Estadisctica - Intervalos de Confianza

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(1)

2. Se decide E s t i m a r la m e d i a (i del nivel de ansiedad de todos los estudiantes preuniversitarios. Se supone que la población de los puntajes de la prueba para m e d i r la ansiedad se distribuye normalmente con desviación estándar igual a 10 puntos.

a) Determinar el intervalo para (i con confianza del 95%, si una muestra aleatoria de tamaño 100 ha dado una media de 70 puntos,

bj Si (J. se estima en 70 puntos con el nivel de confianza del 98%, ¿es el error de la estimación puntual superior a 5 puntos?

c) Si Ud. considera que el intervalo encontrado en a) no es muy preciso, /.qué acción debería tomar para que el intervalo de estimación al 95% sea más preciso?. σ 10 puntos γ 0.95 puntos n 100 puntos X 70 puntos 1.95996398 68.040036 < μ < 71.959964 σ 10 puntos γ 0.98 puntos n 100 puntos Solución de Item "b)" Solución de Item "a)"

Datos Datos

Calculo del Error Calculo del Error

Calculo del Intervalo de Confianza a un 95%

x −

Z

0

δ

n

≤ μ ≤ x +

Z

0

δ

(2)

2.32634787

Por lo tanto el erro puntual no es mayor a 5, siendo 2.326

Para que el margen de error sea mínimo y consecuentemente más exacto o preciso, se tiene que incrementar la muestra

2.32634787 Muestra: n= 100

1.56842342 Muestra: n= 220

0.99195807 Muestra: n= 550

Como se observa a mayor población, error será mínimo

(3)

Solución de Item "b)" Solución de Item "a)"

(4)
(5)

Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmación se escogen al azar 20 latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es 18.5 onzas Suponga que la población de los pesos es normal con una desviación estándar de 2 onzas. a) Utilizando un intervalo de confianza Jel 98% para h, ¿se puede aceptar la afirmación del fabricante?

b) ¿Qué tamaño de muestra se debe escoger para estimar u si se quiere un error no superior a 0.98 onzas con confianza del 95%-?.

s 2 puntos γ 0.98 puntos n 20 puntos X 18.5 puntos 1.0403744 17.4596256 < μ < 19.5403744

Por lo Tanto diremos que sí, el promedio de de 19 onzas se encuentra en el intervalo de confianza

s 2 puntos

γ 0.95 puntos

n x puntos

Emplenado la definición de error, con la variante de Z0, puesto que no utilizamos To, porque se supone que es normal Solución de Item "a)"

Datos

Datos

16 Calculo del Error

Calculo del Intervalo de Confianza

Solución de Item "b)" 𝑍𝑜∗ 𝛿 𝑛 𝑍𝑜∗ s 𝑛 ≤ 0.98 𝑍𝑜∗ s ≤ 𝑛

(6)

Se aproxima a lo 16 latas

16 𝑍𝑜

(7)

Emplenado la definición de error, con la variante de Z0, puesto que no utilizamos To, porque se supone que es normal Solución de Item "a)"

(8)

Un fabricante produce focos cuya duración tiene distribución normal . Si una muestra aleatoria de 9 focos da las siguientes vidas útiles en horas

775, 780, 800, 795, 790, 785, 795,780, 810

a) Estimar la duración media de todos los focos del fabricante mediante un intervalo de confianza del 95%.

b) Si la media poblacional se estima en 790 horas con una confianza del 98%, ¿cuánto es el error máximo de la estimación si se quiere una confianza del 98%?

Analizando los Datos 775 780 790 800 11.1803399 795 9 790 785 795 780 810 γ 0.95 puntos 8.59397 781.40603 < μ < 798.59397 γ 0.95 puntos Cuadro de Datos Media Desv. Estandar Tamaño de Muestra Datos

Solución de Item "a)"

Calculo del Error

Calculo del Intervalo de Confianza

Datos

Calculo del Error a un 98%

Solución de Item "b)"

𝑋 −

𝑡

𝑜

s

𝑛

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 +

𝑡

𝑜

s

𝑛

𝑡𝑜∗ 𝑠 𝑛

(9)

10.794467 𝑡𝑜∗ 𝑠

(10)

Solución de Item "a)"

(11)

