 1379.3 5.5 92017 1978 11164 153.8 195.3 1551.2 7.78 96048 1979 10559 166 217.7 1729.3 10.25 98824 1980 8979 179.3 247 1918 11.28 99303 1981 8535 190.2 272.3 2127.6 13.73 100397 1982 7980 197.6 286.6 2261.4 11.2 99526 1983 9179 202.6 297.4 2428.1 8.69 100834 1984 10394 208.5 307.6 2670.6 9.65 105005 1985 11039 215.2 318.5 2841.1 7.75 107150 1986 11450 224.4 323.4 3022.1 6.31 109597
a) Desarrolle un modelo lineal o log-lineal apropiado para estimar una función de demanda de automóviles en Estados Unidos.
b) Si decide incluir todas las regresoras dadas en la tabla como variables explicativas, ¿espera encontrar el problema de multicolinealidad? ¿Por qué?
c) Si espera lo anterior, ¿cómo resolvería el problema? Plantee los supuestos claramente y muestre todos los cálculos de manera explícita.
Al examinar los coeficientes de correlación entre todas las variables explicativas se aprecia una correlación muy alta entre el IPC del nuevo coche y el IPC general, y entre el IPD y el IPC del automóvil nuevo. Además el IPD también se encuentra estrechamente relacionado con el nivel de empleo.
CAPÍTULO 11
HETEROSCEDASTICIDAD: ¿qué pasa si la varianza del
error no es constante?
Ejercicios:
11.5 Muestre que β∗
2 de (11.3.8) también se expresa como
Y var (β*
2) dada en (11.3.9) también se expresa como
Donde y∗i = Yi − Y∗ y x∗i = Xi − X∗ representan las desviaciones en relación con las medias
Ejercicios Empíricos
11.11. Con la información de la tabla 11.1, efectúe la regresión de la remuneración salarial promedio Y sobre la productividad promedio X, y considere el tamaño de la planta laboral como unidad de observación. Interprete sus resultados y vea si están de acuerdo con los presentados en (11.5.3).
Si la productividad media aumenta en un dólar, en promedio, la compensación aumenta en unos 23 centavos. IND A B C D E F G H I 1 2994 3295 3565 3907 4189 4486 4676 4968 5342 2 1721 2057 3336 3320 2980 2848 3072 2969 3822 3 3600 3657 3674 3437 3340 3334 3225 3163 3168 4 3494 3787 3533 3215 3030 2834 2750 2967 3453 5 3498 3847 3913 4135 4445 4885 5132 5342 5326 6 3611 4206 4695 5083 5301 5269 5182 5395 5552 7 3875 4660 4930 5005 5114 5248 5630 5870 5876 8 4616 5181 5317 5337 5421 5710 6316 6455 6347 9 3538 3984 4014 4287 4221 4539 4721 4905 5481 10 3016 3196 3149 3317 3414 3254 3177 3346 4067 11 3396 3787 4013 4014 4146 4241 4387 4538 4843 12 743.7 851.4 727.8 805.06 929.9 1080.6 1243.2 1307.7 1112.5 13 9355 8584 7962 8275 8389 9418 9795 10281 1750
a) De la regresión anterior, obtenga los residuos ui.
Los residuos son los siguientes:
-775.6579, -205.0481. 165.8515, 183.9356, 199.3785, 54.6657, 112.8410, 150.6239, 113.4100.
b) Según la prueba de Park, efectúe la regresión de ln u2
i sobre ln Xi y verifique la
regresión (11.5.4).
c) Según el método de Glejser, efectúe la regresión de |ui| sobre Xi y luego la regresión
de |ui| sobre √Xi. Comente sus resultados.
|Û| = 407.3455 − 0.0203x t = (0.6433)(−0.3013)r2 = 0.0128
|û| = 575.2976 − 3.7097 + √x t = (0.4479)(−0.2787)r2 = 0.0109
d) Encuentre la correlación de orden entre |ui| y Xi, y comente sobre la naturaleza de
la heteroscedasticidad presente en los datos, si existe.
Sobre las bases de las pruebas realizadas de correlación, no tenemos ninguna razón de heteroscedasticidad. Es decir todas las pruebas que se han mostrado hasta el momento sugieren que no existe problema de heteroscedasticidad.
11.13 Prueba de homogeneidad de varianza de Bartlett.* Suponga que hay k varianzas muestrales independientes s2 1, s22,..., s2
k con f1, f2,. . ., fk gl, cada una proveniente de
poblaciones normalmente distribuidas con media μ y varianza σ2 i. Suponga además que deseamos probar la hipótesis nula H0: σ21 = σ22 =···= σ2 k = σ2; es decir, cada varianza
muestral es una estimación de la misma varianza poblacional σ2. Si la hipótesis nula es
verdadera, entonces.