La duración de cierto tipo de batería es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal. Inicialmente se estima que la duración media es de 500 horas y que el 95% duran entre 480.4 y 519.6 horas. Si se eligen 9 baterías al azar y se encuentra que la duración media es 480 horas. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la media u, ¿se debería inferir que la duración media es diferente de 500 horas?. σ x horas γ 0.95 horas n 9 horas X 480 horas = 19.6 Como Zo=1.95 Datos n=9 σ=10 Zo=1.96 X=480 480-6.53σ < μ < 480-6.53σ Datos

Determinando el error del intervalo, [480.4,519.6]

Determinando el σ cuando n es indeterminado

Luego el intervalo de confianza al 95% de 9 baterias 𝛿 = 10 𝑍𝑜∗ 𝛿 𝑛

𝑋 −

𝑍

𝑜

∗ 𝛿

𝑛

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 +

𝑍

𝑜

∗ 𝛿

𝑛

(12)

Las cajas de un cereal producidos por una fabrica deben tener un contenido promedio de 160 gramos. Un inspector de INDECOPI tomó una muestra aleatoria de 10 cajas para calcular los pesos X¡ en gramos. Si de la muestra resultan las siguientes sumas:

Mediante un intervalo de confianza del 98% para u, ¿es razonable que el inspector multe al fabricante?. Suponga que el peso de las cajas drl cereal tiene distribución normal. = 159 = 2.19089023 s = 2.30940108 = 1.95474953 157.04525 < μ < 160.95475

No es razonable que el inspector multe porque 160 g se encuentra en el intervalo determinado Calculando la media y desviación estandar

Calculo de Error

Calculo del Intervalo de confianza 𝑋𝑖2= 10 𝑖=1 252858 𝑋𝑖 = 10 𝑖=1 1590 𝑋 = 1590/10 𝛿 =252858 10 − 15902

𝑋 −

𝑡

𝑜

s

𝑛

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 +

𝑡

𝑜

s

𝑛

𝑍

𝑜

∗ 𝛿

𝑛

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

(13)

Un auditor escoge una muestra aleatoria de 15 cuentas por cobrar de un total de 400 cuentas de una compañía y encuentra las siguientes cuentas en dólares 730,759, 725, 740, 754, 745, 750, 753, 730, 780, 725, 790, 719, 775, 700 Utilizando un intervalo de confianza del 95%, estime

a) El monto promedio por cuentas por cobrar. b) El monto total de todas las cuentas por cobrar.

Suponga que las 400 cuentas se distribuyen aproximadamente normal.

Calculo del Error

= 13.6389033

Calculo del Intervalo de Confianza

731.361097 < μ < 758.638903 Intervalo de confianza

Calculo del Intervalo de Confianza de 400 sueldos a cobrar

Datos Analisis de Datos 730 759 725 740 Solución de Item "b)" Solución de Item "a)"

Media de Datos Desviación Estandar Datos Contados 754 790 719 775 700 745 750 753 730 780 725 𝑡𝑜∗ 𝑠 𝑛

𝑋 −

𝑡

𝑜

s

𝑛

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 +

𝑡

𝑜

s

𝑛

𝑚(𝑋 −

𝑡

𝑜

∗𝛿

) ≤ 𝜇 ≤ 𝑚(𝑋 +

𝑡

𝑜

∗𝛿

)

(14)

Donde m = total de la población 292544.439 < μ < 303455.561 Intervalo de confianza

𝑚(𝑋 −

𝑡

𝑜

𝛿

𝑛

) ≤ 𝜇 ≤ 𝑚(𝑋 +

𝑡

𝑜

𝛿

𝑛

)

(15)

745 24.6286709

15 Datos

Solución de Item "b)" Solución de Item "a)"

(16)

Un comerciante estima en $55,000 el costo total de 3000 unidades de mercadería de diverso tipo que posee. Para verificar esta estimación va a

escoger una muestra aleatoria de n unidades para hacer una estimación del costo total. Suponga que la población de los costos es normal con a = $2.5 por

artículo. Calcular el valor de n si ^e requiere con confianza del 95% un error de la estimación no superior a 0.6844

De la información brindada se tiene que: 18.33 2.50 0.95 e < 0.6844 Cuando la población es n>30 n = 51.2592395 n = 50.414639

Por lo tanto la población debe ser 51 productos para que este tenga un erro no mayor a 0.6844 Media