Constituye una estimación de la estimación común (agrupada) de la varianza poblacional σ2, donde f
i = (ni − 1), con ni como el número de observaciones en el i-ésimo grupo y
donde f = k
Bartlett demostró que la hipótesis nula se prueba por la razón A/B, distribuida aproximadamente como la distribución χ2 con k − 1 gl, donde
Aplique la prueba de Bartlett a los datos de la tabla 11.1 y verifique que no se puede rechazar la hipótesis de que las varianzas poblacionales de la remuneración salarial son las mismas para cada tamaño de la planta laboral del establecimiento, en el nivel de significancia de 5%.
Nota: fi, los gl para cada varianza muestral, es 9, pues ni para cada muestra (es decir,
clase de empleados) es 10.
Utilizando la prueba de Bartlett, el valor X2 es 6.6473, cuyo valor p es 0.5748. Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula ya que las varianzas son iguales.
11.15 La tabla 11.7 proporciona datos sobre 81 automóviles respecto de su MPG (millas promedio por galón), CF (caballos de fuerza de su motor), VOL (pies cúbicos de su cabina), VM (velocidad máxima en millas por hora) y su PS (peso del vehículo en cientos de lb). HP MPG VM CF VOL PS 1 65.4 53.7006814 89 17.5 96 2 56 50.0134012 92 20 97 3 55.9 50.0134012 92 20 97 4 49 45.6963224 92 20 105 5 46.5 50.5042318 92 20 96 6 46.2 45.6963224 89 20 105 7 45.4 50.0134012 92 20 97 8 59.2 46.7165543 50 22.5 98 9 53.3 46.7165543 50 22.5 98 10 43.4 42.2990782 94 22.5 107 11 41.1 44.6528342 89 22.5 103 12 40.9 39.3540941 50 22.5 113 13 40.9 39.3540941 99 22.5 113 14 40.4 44.6528342 89 22.5 103 15 39.6 45.7348929 89 22.5 100 16 39.3 44.6528342 89 22.5 103 17 38.9 42.7899089 91 22.5 106 18 38.8 39.3540941 50 22.5 113 19 38.2 42.7899089 91 22.5 106 20 42.2 38.901834 103 25 109 21 40.9 38.4110033 99 25 110 22 40.7 42.8284794 107 25 101 23 40 38.310606 101 25 111 24 39.3 40.4747233 96 25 105 25 38.8 38.310606 89 25 111 26 38.4 38.4110033 50 25 110 27 38.4 38.4110033 117 25 110 28 38.4 38.4110033 99 25 110 29 46.9 43.4694339 104 27.5 90 30 36.3 35.4041924 107 27.5 112 31 36.1 39.4312352 114 27.5 103 32 36.1 39.4312352 101 27.5 103 33 35.4 36.2854565 97 27.5 111 34 35.3 36.2854565 113 27.5 111 35 35.1 39.5316325 101 27.5 102 36 35.1 37.9587432 98 27.5 106 37 35 37.9587432 88 27.5 106 38 33.2 34.0706683 86 30 109 39 32.9 34.0706683 86 30 109
40 32.3 31.0141309 92 30 120 41 32.2 35.152727 113 30 106 42 32.2 35.152727 106 30 106 43 32.2 34.0706683 92 30 109 44 32.2 35.152727 88 30 106 45 31.5 35.6435576 102 30 105 46 31.5 34.561499 99 30 108 47 31.4 34.561499 111 30 108 48 31.4 35.0523296 103 30 107 49 31.2 31.0141309 86 30 120 50 33.7 29.629936 101 35 109 51 32.6 29.629936 101 35 109 52 31.3 29.629936 101 35 109 53 31.3 29.629936 124 35 109 54 30.4 24.4873667 113 35 133 55 28.9 26.8522787 113 35 125 56 28 27.8562519 124 35 115 57 28 31.1135839 92 35 102 58 28 29.629936 101 35 109 59 28 30.1319226 94 35 104 60 28 28.8602252 115 35 105 61 27.7 27.3542653 111 35 120 62 25.6 24.6091316 116 40 107 63 25.3 23.5159169 131 40 114 64 23.9 23.5159169 123 40 114 65 23.6 23.6051583 121 40 117 66 23.6 23.1031717 50 40 122 67 23.6 23.1031717 114 40 122 68 23.6 23.1031717 127 40 122 69 23.6 23.1031717 123 40 122 70 23.5 21.2737079 112 40 148 71 23.4 19.6785067 50 40 160 72 23.4 23.203569 135 40 121 73 23.1 23.203569 132 40 121 74 22.9 19.0863405 160 45 110 75 22.9 19.0863405 129 45 110 76 19.5 18.7628367 129 45 121 77 18.1 20.2018546 50 45 165 78 17.2 19.1978876 115 45 140 79 17 20.0568397 50 45 147 80 16.7 19.8337332 119 45 157 81 13.2 12.1012629 107 55 130
a) Considere el siguiente modelo:
Estime los parámetros de este modelo e interprete los resultados. Desde el punto de vista económico, ¿tiene sentido?
Se puede observar que MPG se relaciona de manera negativa con PS, debido a la velocidad y el peso.
b) ¿Esperaría que la varianza del error en el modelo anterior sea heteroscedástica? ¿Por qué?