Desviación Estandar Gama Error

Error se define como 𝑍𝑜∗ 𝛿 𝑛 𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1< 0.6844 1.96 ∗ 2.5 𝑛 3000 − 𝑛 3000 − 1< 0.6844

(17)

Una muestra aleatoria de 400 menores de 16 años revela que 220 consumen licor.

a) Estimar la proporción de menores de 16 años que consumen licor en toda la población mediante una intervalo de confianza del 99% .

b) ¿Qué se puede afirmar con confianza del 99% acerca dc la posible magnitud del error si se estima que el porcentaje de menores de 16 años que consumen alcohol es 0.55? 0.55 0.99 n 400 x 220 0.06407719 0.48592281 < p < 0.61407719

Del intervalo de confianza podemos afirmar que los los 220 si consumen alcohol porque se encuntran en el intervalo ya determinado

0.48592281 < 0.55 < 0.61407719 Solución de Item "b)" Datos

Intervalo de Confianza Calculo del Error

Solución de Item "a)" 𝑝 𝛾 𝑍𝑜∗ 𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑛

𝑝 − 𝑍

𝑜

𝑝 1 − 𝑝

𝑛

≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑍

𝑜

𝑝 (1 − 𝑝 )

𝑛

𝑝 − 𝑍

𝑜

𝑝 1 − 𝑝

𝑛

≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑍

𝑜

𝑝 (1 − 𝑝 )

𝑛

(18)

Del intervalo de confianza podemos afirmar que los los 220 si consumen alcohol porque se encuntran Solución de Item "b)"

(19)

Dos candidatos A y B compiten como favoritos en las próximas elecciones. En la última encuesta a partir de una muestra grande de electores se esnma.con una misma confianza que A tendría 40% de los votos con un error máximo de 3%, mientras que B tendría entre 31% y 39% de los votos.

a) En base a esta encuesta . ¿cuál de los dos candidatos sería el ganador absoluto?.

b) ¿Qué tamaño de muestra se debe elegir si se quiere tener una confianza del 98% de que el error de estimación de todos los electores a favor de A no sea superior al 2%?.

0.37 < p < 0.43

0.31 < p < 0.39

No se puede precisar porque como se puede observar en el intervalo no hay ninguna diferencia notable

n = 3257.34

n = 3258

Con la definición de I.C para una proporción Solución de Item "a)"

Encontrando el Intervalo de Confianza para Candidato A

Encontrando el Intervalo de Confianza para Candidato B

Solución de Item "b)"

𝑝 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

𝑝 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

𝑝 − 𝑍

𝑜

𝑝 1 − 𝑝

𝑛

≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑍

𝑜

𝑝 (1 − 𝑝 )

𝑛

𝑍𝑜∗ 𝑝 1 − 𝑝 𝑛 ≤ 0.02 𝑛 = (𝑍𝑜∗ 𝑝 1 − 𝑝 0.02 )2

(20)

El tamaño que se debe utilizar el de 3258

= 3393.0625

3394 Encontrando la muestra sin conocer la proporción:

𝑛 = 𝑍𝑜2 4 ∗ 𝐸2

(21)

No se puede precisar porque como se puede observar en el intervalo no hay ninguna diferencia notable Solución de Item "a)"

(22)

Se desea realizar un estudio de mercado para determinar la proporción de amas de casa que prefieren una nueva pasta dental.

a) Si la encuesta tiene un costo fijo de $500 más un costo variable de $5 por cada entrevista, ¿cuánto debería costar la encuesta si se desea que el error al estimar la proporción verdadera no sea mayor que 2%, con un nivel de confianza del 97%?.

b) Si para el tamaño de muestra hallado en a) se encuentra que 736 prefieren la nueva pasta dental, estimar la proporción verdadera con un coeficiente de confianza de 99%?

Zo Para 97% 2.17009038

Luego n es igual n = 2943.30765

n = 2944

El costo de la encuesta será

(Costo fijo) +n*(costo por entrevista) 15220 $

Encontrando la proporción x = 736 n = 2944 p = 0.25 Encontrando el error Nivel 99% = 0.01859463

Solución de Item "a)" Analizando el error donde no se conoce p

Solución de Item "b)" 𝑛 = 𝑍𝑜 2 4 ∗ 𝐸2

𝑍

𝑜

𝑝 1 − 𝑝

𝑛

(23)

Entonces el intervalo de confianza será 0.23140537 < p < 0.26859463

𝑛

𝑝 − 𝑍

𝑜

𝑝 1 − 𝑝

𝑛

≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑍

𝑜

𝑝 (1 − 𝑝 )

𝑛

(24)

Solución de Item "a)"

(25)

Un auditor toma una muestra aleatoria de 400 cuentas por cobrar y encuentra que 320 de ellas tienen deudas de al menos $700. Determine el nivel de confianza

a) Si el porcentaje de todas las cuentas por cobrar de al menos $700 se estima de 75.76% a 84.24%.

b) Si todas las cuentas por cobrar de al menos $700 de un total de 10,000 cuentas por cobrar se estima en el intervalo [7543, 8457].

x = 320

n = 400

p = 0.8

Nivel x

Determinando el error en el intervalo dado

Encontrando el nivel de confianza de error

Zo = 2.12

La función probabibildad para 2.12 0.98299698

El nivel de confianza es:

0.96599395 % Solución de Item "a)"

Datos

𝑝 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

0.8 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.7576

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.0424

0.7576 ≤ 𝑝 ≤ 0.8424

𝑍

𝑜

𝑝 1 − 𝑝

𝑛

= 0.0424

𝑃 𝑍 ≤ 𝑍𝑜 =1 + 𝛾 2

(26)

Encontrando el nivel de confianza de error

Zo = 3.61290223

La función probabibildad para 2.12 0.991

El nivel de confianza es:

0.982 % Solución de Item "b)"

𝑍

𝑜

𝑝 1 − 𝑝

𝑛

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

= 0.0457

𝑃 𝑍 ≤ 𝑍𝑜 =1 + 𝛾 2

(27)
(28)
(29)

Se quiere estimar p con un error máximo de estimación e = 0.05, hallar el tamaño de la muestra necesaria si la población es de tamaño N=2000

(30)

Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos (en minutos) que utilizan los hombres y las mujeres para realizar un test de aptitud. Se aplica el test a 20 hombres y 25 mujeres dando las medias respectivas de 110 y 100 puntos. Suponga que las dos poblaciones son normales con varianzas respectivas iguales a 100 y 64.

a) Determine un intervalo de confianza del 98% para la diferencia de las medias,

b) ¿Es válida la afirmación (i*—fJ.2 = 13?

n 20 X 110 Sx 10 m 25 Y 100 Sy 8

Haciendo la prueba F para población menor que 30

γ 0.98

α 0.02

Calculando la Inversa de:

0.36200483

Calculando la Inversa de:

2.92486562

Entonces el Intervalo F es:

[ 0.56563254 4.57010253 ]

Solución de Item "a)" Datos

𝑆

12

𝑆

22

1

𝑓

1−𝛼 2,𝑛1−1,𝑛2−1

𝛿

1 2

𝛿

22

𝑆

12

𝑆

22

∗ 𝑓

1−𝛼2,𝑛2−1,𝑛1−1

1

𝑓

1−𝛼 2,𝑛1−1,𝑛2−1

𝑓

1−𝛼 2,𝑛2−1,𝑛1−1

(31)

Decimos que como 1 se encuntra en el intervalo, entonces las varianzas son iguales pero desconociadas

Encontrando el Intervalo de Diferencias de medias

Encontrando Sc 8.93907024 Encontrando el error 5.67972335 Intervalo de Confianza [ 4.32027665 15.6797233 ]

Como podemos observar si la diferencia de medias es 13, podemos afirmar que es válida la afirmación porque pertece al intervalo ya anlizado

Solución de Item "b)" 𝑋 − 𝑦 − 𝑡𝑜𝑆𝑐 1 𝑛+ 1 𝑚≤ 𝜇𝑥− 𝜇𝑢 ≤ 𝑋 − 𝑦 + 𝑡𝑜𝑆𝑐 1 𝑛+ 1 𝑚 𝑆𝑐 = 𝑛 − 1 𝑆𝑥 2+ (𝑚 − 1)𝑆 𝑦2 𝑛 + 𝑚 − 2 𝑆𝑐 = 𝑛 − 1 𝑆𝑥 2+ (𝑚 − 1)𝑆 𝑦2 𝑛 + 𝑚 − 2 𝑡𝑜𝑆𝑐 1 𝑛+ 1 𝑚 𝑋 − 𝑦 − 𝑡𝑜𝑆𝑐 1 𝑛+ 1 𝑚≤ 𝜇𝑥− 𝜇𝑢≤ 𝑋 − 𝑦 + 𝑡𝑜𝑆𝑐 1 𝑛+ 1 𝑚