Al observarse que se tratan de datos transversales, ello implica una mayor diversidad de automóviles, lo cual permite que se espere heteroscedasticidad.
c) Con la prueba de White determine si la varianza de error es heteroscedástica.
d) Obtenga los errores estándar de White consistentes con la heteroscedasticidad, así como los valores t, y compare los resultados con los obtenidos mediante MCO.
e) Si se establece heteroscedasticidad, ¿cómo puede transformar los datos de manera que en los datos transformados la varianza del error sea homoscedástica? Muestre los cálculos necesarios.
No existe una fórmula sencilla para determinar la naturaleza exacta de la heteroscedasticidad en el presente caso. Tal vez uno podría hacer una suposición simple y probar varias transformaciones. Por ejemplo, si se cree que la variable culpable es HP, y si creemos que la varianza de los errores es proporcional al cuadrado de HP, podríamos dividirla por HP y ver qué sucede. Por supuesto, cualquier otro regresor es un candidato probable para la transformación.
11.20. La tabla 11.8 proporciona datos sobre la mediana de los salarios de catedráticos en estadística que laboraron en centros universitarios de investigación de Estados Unidos durante el año académico 2007.
Years in Rank Year Year^2 Count Median
0 to 1 0.5 0.25 40 101478 2 to 3 2.5 6.25 24 102400 4 to 5 4.5 20.25 35 124578 6 to 7 6.5 42.25 34 122850 8 to 9 8.5 72.25 33 116900 10 to 14 12 144 73 119465 15 to 19 17 289 69 114900 20 to 24 22 484 54 129072 25 to 30 27.5 756.25 44 131704 31 or more 32 1024 25 143000
a) Grafique la mediana de los salarios respecto de los rangos de años (como medida de los años de experiencia). Para propósitos de la gráfica, suponga que la mediana de los salarios está referida al punto medio del rango de años correspondiente. Por consiguiente, el salario de $124 578 del rango 4-5 está referido a 4.5 años del rango correspondiente, y así sucesivamente. Para el último grupo, suponga que el rango es 31-33.
Se aprecia un aumento de los salarios mediano con el paso de los años.
b) Considere los siguientes modelos de regresión:
Donde Y = mediana del salario, X = año en el rango (medido como el punto medio del intervalo), y u y v son los términos de error. ¿Puede justificar por qué el modelo (2) sería preferible al modelo (1)? A partir de estos datos, estime los modelos.
De la imagen observada, se puede afirmar que el modelo (2) es el más apropiado ya que encaja en la teoría económica del capital humano.
11.20. La tabla 11.8 proporciona datos sobre la mediana de los salarios de catedráticos en estadística que laboraron en centros universitarios de investigación de Estados Unidos durante el año académico 2007.
a) Grafique la mediana de los salarios respecto de los rangos de años (como medida de los años de experiencia). Para propósitos de la gráfica, suponga que la mediana de los salarios está referida al punto medio del rango de años correspondiente. Por consiguiente, el salario de $124 578 del rango 4-5 está referido a 4.5 años del rango correspondiente, y así sucesivamente. Para el último grupo, suponga que el rango es 31-33.
b) Considere los siguientes modelos de regresión:
Donde Y _ mediana del salario, X _ año en el rango (medido como el punto medio del intervalo), y u y v son los términos de error. ¿Puede justificar por qué el modelo (2) sería preferible al modelo (1)? A partir de estos datos, estime los modelos.
c) Si observa heteroscedasticidad en el modelo (1) pero no en el modelo (2), ¿a qué conclusiones llega? Muestre los cálculos necesarios.
d) Si observa heteroscedasticidad en el modelo (2), ¿cómo puede transformar los datos de manera que en el modelo transformado no existiera
RESPUESTA
a)
Tal como se muestra en esta figura, con aumentos de sueldo promedio años de graduación, pero no lineal.
b) De la cifra indicada en (a) parece que modelo (2) puede ser más apropiado, que se corresponde también con la teoría económica del capital humano. c) Los resultados de los modelos lineales y cuadráticas son los siguientes:
La heterocedasticidad de White prueba aplicada al modelo (1) se demostró que no había evidencia de heterocedasticidad. El valor de n.R2 de la regresión auxiliar del cuadrado de los residuos se 11,4108 con un valor de p de 0,0033, lo cual sugiere una fuerte heterocedasticidad. Cuando el mismo se aplicó la prueba con el modelo (2), n .R2 fue 7,6494, con ap. valor de 0,0538, lo que sugiere que no hay heterocedasticidad al nivel del 5 por ciento. Pero este valor es tan cerca del nivel del 5% que uno podría sospechar la heteroscedasticidad leve en el modelo, aunque la posibilidad de error en la especificación no puede descartarse.
d) Suponiendo que la varianza del error es proporcional al cuadrado de la experiencia, nos hemos dividido modelo (1) a través de X y obtener los siguientes resultados:
Cuando este modelo se sometió a prueba la heterocedasticidad de White, no hubo pruebas de heterocedasticidad.