(32)
(33)

Como podemos observar si la diferencia de medias es 13, podemos afirmar que es válida la afirmación Solución de Item "b)"

(34)

Un inversionista hace un estudio para elegir una de dos ciudades del interior del país para abrir un centro comercial. Escoge 21 hogares de la ciudad 1

determinando: J, = $400, s, = $120 y escoge 16 hogares de la ciudad 2

calculando: x-, = $350, s2 = $60. Suponga poblaciones normales con varianzas diferentes. Mediante un intervalo de confianza del 95%, ¿se puede afirmar que son iguales los ingresos promedios de las dos ciudades?

n 21 X 400 Sx 120 m 16 Y 350 Sy 60

Encontrando los grados de libertad

= Datos 𝑔. 𝑙 = ( 𝑆12 𝑛1+𝑆2 2 𝑛2)2 (𝑆12 𝑛1) 2 𝑛1− 1 + (𝑆22 𝑛2) 2 𝑛2− 1

(35)

Una agencia de publicidad realizó un estudio para comparar la efectividad de un anuncio en la radio en dos distritos Después de difundir el aviso, se realizó una encuesta con 900 personas seleccionadas al azar, en cada uno de los distritos, resultando las proporciones 20% y 18% respectivamente. Si de los datos muéstrales se infiere que p¡ - p 2 e [-0.0162, 0.0562], ¿qué nivel de confianza Se Utilizó?. p1 0.2 q1 0.8 n1 900 p2 0.18 q2 0.82 n2 900

Calculando el error de estimación puntual

0.0200 0.0362

Por definición de error en una diferencia de proporciones

Zo 1.958108081

Luego hallando la funcion Normal de Zo 0.97489133 Luego por como sabemos

Datos

Encontrando el nivel de confianza de la diferencia de proporciones

𝑝1 − 𝑝 − 𝑍2 𝑜 𝑝1𝑞1 𝑛1 + 𝑝2𝑞2 𝑛2 ≤ 𝑝 − 𝑝1 ≤ 𝑝2 − 𝑝1 + 𝑍2 𝑜 𝑝1𝑞1 𝑛1 + 𝑝2𝑞2 𝑛2 𝑝 − 𝑝1 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤ 𝑝2 − 𝑝1 ≤ 𝑝2 − 𝑝1 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 2 −0.0162 ≤ 𝑝 − 𝑝1 ≤0.05622 𝑝1 − 𝑝 2 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑍𝑜 𝑝1𝑞1 𝑛1 + 𝑝2𝑞2 𝑛2 = 0.0362 𝑃 𝑍 ≤ 𝑍 1 + 𝛾 0 97489133

(36)

0.949782668 % 0.95 % Por lo tanto el nivel de confianza con la que se trabajo es al 95%

𝑃 𝑍 ≤ 𝑍𝑜 =1 + 𝛾

2 = 0.97489133 𝛾 =

(37)
(38)

Se escoge una muestra aleatoria de 13 tiendas y se encuentra que las ventas de la semana de un determinado producto de consumo popular tiene una

desviación estándar s = $6. Se supone que las ventas del producto tienen una distribución normal. Estimar a) la varianza y b) la desviación estándar

poblacional mediante un intervalo de confianza del 95%.

18.5116432 98.097354 Estimación de la varianza

4.30251591 9.90441083 Estimacion desv. Estandar

Solución de Item "a)" Estimando la varianza en un intervalo al 95%

Solución de Item "b)" Estimando la deviación estandar en un intervalo al 95%

(𝑛 − 1)𝑆2 𝑋1−𝛼/22 ≤ 𝛿2≤ (𝑛 − 1)𝑆2 𝑋𝛼/22 ≤ 𝛿2 (𝑛 − 1)𝑆2 𝑋1−𝛼/22 ≤ 𝛿 ≤ (𝑛 − 1)𝑆2 𝑋𝛼/22 ≤ 𝛿 ≤

(39)

Estimación de la varianza

Estimacion desv. Estandar Solución de Item "a)"

Figure

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Referencias

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